Dirichlet series
| L(s) = 1 | − 160·2-s + 56·3-s + 1.02e4·4-s − 362·5-s − 8.96e3·6-s − 1.67e5·7-s − 3.27e5·8-s + 5.47e5·9-s + 5.79e4·10-s − 4.49e5·11-s + 5.73e5·12-s + 3.36e6·13-s + 2.67e7·14-s − 2.02e4·15-s + 5.24e6·16-s + 1.66e6·17-s − 8.76e7·18-s + 4.91e7·19-s − 3.70e6·20-s − 9.36e6·21-s + 7.19e7·22-s − 1.27e8·23-s − 1.83e7·24-s + 1.39e8·25-s − 5.39e8·26-s − 8.17e6·27-s − 1.71e9·28-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | − 3.53·2-s + 0.133·3-s + 5·4-s − 0.0518·5-s − 0.470·6-s − 3.75·7-s − 3.53·8-s + 3.09·9-s + 0.183·10-s − 0.842·11-s + 0.665·12-s + 2.51·13-s + 13.2·14-s − 0.00689·15-s + 5/4·16-s + 0.283·17-s − 10.9·18-s + 4.55·19-s − 0.259·20-s − 0.500·21-s + 2.97·22-s − 4.13·23-s − 0.470·24-s + 2.84·25-s − 8.89·26-s − 0.109·27-s − 18.7·28-s + ⋯ |
Functional equation
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{20} \cdot 11^{20}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{20} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(12-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{20} \cdot 11^{20}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+11/2)^{20} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Invariants
| Degree: | \(40\) |
| Conductor: | \(2^{20} \cdot 11^{20}\) |
| Sign: | $1$ |
| Analytic conductor: | \(3.62709\times 10^{24}\) |
| Root analytic conductor: | \(4.11139\) |
| Motivic weight: | \(11\) |
| Rational: | yes |
| Arithmetic: | yes |
| Character: | Trivial |
| Primitive: | no |
| Self-dual: | yes |
| Analytic rank: | \(0\) |
| Selberg data: | \((40,\ 2^{20} \cdot 11^{20} ,\ ( \ : [11/2]^{20} ),\ 1 )\) |
Particular Values
| \(L(6)\) | \(\approx\) | \(26.43904112\) |
| \(L(\frac12)\) | \(\approx\) | \(26.43904112\) |
| \(L(\frac{13}{2})\) | not available | |
| \(L(1)\) | not available |
Euler product
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $F_p(T)$ | |
|---|---|---|
| bad | 2 | \( ( 1 + p^{5} T + p^{10} T^{2} + p^{15} T^{3} + p^{20} T^{4} )^{5} \) |
| 11 | \( 1 + 40891 p T + 2736484453 p^{2} T^{2} + 20290718938803 p^{4} T^{3} + 77223632312553536 p^{6} T^{4} + \)\(45\!\cdots\!36\)\( p^{8} T^{5} + \)\(29\!\cdots\!04\)\( p^{11} T^{6} + \)\(90\!\cdots\!04\)\( p^{15} T^{7} + \)\(40\!\cdots\!76\)\( p^{19} T^{8} + \)\(14\!\cdots\!08\)\( p^{23} T^{9} + \)\(40\!\cdots\!12\)\( p^{27} T^{10} + \)\(14\!\cdots\!08\)\( p^{34} T^{11} + \)\(40\!\cdots\!76\)\( p^{41} T^{12} + \)\(90\!\cdots\!04\)\( p^{48} T^{13} + \)\(29\!\cdots\!04\)\( p^{55} T^{14} + \)\(45\!\cdots\!36\)\( p^{63} T^{15} + 77223632312553536 p^{72} T^{16} + 20290718938803 p^{81} T^{17} + 2736484453 p^{90} T^{18} + 40891 p^{100} T^{19} + p^{110} T^{20} \) | |
| good | 3 | \( 1 - 56 T - 544505 T^{2} + 69333544 T^{3} + 124431777082 T^{4} - 2079671129224 p T^{5} - 600115583447606 p^{3} T^{6} - 329064882336820280 p^{3} T^{7} + 37172179991524947397 p^{4} T^{8} + \)\(45\!\cdots\!08\)\( p^{6} T^{9} - \)\(14\!\cdots\!32\)\( p^{8} T^{10} - \)\(32\!\cdots\!80\)\( p^{13} T^{11} + \)\(22\!\cdots\!71\)\( p^{12} T^{12} + \)\(13\!\cdots\!88\)\( p^{18} T^{13} + \)\(43\!\cdots\!18\)\( p^{16} T^{14} - \)\(13\!\cdots\!56\)\( p^{21} T^{15} - \)\(23\!\cdots\!94\)\( p^{20} T^{16} + \)\(39\!\cdots\!12\)\( p^{23} T^{17} + \)\(39\!\cdots\!05\)\( p^{24} T^{18} - \)\(13\!\cdots\!04\)\( p^{26} T^{19} - \)\(55\!\cdots\!94\)\( p^{28} T^{20} - \)\(13\!\cdots\!04\)\( p^{37} T^{21} + \)\(39\!\cdots\!05\)\( p^{46} T^{22} + \)\(39\!\cdots\!12\)\( p^{56} T^{23} - \)\(23\!\cdots\!94\)\( p^{64} T^{24} - \)\(13\!\cdots\!56\)\( p^{76} T^{25} + \)\(43\!\cdots\!18\)\( p^{82} T^{26} + \)\(13\!\cdots\!88\)\( p^{95} T^{27} + \)\(22\!\cdots\!71\)\( p^{100} T^{28} - \)\(32\!\cdots\!80\)\( p^{112} T^{29} - \)\(14\!\cdots\!32\)\( p^{118} T^{30} + \)\(45\!\cdots\!08\)\( p^{127} T^{31} + 37172179991524947397 p^{136} T^{32} - 329064882336820280 p^{146} T^{33} - 600115583447606 p^{157} T^{34} - 2079671129224 p^{166} T^{35} + 124431777082 p^{176} T^{36} + 69333544 p^{187} T^{37} - 544505 p^{198} T^{38} - 56 p^{209} T^{39} + p^{220} T^{40} \) |
| 5 | \( 1 + 362 T - 138883811 T^{2} - 420130451822 T^{3} + 12340070572285006 T^{4} + 2041662251370717032 p^{2} T^{5} - \)\(37\!\cdots\!38\)\( p^{2} T^{6} - \)\(78\!\cdots\!92\)\( p^{4} T^{7} + \)\(10\!\cdots\!53\)\( p^{4} T^{8} + \)\(25\!\cdots\!28\)\( p^{6} T^{9} - \)\(20\!\cdots\!36\)\( p^{6} T^{10} - \)\(13\!\cdots\!64\)\( p^{9} T^{11} + \)\(74\!\cdots\!91\)\( p^{9} T^{12} + \)\(14\!\cdots\!52\)\( p^{10} T^{13} - \)\(58\!\cdots\!26\)\( p^{10} T^{14} - \)\(27\!\cdots\!52\)\( p^{12} T^{15} + \)\(66\!\cdots\!18\)\( p^{12} T^{16} + \)\(37\!\cdots\!22\)\( p^{14} T^{17} - \)\(54\!\cdots\!73\)\( p^{14} T^{18} - \)\(25\!\cdots\!98\)\( p^{16} T^{19} + \)\(79\!\cdots\!66\)\( p^{16} T^{20} - \)\(25\!\cdots\!98\)\( p^{27} T^{21} - \)\(54\!\cdots\!73\)\( p^{36} T^{22} + \)\(37\!\cdots\!22\)\( p^{47} T^{23} + \)\(66\!\cdots\!18\)\( p^{56} T^{24} - \)\(27\!\cdots\!52\)\( p^{67} T^{25} - \)\(58\!\cdots\!26\)\( p^{76} T^{26} + \)\(14\!\cdots\!52\)\( p^{87} T^{27} + \)\(74\!\cdots\!91\)\( p^{97} T^{28} - \)\(13\!\cdots\!64\)\( p^{108} T^{29} - \)\(20\!\cdots\!36\)\( p^{116} T^{30} + \)\(25\!\cdots\!28\)\( p^{127} T^{31} + \)\(10\!\cdots\!53\)\( p^{136} T^{32} - \)\(78\!\cdots\!92\)\( p^{147} T^{33} - \)\(37\!\cdots\!38\)\( p^{156} T^{34} + 2041662251370717032 p^{167} T^{35} + 12340070572285006 p^{176} T^{36} - 420130451822 p^{187} T^{37} - 138883811 p^{198} T^{38} + 362 p^{209} T^{39} + p^{220} T^{40} \) | |
| 7 | \( 1 + 167178 T + 8619844117 T^{2} - 71476518944210 T^{3} - 19626873572292346196 T^{4} + \)\(69\!\cdots\!64\)\( T^{5} + \)\(60\!\cdots\!42\)\( T^{6} + \)\(37\!\cdots\!12\)\( T^{7} - \)\(21\!\cdots\!37\)\( T^{8} - \)\(84\!\cdots\!88\)\( T^{9} + \)\(26\!\cdots\!16\)\( T^{10} + \)\(34\!\cdots\!40\)\( p T^{11} - \)\(18\!\cdots\!95\)\( T^{12} - \)\(85\!\cdots\!76\)\( p T^{13} - \)\(12\!\cdots\!78\)\( p^{2} T^{14} + \)\(39\!\cdots\!96\)\( p^{3} T^{15} + \)\(19\!\cdots\!40\)\( p^{4} T^{16} - \)\(10\!\cdots\!26\)\( p^{5} T^{17} - \)\(10\!\cdots\!29\)\( p^{6} T^{18} + \)\(16\!\cdots\!14\)\( p^{7} T^{19} + \)\(49\!\cdots\!22\)\( p^{8} T^{20} + \)\(16\!\cdots\!14\)\( p^{18} T^{21} - \)\(10\!\cdots\!29\)\( p^{28} T^{22} - \)\(10\!\cdots\!26\)\( p^{38} T^{23} + \)\(19\!\cdots\!40\)\( p^{48} T^{24} + \)\(39\!\cdots\!96\)\( p^{58} T^{25} - \)\(12\!\cdots\!78\)\( p^{68} T^{26} - \)\(85\!\cdots\!76\)\( p^{78} T^{27} - \)\(18\!\cdots\!95\)\( p^{88} T^{28} + \)\(34\!\cdots\!40\)\( p^{100} T^{29} + \)\(26\!\cdots\!16\)\( p^{110} T^{30} - \)\(84\!\cdots\!88\)\( p^{121} T^{31} - \)\(21\!\cdots\!37\)\( p^{132} T^{32} + \)\(37\!\cdots\!12\)\( p^{143} T^{33} + \)\(60\!\cdots\!42\)\( p^{154} T^{34} + \)\(69\!\cdots\!64\)\( p^{165} T^{35} - 19626873572292346196 p^{176} T^{36} - 71476518944210 p^{187} T^{37} + 8619844117 p^{198} T^{38} + 167178 p^{209} T^{39} + p^{220} T^{40} \) | |
| 13 | \( 1 - 3369596 T + 3873922475353 T^{2} - 881182656093472782 T^{3} + \)\(47\!\cdots\!26\)\( T^{4} - \)\(19\!\cdots\!62\)\( p T^{5} + \)\(37\!\cdots\!02\)\( T^{6} - \)\(13\!\cdots\!58\)\( T^{7} + \)\(10\!\cdots\!65\)\( T^{8} - \)\(97\!\cdots\!26\)\( T^{9} + \)\(19\!\cdots\!12\)\( T^{10} - \)\(15\!\cdots\!50\)\( T^{11} + \)\(11\!\cdots\!75\)\( T^{12} - \)\(33\!\cdots\!30\)\( T^{13} + \)\(67\!\cdots\!82\)\( T^{14} - \)\(85\!\cdots\!70\)\( T^{15} + \)\(91\!\cdots\!30\)\( T^{16} - \)\(94\!\cdots\!30\)\( p T^{17} + \)\(14\!\cdots\!15\)\( p T^{18} - \)\(27\!\cdots\!80\)\( T^{19} + \)\(39\!\cdots\!54\)\( T^{20} - \)\(27\!\cdots\!80\)\( p^{11} T^{21} + \)\(14\!\cdots\!15\)\( p^{23} T^{22} - \)\(94\!\cdots\!30\)\( p^{34} T^{23} + \)\(91\!\cdots\!30\)\( p^{44} T^{24} - \)\(85\!\cdots\!70\)\( p^{55} T^{25} + \)\(67\!\cdots\!82\)\( p^{66} T^{26} - \)\(33\!\cdots\!30\)\( p^{77} T^{27} + \)\(11\!\cdots\!75\)\( p^{88} T^{28} - \)\(15\!\cdots\!50\)\( p^{99} T^{29} + \)\(19\!\cdots\!12\)\( p^{110} T^{30} - \)\(97\!\cdots\!26\)\( p^{121} T^{31} + \)\(10\!\cdots\!65\)\( p^{132} T^{32} - \)\(13\!\cdots\!58\)\( p^{143} T^{33} + \)\(37\!\cdots\!02\)\( p^{154} T^{34} - \)\(19\!\cdots\!62\)\( p^{166} T^{35} + \)\(47\!\cdots\!26\)\( p^{176} T^{36} - 881182656093472782 p^{187} T^{37} + 3873922475353 p^{198} T^{38} - 3369596 p^{209} T^{39} + p^{220} T^{40} \) | |
| 17 | \( 1 - 1661262 T - 146039069147527 T^{2} + \)\(17\!\cdots\!24\)\( T^{3} + \)\(95\!\cdots\!06\)\( T^{4} - \)\(27\!\cdots\!02\)\( T^{5} - \)\(25\!\cdots\!10\)\( T^{6} + \)\(27\!\cdots\!98\)\( T^{7} - \)\(32\!\cdots\!87\)\( T^{8} - \)\(15\!\cdots\!62\)\( T^{9} + \)\(65\!\cdots\!40\)\( T^{10} + \)\(29\!\cdots\!46\)\( T^{11} - \)\(36\!\cdots\!05\)\( T^{12} + \)\(13\!\cdots\!22\)\( T^{13} + \)\(13\!\cdots\!90\)\( T^{14} - \)\(10\!\cdots\!94\)\( T^{15} - \)\(13\!\cdots\!58\)\( T^{16} + \)\(33\!\cdots\!44\)\( T^{17} - \)\(15\!\cdots\!37\)\( T^{18} - \)\(43\!\cdots\!54\)\( T^{19} + \)\(91\!\cdots\!26\)\( T^{20} - \)\(43\!\cdots\!54\)\( p^{11} T^{21} - \)\(15\!\cdots\!37\)\( p^{22} T^{22} + \)\(33\!\cdots\!44\)\( p^{33} T^{23} - \)\(13\!\cdots\!58\)\( p^{44} T^{24} - \)\(10\!\cdots\!94\)\( p^{55} T^{25} + \)\(13\!\cdots\!90\)\( p^{66} T^{26} + \)\(13\!\cdots\!22\)\( p^{77} T^{27} - \)\(36\!\cdots\!05\)\( p^{88} T^{28} + \)\(29\!\cdots\!46\)\( p^{99} T^{29} + \)\(65\!\cdots\!40\)\( p^{110} T^{30} - \)\(15\!\cdots\!62\)\( p^{121} T^{31} - \)\(32\!\cdots\!87\)\( p^{132} T^{32} + \)\(27\!\cdots\!98\)\( p^{143} T^{33} - \)\(25\!\cdots\!10\)\( p^{154} T^{34} - \)\(27\!\cdots\!02\)\( p^{165} T^{35} + \)\(95\!\cdots\!06\)\( p^{176} T^{36} + \)\(17\!\cdots\!24\)\( p^{187} T^{37} - 146039069147527 p^{198} T^{38} - 1661262 p^{209} T^{39} + p^{220} T^{40} \) | |
| 19 | \( 1 - 49176291 T + 947179959082921 T^{2} - \)\(40\!\cdots\!55\)\( p T^{3} - \)\(75\!\cdots\!31\)\( T^{4} + \)\(88\!\cdots\!68\)\( T^{5} - \)\(15\!\cdots\!68\)\( T^{6} + \)\(21\!\cdots\!08\)\( T^{7} - \)\(14\!\cdots\!86\)\( T^{8} - \)\(13\!\cdots\!62\)\( T^{9} + \)\(54\!\cdots\!92\)\( T^{10} - \)\(80\!\cdots\!96\)\( T^{11} + \)\(66\!\cdots\!88\)\( T^{12} - \)\(12\!\cdots\!98\)\( T^{13} - \)\(53\!\cdots\!54\)\( T^{14} + \)\(10\!\cdots\!76\)\( T^{15} - \)\(12\!\cdots\!67\)\( T^{16} + \)\(74\!\cdots\!69\)\( T^{17} + \)\(43\!\cdots\!97\)\( T^{18} - \)\(17\!\cdots\!65\)\( T^{19} + \)\(24\!\cdots\!94\)\( T^{20} - \)\(17\!\cdots\!65\)\( p^{11} T^{21} + \)\(43\!\cdots\!97\)\( p^{22} T^{22} + \)\(74\!\cdots\!69\)\( p^{33} T^{23} - \)\(12\!\cdots\!67\)\( p^{44} T^{24} + \)\(10\!\cdots\!76\)\( p^{55} T^{25} - \)\(53\!\cdots\!54\)\( p^{66} T^{26} - \)\(12\!\cdots\!98\)\( p^{77} T^{27} + \)\(66\!\cdots\!88\)\( p^{88} T^{28} - \)\(80\!\cdots\!96\)\( p^{99} T^{29} + \)\(54\!\cdots\!92\)\( p^{110} T^{30} - \)\(13\!\cdots\!62\)\( p^{121} T^{31} - \)\(14\!\cdots\!86\)\( p^{132} T^{32} + \)\(21\!\cdots\!08\)\( p^{143} T^{33} - \)\(15\!\cdots\!68\)\( p^{154} T^{34} + \)\(88\!\cdots\!68\)\( p^{165} T^{35} - \)\(75\!\cdots\!31\)\( p^{176} T^{36} - \)\(40\!\cdots\!55\)\( p^{188} T^{37} + 947179959082921 p^{198} T^{38} - 49176291 p^{209} T^{39} + p^{220} T^{40} \) | |
| 23 | \( ( 1 + 63826646 T + 4116892094945114 T^{2} + \)\(79\!\cdots\!98\)\( T^{3} + \)\(25\!\cdots\!97\)\( T^{4} - \)\(14\!\cdots\!28\)\( T^{5} + \)\(41\!\cdots\!96\)\( T^{6} + \)\(49\!\cdots\!84\)\( p T^{7} + \)\(74\!\cdots\!74\)\( T^{8} + \)\(53\!\cdots\!52\)\( T^{9} + \)\(41\!\cdots\!80\)\( T^{10} + \)\(53\!\cdots\!52\)\( p^{11} T^{11} + \)\(74\!\cdots\!74\)\( p^{22} T^{12} + \)\(49\!\cdots\!84\)\( p^{34} T^{13} + \)\(41\!\cdots\!96\)\( p^{44} T^{14} - \)\(14\!\cdots\!28\)\( p^{55} T^{15} + \)\(25\!\cdots\!97\)\( p^{66} T^{16} + \)\(79\!\cdots\!98\)\( p^{77} T^{17} + 4116892094945114 p^{88} T^{18} + 63826646 p^{99} T^{19} + p^{110} T^{20} )^{2} \) | |
| 29 | \( 1 - 555960754 T + 148259752687019273 T^{2} - \)\(24\!\cdots\!64\)\( T^{3} + \)\(27\!\cdots\!22\)\( T^{4} - \)\(25\!\cdots\!54\)\( T^{5} + \)\(16\!\cdots\!10\)\( T^{6} + \)\(31\!\cdots\!78\)\( T^{7} - \)\(17\!\cdots\!95\)\( T^{8} - \)\(37\!\cdots\!50\)\( T^{9} + \)\(63\!\cdots\!56\)\( T^{10} - \)\(12\!\cdots\!42\)\( T^{11} + \)\(15\!\cdots\!39\)\( T^{12} - \)\(16\!\cdots\!30\)\( T^{13} + \)\(12\!\cdots\!26\)\( T^{14} - \)\(27\!\cdots\!38\)\( T^{15} - \)\(40\!\cdots\!18\)\( T^{16} - \)\(25\!\cdots\!32\)\( T^{17} + \)\(19\!\cdots\!63\)\( T^{18} - \)\(34\!\cdots\!26\)\( T^{19} + \)\(41\!\cdots\!86\)\( T^{20} - \)\(34\!\cdots\!26\)\( p^{11} T^{21} + \)\(19\!\cdots\!63\)\( p^{22} T^{22} - \)\(25\!\cdots\!32\)\( p^{33} T^{23} - \)\(40\!\cdots\!18\)\( p^{44} T^{24} - \)\(27\!\cdots\!38\)\( p^{55} T^{25} + \)\(12\!\cdots\!26\)\( p^{66} T^{26} - \)\(16\!\cdots\!30\)\( p^{77} T^{27} + \)\(15\!\cdots\!39\)\( p^{88} T^{28} - \)\(12\!\cdots\!42\)\( p^{99} T^{29} + \)\(63\!\cdots\!56\)\( p^{110} T^{30} - \)\(37\!\cdots\!50\)\( p^{121} T^{31} - \)\(17\!\cdots\!95\)\( p^{132} T^{32} + \)\(31\!\cdots\!78\)\( p^{143} T^{33} + \)\(16\!\cdots\!10\)\( p^{154} T^{34} - \)\(25\!\cdots\!54\)\( p^{165} T^{35} + \)\(27\!\cdots\!22\)\( p^{176} T^{36} - \)\(24\!\cdots\!64\)\( p^{187} T^{37} + 148259752687019273 p^{198} T^{38} - 555960754 p^{209} T^{39} + p^{220} T^{40} \) | |
| 31 | \( 1 + 13977916 T - 100611466196574521 T^{2} + \)\(76\!\cdots\!34\)\( T^{3} + \)\(35\!\cdots\!72\)\( T^{4} + \)\(68\!\cdots\!62\)\( T^{5} + \)\(17\!\cdots\!38\)\( T^{6} - \)\(17\!\cdots\!42\)\( T^{7} - \)\(50\!\cdots\!17\)\( T^{8} + \)\(95\!\cdots\!98\)\( T^{9} + \)\(15\!\cdots\!64\)\( T^{10} - \)\(15\!\cdots\!46\)\( T^{11} - \)\(20\!\cdots\!63\)\( T^{12} - \)\(58\!\cdots\!38\)\( T^{13} + \)\(26\!\cdots\!30\)\( T^{14} + \)\(33\!\cdots\!70\)\( T^{15} + \)\(16\!\cdots\!16\)\( T^{16} - \)\(72\!\cdots\!34\)\( T^{17} - \)\(66\!\cdots\!19\)\( T^{18} + \)\(63\!\cdots\!96\)\( T^{19} + \)\(27\!\cdots\!06\)\( T^{20} + \)\(63\!\cdots\!96\)\( p^{11} T^{21} - \)\(66\!\cdots\!19\)\( p^{22} T^{22} - \)\(72\!\cdots\!34\)\( p^{33} T^{23} + \)\(16\!\cdots\!16\)\( p^{44} T^{24} + \)\(33\!\cdots\!70\)\( p^{55} T^{25} + \)\(26\!\cdots\!30\)\( p^{66} T^{26} - \)\(58\!\cdots\!38\)\( p^{77} T^{27} - \)\(20\!\cdots\!63\)\( p^{88} T^{28} - \)\(15\!\cdots\!46\)\( p^{99} T^{29} + \)\(15\!\cdots\!64\)\( p^{110} T^{30} + \)\(95\!\cdots\!98\)\( p^{121} T^{31} - \)\(50\!\cdots\!17\)\( p^{132} T^{32} - \)\(17\!\cdots\!42\)\( p^{143} T^{33} + \)\(17\!\cdots\!38\)\( p^{154} T^{34} + \)\(68\!\cdots\!62\)\( p^{165} T^{35} + \)\(35\!\cdots\!72\)\( p^{176} T^{36} + \)\(76\!\cdots\!34\)\( p^{187} T^{37} - 100611466196574521 p^{198} T^{38} + 13977916 p^{209} T^{39} + p^{220} T^{40} \) | |
| 37 | \( 1 + 161000626 T - 899010280186890231 T^{2} + \)\(49\!\cdots\!54\)\( T^{3} + \)\(46\!\cdots\!42\)\( T^{4} - \)\(33\!\cdots\!56\)\( T^{5} - \)\(16\!\cdots\!70\)\( T^{6} + \)\(17\!\cdots\!88\)\( T^{7} + \)\(46\!\cdots\!77\)\( T^{8} - \)\(43\!\cdots\!68\)\( T^{9} - \)\(11\!\cdots\!80\)\( T^{10} + \)\(87\!\cdots\!96\)\( T^{11} + \)\(29\!\cdots\!91\)\( T^{12} - \)\(15\!\cdots\!20\)\( T^{13} - \)\(65\!\cdots\!86\)\( T^{14} + \)\(30\!\cdots\!24\)\( T^{15} + \)\(13\!\cdots\!90\)\( T^{16} - \)\(44\!\cdots\!14\)\( T^{17} - \)\(26\!\cdots\!49\)\( T^{18} + \)\(34\!\cdots\!74\)\( T^{19} + \)\(47\!\cdots\!06\)\( T^{20} + \)\(34\!\cdots\!74\)\( p^{11} T^{21} - \)\(26\!\cdots\!49\)\( p^{22} T^{22} - \)\(44\!\cdots\!14\)\( p^{33} T^{23} + \)\(13\!\cdots\!90\)\( p^{44} T^{24} + \)\(30\!\cdots\!24\)\( p^{55} T^{25} - \)\(65\!\cdots\!86\)\( p^{66} T^{26} - \)\(15\!\cdots\!20\)\( p^{77} T^{27} + \)\(29\!\cdots\!91\)\( p^{88} T^{28} + \)\(87\!\cdots\!96\)\( p^{99} T^{29} - \)\(11\!\cdots\!80\)\( p^{110} T^{30} - \)\(43\!\cdots\!68\)\( p^{121} T^{31} + \)\(46\!\cdots\!77\)\( p^{132} T^{32} + \)\(17\!\cdots\!88\)\( p^{143} T^{33} - \)\(16\!\cdots\!70\)\( p^{154} T^{34} - \)\(33\!\cdots\!56\)\( p^{165} T^{35} + \)\(46\!\cdots\!42\)\( p^{176} T^{36} + \)\(49\!\cdots\!54\)\( p^{187} T^{37} - 899010280186890231 p^{198} T^{38} + 161000626 p^{209} T^{39} + p^{220} T^{40} \) | |
| 41 | \( 1 - 772614122 T - 439132157359379527 T^{2} - \)\(58\!\cdots\!88\)\( T^{3} + \)\(62\!\cdots\!38\)\( T^{4} + \)\(50\!\cdots\!90\)\( T^{5} + \)\(32\!\cdots\!58\)\( T^{6} - \)\(38\!\cdots\!66\)\( T^{7} - \)\(38\!\cdots\!23\)\( T^{8} - \)\(16\!\cdots\!02\)\( T^{9} + \)\(20\!\cdots\!16\)\( T^{10} + \)\(21\!\cdots\!38\)\( T^{11} + \)\(61\!\cdots\!59\)\( T^{12} - \)\(79\!\cdots\!82\)\( T^{13} - \)\(99\!\cdots\!02\)\( T^{14} - \)\(28\!\cdots\!90\)\( T^{15} + \)\(29\!\cdots\!66\)\( T^{16} + \)\(44\!\cdots\!36\)\( T^{17} + \)\(80\!\cdots\!51\)\( T^{18} - \)\(80\!\cdots\!74\)\( T^{19} - \)\(18\!\cdots\!34\)\( T^{20} - \)\(80\!\cdots\!74\)\( p^{11} T^{21} + \)\(80\!\cdots\!51\)\( p^{22} T^{22} + \)\(44\!\cdots\!36\)\( p^{33} T^{23} + \)\(29\!\cdots\!66\)\( p^{44} T^{24} - \)\(28\!\cdots\!90\)\( p^{55} T^{25} - \)\(99\!\cdots\!02\)\( p^{66} T^{26} - \)\(79\!\cdots\!82\)\( p^{77} T^{27} + \)\(61\!\cdots\!59\)\( p^{88} T^{28} + \)\(21\!\cdots\!38\)\( p^{99} T^{29} + \)\(20\!\cdots\!16\)\( p^{110} T^{30} - \)\(16\!\cdots\!02\)\( p^{121} T^{31} - \)\(38\!\cdots\!23\)\( p^{132} T^{32} - \)\(38\!\cdots\!66\)\( p^{143} T^{33} + \)\(32\!\cdots\!58\)\( p^{154} T^{34} + \)\(50\!\cdots\!90\)\( p^{165} T^{35} + \)\(62\!\cdots\!38\)\( p^{176} T^{36} - \)\(58\!\cdots\!88\)\( p^{187} T^{37} - 439132157359379527 p^{198} T^{38} - 772614122 p^{209} T^{39} + p^{220} T^{40} \) | |
| 43 | \( ( 1 - 1874861031 T + 8094287299084305319 T^{2} - \)\(11\!\cdots\!65\)\( T^{3} + \)\(29\!\cdots\!65\)\( T^{4} - \)\(34\!\cdots\!92\)\( T^{5} + \)\(63\!\cdots\!76\)\( T^{6} - \)\(63\!\cdots\!40\)\( T^{7} + \)\(94\!\cdots\!50\)\( T^{8} - \)\(81\!\cdots\!86\)\( T^{9} + \)\(10\!\cdots\!18\)\( T^{10} - \)\(81\!\cdots\!86\)\( p^{11} T^{11} + \)\(94\!\cdots\!50\)\( p^{22} T^{12} - \)\(63\!\cdots\!40\)\( p^{33} T^{13} + \)\(63\!\cdots\!76\)\( p^{44} T^{14} - \)\(34\!\cdots\!92\)\( p^{55} T^{15} + \)\(29\!\cdots\!65\)\( p^{66} T^{16} - \)\(11\!\cdots\!65\)\( p^{77} T^{17} + 8094287299084305319 p^{88} T^{18} - 1874861031 p^{99} T^{19} + p^{110} T^{20} )^{2} \) | |
| 47 | \( 1 - 1924889212 T - 2004277525175521987 T^{2} + \)\(77\!\cdots\!14\)\( T^{3} + \)\(75\!\cdots\!16\)\( T^{4} - \)\(38\!\cdots\!62\)\( T^{5} - \)\(10\!\cdots\!70\)\( T^{6} + \)\(14\!\cdots\!58\)\( T^{7} - \)\(93\!\cdots\!37\)\( T^{8} - \)\(31\!\cdots\!42\)\( T^{9} + \)\(24\!\cdots\!20\)\( T^{10} + \)\(99\!\cdots\!86\)\( T^{11} - \)\(13\!\cdots\!15\)\( T^{12} - \)\(14\!\cdots\!58\)\( T^{13} + \)\(33\!\cdots\!50\)\( T^{14} + \)\(31\!\cdots\!06\)\( T^{15} - \)\(19\!\cdots\!44\)\( p T^{16} - \)\(13\!\cdots\!58\)\( p T^{17} + \)\(27\!\cdots\!63\)\( T^{18} - \)\(28\!\cdots\!44\)\( T^{19} - \)\(47\!\cdots\!54\)\( T^{20} - \)\(28\!\cdots\!44\)\( p^{11} T^{21} + \)\(27\!\cdots\!63\)\( p^{22} T^{22} - \)\(13\!\cdots\!58\)\( p^{34} T^{23} - \)\(19\!\cdots\!44\)\( p^{45} T^{24} + \)\(31\!\cdots\!06\)\( p^{55} T^{25} + \)\(33\!\cdots\!50\)\( p^{66} T^{26} - \)\(14\!\cdots\!58\)\( p^{77} T^{27} - \)\(13\!\cdots\!15\)\( p^{88} T^{28} + \)\(99\!\cdots\!86\)\( p^{99} T^{29} + \)\(24\!\cdots\!20\)\( p^{110} T^{30} - \)\(31\!\cdots\!42\)\( p^{121} T^{31} - \)\(93\!\cdots\!37\)\( p^{132} T^{32} + \)\(14\!\cdots\!58\)\( p^{143} T^{33} - \)\(10\!\cdots\!70\)\( p^{154} T^{34} - \)\(38\!\cdots\!62\)\( p^{165} T^{35} + \)\(75\!\cdots\!16\)\( p^{176} T^{36} + \)\(77\!\cdots\!14\)\( p^{187} T^{37} - 2004277525175521987 p^{198} T^{38} - 1924889212 p^{209} T^{39} + p^{220} T^{40} \) | |
| 53 | \( 1 - 1531782992 T - 33600384717405838095 T^{2} + \)\(34\!\cdots\!84\)\( T^{3} + \)\(55\!\cdots\!90\)\( T^{4} - \)\(22\!\cdots\!64\)\( T^{5} - \)\(11\!\cdots\!46\)\( p T^{6} - \)\(22\!\cdots\!24\)\( T^{7} + \)\(40\!\cdots\!21\)\( T^{8} + \)\(79\!\cdots\!48\)\( T^{9} - \)\(60\!\cdots\!52\)\( T^{10} - \)\(10\!\cdots\!56\)\( T^{11} - \)\(20\!\cdots\!81\)\( T^{12} + \)\(76\!\cdots\!92\)\( T^{13} + \)\(23\!\cdots\!02\)\( T^{14} - \)\(19\!\cdots\!88\)\( T^{15} - \)\(67\!\cdots\!26\)\( T^{16} - \)\(17\!\cdots\!72\)\( T^{17} - \)\(14\!\cdots\!53\)\( T^{18} + \)\(12\!\cdots\!04\)\( T^{19} + \)\(22\!\cdots\!78\)\( T^{20} + \)\(12\!\cdots\!04\)\( p^{11} T^{21} - \)\(14\!\cdots\!53\)\( p^{22} T^{22} - \)\(17\!\cdots\!72\)\( p^{33} T^{23} - \)\(67\!\cdots\!26\)\( p^{44} T^{24} - \)\(19\!\cdots\!88\)\( p^{55} T^{25} + \)\(23\!\cdots\!02\)\( p^{66} T^{26} + \)\(76\!\cdots\!92\)\( p^{77} T^{27} - \)\(20\!\cdots\!81\)\( p^{88} T^{28} - \)\(10\!\cdots\!56\)\( p^{99} T^{29} - \)\(60\!\cdots\!52\)\( p^{110} T^{30} + \)\(79\!\cdots\!48\)\( p^{121} T^{31} + \)\(40\!\cdots\!21\)\( p^{132} T^{32} - \)\(22\!\cdots\!24\)\( p^{143} T^{33} - \)\(11\!\cdots\!46\)\( p^{155} T^{34} - \)\(22\!\cdots\!64\)\( p^{165} T^{35} + \)\(55\!\cdots\!90\)\( p^{176} T^{36} + \)\(34\!\cdots\!84\)\( p^{187} T^{37} - 33600384717405838095 p^{198} T^{38} - 1531782992 p^{209} T^{39} + p^{220} T^{40} \) | |
| 59 | \( 1 + 16014164779 T + 31781427098387430345 T^{2} - \)\(88\!\cdots\!31\)\( T^{3} - \)\(73\!\cdots\!39\)\( T^{4} - \)\(24\!\cdots\!16\)\( T^{5} + \)\(36\!\cdots\!08\)\( T^{6} + \)\(21\!\cdots\!64\)\( T^{7} + \)\(17\!\cdots\!90\)\( T^{8} + \)\(32\!\cdots\!54\)\( T^{9} - \)\(34\!\cdots\!32\)\( T^{10} - \)\(33\!\cdots\!28\)\( T^{11} - \)\(18\!\cdots\!04\)\( T^{12} - \)\(34\!\cdots\!18\)\( T^{13} + \)\(43\!\cdots\!18\)\( T^{14} + \)\(36\!\cdots\!12\)\( T^{15} + \)\(13\!\cdots\!33\)\( T^{16} + \)\(25\!\cdots\!67\)\( T^{17} - \)\(15\!\cdots\!71\)\( T^{18} - \)\(19\!\cdots\!43\)\( T^{19} - \)\(11\!\cdots\!58\)\( T^{20} - \)\(19\!\cdots\!43\)\( p^{11} T^{21} - \)\(15\!\cdots\!71\)\( p^{22} T^{22} + \)\(25\!\cdots\!67\)\( p^{33} T^{23} + \)\(13\!\cdots\!33\)\( p^{44} T^{24} + \)\(36\!\cdots\!12\)\( p^{55} T^{25} + \)\(43\!\cdots\!18\)\( p^{66} T^{26} - \)\(34\!\cdots\!18\)\( p^{77} T^{27} - \)\(18\!\cdots\!04\)\( p^{88} T^{28} - \)\(33\!\cdots\!28\)\( p^{99} T^{29} - \)\(34\!\cdots\!32\)\( p^{110} T^{30} + \)\(32\!\cdots\!54\)\( p^{121} T^{31} + \)\(17\!\cdots\!90\)\( p^{132} T^{32} + \)\(21\!\cdots\!64\)\( p^{143} T^{33} + \)\(36\!\cdots\!08\)\( p^{154} T^{34} - \)\(24\!\cdots\!16\)\( p^{165} T^{35} - \)\(73\!\cdots\!39\)\( p^{176} T^{36} - \)\(88\!\cdots\!31\)\( p^{187} T^{37} + 31781427098387430345 p^{198} T^{38} + 16014164779 p^{209} T^{39} + p^{220} T^{40} \) | |
| 61 | \( 1 - 7822116636 T - \)\(14\!\cdots\!63\)\( T^{2} + \)\(97\!\cdots\!08\)\( T^{3} + \)\(11\!\cdots\!26\)\( T^{4} - \)\(58\!\cdots\!64\)\( T^{5} - \)\(60\!\cdots\!22\)\( T^{6} + \)\(11\!\cdots\!04\)\( T^{7} + \)\(23\!\cdots\!61\)\( T^{8} + \)\(77\!\cdots\!52\)\( T^{9} - \)\(53\!\cdots\!52\)\( T^{10} - \)\(11\!\cdots\!40\)\( T^{11} - \)\(75\!\cdots\!65\)\( T^{12} + \)\(80\!\cdots\!80\)\( T^{13} + \)\(19\!\cdots\!90\)\( T^{14} - \)\(41\!\cdots\!32\)\( T^{15} - \)\(12\!\cdots\!18\)\( T^{16} + \)\(13\!\cdots\!16\)\( T^{17} + \)\(63\!\cdots\!99\)\( T^{18} - \)\(23\!\cdots\!12\)\( T^{19} - \)\(27\!\cdots\!06\)\( T^{20} - \)\(23\!\cdots\!12\)\( p^{11} T^{21} + \)\(63\!\cdots\!99\)\( p^{22} T^{22} + \)\(13\!\cdots\!16\)\( p^{33} T^{23} - \)\(12\!\cdots\!18\)\( p^{44} T^{24} - \)\(41\!\cdots\!32\)\( p^{55} T^{25} + \)\(19\!\cdots\!90\)\( p^{66} T^{26} + \)\(80\!\cdots\!80\)\( p^{77} T^{27} - \)\(75\!\cdots\!65\)\( p^{88} T^{28} - \)\(11\!\cdots\!40\)\( p^{99} T^{29} - \)\(53\!\cdots\!52\)\( p^{110} T^{30} + \)\(77\!\cdots\!52\)\( p^{121} T^{31} + \)\(23\!\cdots\!61\)\( p^{132} T^{32} + \)\(11\!\cdots\!04\)\( p^{143} T^{33} - \)\(60\!\cdots\!22\)\( p^{154} T^{34} - \)\(58\!\cdots\!64\)\( p^{165} T^{35} + \)\(11\!\cdots\!26\)\( p^{176} T^{36} + \)\(97\!\cdots\!08\)\( p^{187} T^{37} - \)\(14\!\cdots\!63\)\( p^{198} T^{38} - 7822116636 p^{209} T^{39} + p^{220} T^{40} \) | |
| 67 | \( ( 1 + 11046291769 T + \)\(62\!\cdots\!57\)\( T^{2} + \)\(58\!\cdots\!31\)\( T^{3} + \)\(17\!\cdots\!89\)\( T^{4} + \)\(13\!\cdots\!12\)\( T^{5} + \)\(32\!\cdots\!48\)\( T^{6} + \)\(19\!\cdots\!92\)\( T^{7} + \)\(44\!\cdots\!78\)\( T^{8} + \)\(20\!\cdots\!30\)\( T^{9} + \)\(54\!\cdots\!38\)\( T^{10} + \)\(20\!\cdots\!30\)\( p^{11} T^{11} + \)\(44\!\cdots\!78\)\( p^{22} T^{12} + \)\(19\!\cdots\!92\)\( p^{33} T^{13} + \)\(32\!\cdots\!48\)\( p^{44} T^{14} + \)\(13\!\cdots\!12\)\( p^{55} T^{15} + \)\(17\!\cdots\!89\)\( p^{66} T^{16} + \)\(58\!\cdots\!31\)\( p^{77} T^{17} + \)\(62\!\cdots\!57\)\( p^{88} T^{18} + 11046291769 p^{99} T^{19} + p^{110} T^{20} )^{2} \) | |
| 71 | \( 1 - 23107180542 T - \)\(16\!\cdots\!29\)\( T^{2} + \)\(91\!\cdots\!24\)\( T^{3} - \)\(36\!\cdots\!52\)\( T^{4} - \)\(17\!\cdots\!50\)\( T^{5} + \)\(13\!\cdots\!26\)\( T^{6} + \)\(29\!\cdots\!30\)\( T^{7} - \)\(37\!\cdots\!49\)\( T^{8} - \)\(66\!\cdots\!90\)\( T^{9} - \)\(18\!\cdots\!64\)\( T^{10} - \)\(15\!\cdots\!90\)\( T^{11} + \)\(36\!\cdots\!17\)\( T^{12} - \)\(29\!\cdots\!90\)\( T^{13} - \)\(73\!\cdots\!74\)\( T^{14} + \)\(26\!\cdots\!30\)\( T^{15} + \)\(22\!\cdots\!60\)\( T^{16} - \)\(49\!\cdots\!64\)\( T^{17} - \)\(58\!\cdots\!79\)\( T^{18} + \)\(22\!\cdots\!42\)\( T^{19} + \)\(99\!\cdots\!66\)\( T^{20} + \)\(22\!\cdots\!42\)\( p^{11} T^{21} - \)\(58\!\cdots\!79\)\( p^{22} T^{22} - \)\(49\!\cdots\!64\)\( p^{33} T^{23} + \)\(22\!\cdots\!60\)\( p^{44} T^{24} + \)\(26\!\cdots\!30\)\( p^{55} T^{25} - \)\(73\!\cdots\!74\)\( p^{66} T^{26} - \)\(29\!\cdots\!90\)\( p^{77} T^{27} + \)\(36\!\cdots\!17\)\( p^{88} T^{28} - \)\(15\!\cdots\!90\)\( p^{99} T^{29} - \)\(18\!\cdots\!64\)\( p^{110} T^{30} - \)\(66\!\cdots\!90\)\( p^{121} T^{31} - \)\(37\!\cdots\!49\)\( p^{132} T^{32} + \)\(29\!\cdots\!30\)\( p^{143} T^{33} + \)\(13\!\cdots\!26\)\( p^{154} T^{34} - \)\(17\!\cdots\!50\)\( p^{165} T^{35} - \)\(36\!\cdots\!52\)\( p^{176} T^{36} + \)\(91\!\cdots\!24\)\( p^{187} T^{37} - \)\(16\!\cdots\!29\)\( p^{198} T^{38} - 23107180542 p^{209} T^{39} + p^{220} T^{40} \) | |
| 73 | \( 1 - 55731754682 T + \)\(48\!\cdots\!41\)\( T^{2} + \)\(29\!\cdots\!36\)\( T^{3} - \)\(61\!\cdots\!74\)\( T^{4} - \)\(52\!\cdots\!82\)\( T^{5} + \)\(16\!\cdots\!30\)\( T^{6} + \)\(26\!\cdots\!30\)\( T^{7} - \)\(52\!\cdots\!95\)\( T^{8} - \)\(14\!\cdots\!02\)\( T^{9} + \)\(25\!\cdots\!20\)\( T^{10} + \)\(40\!\cdots\!02\)\( T^{11} - \)\(69\!\cdots\!77\)\( T^{12} - \)\(12\!\cdots\!78\)\( T^{13} + \)\(14\!\cdots\!30\)\( T^{14} + \)\(47\!\cdots\!62\)\( T^{15} - \)\(55\!\cdots\!58\)\( T^{16} - \)\(10\!\cdots\!80\)\( T^{17} + \)\(23\!\cdots\!07\)\( p T^{18} + \)\(79\!\cdots\!62\)\( T^{19} - \)\(42\!\cdots\!34\)\( T^{20} + \)\(79\!\cdots\!62\)\( p^{11} T^{21} + \)\(23\!\cdots\!07\)\( p^{23} T^{22} - \)\(10\!\cdots\!80\)\( p^{33} T^{23} - \)\(55\!\cdots\!58\)\( p^{44} T^{24} + \)\(47\!\cdots\!62\)\( p^{55} T^{25} + \)\(14\!\cdots\!30\)\( p^{66} T^{26} - \)\(12\!\cdots\!78\)\( p^{77} T^{27} - \)\(69\!\cdots\!77\)\( p^{88} T^{28} + \)\(40\!\cdots\!02\)\( p^{99} T^{29} + \)\(25\!\cdots\!20\)\( p^{110} T^{30} - \)\(14\!\cdots\!02\)\( p^{121} T^{31} - \)\(52\!\cdots\!95\)\( p^{132} T^{32} + \)\(26\!\cdots\!30\)\( p^{143} T^{33} + \)\(16\!\cdots\!30\)\( p^{154} T^{34} - \)\(52\!\cdots\!82\)\( p^{165} T^{35} - \)\(61\!\cdots\!74\)\( p^{176} T^{36} + \)\(29\!\cdots\!36\)\( p^{187} T^{37} + \)\(48\!\cdots\!41\)\( p^{198} T^{38} - 55731754682 p^{209} T^{39} + p^{220} T^{40} \) | |
| 79 | \( 1 - 43369591752 T - \)\(27\!\cdots\!25\)\( T^{2} + \)\(12\!\cdots\!38\)\( T^{3} + \)\(37\!\cdots\!76\)\( T^{4} - \)\(17\!\cdots\!22\)\( T^{5} - \)\(19\!\cdots\!10\)\( T^{6} + \)\(15\!\cdots\!98\)\( T^{7} - \)\(22\!\cdots\!93\)\( T^{8} - \)\(62\!\cdots\!02\)\( T^{9} + \)\(55\!\cdots\!40\)\( T^{10} - \)\(29\!\cdots\!62\)\( T^{11} - \)\(55\!\cdots\!87\)\( T^{12} + \)\(84\!\cdots\!98\)\( T^{13} + \)\(34\!\cdots\!10\)\( p T^{14} - \)\(92\!\cdots\!42\)\( T^{15} + \)\(47\!\cdots\!04\)\( T^{16} + \)\(62\!\cdots\!78\)\( T^{17} - \)\(22\!\cdots\!95\)\( T^{18} - \)\(19\!\cdots\!32\)\( T^{19} + \)\(22\!\cdots\!98\)\( T^{20} - \)\(19\!\cdots\!32\)\( p^{11} T^{21} - \)\(22\!\cdots\!95\)\( p^{22} T^{22} + \)\(62\!\cdots\!78\)\( p^{33} T^{23} + \)\(47\!\cdots\!04\)\( p^{44} T^{24} - \)\(92\!\cdots\!42\)\( p^{55} T^{25} + \)\(34\!\cdots\!10\)\( p^{67} T^{26} + \)\(84\!\cdots\!98\)\( p^{77} T^{27} - \)\(55\!\cdots\!87\)\( p^{88} T^{28} - \)\(29\!\cdots\!62\)\( p^{99} T^{29} + \)\(55\!\cdots\!40\)\( p^{110} T^{30} - \)\(62\!\cdots\!02\)\( p^{121} T^{31} - \)\(22\!\cdots\!93\)\( p^{132} T^{32} + \)\(15\!\cdots\!98\)\( p^{143} T^{33} - \)\(19\!\cdots\!10\)\( p^{154} T^{34} - \)\(17\!\cdots\!22\)\( p^{165} T^{35} + \)\(37\!\cdots\!76\)\( p^{176} T^{36} + \)\(12\!\cdots\!38\)\( p^{187} T^{37} - \)\(27\!\cdots\!25\)\( p^{198} T^{38} - 43369591752 p^{209} T^{39} + p^{220} T^{40} \) | |
| 83 | \( 1 - 105219370951 T + \)\(27\!\cdots\!91\)\( T^{2} + \)\(15\!\cdots\!55\)\( T^{3} - \)\(12\!\cdots\!35\)\( T^{4} + \)\(23\!\cdots\!88\)\( T^{5} + \)\(10\!\cdots\!48\)\( T^{6} - \)\(69\!\cdots\!64\)\( T^{7} + \)\(13\!\cdots\!30\)\( T^{8} + \)\(29\!\cdots\!14\)\( T^{9} - \)\(23\!\cdots\!80\)\( T^{10} + \)\(46\!\cdots\!84\)\( T^{11} + \)\(35\!\cdots\!68\)\( T^{12} - \)\(22\!\cdots\!90\)\( T^{13} + \)\(35\!\cdots\!38\)\( T^{14} - \)\(30\!\cdots\!08\)\( T^{15} + \)\(19\!\cdots\!13\)\( T^{16} - \)\(45\!\cdots\!63\)\( T^{17} - \)\(42\!\cdots\!09\)\( T^{18} + \)\(71\!\cdots\!59\)\( T^{19} - \)\(30\!\cdots\!94\)\( T^{20} + \)\(71\!\cdots\!59\)\( p^{11} T^{21} - \)\(42\!\cdots\!09\)\( p^{22} T^{22} - \)\(45\!\cdots\!63\)\( p^{33} T^{23} + \)\(19\!\cdots\!13\)\( p^{44} T^{24} - \)\(30\!\cdots\!08\)\( p^{55} T^{25} + \)\(35\!\cdots\!38\)\( p^{66} T^{26} - \)\(22\!\cdots\!90\)\( p^{77} T^{27} + \)\(35\!\cdots\!68\)\( p^{88} T^{28} + \)\(46\!\cdots\!84\)\( p^{99} T^{29} - \)\(23\!\cdots\!80\)\( p^{110} T^{30} + \)\(29\!\cdots\!14\)\( p^{121} T^{31} + \)\(13\!\cdots\!30\)\( p^{132} T^{32} - \)\(69\!\cdots\!64\)\( p^{143} T^{33} + \)\(10\!\cdots\!48\)\( p^{154} T^{34} + \)\(23\!\cdots\!88\)\( p^{165} T^{35} - \)\(12\!\cdots\!35\)\( p^{176} T^{36} + \)\(15\!\cdots\!55\)\( p^{187} T^{37} + \)\(27\!\cdots\!91\)\( p^{198} T^{38} - 105219370951 p^{209} T^{39} + p^{220} T^{40} \) | |
| 89 | \( ( 1 + 113965187077 T + \)\(21\!\cdots\!29\)\( T^{2} + \)\(20\!\cdots\!65\)\( T^{3} + \)\(22\!\cdots\!49\)\( T^{4} + \)\(18\!\cdots\!36\)\( T^{5} + \)\(15\!\cdots\!36\)\( T^{6} + \)\(10\!\cdots\!00\)\( T^{7} + \)\(69\!\cdots\!46\)\( T^{8} + \)\(39\!\cdots\!02\)\( T^{9} + \)\(22\!\cdots\!58\)\( T^{10} + \)\(39\!\cdots\!02\)\( p^{11} T^{11} + \)\(69\!\cdots\!46\)\( p^{22} T^{12} + \)\(10\!\cdots\!00\)\( p^{33} T^{13} + \)\(15\!\cdots\!36\)\( p^{44} T^{14} + \)\(18\!\cdots\!36\)\( p^{55} T^{15} + \)\(22\!\cdots\!49\)\( p^{66} T^{16} + \)\(20\!\cdots\!65\)\( p^{77} T^{17} + \)\(21\!\cdots\!29\)\( p^{88} T^{18} + 113965187077 p^{99} T^{19} + p^{110} T^{20} )^{2} \) | |
| 97 | \( 1 + 200605898215 T + \)\(13\!\cdots\!85\)\( T^{2} - \)\(49\!\cdots\!05\)\( T^{3} - \)\(17\!\cdots\!75\)\( T^{4} - \)\(25\!\cdots\!24\)\( T^{5} - \)\(20\!\cdots\!20\)\( T^{6} - \)\(21\!\cdots\!00\)\( T^{7} + \)\(15\!\cdots\!10\)\( T^{8} + \)\(18\!\cdots\!90\)\( T^{9} + \)\(14\!\cdots\!88\)\( T^{10} + \)\(71\!\cdots\!80\)\( T^{11} - \)\(23\!\cdots\!60\)\( p T^{12} - \)\(93\!\cdots\!70\)\( T^{13} - \)\(82\!\cdots\!70\)\( T^{14} - \)\(48\!\cdots\!60\)\( T^{15} - \)\(19\!\cdots\!35\)\( T^{16} + \)\(58\!\cdots\!95\)\( T^{17} + \)\(24\!\cdots\!85\)\( T^{18} + \)\(18\!\cdots\!55\)\( T^{19} + \)\(11\!\cdots\!66\)\( T^{20} + \)\(18\!\cdots\!55\)\( p^{11} T^{21} + \)\(24\!\cdots\!85\)\( p^{22} T^{22} + \)\(58\!\cdots\!95\)\( p^{33} T^{23} - \)\(19\!\cdots\!35\)\( p^{44} T^{24} - \)\(48\!\cdots\!60\)\( p^{55} T^{25} - \)\(82\!\cdots\!70\)\( p^{66} T^{26} - \)\(93\!\cdots\!70\)\( p^{77} T^{27} - \)\(23\!\cdots\!60\)\( p^{89} T^{28} + \)\(71\!\cdots\!80\)\( p^{99} T^{29} + \)\(14\!\cdots\!88\)\( p^{110} T^{30} + \)\(18\!\cdots\!90\)\( p^{121} T^{31} + \)\(15\!\cdots\!10\)\( p^{132} T^{32} - \)\(21\!\cdots\!00\)\( p^{143} T^{33} - \)\(20\!\cdots\!20\)\( p^{154} T^{34} - \)\(25\!\cdots\!24\)\( p^{165} T^{35} - \)\(17\!\cdots\!75\)\( p^{176} T^{36} - \)\(49\!\cdots\!05\)\( p^{187} T^{37} + \)\(13\!\cdots\!85\)\( p^{198} T^{38} + 200605898215 p^{209} T^{39} + p^{220} T^{40} \) | |
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\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{40} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−2.63275725787941893874361717320, −2.57293700183699021829878541316, −2.49547979554458997455086771447, −2.40716467280994405802285940731, −2.25008899076658485154255060474, −1.99406735365243193764191436534, −1.94632675360472848836926019198, −1.77343080661188453513821059238, −1.65801660267932801103728623576, −1.62068940816815527893074420967, −1.39468455097064076061739330151, −1.32356879248000567290583440251, −1.16523400538057391913250387490, −1.05446141579936557394271725467, −1.01805929915380217423150875555, −0.928912725212554537777961761763, −0.859911876010302938119400786909, −0.844485778366030246870327793111, −0.78224080610941228287884776886, −0.50962067773751860079888932463, −0.41532745678552956012229838618, −0.40473062924292375728772248349, −0.39932614433516017494034549187, −0.39268009689155710571394071046, −0.26138745581047077450542518630, 0.26138745581047077450542518630, 0.39268009689155710571394071046, 0.39932614433516017494034549187, 0.40473062924292375728772248349, 0.41532745678552956012229838618, 0.50962067773751860079888932463, 0.78224080610941228287884776886, 0.844485778366030246870327793111, 0.859911876010302938119400786909, 0.928912725212554537777961761763, 1.01805929915380217423150875555, 1.05446141579936557394271725467, 1.16523400538057391913250387490, 1.32356879248000567290583440251, 1.39468455097064076061739330151, 1.62068940816815527893074420967, 1.65801660267932801103728623576, 1.77343080661188453513821059238, 1.94632675360472848836926019198, 1.99406735365243193764191436534, 2.25008899076658485154255060474, 2.40716467280994405802285940731, 2.49547979554458997455086771447, 2.57293700183699021829878541316, 2.63275725787941893874361717320
Graph of the $Z$-function along the critical line
Plot not available for L-functions of degree greater than 10.