| L(s) = 1 | − 3·2-s + 7·3-s − 25·4-s − 125·5-s − 21·6-s − 109·8-s − 441·9-s + 375·10-s + 1.03e3·11-s − 175·12-s + 1.11e3·13-s − 875·15-s + 151·16-s + 3.40e3·17-s + 1.32e3·18-s + 2.84e3·19-s + 3.12e3·20-s − 3.09e3·22-s − 2.75e3·23-s − 763·24-s + 9.37e3·25-s − 3.35e3·26-s − 2.54e3·27-s + 485·29-s + 2.62e3·30-s + 1.07e4·31-s + 6.69e3·32-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | − 0.530·2-s + 0.449·3-s − 0.781·4-s − 2.23·5-s − 0.238·6-s − 0.602·8-s − 1.81·9-s + 1.18·10-s + 2.57·11-s − 0.350·12-s + 1.83·13-s − 1.00·15-s + 0.147·16-s + 2.85·17-s + 0.962·18-s + 1.80·19-s + 1.74·20-s − 1.36·22-s − 1.08·23-s − 0.270·24-s + 3·25-s − 0.972·26-s − 0.672·27-s + 0.107·29-s + 0.532·30-s + 2.00·31-s + 1.15·32-s + ⋯ |
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(5^{5} \cdot 7^{10}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{5} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(6-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(5^{5} \cdot 7^{10}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{5} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Particular Values
| \(L(3)\) |
\(\approx\) |
\(7.147778737\) |
| \(L(\frac12)\) |
\(\approx\) |
\(7.147778737\) |
| \(L(\frac{7}{2})\) |
|
not available |
| \(L(1)\) |
|
not available |
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $\Gal(F_p)$ | $F_p(T)$ |
|---|
| bad | 5 | $C_1$ | \( ( 1 + p^{2} T )^{5} \) |
| 7 | | \( 1 \) |
| good | 2 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 3 T + 17 p T^{2} + 143 p T^{3} + 471 p^{2} T^{4} + 585 p^{4} T^{5} + 471 p^{7} T^{6} + 143 p^{11} T^{7} + 17 p^{16} T^{8} + 3 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 3 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 7 T + 490 T^{2} - 49 p^{4} T^{3} + 45755 p T^{4} - 53324 p^{3} T^{5} + 45755 p^{6} T^{6} - 49 p^{14} T^{7} + 490 p^{15} T^{8} - 7 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 11 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 1033 T + 71114 p T^{2} - 424009715 T^{3} + 215784948297 T^{4} - 90621256717808 T^{5} + 215784948297 p^{5} T^{6} - 424009715 p^{10} T^{7} + 71114 p^{16} T^{8} - 1033 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 13 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 1117 T + 117100 p T^{2} - 959698159 T^{3} + 803685002455 T^{4} - 397606225996008 T^{5} + 803685002455 p^{5} T^{6} - 959698159 p^{10} T^{7} + 117100 p^{16} T^{8} - 1117 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 17 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 3403 T + 7649640 T^{2} - 10463372069 T^{3} + 12181686366595 T^{4} - 12739307424492372 T^{5} + 12181686366595 p^{5} T^{6} - 10463372069 p^{10} T^{7} + 7649640 p^{15} T^{8} - 3403 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 19 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 2846 T + 4951975 T^{2} - 8589433016 T^{3} + 20508119437570 T^{4} - 36548000671065876 T^{5} + 20508119437570 p^{5} T^{6} - 8589433016 p^{10} T^{7} + 4951975 p^{15} T^{8} - 2846 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 23 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 2756 T + 15991731 T^{2} + 33169424368 T^{3} + 143354186726794 T^{4} + 224642248447841560 T^{5} + 143354186726794 p^{5} T^{6} + 33169424368 p^{10} T^{7} + 15991731 p^{15} T^{8} + 2756 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 29 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 485 T + 84380532 T^{2} - 19126141079 T^{3} + 3129937745421991 T^{4} - 400250650769294248 T^{5} + 3129937745421991 p^{5} T^{6} - 19126141079 p^{10} T^{7} + 84380532 p^{15} T^{8} - 485 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 31 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 346 p T + 115009095 T^{2} - 509573875504 T^{3} + 2972979141961030 T^{4} - 8434661235276291156 T^{5} + 2972979141961030 p^{5} T^{6} - 509573875504 p^{10} T^{7} + 115009095 p^{15} T^{8} - 346 p^{21} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 37 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 2660 T + 125902189 T^{2} + 352338781520 T^{3} + 3084861457712374 T^{4} + 24408140199537192600 T^{5} + 3084861457712374 p^{5} T^{6} + 352338781520 p^{10} T^{7} + 125902189 p^{15} T^{8} + 2660 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 41 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 8334 T + 330774905 T^{2} + 4545432841536 T^{3} + 49014576267545710 T^{4} + \)\(82\!\cdots\!04\)\( T^{5} + 49014576267545710 p^{5} T^{6} + 4545432841536 p^{10} T^{7} + 330774905 p^{15} T^{8} + 8334 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 43 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 17294 T + 549140451 T^{2} + 7742666449232 T^{3} + 141803288463851254 T^{4} + \)\(15\!\cdots\!40\)\( T^{5} + 141803288463851254 p^{5} T^{6} + 7742666449232 p^{10} T^{7} + 549140451 p^{15} T^{8} + 17294 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 47 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 59799 T + 2275202090 T^{2} - 59925658229997 T^{3} + 1264872869027233645 T^{4} - \)\(21\!\cdots\!56\)\( T^{5} + 1264872869027233645 p^{5} T^{6} - 59925658229997 p^{10} T^{7} + 2275202090 p^{15} T^{8} - 59799 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 53 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 9250 T + 1672255665 T^{2} + 12812550991000 T^{3} + 1228847653434998290 T^{4} + \)\(75\!\cdots\!00\)\( T^{5} + 1228847653434998290 p^{5} T^{6} + 12812550991000 p^{10} T^{7} + 1672255665 p^{15} T^{8} + 9250 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 59 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 52994 T + 4268481135 T^{2} - 148694853818824 T^{3} + 6528544392159961090 T^{4} - \)\(15\!\cdots\!64\)\( T^{5} + 6528544392159961090 p^{5} T^{6} - 148694853818824 p^{10} T^{7} + 4268481135 p^{15} T^{8} - 52994 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 61 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 81540 T + 4988508005 T^{2} - 197511797414160 T^{3} + 6980704108153255510 T^{4} - \)\(20\!\cdots\!40\)\( T^{5} + 6980704108153255510 p^{5} T^{6} - 197511797414160 p^{10} T^{7} + 4988508005 p^{15} T^{8} - 81540 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 67 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 726 T + 5929847579 T^{2} + 6593621716112 T^{3} + 15000415642905181654 T^{4} + \)\(15\!\cdots\!20\)\( T^{5} + 15000415642905181654 p^{5} T^{6} + 6593621716112 p^{10} T^{7} + 5929847579 p^{15} T^{8} + 726 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 71 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 3760 T + 5875588723 T^{2} - 22128920084288 T^{3} + 17590708409495430426 T^{4} - \)\(47\!\cdots\!04\)\( T^{5} + 17590708409495430426 p^{5} T^{6} - 22128920084288 p^{10} T^{7} + 5875588723 p^{15} T^{8} - 3760 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 73 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 90634 T + 5504229625 T^{2} - 77232642704128 T^{3} - 6059236841012569970 T^{4} + \)\(58\!\cdots\!24\)\( T^{5} - 6059236841012569970 p^{5} T^{6} - 77232642704128 p^{10} T^{7} + 5504229625 p^{15} T^{8} - 90634 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 79 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 68243 T + 9096484434 T^{2} - 673862939514073 T^{3} + 51657569372711367509 T^{4} - \)\(26\!\cdots\!24\)\( T^{5} + 51657569372711367509 p^{5} T^{6} - 673862939514073 p^{10} T^{7} + 9096484434 p^{15} T^{8} - 68243 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 83 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 133292 T + 15343209915 T^{2} + 744432667730464 T^{3} + 39146037432467063590 T^{4} + \)\(84\!\cdots\!88\)\( T^{5} + 39146037432467063590 p^{5} T^{6} + 744432667730464 p^{10} T^{7} + 15343209915 p^{15} T^{8} + 133292 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 89 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 102852 T + 13190697485 T^{2} - 12411751685328 p T^{3} + 77939842439296319290 T^{4} - \)\(62\!\cdots\!12\)\( T^{5} + 77939842439296319290 p^{5} T^{6} - 12411751685328 p^{11} T^{7} + 13190697485 p^{15} T^{8} - 102852 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 97 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 186175 T + 32870480640 T^{2} - 3871416855223225 T^{3} + \)\(44\!\cdots\!95\)\( T^{4} - \)\(39\!\cdots\!00\)\( T^{5} + \)\(44\!\cdots\!95\)\( p^{5} T^{6} - 3871416855223225 p^{10} T^{7} + 32870480640 p^{15} T^{8} - 186175 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| show more | | |
| show less | | |
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{10} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−6.56908449043767954318890210697, −6.41435932055632083811359868655, −6.14451631193655805397356351187, −6.03396278520547911018921447556, −5.61768484916999370406950216322, −5.60810969459520444745431334988, −5.29614231455876917669039054726, −4.95674283403296754428735764283, −4.82656263537834190434397154112, −4.41923520312147696778504324985, −3.89154404295500521718339788409, −3.88706199497646441246359608294, −3.75639335632818800413042633034, −3.56340642120597535605975324378, −3.50482403757672202163604678302, −3.00472691153693374165166639037, −2.91096509225191431330797110588, −2.60739888458320655951529734300, −2.15356661184456300390551076150, −1.51567472127714893177973079770, −1.38634450490750344577128333820, −0.69396773514021966860137750197, −0.68792296661331865198932885008, −0.62037561394133625500276782714, −0.61301065676470501195431702902,
0.61301065676470501195431702902, 0.62037561394133625500276782714, 0.68792296661331865198932885008, 0.69396773514021966860137750197, 1.38634450490750344577128333820, 1.51567472127714893177973079770, 2.15356661184456300390551076150, 2.60739888458320655951529734300, 2.91096509225191431330797110588, 3.00472691153693374165166639037, 3.50482403757672202163604678302, 3.56340642120597535605975324378, 3.75639335632818800413042633034, 3.88706199497646441246359608294, 3.89154404295500521718339788409, 4.41923520312147696778504324985, 4.82656263537834190434397154112, 4.95674283403296754428735764283, 5.29614231455876917669039054726, 5.60810969459520444745431334988, 5.61768484916999370406950216322, 6.03396278520547911018921447556, 6.14451631193655805397356351187, 6.41435932055632083811359868655, 6.56908449043767954318890210697
