Dirichlet series
| L(s) = 1 | + 64·2-s + 2.05e3·3-s − 2.04e4·4-s + 5.21e4·5-s + 1.31e5·6-s + 1.90e5·7-s − 7.87e5·8-s − 3.02e6·9-s + 3.33e6·10-s + 1.07e6·11-s − 4.21e7·12-s + 2.39e7·13-s + 1.21e7·14-s + 1.07e8·15-s + 1.69e8·16-s + 6.94e7·17-s − 1.93e8·18-s + 1.11e8·19-s − 1.06e9·20-s + 3.91e8·21-s + 6.85e7·22-s + 2.07e9·23-s − 1.61e9·24-s − 4.40e9·25-s + 1.53e9·26-s − 1.08e10·27-s − 3.90e9·28-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | + 0.707·2-s + 1.62·3-s − 5/2·4-s + 1.49·5-s + 1.15·6-s + 0.612·7-s − 1.06·8-s − 1.89·9-s + 1.05·10-s + 0.182·11-s − 4.07·12-s + 1.37·13-s + 0.432·14-s + 2.43·15-s + 2.51·16-s + 0.698·17-s − 1.33·18-s + 0.543·19-s − 3.73·20-s + 0.997·21-s + 0.128·22-s + 2.91·23-s − 1.72·24-s − 3.61·25-s + 0.973·26-s − 5.39·27-s − 1.53·28-s + ⋯ |
Functional equation
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(23^{14}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{14} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(14-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(23^{14}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+13/2)^{14} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Invariants
| Degree: | \(28\) |
| Conductor: | \(23^{14}\) |
| Sign: | $1$ |
| Analytic conductor: | \(3.08085\times 10^{19}\) |
| Root analytic conductor: | \(4.96619\) |
| Motivic weight: | \(13\) |
| Rational: | yes |
| Arithmetic: | yes |
| Character: | Trivial |
| Primitive: | no |
| Self-dual: | yes |
| Analytic rank: | \(0\) |
| Selberg data: | \((28,\ 23^{14} ,\ ( \ : [13/2]^{14} ),\ 1 )\) |
Particular Values
| \(L(7)\) | \(\approx\) | \(0.3516769951\) |
| \(L(\frac12)\) | \(\approx\) | \(0.3516769951\) |
| \(L(\frac{15}{2})\) | not available | |
| \(L(1)\) | not available |
Euler product
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $F_p(T)$ | |
|---|---|---|
| bad | 23 | \( ( 1 - p^{6} T )^{14} \) |
| good | 2 | \( 1 - p^{6} T + 3 p^{13} T^{2} - 2096323 T^{3} + 104521159 p^{2} T^{4} - 5151356049 p^{3} T^{5} + 761241941045 p^{3} T^{6} - 18185828394393 p^{5} T^{7} + 286653133406247 p^{8} T^{8} - 6628232920904729 p^{10} T^{9} + 377653116979856437 p^{11} T^{10} - 8560612195438931169 p^{13} T^{11} + 27870296548420222513 p^{18} T^{12} - \)\(15\!\cdots\!63\)\( p^{22} T^{13} + \)\(18\!\cdots\!13\)\( p^{25} T^{14} - \)\(15\!\cdots\!63\)\( p^{35} T^{15} + 27870296548420222513 p^{44} T^{16} - 8560612195438931169 p^{52} T^{17} + 377653116979856437 p^{63} T^{18} - 6628232920904729 p^{75} T^{19} + 286653133406247 p^{86} T^{20} - 18185828394393 p^{96} T^{21} + 761241941045 p^{107} T^{22} - 5151356049 p^{120} T^{23} + 104521159 p^{132} T^{24} - 2096323 p^{143} T^{25} + 3 p^{169} T^{26} - p^{175} T^{27} + p^{182} T^{28} \) |
| 3 | \( 1 - 2056 T + 7248437 T^{2} - 10244279656 T^{3} + 23208102933073 T^{4} - 7930400070575384 p T^{5} + 5299475160174339572 p^{2} T^{6} - \)\(14\!\cdots\!28\)\( p^{3} T^{7} + \)\(11\!\cdots\!28\)\( p^{4} T^{8} - \)\(34\!\cdots\!28\)\( p^{7} T^{9} + \)\(28\!\cdots\!00\)\( p^{8} T^{10} - \)\(82\!\cdots\!40\)\( p^{11} T^{11} + \)\(70\!\cdots\!82\)\( p^{14} T^{12} - \)\(19\!\cdots\!24\)\( p^{17} T^{13} + \)\(15\!\cdots\!30\)\( p^{20} T^{14} - \)\(19\!\cdots\!24\)\( p^{30} T^{15} + \)\(70\!\cdots\!82\)\( p^{40} T^{16} - \)\(82\!\cdots\!40\)\( p^{50} T^{17} + \)\(28\!\cdots\!00\)\( p^{60} T^{18} - \)\(34\!\cdots\!28\)\( p^{72} T^{19} + \)\(11\!\cdots\!28\)\( p^{82} T^{20} - \)\(14\!\cdots\!28\)\( p^{94} T^{21} + 5299475160174339572 p^{106} T^{22} - 7930400070575384 p^{118} T^{23} + 23208102933073 p^{130} T^{24} - 10244279656 p^{143} T^{25} + 7248437 p^{156} T^{26} - 2056 p^{169} T^{27} + p^{182} T^{28} \) | |
| 5 | \( 1 - 52182 T + 7132126594 T^{2} - 331420782014006 T^{3} + 26900789505793700419 T^{4} - \)\(10\!\cdots\!52\)\( T^{5} + \)\(68\!\cdots\!36\)\( T^{6} - \)\(48\!\cdots\!72\)\( p T^{7} + \)\(10\!\cdots\!73\)\( p^{3} T^{8} - \)\(13\!\cdots\!86\)\( p^{5} T^{9} + \)\(28\!\cdots\!06\)\( p^{7} T^{10} - \)\(33\!\cdots\!18\)\( p^{9} T^{11} + \)\(64\!\cdots\!99\)\( p^{11} T^{12} - \)\(72\!\cdots\!44\)\( p^{13} T^{13} + \)\(13\!\cdots\!56\)\( p^{15} T^{14} - \)\(72\!\cdots\!44\)\( p^{26} T^{15} + \)\(64\!\cdots\!99\)\( p^{37} T^{16} - \)\(33\!\cdots\!18\)\( p^{48} T^{17} + \)\(28\!\cdots\!06\)\( p^{59} T^{18} - \)\(13\!\cdots\!86\)\( p^{70} T^{19} + \)\(10\!\cdots\!73\)\( p^{81} T^{20} - \)\(48\!\cdots\!72\)\( p^{92} T^{21} + \)\(68\!\cdots\!36\)\( p^{104} T^{22} - \)\(10\!\cdots\!52\)\( p^{117} T^{23} + 26900789505793700419 p^{130} T^{24} - 331420782014006 p^{143} T^{25} + 7132126594 p^{156} T^{26} - 52182 p^{169} T^{27} + p^{182} T^{28} \) | |
| 7 | \( 1 - 190602 T + 85272151894 p T^{2} - 125378572299982438 T^{3} + \)\(26\!\cdots\!41\)\( p T^{4} - \)\(39\!\cdots\!20\)\( T^{5} + \)\(58\!\cdots\!52\)\( p T^{6} - \)\(17\!\cdots\!68\)\( p^{2} T^{7} + \)\(28\!\cdots\!65\)\( p^{4} T^{8} - \)\(84\!\cdots\!54\)\( p^{5} T^{9} + \)\(58\!\cdots\!26\)\( p^{5} T^{10} - \)\(16\!\cdots\!42\)\( p^{6} T^{11} + \)\(14\!\cdots\!13\)\( p^{7} T^{12} - \)\(38\!\cdots\!44\)\( p^{8} T^{13} + \)\(30\!\cdots\!84\)\( p^{9} T^{14} - \)\(38\!\cdots\!44\)\( p^{21} T^{15} + \)\(14\!\cdots\!13\)\( p^{33} T^{16} - \)\(16\!\cdots\!42\)\( p^{45} T^{17} + \)\(58\!\cdots\!26\)\( p^{57} T^{18} - \)\(84\!\cdots\!54\)\( p^{70} T^{19} + \)\(28\!\cdots\!65\)\( p^{82} T^{20} - \)\(17\!\cdots\!68\)\( p^{93} T^{21} + \)\(58\!\cdots\!52\)\( p^{105} T^{22} - \)\(39\!\cdots\!20\)\( p^{117} T^{23} + \)\(26\!\cdots\!41\)\( p^{131} T^{24} - 125378572299982438 p^{143} T^{25} + 85272151894 p^{157} T^{26} - 190602 p^{169} T^{27} + p^{182} T^{28} \) | |
| 11 | \( 1 - 1070730 T + 17489386479890 p T^{2} - 1953959533872886150 p^{2} T^{3} + \)\(15\!\cdots\!09\)\( p^{3} T^{4} - \)\(23\!\cdots\!96\)\( p^{4} T^{5} + \)\(10\!\cdots\!08\)\( p^{5} T^{6} - \)\(17\!\cdots\!24\)\( p^{6} T^{7} + \)\(53\!\cdots\!47\)\( p^{7} T^{8} - \)\(99\!\cdots\!02\)\( p^{8} T^{9} + \)\(22\!\cdots\!26\)\( p^{9} T^{10} - \)\(43\!\cdots\!14\)\( p^{10} T^{11} + \)\(81\!\cdots\!25\)\( p^{11} T^{12} - \)\(15\!\cdots\!28\)\( p^{12} T^{13} + \)\(25\!\cdots\!36\)\( p^{13} T^{14} - \)\(15\!\cdots\!28\)\( p^{25} T^{15} + \)\(81\!\cdots\!25\)\( p^{37} T^{16} - \)\(43\!\cdots\!14\)\( p^{49} T^{17} + \)\(22\!\cdots\!26\)\( p^{61} T^{18} - \)\(99\!\cdots\!02\)\( p^{73} T^{19} + \)\(53\!\cdots\!47\)\( p^{85} T^{20} - \)\(17\!\cdots\!24\)\( p^{97} T^{21} + \)\(10\!\cdots\!08\)\( p^{109} T^{22} - \)\(23\!\cdots\!96\)\( p^{121} T^{23} + \)\(15\!\cdots\!09\)\( p^{133} T^{24} - 1953959533872886150 p^{145} T^{25} + 17489386479890 p^{157} T^{26} - 1070730 p^{169} T^{27} + p^{182} T^{28} \) | |
| 13 | \( 1 - 23949638 T + 149294151428047 p T^{2} - \)\(38\!\cdots\!06\)\( T^{3} + \)\(18\!\cdots\!89\)\( T^{4} - \)\(32\!\cdots\!88\)\( T^{5} + \)\(12\!\cdots\!60\)\( T^{6} - \)\(20\!\cdots\!08\)\( T^{7} + \)\(64\!\cdots\!60\)\( T^{8} - \)\(10\!\cdots\!00\)\( T^{9} + \)\(28\!\cdots\!84\)\( T^{10} - \)\(43\!\cdots\!84\)\( T^{11} + \)\(10\!\cdots\!66\)\( T^{12} - \)\(15\!\cdots\!28\)\( T^{13} + \)\(34\!\cdots\!90\)\( T^{14} - \)\(15\!\cdots\!28\)\( p^{13} T^{15} + \)\(10\!\cdots\!66\)\( p^{26} T^{16} - \)\(43\!\cdots\!84\)\( p^{39} T^{17} + \)\(28\!\cdots\!84\)\( p^{52} T^{18} - \)\(10\!\cdots\!00\)\( p^{65} T^{19} + \)\(64\!\cdots\!60\)\( p^{78} T^{20} - \)\(20\!\cdots\!08\)\( p^{91} T^{21} + \)\(12\!\cdots\!60\)\( p^{104} T^{22} - \)\(32\!\cdots\!88\)\( p^{117} T^{23} + \)\(18\!\cdots\!89\)\( p^{130} T^{24} - \)\(38\!\cdots\!06\)\( p^{143} T^{25} + 149294151428047 p^{157} T^{26} - 23949638 p^{169} T^{27} + p^{182} T^{28} \) | |
| 17 | \( 1 - 69487470 T + 33164850042902262 T^{2} - \)\(23\!\cdots\!50\)\( T^{3} + \)\(70\!\cdots\!71\)\( T^{4} - \)\(50\!\cdots\!68\)\( T^{5} + \)\(11\!\cdots\!00\)\( T^{6} - \)\(97\!\cdots\!32\)\( T^{7} + \)\(15\!\cdots\!41\)\( T^{8} - \)\(15\!\cdots\!66\)\( T^{9} + \)\(19\!\cdots\!34\)\( T^{10} - \)\(20\!\cdots\!50\)\( T^{11} + \)\(12\!\cdots\!55\)\( p T^{12} - \)\(23\!\cdots\!80\)\( T^{13} + \)\(21\!\cdots\!88\)\( T^{14} - \)\(23\!\cdots\!80\)\( p^{13} T^{15} + \)\(12\!\cdots\!55\)\( p^{27} T^{16} - \)\(20\!\cdots\!50\)\( p^{39} T^{17} + \)\(19\!\cdots\!34\)\( p^{52} T^{18} - \)\(15\!\cdots\!66\)\( p^{65} T^{19} + \)\(15\!\cdots\!41\)\( p^{78} T^{20} - \)\(97\!\cdots\!32\)\( p^{91} T^{21} + \)\(11\!\cdots\!00\)\( p^{104} T^{22} - \)\(50\!\cdots\!68\)\( p^{117} T^{23} + \)\(70\!\cdots\!71\)\( p^{130} T^{24} - \)\(23\!\cdots\!50\)\( p^{143} T^{25} + 33164850042902262 p^{156} T^{26} - 69487470 p^{169} T^{27} + p^{182} T^{28} \) | |
| 19 | \( 1 - 111438548 T + 260630498865933098 T^{2} - \)\(28\!\cdots\!88\)\( T^{3} + \)\(30\!\cdots\!99\)\( T^{4} - \)\(29\!\cdots\!72\)\( T^{5} + \)\(21\!\cdots\!44\)\( T^{6} - \)\(15\!\cdots\!24\)\( T^{7} + \)\(11\!\cdots\!05\)\( T^{8} - \)\(51\!\cdots\!28\)\( T^{9} + \)\(56\!\cdots\!30\)\( T^{10} - \)\(23\!\cdots\!88\)\( T^{11} + \)\(28\!\cdots\!11\)\( T^{12} - \)\(15\!\cdots\!68\)\( T^{13} + \)\(13\!\cdots\!64\)\( T^{14} - \)\(15\!\cdots\!68\)\( p^{13} T^{15} + \)\(28\!\cdots\!11\)\( p^{26} T^{16} - \)\(23\!\cdots\!88\)\( p^{39} T^{17} + \)\(56\!\cdots\!30\)\( p^{52} T^{18} - \)\(51\!\cdots\!28\)\( p^{65} T^{19} + \)\(11\!\cdots\!05\)\( p^{78} T^{20} - \)\(15\!\cdots\!24\)\( p^{91} T^{21} + \)\(21\!\cdots\!44\)\( p^{104} T^{22} - \)\(29\!\cdots\!72\)\( p^{117} T^{23} + \)\(30\!\cdots\!99\)\( p^{130} T^{24} - \)\(28\!\cdots\!88\)\( p^{143} T^{25} + 260630498865933098 p^{156} T^{26} - 111438548 p^{169} T^{27} + p^{182} T^{28} \) | |
| 29 | \( 1 - 6082889362 T + 55641891373047903723 T^{2} - \)\(14\!\cdots\!30\)\( T^{3} + \)\(81\!\cdots\!09\)\( T^{4} + \)\(53\!\cdots\!56\)\( T^{5} + \)\(38\!\cdots\!88\)\( T^{6} + \)\(41\!\cdots\!88\)\( T^{7} + \)\(50\!\cdots\!24\)\( T^{8} + \)\(47\!\cdots\!08\)\( T^{9} + \)\(18\!\cdots\!40\)\( T^{10} + \)\(37\!\cdots\!80\)\( T^{11} + \)\(26\!\cdots\!14\)\( T^{12} + \)\(50\!\cdots\!56\)\( T^{13} + \)\(26\!\cdots\!42\)\( T^{14} + \)\(50\!\cdots\!56\)\( p^{13} T^{15} + \)\(26\!\cdots\!14\)\( p^{26} T^{16} + \)\(37\!\cdots\!80\)\( p^{39} T^{17} + \)\(18\!\cdots\!40\)\( p^{52} T^{18} + \)\(47\!\cdots\!08\)\( p^{65} T^{19} + \)\(50\!\cdots\!24\)\( p^{78} T^{20} + \)\(41\!\cdots\!88\)\( p^{91} T^{21} + \)\(38\!\cdots\!88\)\( p^{104} T^{22} + \)\(53\!\cdots\!56\)\( p^{117} T^{23} + \)\(81\!\cdots\!09\)\( p^{130} T^{24} - \)\(14\!\cdots\!30\)\( p^{143} T^{25} + 55641891373047903723 p^{156} T^{26} - 6082889362 p^{169} T^{27} + p^{182} T^{28} \) | |
| 31 | \( 1 - 15979895560 T + \)\(36\!\cdots\!25\)\( T^{2} - \)\(42\!\cdots\!20\)\( T^{3} + \)\(57\!\cdots\!89\)\( T^{4} - \)\(53\!\cdots\!28\)\( T^{5} + \)\(54\!\cdots\!72\)\( T^{6} - \)\(42\!\cdots\!28\)\( T^{7} + \)\(11\!\cdots\!20\)\( p T^{8} - \)\(23\!\cdots\!24\)\( T^{9} + \)\(16\!\cdots\!08\)\( T^{10} - \)\(98\!\cdots\!84\)\( T^{11} + \)\(59\!\cdots\!50\)\( T^{12} - \)\(31\!\cdots\!16\)\( T^{13} + \)\(16\!\cdots\!50\)\( T^{14} - \)\(31\!\cdots\!16\)\( p^{13} T^{15} + \)\(59\!\cdots\!50\)\( p^{26} T^{16} - \)\(98\!\cdots\!84\)\( p^{39} T^{17} + \)\(16\!\cdots\!08\)\( p^{52} T^{18} - \)\(23\!\cdots\!24\)\( p^{65} T^{19} + \)\(11\!\cdots\!20\)\( p^{79} T^{20} - \)\(42\!\cdots\!28\)\( p^{91} T^{21} + \)\(54\!\cdots\!72\)\( p^{104} T^{22} - \)\(53\!\cdots\!28\)\( p^{117} T^{23} + \)\(57\!\cdots\!89\)\( p^{130} T^{24} - \)\(42\!\cdots\!20\)\( p^{143} T^{25} + \)\(36\!\cdots\!25\)\( p^{156} T^{26} - 15979895560 p^{169} T^{27} + p^{182} T^{28} \) | |
| 37 | \( 1 - 52356093690 T + \)\(35\!\cdots\!22\)\( T^{2} - \)\(12\!\cdots\!02\)\( T^{3} + \)\(51\!\cdots\!63\)\( T^{4} - \)\(14\!\cdots\!00\)\( T^{5} + \)\(44\!\cdots\!00\)\( T^{6} - \)\(10\!\cdots\!44\)\( T^{7} + \)\(25\!\cdots\!81\)\( T^{8} - \)\(51\!\cdots\!38\)\( T^{9} + \)\(11\!\cdots\!26\)\( T^{10} - \)\(19\!\cdots\!02\)\( T^{11} + \)\(37\!\cdots\!67\)\( T^{12} - \)\(59\!\cdots\!96\)\( T^{13} + \)\(10\!\cdots\!20\)\( T^{14} - \)\(59\!\cdots\!96\)\( p^{13} T^{15} + \)\(37\!\cdots\!67\)\( p^{26} T^{16} - \)\(19\!\cdots\!02\)\( p^{39} T^{17} + \)\(11\!\cdots\!26\)\( p^{52} T^{18} - \)\(51\!\cdots\!38\)\( p^{65} T^{19} + \)\(25\!\cdots\!81\)\( p^{78} T^{20} - \)\(10\!\cdots\!44\)\( p^{91} T^{21} + \)\(44\!\cdots\!00\)\( p^{104} T^{22} - \)\(14\!\cdots\!00\)\( p^{117} T^{23} + \)\(51\!\cdots\!63\)\( p^{130} T^{24} - \)\(12\!\cdots\!02\)\( p^{143} T^{25} + \)\(35\!\cdots\!22\)\( p^{156} T^{26} - 52356093690 p^{169} T^{27} + p^{182} T^{28} \) | |
| 41 | \( 1 - 116782373266 T + \)\(13\!\cdots\!75\)\( T^{2} - \)\(10\!\cdots\!82\)\( T^{3} + \)\(77\!\cdots\!13\)\( T^{4} - \)\(45\!\cdots\!12\)\( T^{5} + \)\(62\!\cdots\!04\)\( p T^{6} - \)\(12\!\cdots\!64\)\( T^{7} + \)\(57\!\cdots\!24\)\( T^{8} - \)\(24\!\cdots\!56\)\( T^{9} + \)\(97\!\cdots\!08\)\( T^{10} - \)\(36\!\cdots\!56\)\( T^{11} + \)\(12\!\cdots\!22\)\( T^{12} - \)\(41\!\cdots\!64\)\( T^{13} + \)\(13\!\cdots\!26\)\( T^{14} - \)\(41\!\cdots\!64\)\( p^{13} T^{15} + \)\(12\!\cdots\!22\)\( p^{26} T^{16} - \)\(36\!\cdots\!56\)\( p^{39} T^{17} + \)\(97\!\cdots\!08\)\( p^{52} T^{18} - \)\(24\!\cdots\!56\)\( p^{65} T^{19} + \)\(57\!\cdots\!24\)\( p^{78} T^{20} - \)\(12\!\cdots\!64\)\( p^{91} T^{21} + \)\(62\!\cdots\!04\)\( p^{105} T^{22} - \)\(45\!\cdots\!12\)\( p^{117} T^{23} + \)\(77\!\cdots\!13\)\( p^{130} T^{24} - \)\(10\!\cdots\!82\)\( p^{143} T^{25} + \)\(13\!\cdots\!75\)\( p^{156} T^{26} - 116782373266 p^{169} T^{27} + p^{182} T^{28} \) | |
| 43 | \( 1 - 551363512 T + \)\(11\!\cdots\!14\)\( T^{2} - \)\(20\!\cdots\!60\)\( T^{3} + \)\(70\!\cdots\!67\)\( T^{4} - \)\(20\!\cdots\!08\)\( T^{5} + \)\(30\!\cdots\!72\)\( T^{6} - \)\(10\!\cdots\!32\)\( T^{7} + \)\(10\!\cdots\!65\)\( T^{8} - \)\(36\!\cdots\!52\)\( T^{9} + \)\(28\!\cdots\!66\)\( T^{10} - \)\(95\!\cdots\!52\)\( T^{11} + \)\(65\!\cdots\!39\)\( T^{12} - \)\(20\!\cdots\!60\)\( T^{13} + \)\(12\!\cdots\!56\)\( T^{14} - \)\(20\!\cdots\!60\)\( p^{13} T^{15} + \)\(65\!\cdots\!39\)\( p^{26} T^{16} - \)\(95\!\cdots\!52\)\( p^{39} T^{17} + \)\(28\!\cdots\!66\)\( p^{52} T^{18} - \)\(36\!\cdots\!52\)\( p^{65} T^{19} + \)\(10\!\cdots\!65\)\( p^{78} T^{20} - \)\(10\!\cdots\!32\)\( p^{91} T^{21} + \)\(30\!\cdots\!72\)\( p^{104} T^{22} - \)\(20\!\cdots\!08\)\( p^{117} T^{23} + \)\(70\!\cdots\!67\)\( p^{130} T^{24} - \)\(20\!\cdots\!60\)\( p^{143} T^{25} + \)\(11\!\cdots\!14\)\( p^{156} T^{26} - 551363512 p^{169} T^{27} + p^{182} T^{28} \) | |
| 47 | \( 1 + 89763073312 T + \)\(95\!\cdots\!35\)\( p T^{2} + \)\(31\!\cdots\!12\)\( T^{3} + \)\(93\!\cdots\!45\)\( T^{4} + \)\(50\!\cdots\!48\)\( T^{5} + \)\(12\!\cdots\!60\)\( T^{6} + \)\(49\!\cdots\!40\)\( T^{7} + \)\(11\!\cdots\!20\)\( T^{8} + \)\(31\!\cdots\!60\)\( T^{9} + \)\(84\!\cdots\!68\)\( T^{10} + \)\(12\!\cdots\!44\)\( T^{11} + \)\(51\!\cdots\!78\)\( T^{12} + \)\(38\!\cdots\!32\)\( T^{13} + \)\(28\!\cdots\!94\)\( T^{14} + \)\(38\!\cdots\!32\)\( p^{13} T^{15} + \)\(51\!\cdots\!78\)\( p^{26} T^{16} + \)\(12\!\cdots\!44\)\( p^{39} T^{17} + \)\(84\!\cdots\!68\)\( p^{52} T^{18} + \)\(31\!\cdots\!60\)\( p^{65} T^{19} + \)\(11\!\cdots\!20\)\( p^{78} T^{20} + \)\(49\!\cdots\!40\)\( p^{91} T^{21} + \)\(12\!\cdots\!60\)\( p^{104} T^{22} + \)\(50\!\cdots\!48\)\( p^{117} T^{23} + \)\(93\!\cdots\!45\)\( p^{130} T^{24} + \)\(31\!\cdots\!12\)\( p^{143} T^{25} + \)\(95\!\cdots\!35\)\( p^{157} T^{26} + 89763073312 p^{169} T^{27} + p^{182} T^{28} \) | |
| 53 | \( 1 + 255252512096 T + \)\(22\!\cdots\!58\)\( T^{2} + \)\(46\!\cdots\!52\)\( T^{3} + \)\(23\!\cdots\!15\)\( T^{4} + \)\(41\!\cdots\!16\)\( T^{5} + \)\(16\!\cdots\!88\)\( T^{6} + \)\(24\!\cdots\!40\)\( T^{7} + \)\(81\!\cdots\!69\)\( T^{8} + \)\(11\!\cdots\!00\)\( T^{9} + \)\(32\!\cdots\!74\)\( T^{10} + \)\(42\!\cdots\!88\)\( T^{11} + \)\(11\!\cdots\!75\)\( T^{12} + \)\(13\!\cdots\!88\)\( T^{13} + \)\(31\!\cdots\!20\)\( T^{14} + \)\(13\!\cdots\!88\)\( p^{13} T^{15} + \)\(11\!\cdots\!75\)\( p^{26} T^{16} + \)\(42\!\cdots\!88\)\( p^{39} T^{17} + \)\(32\!\cdots\!74\)\( p^{52} T^{18} + \)\(11\!\cdots\!00\)\( p^{65} T^{19} + \)\(81\!\cdots\!69\)\( p^{78} T^{20} + \)\(24\!\cdots\!40\)\( p^{91} T^{21} + \)\(16\!\cdots\!88\)\( p^{104} T^{22} + \)\(41\!\cdots\!16\)\( p^{117} T^{23} + \)\(23\!\cdots\!15\)\( p^{130} T^{24} + \)\(46\!\cdots\!52\)\( p^{143} T^{25} + \)\(22\!\cdots\!58\)\( p^{156} T^{26} + 255252512096 p^{169} T^{27} + p^{182} T^{28} \) | |
| 59 | \( 1 + 844368470500 T + \)\(96\!\cdots\!18\)\( T^{2} + \)\(56\!\cdots\!56\)\( T^{3} + \)\(39\!\cdots\!63\)\( T^{4} + \)\(18\!\cdots\!88\)\( T^{5} + \)\(98\!\cdots\!44\)\( T^{6} + \)\(38\!\cdots\!56\)\( T^{7} + \)\(17\!\cdots\!85\)\( T^{8} + \)\(63\!\cdots\!76\)\( T^{9} + \)\(26\!\cdots\!50\)\( T^{10} + \)\(84\!\cdots\!48\)\( T^{11} + \)\(33\!\cdots\!79\)\( T^{12} + \)\(99\!\cdots\!36\)\( T^{13} + \)\(36\!\cdots\!20\)\( T^{14} + \)\(99\!\cdots\!36\)\( p^{13} T^{15} + \)\(33\!\cdots\!79\)\( p^{26} T^{16} + \)\(84\!\cdots\!48\)\( p^{39} T^{17} + \)\(26\!\cdots\!50\)\( p^{52} T^{18} + \)\(63\!\cdots\!76\)\( p^{65} T^{19} + \)\(17\!\cdots\!85\)\( p^{78} T^{20} + \)\(38\!\cdots\!56\)\( p^{91} T^{21} + \)\(98\!\cdots\!44\)\( p^{104} T^{22} + \)\(18\!\cdots\!88\)\( p^{117} T^{23} + \)\(39\!\cdots\!63\)\( p^{130} T^{24} + \)\(56\!\cdots\!56\)\( p^{143} T^{25} + \)\(96\!\cdots\!18\)\( p^{156} T^{26} + 844368470500 p^{169} T^{27} + p^{182} T^{28} \) | |
| 61 | \( 1 + 660411924036 T + \)\(18\!\cdots\!82\)\( T^{2} + \)\(11\!\cdots\!92\)\( T^{3} + \)\(16\!\cdots\!79\)\( T^{4} + \)\(93\!\cdots\!32\)\( T^{5} + \)\(90\!\cdots\!20\)\( T^{6} + \)\(48\!\cdots\!72\)\( T^{7} + \)\(36\!\cdots\!25\)\( T^{8} + \)\(17\!\cdots\!92\)\( T^{9} + \)\(11\!\cdots\!74\)\( T^{10} + \)\(47\!\cdots\!52\)\( T^{11} + \)\(25\!\cdots\!43\)\( T^{12} + \)\(99\!\cdots\!36\)\( T^{13} + \)\(46\!\cdots\!08\)\( T^{14} + \)\(99\!\cdots\!36\)\( p^{13} T^{15} + \)\(25\!\cdots\!43\)\( p^{26} T^{16} + \)\(47\!\cdots\!52\)\( p^{39} T^{17} + \)\(11\!\cdots\!74\)\( p^{52} T^{18} + \)\(17\!\cdots\!92\)\( p^{65} T^{19} + \)\(36\!\cdots\!25\)\( p^{78} T^{20} + \)\(48\!\cdots\!72\)\( p^{91} T^{21} + \)\(90\!\cdots\!20\)\( p^{104} T^{22} + \)\(93\!\cdots\!32\)\( p^{117} T^{23} + \)\(16\!\cdots\!79\)\( p^{130} T^{24} + \)\(11\!\cdots\!92\)\( p^{143} T^{25} + \)\(18\!\cdots\!82\)\( p^{156} T^{26} + 660411924036 p^{169} T^{27} + p^{182} T^{28} \) | |
| 67 | \( 1 - 343438236966 T + \)\(58\!\cdots\!34\)\( p T^{2} - \)\(13\!\cdots\!46\)\( T^{3} + \)\(78\!\cdots\!27\)\( T^{4} - \)\(29\!\cdots\!04\)\( T^{5} + \)\(10\!\cdots\!24\)\( T^{6} - \)\(41\!\cdots\!08\)\( T^{7} + \)\(11\!\cdots\!25\)\( T^{8} - \)\(44\!\cdots\!06\)\( T^{9} + \)\(97\!\cdots\!78\)\( T^{10} - \)\(36\!\cdots\!30\)\( T^{11} + \)\(69\!\cdots\!43\)\( T^{12} - \)\(24\!\cdots\!72\)\( T^{13} + \)\(41\!\cdots\!40\)\( T^{14} - \)\(24\!\cdots\!72\)\( p^{13} T^{15} + \)\(69\!\cdots\!43\)\( p^{26} T^{16} - \)\(36\!\cdots\!30\)\( p^{39} T^{17} + \)\(97\!\cdots\!78\)\( p^{52} T^{18} - \)\(44\!\cdots\!06\)\( p^{65} T^{19} + \)\(11\!\cdots\!25\)\( p^{78} T^{20} - \)\(41\!\cdots\!08\)\( p^{91} T^{21} + \)\(10\!\cdots\!24\)\( p^{104} T^{22} - \)\(29\!\cdots\!04\)\( p^{117} T^{23} + \)\(78\!\cdots\!27\)\( p^{130} T^{24} - \)\(13\!\cdots\!46\)\( p^{143} T^{25} + \)\(58\!\cdots\!34\)\( p^{157} T^{26} - 343438236966 p^{169} T^{27} + p^{182} T^{28} \) | |
| 71 | \( 1 - 525250335580 T + \)\(64\!\cdots\!21\)\( T^{2} - \)\(23\!\cdots\!32\)\( T^{3} + \)\(17\!\cdots\!21\)\( T^{4} + \)\(78\!\cdots\!12\)\( T^{5} + \)\(33\!\cdots\!92\)\( T^{6} + \)\(24\!\cdots\!92\)\( T^{7} + \)\(61\!\cdots\!04\)\( T^{8} + \)\(41\!\cdots\!60\)\( T^{9} + \)\(10\!\cdots\!04\)\( T^{10} + \)\(59\!\cdots\!96\)\( T^{11} + \)\(13\!\cdots\!14\)\( T^{12} + \)\(84\!\cdots\!12\)\( T^{13} + \)\(15\!\cdots\!66\)\( T^{14} + \)\(84\!\cdots\!12\)\( p^{13} T^{15} + \)\(13\!\cdots\!14\)\( p^{26} T^{16} + \)\(59\!\cdots\!96\)\( p^{39} T^{17} + \)\(10\!\cdots\!04\)\( p^{52} T^{18} + \)\(41\!\cdots\!60\)\( p^{65} T^{19} + \)\(61\!\cdots\!04\)\( p^{78} T^{20} + \)\(24\!\cdots\!92\)\( p^{91} T^{21} + \)\(33\!\cdots\!92\)\( p^{104} T^{22} + \)\(78\!\cdots\!12\)\( p^{117} T^{23} + \)\(17\!\cdots\!21\)\( p^{130} T^{24} - \)\(23\!\cdots\!32\)\( p^{143} T^{25} + \)\(64\!\cdots\!21\)\( p^{156} T^{26} - 525250335580 p^{169} T^{27} + p^{182} T^{28} \) | |
| 73 | \( 1 - 6080256001118 T + \)\(28\!\cdots\!35\)\( T^{2} - \)\(94\!\cdots\!78\)\( T^{3} + \)\(26\!\cdots\!53\)\( T^{4} - \)\(62\!\cdots\!28\)\( T^{5} + \)\(13\!\cdots\!64\)\( T^{6} - \)\(25\!\cdots\!68\)\( T^{7} + \)\(45\!\cdots\!32\)\( T^{8} - \)\(74\!\cdots\!20\)\( T^{9} + \)\(11\!\cdots\!88\)\( T^{10} - \)\(17\!\cdots\!04\)\( T^{11} + \)\(25\!\cdots\!78\)\( T^{12} - \)\(35\!\cdots\!44\)\( T^{13} + \)\(47\!\cdots\!26\)\( T^{14} - \)\(35\!\cdots\!44\)\( p^{13} T^{15} + \)\(25\!\cdots\!78\)\( p^{26} T^{16} - \)\(17\!\cdots\!04\)\( p^{39} T^{17} + \)\(11\!\cdots\!88\)\( p^{52} T^{18} - \)\(74\!\cdots\!20\)\( p^{65} T^{19} + \)\(45\!\cdots\!32\)\( p^{78} T^{20} - \)\(25\!\cdots\!68\)\( p^{91} T^{21} + \)\(13\!\cdots\!64\)\( p^{104} T^{22} - \)\(62\!\cdots\!28\)\( p^{117} T^{23} + \)\(26\!\cdots\!53\)\( p^{130} T^{24} - \)\(94\!\cdots\!78\)\( p^{143} T^{25} + \)\(28\!\cdots\!35\)\( p^{156} T^{26} - 6080256001118 p^{169} T^{27} + p^{182} T^{28} \) | |
| 79 | \( 1 - 2029462022780 T + \)\(35\!\cdots\!66\)\( T^{2} - \)\(73\!\cdots\!20\)\( T^{3} + \)\(62\!\cdots\!47\)\( T^{4} - \)\(13\!\cdots\!36\)\( T^{5} + \)\(75\!\cdots\!08\)\( T^{6} - \)\(15\!\cdots\!12\)\( T^{7} + \)\(69\!\cdots\!77\)\( T^{8} - \)\(13\!\cdots\!76\)\( T^{9} + \)\(50\!\cdots\!42\)\( T^{10} - \)\(94\!\cdots\!68\)\( T^{11} + \)\(30\!\cdots\!59\)\( T^{12} - \)\(53\!\cdots\!32\)\( T^{13} + \)\(15\!\cdots\!40\)\( T^{14} - \)\(53\!\cdots\!32\)\( p^{13} T^{15} + \)\(30\!\cdots\!59\)\( p^{26} T^{16} - \)\(94\!\cdots\!68\)\( p^{39} T^{17} + \)\(50\!\cdots\!42\)\( p^{52} T^{18} - \)\(13\!\cdots\!76\)\( p^{65} T^{19} + \)\(69\!\cdots\!77\)\( p^{78} T^{20} - \)\(15\!\cdots\!12\)\( p^{91} T^{21} + \)\(75\!\cdots\!08\)\( p^{104} T^{22} - \)\(13\!\cdots\!36\)\( p^{117} T^{23} + \)\(62\!\cdots\!47\)\( p^{130} T^{24} - \)\(73\!\cdots\!20\)\( p^{143} T^{25} + \)\(35\!\cdots\!66\)\( p^{156} T^{26} - 2029462022780 p^{169} T^{27} + p^{182} T^{28} \) | |
| 83 | \( 1 - 1645588044714 T + \)\(77\!\cdots\!30\)\( T^{2} - \)\(93\!\cdots\!22\)\( T^{3} + \)\(30\!\cdots\!87\)\( T^{4} - \)\(27\!\cdots\!96\)\( T^{5} + \)\(77\!\cdots\!64\)\( T^{6} - \)\(54\!\cdots\!84\)\( T^{7} + \)\(14\!\cdots\!21\)\( T^{8} - \)\(81\!\cdots\!70\)\( T^{9} + \)\(22\!\cdots\!74\)\( T^{10} - \)\(98\!\cdots\!22\)\( T^{11} + \)\(26\!\cdots\!35\)\( T^{12} - \)\(10\!\cdots\!16\)\( T^{13} + \)\(26\!\cdots\!76\)\( T^{14} - \)\(10\!\cdots\!16\)\( p^{13} T^{15} + \)\(26\!\cdots\!35\)\( p^{26} T^{16} - \)\(98\!\cdots\!22\)\( p^{39} T^{17} + \)\(22\!\cdots\!74\)\( p^{52} T^{18} - \)\(81\!\cdots\!70\)\( p^{65} T^{19} + \)\(14\!\cdots\!21\)\( p^{78} T^{20} - \)\(54\!\cdots\!84\)\( p^{91} T^{21} + \)\(77\!\cdots\!64\)\( p^{104} T^{22} - \)\(27\!\cdots\!96\)\( p^{117} T^{23} + \)\(30\!\cdots\!87\)\( p^{130} T^{24} - \)\(93\!\cdots\!22\)\( p^{143} T^{25} + \)\(77\!\cdots\!30\)\( p^{156} T^{26} - 1645588044714 p^{169} T^{27} + p^{182} T^{28} \) | |
| 89 | \( 1 - 3557834996156 T + \)\(16\!\cdots\!06\)\( T^{2} - \)\(46\!\cdots\!64\)\( T^{3} + \)\(13\!\cdots\!55\)\( T^{4} - \)\(32\!\cdots\!60\)\( T^{5} + \)\(73\!\cdots\!72\)\( T^{6} - \)\(16\!\cdots\!68\)\( T^{7} + \)\(30\!\cdots\!01\)\( T^{8} - \)\(63\!\cdots\!92\)\( T^{9} + \)\(10\!\cdots\!94\)\( T^{10} - \)\(20\!\cdots\!12\)\( T^{11} + \)\(29\!\cdots\!63\)\( T^{12} - \)\(52\!\cdots\!96\)\( T^{13} + \)\(70\!\cdots\!16\)\( T^{14} - \)\(52\!\cdots\!96\)\( p^{13} T^{15} + \)\(29\!\cdots\!63\)\( p^{26} T^{16} - \)\(20\!\cdots\!12\)\( p^{39} T^{17} + \)\(10\!\cdots\!94\)\( p^{52} T^{18} - \)\(63\!\cdots\!92\)\( p^{65} T^{19} + \)\(30\!\cdots\!01\)\( p^{78} T^{20} - \)\(16\!\cdots\!68\)\( p^{91} T^{21} + \)\(73\!\cdots\!72\)\( p^{104} T^{22} - \)\(32\!\cdots\!60\)\( p^{117} T^{23} + \)\(13\!\cdots\!55\)\( p^{130} T^{24} - \)\(46\!\cdots\!64\)\( p^{143} T^{25} + \)\(16\!\cdots\!06\)\( p^{156} T^{26} - 3557834996156 p^{169} T^{27} + p^{182} T^{28} \) | |
| 97 | \( 1 - 20411381883630 T + \)\(74\!\cdots\!82\)\( T^{2} - \)\(10\!\cdots\!18\)\( T^{3} + \)\(23\!\cdots\!43\)\( T^{4} - \)\(26\!\cdots\!44\)\( T^{5} + \)\(42\!\cdots\!80\)\( T^{6} - \)\(38\!\cdots\!44\)\( T^{7} + \)\(53\!\cdots\!13\)\( T^{8} - \)\(39\!\cdots\!50\)\( T^{9} + \)\(49\!\cdots\!98\)\( T^{10} - \)\(31\!\cdots\!66\)\( T^{11} + \)\(38\!\cdots\!75\)\( T^{12} - \)\(21\!\cdots\!00\)\( T^{13} + \)\(26\!\cdots\!76\)\( T^{14} - \)\(21\!\cdots\!00\)\( p^{13} T^{15} + \)\(38\!\cdots\!75\)\( p^{26} T^{16} - \)\(31\!\cdots\!66\)\( p^{39} T^{17} + \)\(49\!\cdots\!98\)\( p^{52} T^{18} - \)\(39\!\cdots\!50\)\( p^{65} T^{19} + \)\(53\!\cdots\!13\)\( p^{78} T^{20} - \)\(38\!\cdots\!44\)\( p^{91} T^{21} + \)\(42\!\cdots\!80\)\( p^{104} T^{22} - \)\(26\!\cdots\!44\)\( p^{117} T^{23} + \)\(23\!\cdots\!43\)\( p^{130} T^{24} - \)\(10\!\cdots\!18\)\( p^{143} T^{25} + \)\(74\!\cdots\!82\)\( p^{156} T^{26} - 20411381883630 p^{169} T^{27} + p^{182} T^{28} \) | |
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\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{28} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−3.35586645212288975110339179419, −3.32268838894649674028101917487, −3.27814884252729412972817593452, −2.87461521792882043804828824912, −2.81961629635370257100452443495, −2.78824484374630204477591326622, −2.70082762146354817759859999759, −2.40955549076639630875148845804, −2.34075968529421836067800603712, −2.15193207011816899287673938041, −2.06732128767604962689498984082, −2.02494326091313054272816606389, −1.72063551112877979075965241308, −1.63336089274913218428204067230, −1.50741494764876199459567206815, −1.29866497739636397261999391515, −1.12048497487294035337210581563, −1.03997258771181103805729552664, −0.860249660823555401624475604984, −0.73659012959601582120775053071, −0.73396391643150389993042558918, −0.71344810860913431844948385790, −0.29980454613855238582035024629, −0.14063279881094978765074088446, −0.02969013873710292711104325466, 0.02969013873710292711104325466, 0.14063279881094978765074088446, 0.29980454613855238582035024629, 0.71344810860913431844948385790, 0.73396391643150389993042558918, 0.73659012959601582120775053071, 0.860249660823555401624475604984, 1.03997258771181103805729552664, 1.12048497487294035337210581563, 1.29866497739636397261999391515, 1.50741494764876199459567206815, 1.63336089274913218428204067230, 1.72063551112877979075965241308, 2.02494326091313054272816606389, 2.06732128767604962689498984082, 2.15193207011816899287673938041, 2.34075968529421836067800603712, 2.40955549076639630875148845804, 2.70082762146354817759859999759, 2.78824484374630204477591326622, 2.81961629635370257100452443495, 2.87461521792882043804828824912, 3.27814884252729412972817593452, 3.32268838894649674028101917487, 3.35586645212288975110339179419
Graph of the $Z$-function along the critical line
Plot not available for L-functions of degree greater than 10.