LMFDB - L-function 28-24e14-1.1-c7e14-0-0

Dirichlet series

L(s) = 1

− 14·2^-s − 6·4^-s + 1.37e3·7^-s + 856·8^-s − 5.10e3·9^-s − 1.92e4·14^-s − 1.20e4·16^-s − 2.90e3·17^-s + 7.14e4·18^-s − 1.43e5·23^-s + 4.45e5·25^-s − 8.23e3·28^-s − 8.94e4·31^-s − 5.88e4·32^-s + 4.07e4·34^-s + 3.06e4·36^-s − 4.41e5·41^-s + 2.00e6·46^-s − 1.05e6·47^-s − 3.74e6·49^-s − 6.23e6·50^-s + 1.17e6·56^-s + 1.25e6·62^-s − 7.00e6·63^-s + 3.26e6·64^-s + 1.74e4·68^-s + 5.17e6·71^-s + ⋯

L(s) = 1

− 1.23·2^-s − 0.0468·4^-s + 1.51·7^-s + 0.591·8^-s − 7/3·9^-s − 1.87·14^-s − 0.733·16^-s − 0.143·17^-s + 2.88·18^-s − 2.45·23^-s + 5.70·25^-s − 0.0708·28^-s − 0.539·31^-s − 0.317·32^-s + 0.177·34^-s + 7/64·36^-s − 0.999·41^-s + 3.04·46^-s − 1.48·47^-s − 4.54·49^-s − 7.05·50^-s + 0.893·56^-s + 0.667·62^-s − 3.52·63^-s + 1.55·64^-s + 0.00672·68^-s + 1.71·71^-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{42} \cdot 3^{14}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{14} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(8-s)\end{aligned}\]

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{42} \cdot 3^{14}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+7/2)^{14} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]

Invariants

Degree:	$28$
Conductor:	$2^{42} \cdot 3^{14}$
Sign:	$1$
Analytic conductor:	$1.77263\times 10^{12}$
Root analytic conductor:	$2.73810$
Motivic weight:	$7$
Rational:	yes
Arithmetic:	yes
Character:	Trivial
Primitive:	no
Self-dual:	yes
Analytic rank:	$0$
Selberg data:	$(28,\ 2^{42} \cdot 3^{14} ,\ ( \ : [7/2]^{14} ),\ 1 )$

Particular Values

$L(4)$	$\approx$	$0.01742716315$
$L(\frac12)$	$\approx$	$0.01742716315$
$L(\frac{9}{2})$		not available
$L(1)$		not available

Euler product

$L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} $

	$p$	$F_p(T)$
bad	2	$ 1 + 7 p T + 101 p T^{2} + 257 p^{3} T^{3} + 1877 p^{4} T^{4} + 3805 p^{7} T^{5} + 10209 p^{9} T^{6} + 9061 p^{13} T^{7} + 10209 p^{16} T^{8} + 3805 p^{21} T^{9} + 1877 p^{25} T^{10} + 257 p^{31} T^{11} + 101 p^{36} T^{12} + 7 p^{43} T^{13} + p^{49} T^{14} $
	3	$ ( 1 + p^{6} T^{2} )^{7} $
good	5	$ 1 - 445562 T^{2} + 95581517971 T^{4} - 14439744600730244 T^{6} + 14777008747923864941 p^{3} T^{8} - $$32\!\cdots\!98$$ p^{4} T^{10} + $$12\!\cdots\!27$$ p^{6} T^{12} - $$40\!\cdots\!56$$ p^{8} T^{14} + $$12\!\cdots\!27$$ p^{20} T^{16} - $$32\!\cdots\!98$$ p^{32} T^{18} + 14777008747923864941 p^{45} T^{20} - 14439744600730244 p^{56} T^{22} + 95581517971 p^{70} T^{24} - 445562 p^{84} T^{26} + p^{98} T^{28} $
	7	$ ( 1 - 2 p^{3} T + 2578165 T^{2} - 1521968292 T^{3} + 413425553031 p T^{4} - 1670463194093586 T^{5} + 2150164822127173261 T^{6} - $$14\!\cdots\!28$$ T^{7} + 2150164822127173261 p^{7} T^{8} - 1670463194093586 p^{14} T^{9} + 413425553031 p^{22} T^{10} - 1521968292 p^{28} T^{11} + 2578165 p^{35} T^{12} - 2 p^{45} T^{13} + p^{49} T^{14} )^{2} $
	11	$ 1 - 126612650 T^{2} + 7858670884605619 T^{4} - $$31\!\cdots\!48$$ T^{6} + $$91\!\cdots\!17$$ T^{8} - $$20\!\cdots\!90$$ T^{10} + $$40\!\cdots\!27$$ T^{12} - $$63\!\cdots\!32$$ p^{2} T^{14} + $$40\!\cdots\!27$$ p^{14} T^{16} - $$20\!\cdots\!90$$ p^{28} T^{18} + $$91\!\cdots\!17$$ p^{42} T^{20} - $$31\!\cdots\!48$$ p^{56} T^{22} + 7858670884605619 p^{70} T^{24} - 126612650 p^{84} T^{26} + p^{98} T^{28} $
	13	$ 1 - 387011990 T^{2} + 68908126519682275 T^{4} - $$76\!\cdots\!28$$ T^{6} + $$63\!\cdots\!97$$ T^{8} - $$48\!\cdots\!86$$ T^{10} + $$37\!\cdots\!83$$ T^{12} - $$25\!\cdots\!72$$ T^{14} + $$37\!\cdots\!83$$ p^{14} T^{16} - $$48\!\cdots\!86$$ p^{28} T^{18} + $$63\!\cdots\!97$$ p^{42} T^{20} - $$76\!\cdots\!28$$ p^{56} T^{22} + 68908126519682275 p^{70} T^{24} - 387011990 p^{84} T^{26} + p^{98} T^{28} $
	17	$ ( 1 + 1454 T + 1716640747 T^{2} + 5874996114796 T^{3} + 1576054531620987017 T^{4} + $$56\!\cdots\!70$$ T^{5} + $$93\!\cdots\!91$$ T^{6} + $$30\!\cdots\!24$$ T^{7} + $$93\!\cdots\!91$$ p^{7} T^{8} + $$56\!\cdots\!70$$ p^{14} T^{9} + 1576054531620987017 p^{21} T^{10} + 5874996114796 p^{28} T^{11} + 1716640747 p^{35} T^{12} + 1454 p^{42} T^{13} + p^{49} T^{14} )^{2} $
	19	$ 1 - 6974011850 T^{2} + 24092658824990296867 T^{4} - $$55\!\cdots\!68$$ T^{6} + $$96\!\cdots\!09$$ T^{8} - $$13\!\cdots\!10$$ T^{10} + $$15\!\cdots\!79$$ T^{12} - $$15\!\cdots\!56$$ T^{14} + $$15\!\cdots\!79$$ p^{14} T^{16} - $$13\!\cdots\!10$$ p^{28} T^{18} + $$96\!\cdots\!09$$ p^{42} T^{20} - $$55\!\cdots\!68$$ p^{56} T^{22} + 24092658824990296867 p^{70} T^{24} - 6974011850 p^{84} T^{26} + p^{98} T^{28} $
	23	$ ( 1 + 71708 T + 8440179361 T^{2} + 617221190675032 T^{3} + 59565824725230322613 T^{4} + $$38\!\cdots\!00$$ T^{5} + $$26\!\cdots\!93$$ T^{6} + $$15\!\cdots\!24$$ T^{7} + $$26\!\cdots\!93$$ p^{7} T^{8} + $$38\!\cdots\!00$$ p^{14} T^{9} + 59565824725230322613 p^{21} T^{10} + 617221190675032 p^{28} T^{11} + 8440179361 p^{35} T^{12} + 71708 p^{42} T^{13} + p^{49} T^{14} )^{2} $
	29	$ 1 - 131972594954 T^{2} + $$90\!\cdots\!15$$ T^{4} - $$42\!\cdots\!72$$ T^{6} + $$15\!\cdots\!49$$ T^{8} - $$42\!\cdots\!06$$ T^{10} + $$96\!\cdots\!91$$ T^{12} - $$18\!\cdots\!28$$ T^{14} + $$96\!\cdots\!91$$ p^{14} T^{16} - $$42\!\cdots\!06$$ p^{28} T^{18} + $$15\!\cdots\!49$$ p^{42} T^{20} - $$42\!\cdots\!72$$ p^{56} T^{22} + $$90\!\cdots\!15$$ p^{70} T^{24} - 131972594954 p^{84} T^{26} + p^{98} T^{28} $
	31	$ ( 1 + 44734 T + 3351339091 p T^{2} + 1878217501397540 T^{3} + $$54\!\cdots\!97$$ T^{4} - $$16\!\cdots\!38$$ T^{5} + $$19\!\cdots\!65$$ T^{6} - $$22\!\cdots\!20$$ T^{7} + $$19\!\cdots\!65$$ p^{7} T^{8} - $$16\!\cdots\!38$$ p^{14} T^{9} + $$54\!\cdots\!97$$ p^{21} T^{10} + 1878217501397540 p^{28} T^{11} + 3351339091 p^{36} T^{12} + 44734 p^{42} T^{13} + p^{49} T^{14} )^{2} $
	37	$ 1 - 856038434294 T^{2} + $$35\!\cdots\!75$$ T^{4} - $$98\!\cdots\!16$$ T^{6} + $$19\!\cdots\!85$$ T^{8} - $$31\!\cdots\!86$$ T^{10} + $$39\!\cdots\!27$$ T^{12} - $$41\!\cdots\!48$$ T^{14} + $$39\!\cdots\!27$$ p^{14} T^{16} - $$31\!\cdots\!86$$ p^{28} T^{18} + $$19\!\cdots\!85$$ p^{42} T^{20} - $$98\!\cdots\!16$$ p^{56} T^{22} + $$35\!\cdots\!75$$ p^{70} T^{24} - 856038434294 p^{84} T^{26} + p^{98} T^{28} $
	41	$ ( 1 + 220642 T + 805010558083 T^{2} + 256070152586388116 T^{3} + $$34\!\cdots\!41$$ T^{4} + $$10\!\cdots\!18$$ T^{5} + $$99\!\cdots\!91$$ T^{6} + $$26\!\cdots\!36$$ T^{7} + $$99\!\cdots\!91$$ p^{7} T^{8} + $$10\!\cdots\!18$$ p^{14} T^{9} + $$34\!\cdots\!41$$ p^{21} T^{10} + 256070152586388116 p^{28} T^{11} + 805010558083 p^{35} T^{12} + 220642 p^{42} T^{13} + p^{49} T^{14} )^{2} $
	43	$ 1 - 1167136384250 T^{2} + $$84\!\cdots\!19$$ T^{4} - $$44\!\cdots\!04$$ T^{6} + $$19\!\cdots\!85$$ T^{8} - $$71\!\cdots\!86$$ T^{10} + $$23\!\cdots\!47$$ T^{12} - $$67\!\cdots\!20$$ T^{14} + $$23\!\cdots\!47$$ p^{14} T^{16} - $$71\!\cdots\!86$$ p^{28} T^{18} + $$19\!\cdots\!85$$ p^{42} T^{20} - $$44\!\cdots\!04$$ p^{56} T^{22} + $$84\!\cdots\!19$$ p^{70} T^{24} - 1167136384250 p^{84} T^{26} + p^{98} T^{28} $
	47	$ ( 1 + 528204 T + 1304181982841 T^{2} + 1396775026647992952 T^{3} + $$11\!\cdots\!01$$ T^{4} + $$11\!\cdots\!48$$ T^{5} + $$10\!\cdots\!97$$ T^{6} + $$58\!\cdots\!04$$ T^{7} + $$10\!\cdots\!97$$ p^{7} T^{8} + $$11\!\cdots\!48$$ p^{14} T^{9} + $$11\!\cdots\!01$$ p^{21} T^{10} + 1396775026647992952 p^{28} T^{11} + 1304181982841 p^{35} T^{12} + 528204 p^{42} T^{13} + p^{49} T^{14} )^{2} $
	53	$ 1 - 6871654175354 T^{2} + $$23\!\cdots\!55$$ T^{4} - $$56\!\cdots\!16$$ T^{6} + $$10\!\cdots\!25$$ T^{8} - $$16\!\cdots\!86$$ T^{10} + $$23\!\cdots\!07$$ T^{12} - $$30\!\cdots\!88$$ T^{14} + $$23\!\cdots\!07$$ p^{14} T^{16} - $$16\!\cdots\!86$$ p^{28} T^{18} + $$10\!\cdots\!25$$ p^{42} T^{20} - $$56\!\cdots\!16$$ p^{56} T^{22} + $$23\!\cdots\!55$$ p^{70} T^{24} - 6871654175354 p^{84} T^{26} + p^{98} T^{28} $
	59	$ 1 - 9783224696858 T^{2} + $$58\!\cdots\!71$$ T^{4} - $$24\!\cdots\!08$$ T^{6} + $$78\!\cdots\!05$$ T^{8} - $$34\!\cdots\!18$$ p T^{10} + $$47\!\cdots\!59$$ T^{12} - $$11\!\cdots\!36$$ T^{14} + $$47\!\cdots\!59$$ p^{14} T^{16} - $$34\!\cdots\!18$$ p^{29} T^{18} + $$78\!\cdots\!05$$ p^{42} T^{20} - $$24\!\cdots\!08$$ p^{56} T^{22} + $$58\!\cdots\!71$$ p^{70} T^{24} - 9783224696858 p^{84} T^{26} + p^{98} T^{28} $
	61	$ 1 - 26713863605222 T^{2} + $$33\!\cdots\!19$$ T^{4} - $$26\!\cdots\!04$$ T^{6} + $$14\!\cdots\!33$$ T^{8} - $$67\!\cdots\!58$$ T^{10} + $$25\!\cdots\!03$$ T^{12} - $$83\!\cdots\!44$$ T^{14} + $$25\!\cdots\!03$$ p^{14} T^{16} - $$67\!\cdots\!58$$ p^{28} T^{18} + $$14\!\cdots\!33$$ p^{42} T^{20} - $$26\!\cdots\!04$$ p^{56} T^{22} + $$33\!\cdots\!19$$ p^{70} T^{24} - 26713863605222 p^{84} T^{26} + p^{98} T^{28} $
	67	$ 1 - 42926594518442 T^{2} + $$97\!\cdots\!99$$ T^{4} - $$14\!\cdots\!60$$ T^{6} + $$17\!\cdots\!33$$ T^{8} - $$16\!\cdots\!82$$ T^{10} + $$12\!\cdots\!95$$ T^{12} - $$81\!\cdots\!52$$ T^{14} + $$12\!\cdots\!95$$ p^{14} T^{16} - $$16\!\cdots\!82$$ p^{28} T^{18} + $$17\!\cdots\!33$$ p^{42} T^{20} - $$14\!\cdots\!60$$ p^{56} T^{22} + $$97\!\cdots\!99$$ p^{70} T^{24} - 42926594518442 p^{84} T^{26} + p^{98} T^{28} $
	71	$ ( 1 - 2586348 T + 45775649603153 T^{2} - $$10\!\cdots\!00$$ T^{3} + $$10\!\cdots\!21$$ T^{4} - $$21\!\cdots\!72$$ T^{5} + $$14\!\cdots\!09$$ T^{6} - $$24\!\cdots\!88$$ T^{7} + $$14\!\cdots\!09$$ p^{7} T^{8} - $$21\!\cdots\!72$$ p^{14} T^{9} + $$10\!\cdots\!21$$ p^{21} T^{10} - $$10\!\cdots\!00$$ p^{28} T^{11} + 45775649603153 p^{35} T^{12} - 2586348 p^{42} T^{13} + p^{49} T^{14} )^{2} $
	73	$ ( 1 + 2723098 T + 38312704682563 T^{2} + 83515159987399400068 T^{3} + $$83\!\cdots\!09$$ T^{4} + $$14\!\cdots\!06$$ T^{5} + $$12\!\cdots\!59$$ T^{6} + $$19\!\cdots\!00$$ T^{7} + $$12\!\cdots\!59$$ p^{7} T^{8} + $$14\!\cdots\!06$$ p^{14} T^{9} + $$83\!\cdots\!09$$ p^{21} T^{10} + 83515159987399400068 p^{28} T^{11} + 38312704682563 p^{35} T^{12} + 2723098 p^{42} T^{13} + p^{49} T^{14} )^{2} $
	79	$ ( 1 + 7186774 T + 105650603277469 T^{2} + $$49\!\cdots\!68$$ T^{3} + $$43\!\cdots\!13$$ T^{4} + $$14\!\cdots\!10$$ T^{5} + $$10\!\cdots\!25$$ T^{6} + $$30\!\cdots\!36$$ T^{7} + $$10\!\cdots\!25$$ p^{7} T^{8} + $$14\!\cdots\!10$$ p^{14} T^{9} + $$43\!\cdots\!13$$ p^{21} T^{10} + $$49\!\cdots\!68$$ p^{28} T^{11} + 105650603277469 p^{35} T^{12} + 7186774 p^{42} T^{13} + p^{49} T^{14} )^{2} $
	83	$ 1 - 148527772994618 T^{2} + $$11\!\cdots\!55$$ T^{4} - $$65\!\cdots\!68$$ T^{6} + $$28\!\cdots\!13$$ T^{8} - $$10\!\cdots\!42$$ T^{10} + $$33\!\cdots\!55$$ T^{12} - $$95\!\cdots\!24$$ T^{14} + $$33\!\cdots\!55$$ p^{14} T^{16} - $$10\!\cdots\!42$$ p^{28} T^{18} + $$28\!\cdots\!13$$ p^{42} T^{20} - $$65\!\cdots\!68$$ p^{56} T^{22} + $$11\!\cdots\!55$$ p^{70} T^{24} - 148527772994618 p^{84} T^{26} + p^{98} T^{28} $
	89	$ ( 1 + 5976310 T + 88567149413395 T^{2} + $$34\!\cdots\!52$$ T^{3} + $$24\!\cdots\!97$$ T^{4} - $$58\!\cdots\!66$$ T^{5} - $$32\!\cdots\!17$$ T^{6} - $$90\!\cdots\!92$$ T^{7} - $$32\!\cdots\!17$$ p^{7} T^{8} - $$58\!\cdots\!66$$ p^{14} T^{9} + $$24\!\cdots\!97$$ p^{21} T^{10} + $$34\!\cdots\!52$$ p^{28} T^{11} + 88567149413395 p^{35} T^{12} + 5976310 p^{42} T^{13} + p^{49} T^{14} )^{2} $
	97	$ ( 1 - 66866 T + 239738062759867 T^{2} - 35467286602626108564 T^{3} + $$36\!\cdots\!25$$ T^{4} + $$10\!\cdots\!02$$ T^{5} + $$38\!\cdots\!03$$ T^{6} + $$18\!\cdots\!76$$ T^{7} + $$38\!\cdots\!03$$ p^{7} T^{8} + $$10\!\cdots\!02$$ p^{14} T^{9} + $$36\!\cdots\!25$$ p^{21} T^{10} - 35467286602626108564 p^{28} T^{11} + 239738062759867 p^{35} T^{12} - 66866 p^{42} T^{13} + p^{49} T^{14} )^{2} $
show more
show less

$L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{28} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}$

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−4.52204278225365084434455423160, −4.49135763595307966593538620898, −4.48033044127846278033921190528, −4.32934517007049713820822945505, −4.00446098614917634854327719226, −3.58640657830405338134316573654, −3.43479182876951135247255595750, −3.30199613959554828324084689747, −3.20152666435461835305238034415, −3.16466104258851714977611655734, −3.02827804385519465888236066080, −2.79094716188246887088337817399, −2.71488831380661857253336357820, −2.19162229467240421196006453914, −1.98325004766348208476662618392, −1.94126982389817703782124886133, −1.82755423495537508129532694725, −1.62880546423282170437994149029, −1.55093232005834510317091209817, −0.983594728582720254391568536215, −0.899366050337093792132738692411, −0.67861067296393488639081227159, −0.58389315225379174287216733197, −0.24793895676006740432313063532, −0.02189198608018449540391208970, 0.02189198608018449540391208970, 0.24793895676006740432313063532, 0.58389315225379174287216733197, 0.67861067296393488639081227159, 0.899366050337093792132738692411, 0.983594728582720254391568536215, 1.55093232005834510317091209817, 1.62880546423282170437994149029, 1.82755423495537508129532694725, 1.94126982389817703782124886133, 1.98325004766348208476662618392, 2.19162229467240421196006453914, 2.71488831380661857253336357820, 2.79094716188246887088337817399, 3.02827804385519465888236066080, 3.16466104258851714977611655734, 3.20152666435461835305238034415, 3.30199613959554828324084689747, 3.43479182876951135247255595750, 3.58640657830405338134316573654, 4.00446098614917634854327719226, 4.32934517007049713820822945505, 4.48033044127846278033921190528, 4.49135763595307966593538620898, 4.52204278225365084434455423160

Graph of the $Z$-function along the critical line

Plot not available for L-functions of degree greater than 10.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

\(L(4)\)	\(\approx\)	\(0.01742716315\)
\(L(\frac12)\)	\(\approx\)	\(0.01742716315\)
\(L(\frac{9}{2})\)		not available
\(L(1)\)		not available

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Origins

Origins of factors

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