Dirichlet series
| L(s) = 1 | − 256·2-s − 1.74e3·3-s − 8.19e4·4-s − 2.04e5·5-s + 4.46e5·6-s − 5.71e6·7-s + 3.28e7·8-s − 6.82e7·9-s + 5.23e7·10-s − 8.76e7·11-s + 1.42e8·12-s − 2.92e8·13-s + 1.46e9·14-s + 3.56e8·15-s + 1.12e9·16-s − 2.46e9·17-s + 1.74e10·18-s + 1.75e8·19-s + 1.67e10·20-s + 9.97e9·21-s + 2.24e10·22-s + 4.08e10·23-s − 5.72e10·24-s − 1.51e11·25-s + 7.48e10·26-s + 7.85e10·27-s + 4.68e11·28-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | − 1.41·2-s − 0.460·3-s − 5/2·4-s − 1.17·5-s + 0.651·6-s − 2.62·7-s + 5.52·8-s − 4.75·9-s + 1.65·10-s − 1.35·11-s + 1.15·12-s − 1.29·13-s + 3.71·14-s + 0.539·15-s + 1.04·16-s − 1.45·17-s + 6.72·18-s + 0.0449·19-s + 2.92·20-s + 1.20·21-s + 1.91·22-s + 2.50·23-s − 2.54·24-s − 4.98·25-s + 1.82·26-s + 1.44·27-s + 6.55·28-s + ⋯ |
Functional equation
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(23^{12}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{12} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(16-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(23^{12}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+15/2)^{12} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Invariants
| Degree: | \(24\) |
| Conductor: | \(23^{12}\) |
| Sign: | $1$ |
| Analytic conductor: | \(1.56165\times 10^{18}\) |
| Root analytic conductor: | \(5.72883\) |
| Motivic weight: | \(15\) |
| Rational: | yes |
| Arithmetic: | yes |
| Character: | Trivial |
| Primitive: | no |
| Self-dual: | yes |
| Analytic rank: | \(12\) |
| Selberg data: | \((24,\ 23^{12} ,\ ( \ : [15/2]^{12} ),\ 1 )\) |
Particular Values
| \(L(8)\) | \(=\) | \(0\) |
| \(L(\frac12)\) | \(=\) | \(0\) |
| \(L(\frac{17}{2})\) | not available | |
| \(L(1)\) | not available |
Euler product
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $F_p(T)$ | |
|---|---|---|
| bad | 23 | \( ( 1 - p^{7} T )^{12} \) |
| good | 2 | \( 1 + p^{8} T + 9 p^{14} T^{2} + 809971 p^{5} T^{3} + 574424081 p^{4} T^{4} + 20395757093 p^{6} T^{5} + 96012966473 p^{12} T^{6} + 12493418870101 p^{12} T^{7} + 231597570732397 p^{16} T^{8} + 7567040377485719 p^{18} T^{9} + 18054591919734369 p^{25} T^{10} + 4755478667125870751 p^{24} T^{11} + 41424879184817351167 p^{29} T^{12} + 4755478667125870751 p^{39} T^{13} + 18054591919734369 p^{55} T^{14} + 7567040377485719 p^{63} T^{15} + 231597570732397 p^{76} T^{16} + 12493418870101 p^{87} T^{17} + 96012966473 p^{102} T^{18} + 20395757093 p^{111} T^{19} + 574424081 p^{124} T^{20} + 809971 p^{140} T^{21} + 9 p^{164} T^{22} + p^{173} T^{23} + p^{180} T^{24} \) |
| 3 | \( 1 + 1745 T + 23761928 p T^{2} + 18323847289 p^{2} T^{3} + 100800721848668 p^{3} T^{4} + 87810664665940057 p^{4} T^{5} + \)\(30\!\cdots\!68\)\( p^{5} T^{6} + \)\(28\!\cdots\!81\)\( p^{6} T^{7} + \)\(83\!\cdots\!44\)\( p^{9} T^{8} + \)\(93\!\cdots\!37\)\( p^{14} T^{9} + \)\(70\!\cdots\!04\)\( p^{16} T^{10} + \)\(20\!\cdots\!89\)\( p^{18} T^{11} + \)\(44\!\cdots\!50\)\( p^{21} T^{12} + \)\(20\!\cdots\!89\)\( p^{33} T^{13} + \)\(70\!\cdots\!04\)\( p^{46} T^{14} + \)\(93\!\cdots\!37\)\( p^{59} T^{15} + \)\(83\!\cdots\!44\)\( p^{69} T^{16} + \)\(28\!\cdots\!81\)\( p^{81} T^{17} + \)\(30\!\cdots\!68\)\( p^{95} T^{18} + 87810664665940057 p^{109} T^{19} + 100800721848668 p^{123} T^{20} + 18323847289 p^{137} T^{21} + 23761928 p^{151} T^{22} + 1745 p^{165} T^{23} + p^{180} T^{24} \) | |
| 5 | \( 1 + 204476 T + 193789073396 T^{2} + 25881719783169892 T^{3} + \)\(16\!\cdots\!06\)\( T^{4} + \)\(44\!\cdots\!56\)\( p^{2} T^{5} + \)\(31\!\cdots\!64\)\( p^{2} T^{6} - \)\(28\!\cdots\!64\)\( p^{4} T^{7} + \)\(34\!\cdots\!31\)\( p^{4} T^{8} - \)\(28\!\cdots\!28\)\( p^{6} T^{9} + \)\(18\!\cdots\!44\)\( p^{6} T^{10} - \)\(25\!\cdots\!04\)\( p^{10} T^{11} + \)\(49\!\cdots\!96\)\( p^{8} T^{12} - \)\(25\!\cdots\!04\)\( p^{25} T^{13} + \)\(18\!\cdots\!44\)\( p^{36} T^{14} - \)\(28\!\cdots\!28\)\( p^{51} T^{15} + \)\(34\!\cdots\!31\)\( p^{64} T^{16} - \)\(28\!\cdots\!64\)\( p^{79} T^{17} + \)\(31\!\cdots\!64\)\( p^{92} T^{18} + \)\(44\!\cdots\!56\)\( p^{107} T^{19} + \)\(16\!\cdots\!06\)\( p^{120} T^{20} + 25881719783169892 p^{135} T^{21} + 193789073396 p^{150} T^{22} + 204476 p^{165} T^{23} + p^{180} T^{24} \) | |
| 7 | \( 1 + 5717328 T + 6869811269840 p T^{2} + 4416612292882859712 p^{2} T^{3} + \)\(31\!\cdots\!94\)\( p^{3} T^{4} + \)\(16\!\cdots\!08\)\( p^{4} T^{5} + \)\(92\!\cdots\!72\)\( p^{5} T^{6} + \)\(40\!\cdots\!92\)\( p^{6} T^{7} + \)\(18\!\cdots\!73\)\( p^{7} T^{8} + \)\(70\!\cdots\!20\)\( p^{8} T^{9} + \)\(27\!\cdots\!24\)\( p^{9} T^{10} + \)\(90\!\cdots\!16\)\( p^{10} T^{11} + \)\(30\!\cdots\!64\)\( p^{11} T^{12} + \)\(90\!\cdots\!16\)\( p^{25} T^{13} + \)\(27\!\cdots\!24\)\( p^{39} T^{14} + \)\(70\!\cdots\!20\)\( p^{53} T^{15} + \)\(18\!\cdots\!73\)\( p^{67} T^{16} + \)\(40\!\cdots\!92\)\( p^{81} T^{17} + \)\(92\!\cdots\!72\)\( p^{95} T^{18} + \)\(16\!\cdots\!08\)\( p^{109} T^{19} + \)\(31\!\cdots\!94\)\( p^{123} T^{20} + 4416612292882859712 p^{137} T^{21} + 6869811269840 p^{151} T^{22} + 5717328 p^{165} T^{23} + p^{180} T^{24} \) | |
| 11 | \( 1 + 87636002 T + 26803395748891268 T^{2} + \)\(17\!\cdots\!18\)\( T^{3} + \)\(35\!\cdots\!82\)\( T^{4} + \)\(20\!\cdots\!06\)\( T^{5} + \)\(32\!\cdots\!68\)\( T^{6} + \)\(15\!\cdots\!02\)\( p T^{7} + \)\(16\!\cdots\!33\)\( p^{3} T^{8} + \)\(78\!\cdots\!48\)\( p^{3} T^{9} + \)\(78\!\cdots\!48\)\( p^{5} T^{10} + \)\(33\!\cdots\!20\)\( p^{5} T^{11} + \)\(32\!\cdots\!36\)\( p^{6} T^{12} + \)\(33\!\cdots\!20\)\( p^{20} T^{13} + \)\(78\!\cdots\!48\)\( p^{35} T^{14} + \)\(78\!\cdots\!48\)\( p^{48} T^{15} + \)\(16\!\cdots\!33\)\( p^{63} T^{16} + \)\(15\!\cdots\!02\)\( p^{76} T^{17} + \)\(32\!\cdots\!68\)\( p^{90} T^{18} + \)\(20\!\cdots\!06\)\( p^{105} T^{19} + \)\(35\!\cdots\!82\)\( p^{120} T^{20} + \)\(17\!\cdots\!18\)\( p^{135} T^{21} + 26803395748891268 p^{150} T^{22} + 87636002 p^{165} T^{23} + p^{180} T^{24} \) | |
| 13 | \( 1 + 292496079 T + 32186261025039362 p T^{2} + \)\(68\!\cdots\!57\)\( p^{2} T^{3} + \)\(39\!\cdots\!52\)\( p^{3} T^{4} + \)\(77\!\cdots\!39\)\( p^{4} T^{5} + \)\(31\!\cdots\!58\)\( p^{5} T^{6} + \)\(56\!\cdots\!09\)\( p^{6} T^{7} + \)\(18\!\cdots\!00\)\( p^{7} T^{8} + \)\(29\!\cdots\!39\)\( p^{8} T^{9} + \)\(63\!\cdots\!82\)\( p^{10} T^{10} + \)\(91\!\cdots\!85\)\( p^{11} T^{11} + \)\(28\!\cdots\!10\)\( p^{11} T^{12} + \)\(91\!\cdots\!85\)\( p^{26} T^{13} + \)\(63\!\cdots\!82\)\( p^{40} T^{14} + \)\(29\!\cdots\!39\)\( p^{53} T^{15} + \)\(18\!\cdots\!00\)\( p^{67} T^{16} + \)\(56\!\cdots\!09\)\( p^{81} T^{17} + \)\(31\!\cdots\!58\)\( p^{95} T^{18} + \)\(77\!\cdots\!39\)\( p^{109} T^{19} + \)\(39\!\cdots\!52\)\( p^{123} T^{20} + \)\(68\!\cdots\!57\)\( p^{137} T^{21} + 32186261025039362 p^{151} T^{22} + 292496079 p^{165} T^{23} + p^{180} T^{24} \) | |
| 17 | \( 1 + 2462528162 T + 12799349766934480708 T^{2} + \)\(19\!\cdots\!58\)\( T^{3} + \)\(58\!\cdots\!46\)\( T^{4} + \)\(32\!\cdots\!02\)\( p T^{5} + \)\(15\!\cdots\!08\)\( T^{6} + \)\(11\!\cdots\!22\)\( T^{7} + \)\(51\!\cdots\!35\)\( T^{8} + \)\(52\!\cdots\!92\)\( T^{9} + \)\(22\!\cdots\!32\)\( T^{10} + \)\(25\!\cdots\!48\)\( T^{11} + \)\(80\!\cdots\!32\)\( T^{12} + \)\(25\!\cdots\!48\)\( p^{15} T^{13} + \)\(22\!\cdots\!32\)\( p^{30} T^{14} + \)\(52\!\cdots\!92\)\( p^{45} T^{15} + \)\(51\!\cdots\!35\)\( p^{60} T^{16} + \)\(11\!\cdots\!22\)\( p^{75} T^{17} + \)\(15\!\cdots\!08\)\( p^{90} T^{18} + \)\(32\!\cdots\!02\)\( p^{106} T^{19} + \)\(58\!\cdots\!46\)\( p^{120} T^{20} + \)\(19\!\cdots\!58\)\( p^{135} T^{21} + 12799349766934480708 p^{150} T^{22} + 2462528162 p^{165} T^{23} + p^{180} T^{24} \) | |
| 19 | \( 1 - 175321758 T + \)\(10\!\cdots\!64\)\( T^{2} - \)\(88\!\cdots\!94\)\( T^{3} + \)\(51\!\cdots\!26\)\( T^{4} - \)\(79\!\cdots\!74\)\( T^{5} + \)\(17\!\cdots\!08\)\( T^{6} - \)\(35\!\cdots\!06\)\( T^{7} + \)\(43\!\cdots\!55\)\( T^{8} - \)\(10\!\cdots\!48\)\( T^{9} + \)\(87\!\cdots\!64\)\( T^{10} - \)\(20\!\cdots\!24\)\( T^{11} + \)\(14\!\cdots\!64\)\( T^{12} - \)\(20\!\cdots\!24\)\( p^{15} T^{13} + \)\(87\!\cdots\!64\)\( p^{30} T^{14} - \)\(10\!\cdots\!48\)\( p^{45} T^{15} + \)\(43\!\cdots\!55\)\( p^{60} T^{16} - \)\(35\!\cdots\!06\)\( p^{75} T^{17} + \)\(17\!\cdots\!08\)\( p^{90} T^{18} - \)\(79\!\cdots\!74\)\( p^{105} T^{19} + \)\(51\!\cdots\!26\)\( p^{120} T^{20} - \)\(88\!\cdots\!94\)\( p^{135} T^{21} + \)\(10\!\cdots\!64\)\( p^{150} T^{22} - 175321758 p^{165} T^{23} + p^{180} T^{24} \) | |
| 29 | \( 1 + 164667697193 T + \)\(50\!\cdots\!34\)\( T^{2} + \)\(56\!\cdots\!87\)\( T^{3} + \)\(10\!\cdots\!84\)\( T^{4} + \)\(82\!\cdots\!17\)\( T^{5} + \)\(12\!\cdots\!66\)\( T^{6} + \)\(59\!\cdots\!43\)\( T^{7} + \)\(32\!\cdots\!76\)\( p T^{8} + \)\(20\!\cdots\!57\)\( T^{9} + \)\(44\!\cdots\!10\)\( T^{10} - \)\(37\!\cdots\!61\)\( T^{11} + \)\(22\!\cdots\!02\)\( T^{12} - \)\(37\!\cdots\!61\)\( p^{15} T^{13} + \)\(44\!\cdots\!10\)\( p^{30} T^{14} + \)\(20\!\cdots\!57\)\( p^{45} T^{15} + \)\(32\!\cdots\!76\)\( p^{61} T^{16} + \)\(59\!\cdots\!43\)\( p^{75} T^{17} + \)\(12\!\cdots\!66\)\( p^{90} T^{18} + \)\(82\!\cdots\!17\)\( p^{105} T^{19} + \)\(10\!\cdots\!84\)\( p^{120} T^{20} + \)\(56\!\cdots\!87\)\( p^{135} T^{21} + \)\(50\!\cdots\!34\)\( p^{150} T^{22} + 164667697193 p^{165} T^{23} + p^{180} T^{24} \) | |
| 31 | \( 1 - 20222384151 T + \)\(12\!\cdots\!76\)\( T^{2} - \)\(71\!\cdots\!11\)\( T^{3} + \)\(88\!\cdots\!52\)\( T^{4} - \)\(69\!\cdots\!99\)\( T^{5} + \)\(44\!\cdots\!36\)\( T^{6} - \)\(39\!\cdots\!79\)\( T^{7} + \)\(17\!\cdots\!60\)\( T^{8} - \)\(15\!\cdots\!79\)\( T^{9} + \)\(55\!\cdots\!68\)\( T^{10} - \)\(48\!\cdots\!91\)\( T^{11} + \)\(46\!\cdots\!74\)\( p T^{12} - \)\(48\!\cdots\!91\)\( p^{15} T^{13} + \)\(55\!\cdots\!68\)\( p^{30} T^{14} - \)\(15\!\cdots\!79\)\( p^{45} T^{15} + \)\(17\!\cdots\!60\)\( p^{60} T^{16} - \)\(39\!\cdots\!79\)\( p^{75} T^{17} + \)\(44\!\cdots\!36\)\( p^{90} T^{18} - \)\(69\!\cdots\!99\)\( p^{105} T^{19} + \)\(88\!\cdots\!52\)\( p^{120} T^{20} - \)\(71\!\cdots\!11\)\( p^{135} T^{21} + \)\(12\!\cdots\!76\)\( p^{150} T^{22} - 20222384151 p^{165} T^{23} + p^{180} T^{24} \) | |
| 37 | \( 1 + 869669414912 T + \)\(26\!\cdots\!44\)\( T^{2} + \)\(18\!\cdots\!12\)\( T^{3} + \)\(33\!\cdots\!58\)\( T^{4} + \)\(18\!\cdots\!36\)\( T^{5} + \)\(26\!\cdots\!24\)\( T^{6} + \)\(12\!\cdots\!88\)\( T^{7} + \)\(14\!\cdots\!39\)\( T^{8} + \)\(60\!\cdots\!68\)\( T^{9} + \)\(66\!\cdots\!00\)\( T^{10} + \)\(24\!\cdots\!92\)\( T^{11} + \)\(24\!\cdots\!28\)\( T^{12} + \)\(24\!\cdots\!92\)\( p^{15} T^{13} + \)\(66\!\cdots\!00\)\( p^{30} T^{14} + \)\(60\!\cdots\!68\)\( p^{45} T^{15} + \)\(14\!\cdots\!39\)\( p^{60} T^{16} + \)\(12\!\cdots\!88\)\( p^{75} T^{17} + \)\(26\!\cdots\!24\)\( p^{90} T^{18} + \)\(18\!\cdots\!36\)\( p^{105} T^{19} + \)\(33\!\cdots\!58\)\( p^{120} T^{20} + \)\(18\!\cdots\!12\)\( p^{135} T^{21} + \)\(26\!\cdots\!44\)\( p^{150} T^{22} + 869669414912 p^{165} T^{23} + p^{180} T^{24} \) | |
| 41 | \( 1 + 7510147709883 T + \)\(41\!\cdots\!90\)\( T^{2} + \)\(16\!\cdots\!13\)\( T^{3} + \)\(53\!\cdots\!72\)\( T^{4} + \)\(14\!\cdots\!55\)\( T^{5} + \)\(88\!\cdots\!22\)\( p T^{6} + \)\(78\!\cdots\!65\)\( T^{7} + \)\(15\!\cdots\!88\)\( T^{8} + \)\(26\!\cdots\!27\)\( T^{9} + \)\(40\!\cdots\!98\)\( T^{10} + \)\(58\!\cdots\!97\)\( T^{11} + \)\(76\!\cdots\!58\)\( T^{12} + \)\(58\!\cdots\!97\)\( p^{15} T^{13} + \)\(40\!\cdots\!98\)\( p^{30} T^{14} + \)\(26\!\cdots\!27\)\( p^{45} T^{15} + \)\(15\!\cdots\!88\)\( p^{60} T^{16} + \)\(78\!\cdots\!65\)\( p^{75} T^{17} + \)\(88\!\cdots\!22\)\( p^{91} T^{18} + \)\(14\!\cdots\!55\)\( p^{105} T^{19} + \)\(53\!\cdots\!72\)\( p^{120} T^{20} + \)\(16\!\cdots\!13\)\( p^{135} T^{21} + \)\(41\!\cdots\!90\)\( p^{150} T^{22} + 7510147709883 p^{165} T^{23} + p^{180} T^{24} \) | |
| 43 | \( 1 + 5682603487020 T + \)\(29\!\cdots\!24\)\( T^{2} + \)\(12\!\cdots\!40\)\( T^{3} + \)\(42\!\cdots\!98\)\( T^{4} + \)\(13\!\cdots\!16\)\( T^{5} + \)\(38\!\cdots\!04\)\( T^{6} + \)\(10\!\cdots\!92\)\( T^{7} + \)\(24\!\cdots\!55\)\( T^{8} + \)\(54\!\cdots\!76\)\( T^{9} + \)\(11\!\cdots\!48\)\( T^{10} + \)\(22\!\cdots\!40\)\( T^{11} + \)\(40\!\cdots\!96\)\( T^{12} + \)\(22\!\cdots\!40\)\( p^{15} T^{13} + \)\(11\!\cdots\!48\)\( p^{30} T^{14} + \)\(54\!\cdots\!76\)\( p^{45} T^{15} + \)\(24\!\cdots\!55\)\( p^{60} T^{16} + \)\(10\!\cdots\!92\)\( p^{75} T^{17} + \)\(38\!\cdots\!04\)\( p^{90} T^{18} + \)\(13\!\cdots\!16\)\( p^{105} T^{19} + \)\(42\!\cdots\!98\)\( p^{120} T^{20} + \)\(12\!\cdots\!40\)\( p^{135} T^{21} + \)\(29\!\cdots\!24\)\( p^{150} T^{22} + 5682603487020 p^{165} T^{23} + p^{180} T^{24} \) | |
| 47 | \( 1 + 5828073094301 T + \)\(10\!\cdots\!20\)\( T^{2} + \)\(48\!\cdots\!53\)\( T^{3} + \)\(50\!\cdots\!52\)\( T^{4} + \)\(19\!\cdots\!29\)\( T^{5} + \)\(15\!\cdots\!52\)\( T^{6} + \)\(50\!\cdots\!05\)\( T^{7} + \)\(33\!\cdots\!92\)\( T^{8} + \)\(95\!\cdots\!49\)\( T^{9} + \)\(56\!\cdots\!76\)\( T^{10} + \)\(14\!\cdots\!33\)\( T^{11} + \)\(75\!\cdots\!06\)\( T^{12} + \)\(14\!\cdots\!33\)\( p^{15} T^{13} + \)\(56\!\cdots\!76\)\( p^{30} T^{14} + \)\(95\!\cdots\!49\)\( p^{45} T^{15} + \)\(33\!\cdots\!92\)\( p^{60} T^{16} + \)\(50\!\cdots\!05\)\( p^{75} T^{17} + \)\(15\!\cdots\!52\)\( p^{90} T^{18} + \)\(19\!\cdots\!29\)\( p^{105} T^{19} + \)\(50\!\cdots\!52\)\( p^{120} T^{20} + \)\(48\!\cdots\!53\)\( p^{135} T^{21} + \)\(10\!\cdots\!20\)\( p^{150} T^{22} + 5828073094301 p^{165} T^{23} + p^{180} T^{24} \) | |
| 53 | \( 1 - 1452974784324 T + \)\(45\!\cdots\!12\)\( T^{2} - \)\(75\!\cdots\!36\)\( T^{3} + \)\(10\!\cdots\!98\)\( T^{4} + \)\(71\!\cdots\!88\)\( T^{5} + \)\(17\!\cdots\!72\)\( T^{6} + \)\(19\!\cdots\!28\)\( T^{7} + \)\(21\!\cdots\!99\)\( T^{8} + \)\(27\!\cdots\!56\)\( T^{9} + \)\(20\!\cdots\!20\)\( T^{10} + \)\(27\!\cdots\!80\)\( T^{11} + \)\(16\!\cdots\!60\)\( T^{12} + \)\(27\!\cdots\!80\)\( p^{15} T^{13} + \)\(20\!\cdots\!20\)\( p^{30} T^{14} + \)\(27\!\cdots\!56\)\( p^{45} T^{15} + \)\(21\!\cdots\!99\)\( p^{60} T^{16} + \)\(19\!\cdots\!28\)\( p^{75} T^{17} + \)\(17\!\cdots\!72\)\( p^{90} T^{18} + \)\(71\!\cdots\!88\)\( p^{105} T^{19} + \)\(10\!\cdots\!98\)\( p^{120} T^{20} - \)\(75\!\cdots\!36\)\( p^{135} T^{21} + \)\(45\!\cdots\!12\)\( p^{150} T^{22} - 1452974784324 p^{165} T^{23} + p^{180} T^{24} \) | |
| 59 | \( 1 + 11503084624084 T + \)\(24\!\cdots\!80\)\( T^{2} + \)\(17\!\cdots\!92\)\( T^{3} + \)\(30\!\cdots\!02\)\( T^{4} + \)\(14\!\cdots\!92\)\( T^{5} + \)\(25\!\cdots\!68\)\( T^{6} + \)\(87\!\cdots\!52\)\( T^{7} + \)\(16\!\cdots\!07\)\( T^{8} + \)\(40\!\cdots\!40\)\( T^{9} + \)\(83\!\cdots\!08\)\( T^{10} + \)\(16\!\cdots\!84\)\( T^{11} + \)\(34\!\cdots\!88\)\( T^{12} + \)\(16\!\cdots\!84\)\( p^{15} T^{13} + \)\(83\!\cdots\!08\)\( p^{30} T^{14} + \)\(40\!\cdots\!40\)\( p^{45} T^{15} + \)\(16\!\cdots\!07\)\( p^{60} T^{16} + \)\(87\!\cdots\!52\)\( p^{75} T^{17} + \)\(25\!\cdots\!68\)\( p^{90} T^{18} + \)\(14\!\cdots\!92\)\( p^{105} T^{19} + \)\(30\!\cdots\!02\)\( p^{120} T^{20} + \)\(17\!\cdots\!92\)\( p^{135} T^{21} + \)\(24\!\cdots\!80\)\( p^{150} T^{22} + 11503084624084 p^{165} T^{23} + p^{180} T^{24} \) | |
| 61 | \( 1 + 23587566667200 T + \)\(46\!\cdots\!36\)\( T^{2} + \)\(86\!\cdots\!80\)\( T^{3} + \)\(10\!\cdots\!22\)\( T^{4} + \)\(15\!\cdots\!64\)\( T^{5} + \)\(14\!\cdots\!68\)\( T^{6} + \)\(16\!\cdots\!08\)\( T^{7} + \)\(15\!\cdots\!43\)\( T^{8} + \)\(13\!\cdots\!64\)\( T^{9} + \)\(12\!\cdots\!16\)\( T^{10} + \)\(89\!\cdots\!76\)\( T^{11} + \)\(82\!\cdots\!44\)\( T^{12} + \)\(89\!\cdots\!76\)\( p^{15} T^{13} + \)\(12\!\cdots\!16\)\( p^{30} T^{14} + \)\(13\!\cdots\!64\)\( p^{45} T^{15} + \)\(15\!\cdots\!43\)\( p^{60} T^{16} + \)\(16\!\cdots\!08\)\( p^{75} T^{17} + \)\(14\!\cdots\!68\)\( p^{90} T^{18} + \)\(15\!\cdots\!64\)\( p^{105} T^{19} + \)\(10\!\cdots\!22\)\( p^{120} T^{20} + \)\(86\!\cdots\!80\)\( p^{135} T^{21} + \)\(46\!\cdots\!36\)\( p^{150} T^{22} + 23587566667200 p^{165} T^{23} + p^{180} T^{24} \) | |
| 67 | \( 1 - 61525019345122 T + \)\(19\!\cdots\!76\)\( T^{2} - \)\(11\!\cdots\!26\)\( T^{3} + \)\(17\!\cdots\!82\)\( T^{4} - \)\(10\!\cdots\!94\)\( T^{5} + \)\(10\!\cdots\!60\)\( T^{6} - \)\(63\!\cdots\!26\)\( T^{7} + \)\(47\!\cdots\!07\)\( T^{8} - \)\(27\!\cdots\!00\)\( T^{9} + \)\(16\!\cdots\!60\)\( T^{10} - \)\(86\!\cdots\!36\)\( T^{11} + \)\(45\!\cdots\!20\)\( T^{12} - \)\(86\!\cdots\!36\)\( p^{15} T^{13} + \)\(16\!\cdots\!60\)\( p^{30} T^{14} - \)\(27\!\cdots\!00\)\( p^{45} T^{15} + \)\(47\!\cdots\!07\)\( p^{60} T^{16} - \)\(63\!\cdots\!26\)\( p^{75} T^{17} + \)\(10\!\cdots\!60\)\( p^{90} T^{18} - \)\(10\!\cdots\!94\)\( p^{105} T^{19} + \)\(17\!\cdots\!82\)\( p^{120} T^{20} - \)\(11\!\cdots\!26\)\( p^{135} T^{21} + \)\(19\!\cdots\!76\)\( p^{150} T^{22} - 61525019345122 p^{165} T^{23} + p^{180} T^{24} \) | |
| 71 | \( 1 - 197895887067063 T + \)\(65\!\cdots\!28\)\( T^{2} - \)\(94\!\cdots\!23\)\( T^{3} + \)\(18\!\cdots\!32\)\( T^{4} - \)\(20\!\cdots\!59\)\( T^{5} + \)\(29\!\cdots\!36\)\( T^{6} - \)\(29\!\cdots\!91\)\( T^{7} + \)\(34\!\cdots\!80\)\( T^{8} - \)\(29\!\cdots\!47\)\( T^{9} + \)\(29\!\cdots\!32\)\( T^{10} - \)\(21\!\cdots\!35\)\( T^{11} + \)\(19\!\cdots\!66\)\( T^{12} - \)\(21\!\cdots\!35\)\( p^{15} T^{13} + \)\(29\!\cdots\!32\)\( p^{30} T^{14} - \)\(29\!\cdots\!47\)\( p^{45} T^{15} + \)\(34\!\cdots\!80\)\( p^{60} T^{16} - \)\(29\!\cdots\!91\)\( p^{75} T^{17} + \)\(29\!\cdots\!36\)\( p^{90} T^{18} - \)\(20\!\cdots\!59\)\( p^{105} T^{19} + \)\(18\!\cdots\!32\)\( p^{120} T^{20} - \)\(94\!\cdots\!23\)\( p^{135} T^{21} + \)\(65\!\cdots\!28\)\( p^{150} T^{22} - 197895887067063 p^{165} T^{23} + p^{180} T^{24} \) | |
| 73 | \( 1 + 22888563242709 T + \)\(50\!\cdots\!94\)\( T^{2} + \)\(10\!\cdots\!11\)\( T^{3} + \)\(12\!\cdots\!32\)\( T^{4} + \)\(29\!\cdots\!41\)\( T^{5} + \)\(22\!\cdots\!14\)\( T^{6} + \)\(56\!\cdots\!79\)\( T^{7} + \)\(30\!\cdots\!16\)\( T^{8} + \)\(79\!\cdots\!93\)\( T^{9} + \)\(33\!\cdots\!86\)\( T^{10} + \)\(87\!\cdots\!63\)\( T^{11} + \)\(32\!\cdots\!74\)\( T^{12} + \)\(87\!\cdots\!63\)\( p^{15} T^{13} + \)\(33\!\cdots\!86\)\( p^{30} T^{14} + \)\(79\!\cdots\!93\)\( p^{45} T^{15} + \)\(30\!\cdots\!16\)\( p^{60} T^{16} + \)\(56\!\cdots\!79\)\( p^{75} T^{17} + \)\(22\!\cdots\!14\)\( p^{90} T^{18} + \)\(29\!\cdots\!41\)\( p^{105} T^{19} + \)\(12\!\cdots\!32\)\( p^{120} T^{20} + \)\(10\!\cdots\!11\)\( p^{135} T^{21} + \)\(50\!\cdots\!94\)\( p^{150} T^{22} + 22888563242709 p^{165} T^{23} + p^{180} T^{24} \) | |
| 79 | \( 1 - 229938065096294 T + \)\(23\!\cdots\!88\)\( T^{2} - \)\(46\!\cdots\!30\)\( T^{3} + \)\(28\!\cdots\!46\)\( T^{4} - \)\(48\!\cdots\!50\)\( T^{5} + \)\(21\!\cdots\!80\)\( T^{6} - \)\(32\!\cdots\!38\)\( T^{7} + \)\(11\!\cdots\!95\)\( T^{8} - \)\(19\!\cdots\!20\)\( p T^{9} + \)\(48\!\cdots\!32\)\( T^{10} - \)\(58\!\cdots\!84\)\( T^{11} + \)\(15\!\cdots\!08\)\( T^{12} - \)\(58\!\cdots\!84\)\( p^{15} T^{13} + \)\(48\!\cdots\!32\)\( p^{30} T^{14} - \)\(19\!\cdots\!20\)\( p^{46} T^{15} + \)\(11\!\cdots\!95\)\( p^{60} T^{16} - \)\(32\!\cdots\!38\)\( p^{75} T^{17} + \)\(21\!\cdots\!80\)\( p^{90} T^{18} - \)\(48\!\cdots\!50\)\( p^{105} T^{19} + \)\(28\!\cdots\!46\)\( p^{120} T^{20} - \)\(46\!\cdots\!30\)\( p^{135} T^{21} + \)\(23\!\cdots\!88\)\( p^{150} T^{22} - 229938065096294 p^{165} T^{23} + p^{180} T^{24} \) | |
| 83 | \( 1 - 369402590629184 T + \)\(57\!\cdots\!00\)\( T^{2} - \)\(18\!\cdots\!28\)\( T^{3} + \)\(15\!\cdots\!66\)\( T^{4} - \)\(45\!\cdots\!60\)\( T^{5} + \)\(26\!\cdots\!04\)\( T^{6} - \)\(68\!\cdots\!96\)\( T^{7} + \)\(31\!\cdots\!11\)\( T^{8} - \)\(74\!\cdots\!28\)\( T^{9} + \)\(28\!\cdots\!68\)\( T^{10} - \)\(59\!\cdots\!76\)\( T^{11} + \)\(19\!\cdots\!80\)\( T^{12} - \)\(59\!\cdots\!76\)\( p^{15} T^{13} + \)\(28\!\cdots\!68\)\( p^{30} T^{14} - \)\(74\!\cdots\!28\)\( p^{45} T^{15} + \)\(31\!\cdots\!11\)\( p^{60} T^{16} - \)\(68\!\cdots\!96\)\( p^{75} T^{17} + \)\(26\!\cdots\!04\)\( p^{90} T^{18} - \)\(45\!\cdots\!60\)\( p^{105} T^{19} + \)\(15\!\cdots\!66\)\( p^{120} T^{20} - \)\(18\!\cdots\!28\)\( p^{135} T^{21} + \)\(57\!\cdots\!00\)\( p^{150} T^{22} - 369402590629184 p^{165} T^{23} + p^{180} T^{24} \) | |
| 89 | \( 1 + 85082918654478 T + \)\(94\!\cdots\!08\)\( T^{2} + \)\(14\!\cdots\!66\)\( T^{3} + \)\(44\!\cdots\!58\)\( T^{4} + \)\(92\!\cdots\!98\)\( T^{5} + \)\(14\!\cdots\!36\)\( T^{6} + \)\(34\!\cdots\!26\)\( T^{7} + \)\(35\!\cdots\!95\)\( T^{8} + \)\(92\!\cdots\!28\)\( T^{9} + \)\(73\!\cdots\!52\)\( T^{10} + \)\(19\!\cdots\!48\)\( T^{11} + \)\(13\!\cdots\!00\)\( T^{12} + \)\(19\!\cdots\!48\)\( p^{15} T^{13} + \)\(73\!\cdots\!52\)\( p^{30} T^{14} + \)\(92\!\cdots\!28\)\( p^{45} T^{15} + \)\(35\!\cdots\!95\)\( p^{60} T^{16} + \)\(34\!\cdots\!26\)\( p^{75} T^{17} + \)\(14\!\cdots\!36\)\( p^{90} T^{18} + \)\(92\!\cdots\!98\)\( p^{105} T^{19} + \)\(44\!\cdots\!58\)\( p^{120} T^{20} + \)\(14\!\cdots\!66\)\( p^{135} T^{21} + \)\(94\!\cdots\!08\)\( p^{150} T^{22} + 85082918654478 p^{165} T^{23} + p^{180} T^{24} \) | |
| 97 | \( 1 + 5046858838511686 T + \)\(15\!\cdots\!84\)\( T^{2} + \)\(34\!\cdots\!18\)\( T^{3} + \)\(61\!\cdots\!50\)\( T^{4} + \)\(88\!\cdots\!30\)\( T^{5} + \)\(11\!\cdots\!68\)\( T^{6} + \)\(12\!\cdots\!74\)\( T^{7} + \)\(12\!\cdots\!67\)\( T^{8} + \)\(11\!\cdots\!76\)\( T^{9} + \)\(97\!\cdots\!68\)\( T^{10} + \)\(80\!\cdots\!80\)\( T^{11} + \)\(65\!\cdots\!60\)\( T^{12} + \)\(80\!\cdots\!80\)\( p^{15} T^{13} + \)\(97\!\cdots\!68\)\( p^{30} T^{14} + \)\(11\!\cdots\!76\)\( p^{45} T^{15} + \)\(12\!\cdots\!67\)\( p^{60} T^{16} + \)\(12\!\cdots\!74\)\( p^{75} T^{17} + \)\(11\!\cdots\!68\)\( p^{90} T^{18} + \)\(88\!\cdots\!30\)\( p^{105} T^{19} + \)\(61\!\cdots\!50\)\( p^{120} T^{20} + \)\(34\!\cdots\!18\)\( p^{135} T^{21} + \)\(15\!\cdots\!84\)\( p^{150} T^{22} + 5046858838511686 p^{165} T^{23} + p^{180} T^{24} \) | |
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\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{24} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−4.40824058780369428252243217957, −4.25782511352986418576451693347, −4.13626958249507163214625092450, −3.84330789917234911549567652783, −3.71172365605407017394431788874, −3.62916195048457276141581664652, −3.57858097615958173391253361929, −3.54438966265857099033272226003, −3.42170155639912285786202304782, −3.40587849672550015678501775902, −2.97041397530628435804988910903, −2.83507296655278839336435184227, −2.82071703568643631636252965467, −2.78812037334677016300500667417, −2.42502226017274746469864694481, −2.33395517799345050577623860832, −2.21934105502287138311578334058, −1.90589232499104398521118079262, −1.87913357379212262994799827582, −1.53667208215708452878794704713, −1.49232349245655031222281520048, −1.30481063773375726953460593502, −1.22462814033674205752560430084, −1.11778770397805414506045723614, −0.822681959515790607638632894775, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.822681959515790607638632894775, 1.11778770397805414506045723614, 1.22462814033674205752560430084, 1.30481063773375726953460593502, 1.49232349245655031222281520048, 1.53667208215708452878794704713, 1.87913357379212262994799827582, 1.90589232499104398521118079262, 2.21934105502287138311578334058, 2.33395517799345050577623860832, 2.42502226017274746469864694481, 2.78812037334677016300500667417, 2.82071703568643631636252965467, 2.83507296655278839336435184227, 2.97041397530628435804988910903, 3.40587849672550015678501775902, 3.42170155639912285786202304782, 3.54438966265857099033272226003, 3.57858097615958173391253361929, 3.62916195048457276141581664652, 3.71172365605407017394431788874, 3.84330789917234911549567652783, 4.13626958249507163214625092450, 4.25782511352986418576451693347, 4.40824058780369428252243217957
Graph of the $Z$-function along the critical line
Plot not available for L-functions of degree greater than 10.