Dirichlet series
| L(s) = 1 | − 5·3-s − 2·4-s − 5·5-s + 5·7-s − 3·8-s + 10·9-s − 11-s + 10·12-s + 13·13-s + 25·15-s − 2·16-s − 17-s + 10·19-s + 10·20-s − 25·21-s + 15·24-s + 21·25-s − 10·27-s − 10·28-s + 3·29-s − 13·31-s + 20·32-s + 5·33-s − 25·35-s − 20·36-s − 32·37-s − 65·39-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | − 2.88·3-s − 4-s − 2.23·5-s + 1.88·7-s − 1.06·8-s + 10/3·9-s − 0.301·11-s + 2.88·12-s + 3.60·13-s + 6.45·15-s − 1/2·16-s − 0.242·17-s + 2.29·19-s + 2.23·20-s − 5.45·21-s + 3.06·24-s + 21/5·25-s − 1.92·27-s − 1.88·28-s + 0.557·29-s − 2.33·31-s + 3.53·32-s + 0.870·33-s − 4.22·35-s − 3.33·36-s − 5.26·37-s − 10.4·39-s + ⋯ |
Functional equation
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{20} \cdot 7^{20} \cdot 11^{20}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{20} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{20} \cdot 7^{20} \cdot 11^{20}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{20} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Invariants
| Degree: | \(40\) |
| Conductor: | \(3^{20} \cdot 7^{20} \cdot 11^{20}\) |
| Sign: | $1$ |
| Analytic conductor: | \(207865.\) |
| Root analytic conductor: | \(1.35814\) |
| Motivic weight: | \(1\) |
| Rational: | yes |
| Arithmetic: | yes |
| Character: | Trivial |
| Primitive: | no |
| Self-dual: | yes |
| Analytic rank: | \(0\) |
| Selberg data: | \((40,\ 3^{20} \cdot 7^{20} \cdot 11^{20} ,\ ( \ : [1/2]^{20} ),\ 1 )\) |
Particular Values
| \(L(1)\) | \(\approx\) | \(0.5492464856\) |
| \(L(\frac12)\) | \(\approx\) | \(0.5492464856\) |
| \(L(\frac{3}{2})\) | not available | |
| \(L(1)\) | not available |
Euler product
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $F_p(T)$ | |
|---|---|---|
| bad | 3 | \( ( 1 + T + T^{2} + T^{3} + T^{4} )^{5} \) |
| 7 | \( ( 1 - T + T^{2} - T^{3} + T^{4} )^{5} \) | |
| 11 | \( 1 + T - T^{2} + 25 T^{3} + 246 T^{4} + 17 T^{5} - 807 T^{6} + 1153 T^{7} + 25424 T^{8} - 22607 T^{9} - 174843 T^{10} - 22607 p T^{11} + 25424 p^{2} T^{12} + 1153 p^{3} T^{13} - 807 p^{4} T^{14} + 17 p^{5} T^{15} + 246 p^{6} T^{16} + 25 p^{7} T^{17} - p^{8} T^{18} + p^{9} T^{19} + p^{10} T^{20} \) | |
| good | 2 | \( 1 + p T^{2} + 3 T^{3} + 3 p T^{4} - p^{3} T^{5} + 7 p T^{6} + 5 T^{7} + 5 p T^{8} + p T^{9} + 11 p^{4} T^{10} + 67 T^{11} + 85 p T^{12} + 95 p T^{13} + 255 p T^{14} - 495 T^{15} + 355 p T^{16} + 123 p^{2} T^{17} + 925 p T^{18} + 927 T^{19} + 8347 T^{20} + 927 p T^{21} + 925 p^{3} T^{22} + 123 p^{5} T^{23} + 355 p^{5} T^{24} - 495 p^{5} T^{25} + 255 p^{7} T^{26} + 95 p^{8} T^{27} + 85 p^{9} T^{28} + 67 p^{9} T^{29} + 11 p^{14} T^{30} + p^{12} T^{31} + 5 p^{13} T^{32} + 5 p^{13} T^{33} + 7 p^{15} T^{34} - p^{18} T^{35} + 3 p^{17} T^{36} + 3 p^{17} T^{37} + p^{19} T^{38} + p^{20} T^{40} \) |
| 5 | \( 1 + p T + 4 T^{2} - 32 T^{3} - 21 p T^{4} - 2 p T^{5} + 107 p T^{6} + 956 T^{7} - 452 T^{8} - 4251 T^{9} - 8164 T^{10} - 5041 T^{11} + 36064 T^{12} + 140288 T^{13} + 128201 T^{14} - 579422 T^{15} - 1696447 T^{16} - 345724 T^{17} + 4805888 T^{18} + 5640991 T^{19} - 3186474 T^{20} + 5640991 p T^{21} + 4805888 p^{2} T^{22} - 345724 p^{3} T^{23} - 1696447 p^{4} T^{24} - 579422 p^{5} T^{25} + 128201 p^{6} T^{26} + 140288 p^{7} T^{27} + 36064 p^{8} T^{28} - 5041 p^{9} T^{29} - 8164 p^{10} T^{30} - 4251 p^{11} T^{31} - 452 p^{12} T^{32} + 956 p^{13} T^{33} + 107 p^{15} T^{34} - 2 p^{16} T^{35} - 21 p^{17} T^{36} - 32 p^{17} T^{37} + 4 p^{18} T^{38} + p^{20} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 13 | \( 1 - p T + 66 T^{2} - 139 T^{3} + 51 T^{4} - 2859 T^{5} + 33752 T^{6} - 11035 p T^{7} + 202546 T^{8} + 17335 p T^{9} + 2636810 T^{10} - 2369303 p T^{11} + 94014139 T^{12} + 15525383 T^{13} - 616206028 T^{14} - 37673569 p T^{15} + 8014753706 T^{16} + 3731069987 T^{17} - 135009335494 T^{18} + 334766284429 T^{19} - 343304150125 T^{20} + 334766284429 p T^{21} - 135009335494 p^{2} T^{22} + 3731069987 p^{3} T^{23} + 8014753706 p^{4} T^{24} - 37673569 p^{6} T^{25} - 616206028 p^{6} T^{26} + 15525383 p^{7} T^{27} + 94014139 p^{8} T^{28} - 2369303 p^{10} T^{29} + 2636810 p^{10} T^{30} + 17335 p^{12} T^{31} + 202546 p^{12} T^{32} - 11035 p^{14} T^{33} + 33752 p^{14} T^{34} - 2859 p^{15} T^{35} + 51 p^{16} T^{36} - 139 p^{17} T^{37} + 66 p^{18} T^{38} - p^{20} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 17 | \( 1 + T - 2 p T^{2} - 41 T^{3} + 811 T^{4} - 3837 T^{5} - 18522 T^{6} + 139403 T^{7} + 389000 T^{8} - 3251903 T^{9} + 2685136 T^{10} + 59936211 T^{11} - 176272043 T^{12} - 1070308079 T^{13} + 4384181682 T^{14} + 6978997953 T^{15} - 68502447326 T^{16} - 33742794795 T^{17} + 1218398812778 T^{18} - 26954823101 p T^{19} - 15300717915965 T^{20} - 26954823101 p^{2} T^{21} + 1218398812778 p^{2} T^{22} - 33742794795 p^{3} T^{23} - 68502447326 p^{4} T^{24} + 6978997953 p^{5} T^{25} + 4384181682 p^{6} T^{26} - 1070308079 p^{7} T^{27} - 176272043 p^{8} T^{28} + 59936211 p^{9} T^{29} + 2685136 p^{10} T^{30} - 3251903 p^{11} T^{31} + 389000 p^{12} T^{32} + 139403 p^{13} T^{33} - 18522 p^{14} T^{34} - 3837 p^{15} T^{35} + 811 p^{16} T^{36} - 41 p^{17} T^{37} - 2 p^{19} T^{38} + p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 19 | \( 1 - 10 T - 2 T^{2} + 248 T^{3} + 82 T^{4} - 2032 T^{5} - 23994 T^{6} + 41732 T^{7} + 518146 T^{8} - 926242 T^{9} + 540084 T^{10} - 30787074 T^{11} + 50342382 T^{12} + 703180340 T^{13} - 2471883182 T^{14} - 3864155488 T^{15} - 21312045690 T^{16} + 241124991192 T^{17} + 917942443426 T^{18} - 4413260805162 T^{19} - 5762405945050 T^{20} - 4413260805162 p T^{21} + 917942443426 p^{2} T^{22} + 241124991192 p^{3} T^{23} - 21312045690 p^{4} T^{24} - 3864155488 p^{5} T^{25} - 2471883182 p^{6} T^{26} + 703180340 p^{7} T^{27} + 50342382 p^{8} T^{28} - 30787074 p^{9} T^{29} + 540084 p^{10} T^{30} - 926242 p^{11} T^{31} + 518146 p^{12} T^{32} + 41732 p^{13} T^{33} - 23994 p^{14} T^{34} - 2032 p^{15} T^{35} + 82 p^{16} T^{36} + 248 p^{17} T^{37} - 2 p^{18} T^{38} - 10 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 23 | \( ( 1 + 124 T^{2} + 38 T^{3} + 8330 T^{4} + 158 p T^{5} + 381506 T^{6} + 180342 T^{7} + 12965000 T^{8} + 5936040 T^{9} + 338330610 T^{10} + 5936040 p T^{11} + 12965000 p^{2} T^{12} + 180342 p^{3} T^{13} + 381506 p^{4} T^{14} + 158 p^{6} T^{15} + 8330 p^{6} T^{16} + 38 p^{7} T^{17} + 124 p^{8} T^{18} + p^{10} T^{20} )^{2} \) | |
| 29 | \( 1 - 3 T - 4 T^{2} + 59 T^{3} + 21 p T^{4} + 7469 T^{5} - 58340 T^{6} + 18675 T^{7} + 564354 T^{8} + 1565053 T^{9} - 1348916 T^{10} - 228651093 T^{11} + 603011151 T^{12} - 2322397715 T^{13} - 7665582012 T^{14} + 36331461243 T^{15} + 25732757304 p T^{16} - 576665139899 T^{17} - 30471253369428 T^{18} + 122834837258411 T^{19} + 929104458856239 T^{20} + 122834837258411 p T^{21} - 30471253369428 p^{2} T^{22} - 576665139899 p^{3} T^{23} + 25732757304 p^{5} T^{24} + 36331461243 p^{5} T^{25} - 7665582012 p^{6} T^{26} - 2322397715 p^{7} T^{27} + 603011151 p^{8} T^{28} - 228651093 p^{9} T^{29} - 1348916 p^{10} T^{30} + 1565053 p^{11} T^{31} + 564354 p^{12} T^{32} + 18675 p^{13} T^{33} - 58340 p^{14} T^{34} + 7469 p^{15} T^{35} + 21 p^{17} T^{36} + 59 p^{17} T^{37} - 4 p^{18} T^{38} - 3 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 31 | \( 1 + 13 T + 65 T^{2} + 146 T^{3} + 295 T^{4} + 2802 T^{5} + 48827 T^{6} + 252198 T^{7} + 448847 T^{8} + 5903225 T^{9} + 65860972 T^{10} + 114046885 T^{11} - 1198096047 T^{12} - 10361131234 T^{13} - 7489384555 T^{14} + 470405899010 T^{15} + 3347900754057 T^{16} + 6862384130018 T^{17} + 25638402034775 T^{18} + 239884734794937 T^{19} + 1493178408224822 T^{20} + 239884734794937 p T^{21} + 25638402034775 p^{2} T^{22} + 6862384130018 p^{3} T^{23} + 3347900754057 p^{4} T^{24} + 470405899010 p^{5} T^{25} - 7489384555 p^{6} T^{26} - 10361131234 p^{7} T^{27} - 1198096047 p^{8} T^{28} + 114046885 p^{9} T^{29} + 65860972 p^{10} T^{30} + 5903225 p^{11} T^{31} + 448847 p^{12} T^{32} + 252198 p^{13} T^{33} + 48827 p^{14} T^{34} + 2802 p^{15} T^{35} + 295 p^{16} T^{36} + 146 p^{17} T^{37} + 65 p^{18} T^{38} + 13 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 37 | \( 1 + 32 T + 496 T^{2} + 5340 T^{3} + 50712 T^{4} + 444144 T^{5} + 3184776 T^{6} + 17020156 T^{7} + 60430936 T^{8} - 66824016 T^{9} - 4566815524 T^{10} - 57414614544 T^{11} - 482483421256 T^{12} - 3283683956236 T^{13} - 19092317847912 T^{14} - 82953054964976 T^{15} - 130679609958264 T^{16} + 48397363553220 p T^{17} + 24993747942875904 T^{18} + 219578098429763712 T^{19} + 1506082500954951158 T^{20} + 219578098429763712 p T^{21} + 24993747942875904 p^{2} T^{22} + 48397363553220 p^{4} T^{23} - 130679609958264 p^{4} T^{24} - 82953054964976 p^{5} T^{25} - 19092317847912 p^{6} T^{26} - 3283683956236 p^{7} T^{27} - 482483421256 p^{8} T^{28} - 57414614544 p^{9} T^{29} - 4566815524 p^{10} T^{30} - 66824016 p^{11} T^{31} + 60430936 p^{12} T^{32} + 17020156 p^{13} T^{33} + 3184776 p^{14} T^{34} + 444144 p^{15} T^{35} + 50712 p^{16} T^{36} + 5340 p^{17} T^{37} + 496 p^{18} T^{38} + 32 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 41 | \( 1 + 3 T - 151 T^{2} + 283 T^{3} + 15260 T^{4} - 53807 T^{5} - 908059 T^{6} + 5105899 T^{7} + 41696524 T^{8} - 332390297 T^{9} - 1424132099 T^{10} + 18190782425 T^{11} + 13662607978 T^{12} - 883993384739 T^{13} + 2395186168445 T^{14} + 33386146780263 T^{15} - 238454984830174 T^{16} - 934346443615571 T^{17} + 13814720376087777 T^{18} + 13438189208809197 T^{19} - 619586511510882716 T^{20} + 13438189208809197 p T^{21} + 13814720376087777 p^{2} T^{22} - 934346443615571 p^{3} T^{23} - 238454984830174 p^{4} T^{24} + 33386146780263 p^{5} T^{25} + 2395186168445 p^{6} T^{26} - 883993384739 p^{7} T^{27} + 13662607978 p^{8} T^{28} + 18190782425 p^{9} T^{29} - 1424132099 p^{10} T^{30} - 332390297 p^{11} T^{31} + 41696524 p^{12} T^{32} + 5105899 p^{13} T^{33} - 908059 p^{14} T^{34} - 53807 p^{15} T^{35} + 15260 p^{16} T^{36} + 283 p^{17} T^{37} - 151 p^{18} T^{38} + 3 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 43 | \( ( 1 - 6 T + 312 T^{2} - 1828 T^{3} + 47319 T^{4} - 259736 T^{5} + 4576717 T^{6} - 22838020 T^{7} + 311402464 T^{8} - 1377461130 T^{9} + 15540959670 T^{10} - 1377461130 p T^{11} + 311402464 p^{2} T^{12} - 22838020 p^{3} T^{13} + 4576717 p^{4} T^{14} - 259736 p^{5} T^{15} + 47319 p^{6} T^{16} - 1828 p^{7} T^{17} + 312 p^{8} T^{18} - 6 p^{9} T^{19} + p^{10} T^{20} )^{2} \) | |
| 47 | \( 1 - 20 T + 3 p T^{2} - 502 T^{3} + 4037 T^{4} + 6218 T^{5} - 801001 T^{6} + 7197116 T^{7} - 33989974 T^{8} + 317744608 T^{9} - 1914149671 T^{10} - 9965865086 T^{11} + 157004029439 T^{12} - 867584843046 T^{13} + 9623990203403 T^{14} - 81333165828100 T^{15} + 137676757256356 T^{16} + 1184018410587624 T^{17} - 6791369921638187 T^{18} + 141773649130018030 T^{19} - 1649383233650553737 T^{20} + 141773649130018030 p T^{21} - 6791369921638187 p^{2} T^{22} + 1184018410587624 p^{3} T^{23} + 137676757256356 p^{4} T^{24} - 81333165828100 p^{5} T^{25} + 9623990203403 p^{6} T^{26} - 867584843046 p^{7} T^{27} + 157004029439 p^{8} T^{28} - 9965865086 p^{9} T^{29} - 1914149671 p^{10} T^{30} + 317744608 p^{11} T^{31} - 33989974 p^{12} T^{32} + 7197116 p^{13} T^{33} - 801001 p^{14} T^{34} + 6218 p^{15} T^{35} + 4037 p^{16} T^{36} - 502 p^{17} T^{37} + 3 p^{19} T^{38} - 20 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 53 | \( 1 - 3 T - 126 T^{2} + 1842 T^{3} - 51 T^{4} - 176024 T^{5} + 1687499 T^{6} + 693786 T^{7} - 129427770 T^{8} + 1030515651 T^{9} + 22821416 T^{10} - 58177807579 T^{11} + 439171427598 T^{12} - 484180552566 T^{13} - 15615841075935 T^{14} + 125664083280776 T^{15} - 350599946515409 T^{16} - 1684175373629766 T^{17} + 16682975693935818 T^{18} - 76739832358344117 T^{19} + 165299081934488990 T^{20} - 76739832358344117 p T^{21} + 16682975693935818 p^{2} T^{22} - 1684175373629766 p^{3} T^{23} - 350599946515409 p^{4} T^{24} + 125664083280776 p^{5} T^{25} - 15615841075935 p^{6} T^{26} - 484180552566 p^{7} T^{27} + 439171427598 p^{8} T^{28} - 58177807579 p^{9} T^{29} + 22821416 p^{10} T^{30} + 1030515651 p^{11} T^{31} - 129427770 p^{12} T^{32} + 693786 p^{13} T^{33} + 1687499 p^{14} T^{34} - 176024 p^{15} T^{35} - 51 p^{16} T^{36} + 1842 p^{17} T^{37} - 126 p^{18} T^{38} - 3 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 59 | \( 1 + 9 T - 11 T^{2} - 2009 T^{3} - 16566 T^{4} - 39875 T^{5} + 1481949 T^{6} + 16040319 T^{7} + 91259286 T^{8} - 482457503 T^{9} - 9939821477 T^{10} - 75582121635 T^{11} - 12007856396 T^{12} + 4148742606411 T^{13} + 36852203890145 T^{14} + 106193218742209 T^{15} - 1378906768809232 T^{16} - 14879013797272333 T^{17} - 71002723235317991 T^{18} + 551840607836296325 T^{19} + 6375429074335094320 T^{20} + 551840607836296325 p T^{21} - 71002723235317991 p^{2} T^{22} - 14879013797272333 p^{3} T^{23} - 1378906768809232 p^{4} T^{24} + 106193218742209 p^{5} T^{25} + 36852203890145 p^{6} T^{26} + 4148742606411 p^{7} T^{27} - 12007856396 p^{8} T^{28} - 75582121635 p^{9} T^{29} - 9939821477 p^{10} T^{30} - 482457503 p^{11} T^{31} + 91259286 p^{12} T^{32} + 16040319 p^{13} T^{33} + 1481949 p^{14} T^{34} - 39875 p^{15} T^{35} - 16566 p^{16} T^{36} - 2009 p^{17} T^{37} - 11 p^{18} T^{38} + 9 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 61 | \( 1 + 15 T - 90 T^{2} - 3165 T^{3} - 19585 T^{4} + 92683 T^{5} + 2977530 T^{6} + 30435495 T^{7} + 58060720 T^{8} - 42227945 p T^{9} - 32871179972 T^{10} - 119504505635 T^{11} + 1285823633985 T^{12} + 22572191661785 T^{13} + 150060548339790 T^{14} - 142916662288619 T^{15} - 12943544265704350 T^{16} - 115634960295586275 T^{17} - 240942316112795150 T^{18} + 4864605484258100025 T^{19} + 61052179162441039695 T^{20} + 4864605484258100025 p T^{21} - 240942316112795150 p^{2} T^{22} - 115634960295586275 p^{3} T^{23} - 12943544265704350 p^{4} T^{24} - 142916662288619 p^{5} T^{25} + 150060548339790 p^{6} T^{26} + 22572191661785 p^{7} T^{27} + 1285823633985 p^{8} T^{28} - 119504505635 p^{9} T^{29} - 32871179972 p^{10} T^{30} - 42227945 p^{12} T^{31} + 58060720 p^{12} T^{32} + 30435495 p^{13} T^{33} + 2977530 p^{14} T^{34} + 92683 p^{15} T^{35} - 19585 p^{16} T^{36} - 3165 p^{17} T^{37} - 90 p^{18} T^{38} + 15 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 67 | \( ( 1 - 38 T + 939 T^{2} - 16920 T^{3} + 253022 T^{4} - 3231648 T^{5} + 37034650 T^{6} - 384823180 T^{7} + 3720320353 T^{8} - 33446868814 T^{9} + 283134556406 T^{10} - 33446868814 p T^{11} + 3720320353 p^{2} T^{12} - 384823180 p^{3} T^{13} + 37034650 p^{4} T^{14} - 3231648 p^{5} T^{15} + 253022 p^{6} T^{16} - 16920 p^{7} T^{17} + 939 p^{8} T^{18} - 38 p^{9} T^{19} + p^{10} T^{20} )^{2} \) | |
| 71 | \( 1 - 37 T + 515 T^{2} - 3274 T^{3} + 13215 T^{4} - 211688 T^{5} + 4684917 T^{6} - 60912592 T^{7} + 467488647 T^{8} - 2980461565 T^{9} + 33268020472 T^{10} - 428318804705 T^{11} + 4339324633273 T^{12} - 35873672109364 T^{13} + 288523918504695 T^{14} - 2785853372108440 T^{15} + 26650571131092837 T^{16} - 220452230480408382 T^{17} + 1885088405364310445 T^{18} - 17288624106824488873 T^{19} + \)\(15\!\cdots\!82\)\( T^{20} - 17288624106824488873 p T^{21} + 1885088405364310445 p^{2} T^{22} - 220452230480408382 p^{3} T^{23} + 26650571131092837 p^{4} T^{24} - 2785853372108440 p^{5} T^{25} + 288523918504695 p^{6} T^{26} - 35873672109364 p^{7} T^{27} + 4339324633273 p^{8} T^{28} - 428318804705 p^{9} T^{29} + 33268020472 p^{10} T^{30} - 2980461565 p^{11} T^{31} + 467488647 p^{12} T^{32} - 60912592 p^{13} T^{33} + 4684917 p^{14} T^{34} - 211688 p^{15} T^{35} + 13215 p^{16} T^{36} - 3274 p^{17} T^{37} + 515 p^{18} T^{38} - 37 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 73 | \( 1 - 27 T + 117 T^{2} + 3825 T^{3} - 60386 T^{4} + 206645 T^{5} + 5076633 T^{6} - 88912135 T^{7} + 412271510 T^{8} + 5307403509 T^{9} - 94198639093 T^{10} + 498629925791 T^{11} + 2922251864844 T^{12} - 76647599821181 T^{13} + 554955524573989 T^{14} + 735710433225271 T^{15} - 49117193322293732 T^{16} + 443373919368750715 T^{17} - 1123922652740353551 T^{18} - 21964116604269227841 T^{19} + \)\(31\!\cdots\!04\)\( T^{20} - 21964116604269227841 p T^{21} - 1123922652740353551 p^{2} T^{22} + 443373919368750715 p^{3} T^{23} - 49117193322293732 p^{4} T^{24} + 735710433225271 p^{5} T^{25} + 554955524573989 p^{6} T^{26} - 76647599821181 p^{7} T^{27} + 2922251864844 p^{8} T^{28} + 498629925791 p^{9} T^{29} - 94198639093 p^{10} T^{30} + 5307403509 p^{11} T^{31} + 412271510 p^{12} T^{32} - 88912135 p^{13} T^{33} + 5076633 p^{14} T^{34} + 206645 p^{15} T^{35} - 60386 p^{16} T^{36} + 3825 p^{17} T^{37} + 117 p^{18} T^{38} - 27 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 79 | \( 1 - 5 T - 226 T^{2} + 1188 T^{3} + 28293 T^{4} - 182558 T^{5} - 2094253 T^{6} + 20887148 T^{7} + 66066202 T^{8} - 1685198093 T^{9} + 5203173736 T^{10} + 81171391019 T^{11} - 899452563978 T^{12} + 259180666124 T^{13} + 50685690960293 T^{14} - 453111325450158 T^{15} + 2532348314805923 T^{16} + 41547309775010276 T^{17} - 818375975431692878 T^{18} - 1321261704586397645 T^{19} + 85108949992387444270 T^{20} - 1321261704586397645 p T^{21} - 818375975431692878 p^{2} T^{22} + 41547309775010276 p^{3} T^{23} + 2532348314805923 p^{4} T^{24} - 453111325450158 p^{5} T^{25} + 50685690960293 p^{6} T^{26} + 259180666124 p^{7} T^{27} - 899452563978 p^{8} T^{28} + 81171391019 p^{9} T^{29} + 5203173736 p^{10} T^{30} - 1685198093 p^{11} T^{31} + 66066202 p^{12} T^{32} + 20887148 p^{13} T^{33} - 2094253 p^{14} T^{34} - 182558 p^{15} T^{35} + 28293 p^{16} T^{36} + 1188 p^{17} T^{37} - 226 p^{18} T^{38} - 5 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 83 | \( 1 + 42 T + 661 T^{2} + 3786 T^{3} - 19549 T^{4} - 561934 T^{5} - 5968953 T^{6} - 20177190 T^{7} + 432561126 T^{8} + 6143013970 T^{9} + 28916165545 T^{10} + 66576463426 T^{11} + 144701828969 T^{12} - 5596879899702 T^{13} - 23882904399413 T^{14} - 248862974645262 T^{15} - 21903508692713044 T^{16} - 235757216137931078 T^{17} + 483849794965596541 T^{18} + 23802972835548797594 T^{19} + \)\(24\!\cdots\!45\)\( T^{20} + 23802972835548797594 p T^{21} + 483849794965596541 p^{2} T^{22} - 235757216137931078 p^{3} T^{23} - 21903508692713044 p^{4} T^{24} - 248862974645262 p^{5} T^{25} - 23882904399413 p^{6} T^{26} - 5596879899702 p^{7} T^{27} + 144701828969 p^{8} T^{28} + 66576463426 p^{9} T^{29} + 28916165545 p^{10} T^{30} + 6143013970 p^{11} T^{31} + 432561126 p^{12} T^{32} - 20177190 p^{13} T^{33} - 5968953 p^{14} T^{34} - 561934 p^{15} T^{35} - 19549 p^{16} T^{36} + 3786 p^{17} T^{37} + 661 p^{18} T^{38} + 42 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 89 | \( ( 1 + 9 T + 640 T^{2} + 4050 T^{3} + 178355 T^{4} + 698876 T^{5} + 29313265 T^{6} + 51732294 T^{7} + 3369419368 T^{8} + 1036172651 T^{9} + 317703552166 T^{10} + 1036172651 p T^{11} + 3369419368 p^{2} T^{12} + 51732294 p^{3} T^{13} + 29313265 p^{4} T^{14} + 698876 p^{5} T^{15} + 178355 p^{6} T^{16} + 4050 p^{7} T^{17} + 640 p^{8} T^{18} + 9 p^{9} T^{19} + p^{10} T^{20} )^{2} \) | |
| 97 | \( 1 + 27 T - 146 T^{2} - 10565 T^{3} - 42323 T^{4} + 1720741 T^{5} + 15722390 T^{6} - 118678851 T^{7} - 2079209414 T^{8} - 3980410181 T^{9} + 86169204810 T^{10} + 1330688850015 T^{11} + 13895090921091 T^{12} - 18497220903723 T^{13} - 2497628718197930 T^{14} - 21619068182342995 T^{15} + 116376235825961792 T^{16} + 3142408121720289719 T^{17} + 13315354121489765710 T^{18} - \)\(14\!\cdots\!49\)\( T^{19} - \)\(24\!\cdots\!21\)\( T^{20} - \)\(14\!\cdots\!49\)\( p T^{21} + 13315354121489765710 p^{2} T^{22} + 3142408121720289719 p^{3} T^{23} + 116376235825961792 p^{4} T^{24} - 21619068182342995 p^{5} T^{25} - 2497628718197930 p^{6} T^{26} - 18497220903723 p^{7} T^{27} + 13895090921091 p^{8} T^{28} + 1330688850015 p^{9} T^{29} + 86169204810 p^{10} T^{30} - 3980410181 p^{11} T^{31} - 2079209414 p^{12} T^{32} - 118678851 p^{13} T^{33} + 15722390 p^{14} T^{34} + 1720741 p^{15} T^{35} - 42323 p^{16} T^{36} - 10565 p^{17} T^{37} - 146 p^{18} T^{38} + 27 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| show more | ||
| show less | ||
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{40} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−3.01861004936544629385048454703, −3.00304454966175892501691603821, −2.99936027525386509026171348800, −2.84286617326086480018842749357, −2.79474261131064137530859781915, −2.62820340770154867564354213734, −2.59047508505105749147923719062, −2.59029320353938008005655034576, −2.47636004739886167054100950170, −2.29709192346879545223094572797, −2.24488964203738058932447451798, −2.03873145263025525450799693367, −1.92449870108089327212593371953, −1.87691376263516869946749327048, −1.77770534822738487341868455946, −1.60501865781524480009267735357, −1.58130244778678269397917884719, −1.31832354572488906208429765563, −1.21863370719623559506071544362, −1.21318262706891756834934299029, −0.842098642116589492520257484617, −0.832891437684013252612664451843, −0.74671666645196102078407823082, −0.60371171088443339071375612764, −0.26632730924868451666558637247, 0.26632730924868451666558637247, 0.60371171088443339071375612764, 0.74671666645196102078407823082, 0.832891437684013252612664451843, 0.842098642116589492520257484617, 1.21318262706891756834934299029, 1.21863370719623559506071544362, 1.31832354572488906208429765563, 1.58130244778678269397917884719, 1.60501865781524480009267735357, 1.77770534822738487341868455946, 1.87691376263516869946749327048, 1.92449870108089327212593371953, 2.03873145263025525450799693367, 2.24488964203738058932447451798, 2.29709192346879545223094572797, 2.47636004739886167054100950170, 2.59029320353938008005655034576, 2.59047508505105749147923719062, 2.62820340770154867564354213734, 2.79474261131064137530859781915, 2.84286617326086480018842749357, 2.99936027525386509026171348800, 3.00304454966175892501691603821, 3.01861004936544629385048454703
Graph of the $Z$-function along the critical line
Plot not available for L-functions of degree greater than 10.