Properties

Label 20-245e10-1.1-c5e10-0-0
Degree $20$
Conductor $7.792\times 10^{23}$
Sign $1$
Analytic cond. $8.77538\times 10^{15}$
Root an. cond. $6.26849$
Motivic weight $5$
Arithmetic yes
Rational yes
Primitive no
Self-dual yes
Analytic rank $0$

Origins

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Normalization:  

Dirichlet series

L(s)  = 1  + 10·2-s + 58·3-s − 19·4-s + 250·5-s + 580·6-s − 540·8-s + 817·9-s + 2.50e3·10-s + 794·11-s − 1.10e3·12-s + 474·13-s + 1.45e4·15-s − 1.67e3·16-s + 802·17-s + 8.17e3·18-s + 7.29e3·19-s − 4.75e3·20-s + 7.94e3·22-s + 3.70e3·23-s − 3.13e4·24-s + 3.43e4·25-s + 4.74e3·26-s − 1.84e4·27-s − 8.86e3·29-s + 1.45e5·30-s + 1.32e4·31-s + 3.67e3·32-s + ⋯
L(s)  = 1  + 1.76·2-s + 3.72·3-s − 0.593·4-s + 4.47·5-s + 6.57·6-s − 2.98·8-s + 3.36·9-s + 7.90·10-s + 1.97·11-s − 2.20·12-s + 0.777·13-s + 16.6·15-s − 1.63·16-s + 0.673·17-s + 5.94·18-s + 4.63·19-s − 2.65·20-s + 3.49·22-s + 1.46·23-s − 11.0·24-s + 11·25-s + 1.37·26-s − 4.86·27-s − 1.95·29-s + 29.4·30-s + 2.48·31-s + 0.633·32-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(5^{10} \cdot 7^{20}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{10} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(6-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(5^{10} \cdot 7^{20}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{10} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]

Invariants

Degree: \(20\)
Conductor: \(5^{10} \cdot 7^{20}\)
Sign: $1$
Analytic conductor: \(8.77538\times 10^{15}\)
Root analytic conductor: \(6.26849\)
Motivic weight: \(5\)
Rational: yes
Arithmetic: yes
Character: Trivial
Primitive: no
Self-dual: yes
Analytic rank: \(0\)
Selberg data: \((20,\ 5^{10} \cdot 7^{20} ,\ ( \ : [5/2]^{10} ),\ 1 )\)

Particular Values

\(L(3)\) \(\approx\) \(3741.257080\)
\(L(\frac12)\) \(\approx\) \(3741.257080\)
\(L(\frac{7}{2})\) not available
\(L(1)\) not available

Euler product

   \(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
$p$$F_p(T)$
bad5 \( ( 1 - p^{2} T )^{10} \)
7 \( 1 \)
good2 \( 1 - 5 p T + 119 T^{2} - 105 p^{3} T^{3} + 3469 p T^{4} - 2595 p^{4} T^{5} + 75595 p^{2} T^{6} - 111985 p^{4} T^{7} + 816683 p^{4} T^{8} - 580875 p^{7} T^{9} + 3738743 p^{7} T^{10} - 580875 p^{12} T^{11} + 816683 p^{14} T^{12} - 111985 p^{19} T^{13} + 75595 p^{22} T^{14} - 2595 p^{29} T^{15} + 3469 p^{31} T^{16} - 105 p^{38} T^{17} + 119 p^{40} T^{18} - 5 p^{46} T^{19} + p^{50} T^{20} \)
3 \( 1 - 58 T + 283 p^{2} T^{2} - 27310 p T^{3} + 2313164 T^{4} - 18723346 p T^{5} + 1251013625 T^{6} - 8399136062 p T^{7} + 52546304071 p^{2} T^{8} - 302630721220 p^{3} T^{9} + 1634554857116 p^{4} T^{10} - 302630721220 p^{8} T^{11} + 52546304071 p^{12} T^{12} - 8399136062 p^{16} T^{13} + 1251013625 p^{20} T^{14} - 18723346 p^{26} T^{15} + 2313164 p^{30} T^{16} - 27310 p^{36} T^{17} + 283 p^{42} T^{18} - 58 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} \)
11 \( 1 - 794 T + 1285461 T^{2} - 69587806 p T^{3} + 705484406228 T^{4} - 335337214163374 T^{5} + 229774531074710723 T^{6} - 91267953289871654666 T^{7} + \)\(52\!\cdots\!91\)\( T^{8} - \)\(16\!\cdots\!04\)\( p T^{9} + \)\(93\!\cdots\!72\)\( T^{10} - \)\(16\!\cdots\!04\)\( p^{6} T^{11} + \)\(52\!\cdots\!91\)\( p^{10} T^{12} - 91267953289871654666 p^{15} T^{13} + 229774531074710723 p^{20} T^{14} - 335337214163374 p^{25} T^{15} + 705484406228 p^{30} T^{16} - 69587806 p^{36} T^{17} + 1285461 p^{40} T^{18} - 794 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} \)
13 \( 1 - 474 T + 2163515 T^{2} - 994386590 T^{3} + 2049854371260 T^{4} - 902546593371974 T^{5} + 1120454896322013365 T^{6} - \)\(48\!\cdots\!98\)\( T^{7} + \)\(41\!\cdots\!75\)\( T^{8} - \)\(18\!\cdots\!20\)\( T^{9} + \)\(14\!\cdots\!28\)\( T^{10} - \)\(18\!\cdots\!20\)\( p^{5} T^{11} + \)\(41\!\cdots\!75\)\( p^{10} T^{12} - \)\(48\!\cdots\!98\)\( p^{15} T^{13} + 1120454896322013365 p^{20} T^{14} - 902546593371974 p^{25} T^{15} + 2049854371260 p^{30} T^{16} - 994386590 p^{35} T^{17} + 2163515 p^{40} T^{18} - 474 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} \)
17 \( 1 - 802 T + 6908311 T^{2} - 3475817742 T^{3} + 22802324026844 T^{4} - 4778933338019750 T^{5} + 49151599377806831837 T^{6} + \)\(33\!\cdots\!58\)\( T^{7} + \)\(81\!\cdots\!67\)\( T^{8} + \)\(21\!\cdots\!52\)\( T^{9} + \)\(12\!\cdots\!16\)\( T^{10} + \)\(21\!\cdots\!52\)\( p^{5} T^{11} + \)\(81\!\cdots\!67\)\( p^{10} T^{12} + \)\(33\!\cdots\!58\)\( p^{15} T^{13} + 49151599377806831837 p^{20} T^{14} - 4778933338019750 p^{25} T^{15} + 22802324026844 p^{30} T^{16} - 3475817742 p^{35} T^{17} + 6908311 p^{40} T^{18} - 802 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} \)
19 \( 1 - 7292 T + 39554974 T^{2} - 154894713508 T^{3} + 509199604732825 T^{4} - 1418127422905923568 T^{5} + \)\(34\!\cdots\!96\)\( T^{6} - \)\(76\!\cdots\!32\)\( T^{7} + \)\(15\!\cdots\!70\)\( T^{8} - \)\(27\!\cdots\!52\)\( T^{9} + \)\(44\!\cdots\!44\)\( T^{10} - \)\(27\!\cdots\!52\)\( p^{5} T^{11} + \)\(15\!\cdots\!70\)\( p^{10} T^{12} - \)\(76\!\cdots\!32\)\( p^{15} T^{13} + \)\(34\!\cdots\!96\)\( p^{20} T^{14} - 1418127422905923568 p^{25} T^{15} + 509199604732825 p^{30} T^{16} - 154894713508 p^{35} T^{17} + 39554974 p^{40} T^{18} - 7292 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} \)
23 \( 1 - 3708 T + 28620780 T^{2} - 86338842484 T^{3} + 351929701626905 T^{4} - 821669590357007888 T^{5} + \)\(22\!\cdots\!40\)\( T^{6} - \)\(33\!\cdots\!04\)\( T^{7} + \)\(73\!\cdots\!30\)\( T^{8} + \)\(17\!\cdots\!12\)\( T^{9} + \)\(15\!\cdots\!60\)\( T^{10} + \)\(17\!\cdots\!12\)\( p^{5} T^{11} + \)\(73\!\cdots\!30\)\( p^{10} T^{12} - \)\(33\!\cdots\!04\)\( p^{15} T^{13} + \)\(22\!\cdots\!40\)\( p^{20} T^{14} - 821669590357007888 p^{25} T^{15} + 351929701626905 p^{30} T^{16} - 86338842484 p^{35} T^{17} + 28620780 p^{40} T^{18} - 3708 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} \)
29 \( 1 + 8866 T + 110157257 T^{2} + 544306622366 T^{3} + 4349685223337284 T^{4} + 15504212906448067606 T^{5} + \)\(11\!\cdots\!31\)\( T^{6} + \)\(33\!\cdots\!66\)\( T^{7} + \)\(25\!\cdots\!83\)\( T^{8} + \)\(52\!\cdots\!16\)\( T^{9} + \)\(48\!\cdots\!88\)\( T^{10} + \)\(52\!\cdots\!16\)\( p^{5} T^{11} + \)\(25\!\cdots\!83\)\( p^{10} T^{12} + \)\(33\!\cdots\!66\)\( p^{15} T^{13} + \)\(11\!\cdots\!31\)\( p^{20} T^{14} + 15504212906448067606 p^{25} T^{15} + 4349685223337284 p^{30} T^{16} + 544306622366 p^{35} T^{17} + 110157257 p^{40} T^{18} + 8866 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} \)
31 \( 1 - 13292 T + 199124860 T^{2} - 1774555273572 T^{3} + 17529678825408905 T^{4} - \)\(12\!\cdots\!48\)\( T^{5} + \)\(10\!\cdots\!20\)\( T^{6} - \)\(64\!\cdots\!08\)\( T^{7} + \)\(43\!\cdots\!10\)\( T^{8} - \)\(24\!\cdots\!92\)\( T^{9} + \)\(45\!\cdots\!20\)\( p T^{10} - \)\(24\!\cdots\!92\)\( p^{5} T^{11} + \)\(43\!\cdots\!10\)\( p^{10} T^{12} - \)\(64\!\cdots\!08\)\( p^{15} T^{13} + \)\(10\!\cdots\!20\)\( p^{20} T^{14} - \)\(12\!\cdots\!48\)\( p^{25} T^{15} + 17529678825408905 p^{30} T^{16} - 1774555273572 p^{35} T^{17} + 199124860 p^{40} T^{18} - 13292 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} \)
37 \( 1 - 16124 T + 412420592 T^{2} - 3346837122476 T^{3} + 50388051594615169 T^{4} - \)\(14\!\cdots\!76\)\( T^{5} + \)\(32\!\cdots\!80\)\( T^{6} - \)\(15\!\cdots\!88\)\( T^{7} + \)\(35\!\cdots\!34\)\( T^{8} - \)\(12\!\cdots\!92\)\( T^{9} + \)\(35\!\cdots\!76\)\( T^{10} - \)\(12\!\cdots\!92\)\( p^{5} T^{11} + \)\(35\!\cdots\!34\)\( p^{10} T^{12} - \)\(15\!\cdots\!88\)\( p^{15} T^{13} + \)\(32\!\cdots\!80\)\( p^{20} T^{14} - \)\(14\!\cdots\!76\)\( p^{25} T^{15} + 50388051594615169 p^{30} T^{16} - 3346837122476 p^{35} T^{17} + 412420592 p^{40} T^{18} - 16124 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} \)
41 \( 1 - 34836 T + 1186042524 T^{2} - 25972120432852 T^{3} + 552957537489491429 T^{4} - \)\(93\!\cdots\!36\)\( T^{5} + \)\(15\!\cdots\!00\)\( T^{6} - \)\(21\!\cdots\!24\)\( T^{7} + \)\(28\!\cdots\!26\)\( T^{8} - \)\(33\!\cdots\!88\)\( T^{9} + \)\(38\!\cdots\!80\)\( T^{10} - \)\(33\!\cdots\!88\)\( p^{5} T^{11} + \)\(28\!\cdots\!26\)\( p^{10} T^{12} - \)\(21\!\cdots\!24\)\( p^{15} T^{13} + \)\(15\!\cdots\!00\)\( p^{20} T^{14} - \)\(93\!\cdots\!36\)\( p^{25} T^{15} + 552957537489491429 p^{30} T^{16} - 25972120432852 p^{35} T^{17} + 1186042524 p^{40} T^{18} - 34836 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} \)
43 \( 1 + 28604 T + 1212886514 T^{2} + 24905524334708 T^{3} + 632061566570811301 T^{4} + \)\(10\!\cdots\!16\)\( T^{5} + \)\(20\!\cdots\!88\)\( T^{6} + \)\(29\!\cdots\!92\)\( T^{7} + \)\(46\!\cdots\!38\)\( T^{8} + \)\(57\!\cdots\!04\)\( T^{9} + \)\(79\!\cdots\!16\)\( T^{10} + \)\(57\!\cdots\!04\)\( p^{5} T^{11} + \)\(46\!\cdots\!38\)\( p^{10} T^{12} + \)\(29\!\cdots\!92\)\( p^{15} T^{13} + \)\(20\!\cdots\!88\)\( p^{20} T^{14} + \)\(10\!\cdots\!16\)\( p^{25} T^{15} + 632061566570811301 p^{30} T^{16} + 24905524334708 p^{35} T^{17} + 1212886514 p^{40} T^{18} + 28604 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} \)
47 \( 1 - 18106 T + 939611351 T^{2} - 9902859765658 T^{3} + 380614108206359116 T^{4} - \)\(23\!\cdots\!54\)\( T^{5} + \)\(11\!\cdots\!17\)\( T^{6} - \)\(54\!\cdots\!42\)\( T^{7} + \)\(33\!\cdots\!83\)\( T^{8} - \)\(16\!\cdots\!56\)\( T^{9} + \)\(86\!\cdots\!84\)\( T^{10} - \)\(16\!\cdots\!56\)\( p^{5} T^{11} + \)\(33\!\cdots\!83\)\( p^{10} T^{12} - \)\(54\!\cdots\!42\)\( p^{15} T^{13} + \)\(11\!\cdots\!17\)\( p^{20} T^{14} - \)\(23\!\cdots\!54\)\( p^{25} T^{15} + 380614108206359116 p^{30} T^{16} - 9902859765658 p^{35} T^{17} + 939611351 p^{40} T^{18} - 18106 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} \)
53 \( 1 - 36440 T + 2456367556 T^{2} - 79217220616840 T^{3} + 3068328330655056673 T^{4} - \)\(86\!\cdots\!00\)\( T^{5} + \)\(25\!\cdots\!80\)\( T^{6} - \)\(62\!\cdots\!00\)\( T^{7} + \)\(15\!\cdots\!18\)\( T^{8} - \)\(34\!\cdots\!80\)\( T^{9} + \)\(72\!\cdots\!56\)\( T^{10} - \)\(34\!\cdots\!80\)\( p^{5} T^{11} + \)\(15\!\cdots\!18\)\( p^{10} T^{12} - \)\(62\!\cdots\!00\)\( p^{15} T^{13} + \)\(25\!\cdots\!80\)\( p^{20} T^{14} - \)\(86\!\cdots\!00\)\( p^{25} T^{15} + 3068328330655056673 p^{30} T^{16} - 79217220616840 p^{35} T^{17} + 2456367556 p^{40} T^{18} - 36440 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} \)
59 \( 1 - 316 p T + 4647770648 T^{2} - 72408766061852 T^{3} + 10764247048283319837 T^{4} - \)\(14\!\cdots\!44\)\( T^{5} + \)\(16\!\cdots\!00\)\( T^{6} - \)\(19\!\cdots\!64\)\( T^{7} + \)\(17\!\cdots\!38\)\( T^{8} - \)\(18\!\cdots\!92\)\( T^{9} + \)\(14\!\cdots\!88\)\( T^{10} - \)\(18\!\cdots\!92\)\( p^{5} T^{11} + \)\(17\!\cdots\!38\)\( p^{10} T^{12} - \)\(19\!\cdots\!64\)\( p^{15} T^{13} + \)\(16\!\cdots\!00\)\( p^{20} T^{14} - \)\(14\!\cdots\!44\)\( p^{25} T^{15} + 10764247048283319837 p^{30} T^{16} - 72408766061852 p^{35} T^{17} + 4647770648 p^{40} T^{18} - 316 p^{46} T^{19} + p^{50} T^{20} \)
61 \( 1 - 68120 T + 6113560770 T^{2} - 314543263682200 T^{3} + 18217207724533767365 T^{4} - \)\(76\!\cdots\!00\)\( T^{5} + \)\(34\!\cdots\!20\)\( T^{6} - \)\(12\!\cdots\!60\)\( T^{7} + \)\(45\!\cdots\!70\)\( T^{8} - \)\(14\!\cdots\!00\)\( T^{9} + \)\(44\!\cdots\!24\)\( T^{10} - \)\(14\!\cdots\!00\)\( p^{5} T^{11} + \)\(45\!\cdots\!70\)\( p^{10} T^{12} - \)\(12\!\cdots\!60\)\( p^{15} T^{13} + \)\(34\!\cdots\!20\)\( p^{20} T^{14} - \)\(76\!\cdots\!00\)\( p^{25} T^{15} + 18217207724533767365 p^{30} T^{16} - 314543263682200 p^{35} T^{17} + 6113560770 p^{40} T^{18} - 68120 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} \)
67 \( 1 - 92328 T + 11194060712 T^{2} - 746639820922296 T^{3} + 55926339448703163825 T^{4} - \)\(29\!\cdots\!08\)\( T^{5} + \)\(17\!\cdots\!72\)\( T^{6} - \)\(76\!\cdots\!56\)\( T^{7} + \)\(36\!\cdots\!70\)\( T^{8} - \)\(14\!\cdots\!28\)\( T^{9} + \)\(56\!\cdots\!32\)\( T^{10} - \)\(14\!\cdots\!28\)\( p^{5} T^{11} + \)\(36\!\cdots\!70\)\( p^{10} T^{12} - \)\(76\!\cdots\!56\)\( p^{15} T^{13} + \)\(17\!\cdots\!72\)\( p^{20} T^{14} - \)\(29\!\cdots\!08\)\( p^{25} T^{15} + 55926339448703163825 p^{30} T^{16} - 746639820922296 p^{35} T^{17} + 11194060712 p^{40} T^{18} - 92328 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} \)
71 \( 1 - 5044 T + 9872241818 T^{2} - 57479632288428 T^{3} + 50224816812921588269 T^{4} - \)\(35\!\cdots\!84\)\( T^{5} + \)\(17\!\cdots\!32\)\( T^{6} - \)\(12\!\cdots\!64\)\( T^{7} + \)\(45\!\cdots\!74\)\( T^{8} - \)\(31\!\cdots\!32\)\( T^{9} + \)\(93\!\cdots\!16\)\( T^{10} - \)\(31\!\cdots\!32\)\( p^{5} T^{11} + \)\(45\!\cdots\!74\)\( p^{10} T^{12} - \)\(12\!\cdots\!64\)\( p^{15} T^{13} + \)\(17\!\cdots\!32\)\( p^{20} T^{14} - \)\(35\!\cdots\!84\)\( p^{25} T^{15} + 50224816812921588269 p^{30} T^{16} - 57479632288428 p^{35} T^{17} + 9872241818 p^{40} T^{18} - 5044 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} \)
73 \( 1 - 170160 T + 27110575070 T^{2} - 2848036905964720 T^{3} + \)\(27\!\cdots\!05\)\( T^{4} - \)\(21\!\cdots\!00\)\( T^{5} + \)\(15\!\cdots\!60\)\( T^{6} - \)\(96\!\cdots\!20\)\( T^{7} + \)\(55\!\cdots\!10\)\( T^{8} - \)\(28\!\cdots\!40\)\( T^{9} + \)\(13\!\cdots\!64\)\( T^{10} - \)\(28\!\cdots\!40\)\( p^{5} T^{11} + \)\(55\!\cdots\!10\)\( p^{10} T^{12} - \)\(96\!\cdots\!20\)\( p^{15} T^{13} + \)\(15\!\cdots\!60\)\( p^{20} T^{14} - \)\(21\!\cdots\!00\)\( p^{25} T^{15} + \)\(27\!\cdots\!05\)\( p^{30} T^{16} - 2848036905964720 p^{35} T^{17} + 27110575070 p^{40} T^{18} - 170160 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} \)
79 \( 1 - 26442 T + 8558647125 T^{2} - 550840180378834 T^{3} + 47008860583379814852 T^{4} - \)\(36\!\cdots\!86\)\( T^{5} + \)\(27\!\cdots\!87\)\( T^{6} - \)\(15\!\cdots\!94\)\( T^{7} + \)\(11\!\cdots\!63\)\( T^{8} - \)\(63\!\cdots\!16\)\( T^{9} + \)\(36\!\cdots\!56\)\( T^{10} - \)\(63\!\cdots\!16\)\( p^{5} T^{11} + \)\(11\!\cdots\!63\)\( p^{10} T^{12} - \)\(15\!\cdots\!94\)\( p^{15} T^{13} + \)\(27\!\cdots\!87\)\( p^{20} T^{14} - \)\(36\!\cdots\!86\)\( p^{25} T^{15} + 47008860583379814852 p^{30} T^{16} - 550840180378834 p^{35} T^{17} + 8558647125 p^{40} T^{18} - 26442 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} \)
83 \( 1 - 353360 T + 81259264642 T^{2} - 13720257752772400 T^{3} + \)\(18\!\cdots\!37\)\( T^{4} - \)\(22\!\cdots\!40\)\( T^{5} + \)\(22\!\cdots\!44\)\( T^{6} - \)\(20\!\cdots\!40\)\( T^{7} + \)\(16\!\cdots\!86\)\( T^{8} - \)\(12\!\cdots\!60\)\( T^{9} + \)\(79\!\cdots\!04\)\( T^{10} - \)\(12\!\cdots\!60\)\( p^{5} T^{11} + \)\(16\!\cdots\!86\)\( p^{10} T^{12} - \)\(20\!\cdots\!40\)\( p^{15} T^{13} + \)\(22\!\cdots\!44\)\( p^{20} T^{14} - \)\(22\!\cdots\!40\)\( p^{25} T^{15} + \)\(18\!\cdots\!37\)\( p^{30} T^{16} - 13720257752772400 p^{35} T^{17} + 81259264642 p^{40} T^{18} - 353360 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} \)
89 \( 1 - 90704 T + 28727567062 T^{2} - 1907190985321296 T^{3} + \)\(35\!\cdots\!25\)\( T^{4} - \)\(14\!\cdots\!96\)\( T^{5} + \)\(24\!\cdots\!28\)\( T^{6} - \)\(26\!\cdots\!04\)\( T^{7} + \)\(10\!\cdots\!70\)\( T^{8} + \)\(32\!\cdots\!16\)\( T^{9} + \)\(40\!\cdots\!32\)\( T^{10} + \)\(32\!\cdots\!16\)\( p^{5} T^{11} + \)\(10\!\cdots\!70\)\( p^{10} T^{12} - \)\(26\!\cdots\!04\)\( p^{15} T^{13} + \)\(24\!\cdots\!28\)\( p^{20} T^{14} - \)\(14\!\cdots\!96\)\( p^{25} T^{15} + \)\(35\!\cdots\!25\)\( p^{30} T^{16} - 1907190985321296 p^{35} T^{17} + 28727567062 p^{40} T^{18} - 90704 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} \)
97 \( 1 - 236382 T + 46756166551 T^{2} - 6778519462934962 T^{3} + \)\(86\!\cdots\!84\)\( T^{4} - \)\(93\!\cdots\!70\)\( T^{5} + \)\(97\!\cdots\!77\)\( T^{6} - \)\(98\!\cdots\!42\)\( T^{7} + \)\(98\!\cdots\!87\)\( T^{8} - \)\(97\!\cdots\!28\)\( T^{9} + \)\(93\!\cdots\!96\)\( T^{10} - \)\(97\!\cdots\!28\)\( p^{5} T^{11} + \)\(98\!\cdots\!87\)\( p^{10} T^{12} - \)\(98\!\cdots\!42\)\( p^{15} T^{13} + \)\(97\!\cdots\!77\)\( p^{20} T^{14} - \)\(93\!\cdots\!70\)\( p^{25} T^{15} + \)\(86\!\cdots\!84\)\( p^{30} T^{16} - 6778519462934962 p^{35} T^{17} + 46756166551 p^{40} T^{18} - 236382 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} \)
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   \(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{20} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−3.68242920103125580006973961807, −3.63246205904397102383652244851, −3.50543527685117736291728843770, −3.32097881866655348191528042010, −3.03261954702476103570770879756, −2.95237342741049068054141698051, −2.81874441827713378380605296579, −2.81353895080038549688813953801, −2.72938595267232453278247375785, −2.66047713862094722829908048842, −2.51836285509172468411209319946, −2.31707883362312597582521424510, −2.17118978120087343318349289082, −1.90443712595586434007571851851, −1.88576587495399299804146973553, −1.85365552923173446943187975813, −1.62815860822366776638144701547, −1.35905775721376502091303998709, −0.991472634726417709031570653685, −0.979618934956148576040552675077, −0.842855322886977833845563700861, −0.74120014221183607482903455362, −0.69034134085428461327143995370, −0.66565660217230774447221182396, −0.40298852735103620858292791512, 0.40298852735103620858292791512, 0.66565660217230774447221182396, 0.69034134085428461327143995370, 0.74120014221183607482903455362, 0.842855322886977833845563700861, 0.979618934956148576040552675077, 0.991472634726417709031570653685, 1.35905775721376502091303998709, 1.62815860822366776638144701547, 1.85365552923173446943187975813, 1.88576587495399299804146973553, 1.90443712595586434007571851851, 2.17118978120087343318349289082, 2.31707883362312597582521424510, 2.51836285509172468411209319946, 2.66047713862094722829908048842, 2.72938595267232453278247375785, 2.81353895080038549688813953801, 2.81874441827713378380605296579, 2.95237342741049068054141698051, 3.03261954702476103570770879756, 3.32097881866655348191528042010, 3.50543527685117736291728843770, 3.63246205904397102383652244851, 3.68242920103125580006973961807

Graph of the $Z$-function along the critical line

Plot not available for L-functions of degree greater than 10.