# Properties

 Degree $14$ Conductor $2.258\times 10^{23}$ Sign $1$ Motivic weight $1$ Primitive no Self-dual yes Analytic rank $0$

# Origins of factors

## Dirichlet series

 L(s)  = 1 + 4·2-s + 2·4-s + 8·5-s − 7·7-s − 14·8-s + 32·10-s + 18·11-s − 13-s − 28·14-s − 22·16-s + 2·17-s − 6·19-s + 16·20-s + 72·22-s + 22·23-s + 17·25-s − 4·26-s − 14·28-s + 16·29-s − 18·31-s + 14·32-s + 8·34-s − 56·35-s + 8·37-s − 24·38-s − 112·40-s + 15·41-s + ⋯
 L(s)  = 1 + 2.82·2-s + 4-s + 3.57·5-s − 2.64·7-s − 4.94·8-s + 10.1·10-s + 5.42·11-s − 0.277·13-s − 7.48·14-s − 5.5·16-s + 0.485·17-s − 1.37·19-s + 3.57·20-s + 15.3·22-s + 4.58·23-s + 17/5·25-s − 0.784·26-s − 2.64·28-s + 2.97·29-s − 3.23·31-s + 2.47·32-s + 1.37·34-s − 9.46·35-s + 1.31·37-s − 3.89·38-s − 17.7·40-s + 2.34·41-s + ⋯

## Functional equation

\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{14} \cdot 241^{7}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{7} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}
\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{14} \cdot 241^{7}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{7} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}

## Invariants

 Degree: $$14$$ Conductor: $$3^{14} \cdot 241^{7}$$ Sign: $1$ Motivic weight: $$1$$ Character: induced by $\chi_{2169} (1, \cdot )$ Primitive: no Self-dual: yes Analytic rank: $$0$$ Selberg data: $$(14,\ 3^{14} \cdot 241^{7} ,\ ( \ : [1/2]^{7} ),\ 1 )$$

## Particular Values

 $$L(1)$$ $$\approx$$ $$45.67650278$$ $$L(\frac12)$$ $$\approx$$ $$45.67650278$$ $$L(\frac{3}{2})$$ not available $$L(1)$$ not available

## Euler product

$$L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1}$$
$p$$F_p(T)$
bad3 $$1$$
241 $$( 1 + T )^{7}$$
good2 $$1 - p^{2} T + 7 p T^{2} - 17 p T^{3} + 37 p T^{4} - 67 p T^{5} + 223 T^{6} - 327 T^{7} + 223 p T^{8} - 67 p^{3} T^{9} + 37 p^{4} T^{10} - 17 p^{5} T^{11} + 7 p^{6} T^{12} - p^{8} T^{13} + p^{7} T^{14}$$
5 $$1 - 8 T + 47 T^{2} - 38 p T^{3} + 132 p T^{4} - 1907 T^{5} + 5037 T^{6} - 11697 T^{7} + 5037 p T^{8} - 1907 p^{2} T^{9} + 132 p^{4} T^{10} - 38 p^{5} T^{11} + 47 p^{5} T^{12} - 8 p^{6} T^{13} + p^{7} T^{14}$$
7 $$1 + p T + 46 T^{2} + 4 p^{2} T^{3} + 786 T^{4} + 2528 T^{5} + 7897 T^{6} + 21047 T^{7} + 7897 p T^{8} + 2528 p^{2} T^{9} + 786 p^{3} T^{10} + 4 p^{6} T^{11} + 46 p^{5} T^{12} + p^{7} T^{13} + p^{7} T^{14}$$
11 $$1 - 18 T + 194 T^{2} - 1471 T^{3} + 8839 T^{4} - 43563 T^{5} + 182353 T^{6} - 651389 T^{7} + 182353 p T^{8} - 43563 p^{2} T^{9} + 8839 p^{3} T^{10} - 1471 p^{4} T^{11} + 194 p^{5} T^{12} - 18 p^{6} T^{13} + p^{7} T^{14}$$
13 $$1 + T + 43 T^{2} + 16 T^{3} + 74 p T^{4} + 171 T^{5} + 1275 p T^{6} + 3431 T^{7} + 1275 p^{2} T^{8} + 171 p^{2} T^{9} + 74 p^{4} T^{10} + 16 p^{4} T^{11} + 43 p^{5} T^{12} + p^{6} T^{13} + p^{7} T^{14}$$
17 $$1 - 2 T + 54 T^{2} - 118 T^{3} + 1511 T^{4} - 4204 T^{5} + 32789 T^{6} - 93345 T^{7} + 32789 p T^{8} - 4204 p^{2} T^{9} + 1511 p^{3} T^{10} - 118 p^{4} T^{11} + 54 p^{5} T^{12} - 2 p^{6} T^{13} + p^{7} T^{14}$$
19 $$1 + 6 T + 77 T^{2} + 408 T^{3} + 3328 T^{4} + 14851 T^{5} + 91875 T^{6} + 346087 T^{7} + 91875 p T^{8} + 14851 p^{2} T^{9} + 3328 p^{3} T^{10} + 408 p^{4} T^{11} + 77 p^{5} T^{12} + 6 p^{6} T^{13} + p^{7} T^{14}$$
23 $$1 - 22 T + 329 T^{2} - 3499 T^{3} + 30354 T^{4} - 215473 T^{5} + 1308858 T^{6} - 6746533 T^{7} + 1308858 p T^{8} - 215473 p^{2} T^{9} + 30354 p^{3} T^{10} - 3499 p^{4} T^{11} + 329 p^{5} T^{12} - 22 p^{6} T^{13} + p^{7} T^{14}$$
29 $$1 - 16 T + 228 T^{2} - 1945 T^{3} + 15113 T^{4} - 86708 T^{5} + 503802 T^{6} - 2527253 T^{7} + 503802 p T^{8} - 86708 p^{2} T^{9} + 15113 p^{3} T^{10} - 1945 p^{4} T^{11} + 228 p^{5} T^{12} - 16 p^{6} T^{13} + p^{7} T^{14}$$
31 $$1 + 18 T + 321 T^{2} + 3457 T^{3} + 35295 T^{4} + 269386 T^{5} + 1944797 T^{6} + 11129437 T^{7} + 1944797 p T^{8} + 269386 p^{2} T^{9} + 35295 p^{3} T^{10} + 3457 p^{4} T^{11} + 321 p^{5} T^{12} + 18 p^{6} T^{13} + p^{7} T^{14}$$
37 $$1 - 8 T + 140 T^{2} - 446 T^{3} + 5906 T^{4} + 5317 T^{5} + 140628 T^{6} + 725991 T^{7} + 140628 p T^{8} + 5317 p^{2} T^{9} + 5906 p^{3} T^{10} - 446 p^{4} T^{11} + 140 p^{5} T^{12} - 8 p^{6} T^{13} + p^{7} T^{14}$$
41 $$1 - 15 T + 165 T^{2} - 1716 T^{3} + 15349 T^{4} - 112837 T^{5} + 825907 T^{6} - 5652081 T^{7} + 825907 p T^{8} - 112837 p^{2} T^{9} + 15349 p^{3} T^{10} - 1716 p^{4} T^{11} + 165 p^{5} T^{12} - 15 p^{6} T^{13} + p^{7} T^{14}$$
43 $$1 - 14 T + 160 T^{2} - 1152 T^{3} + 8465 T^{4} - 39218 T^{5} + 236797 T^{6} - 1042279 T^{7} + 236797 p T^{8} - 39218 p^{2} T^{9} + 8465 p^{3} T^{10} - 1152 p^{4} T^{11} + 160 p^{5} T^{12} - 14 p^{6} T^{13} + p^{7} T^{14}$$
47 $$1 - 10 T + 213 T^{2} - 1823 T^{3} + 23033 T^{4} - 162514 T^{5} + 1573229 T^{6} - 9290969 T^{7} + 1573229 p T^{8} - 162514 p^{2} T^{9} + 23033 p^{3} T^{10} - 1823 p^{4} T^{11} + 213 p^{5} T^{12} - 10 p^{6} T^{13} + p^{7} T^{14}$$
53 $$1 + 15 T + 248 T^{2} + 2459 T^{3} + 26359 T^{4} + 226500 T^{5} + 2031262 T^{6} + 14891311 T^{7} + 2031262 p T^{8} + 226500 p^{2} T^{9} + 26359 p^{3} T^{10} + 2459 p^{4} T^{11} + 248 p^{5} T^{12} + 15 p^{6} T^{13} + p^{7} T^{14}$$
59 $$1 - 18 T + 283 T^{2} - 3342 T^{3} + 39787 T^{4} - 377400 T^{5} + 3440044 T^{6} - 26583077 T^{7} + 3440044 p T^{8} - 377400 p^{2} T^{9} + 39787 p^{3} T^{10} - 3342 p^{4} T^{11} + 283 p^{5} T^{12} - 18 p^{6} T^{13} + p^{7} T^{14}$$
61 $$1 - 4 T + 173 T^{2} + 229 T^{3} + 13815 T^{4} + 53354 T^{5} + 1189845 T^{6} + 3012271 T^{7} + 1189845 p T^{8} + 53354 p^{2} T^{9} + 13815 p^{3} T^{10} + 229 p^{4} T^{11} + 173 p^{5} T^{12} - 4 p^{6} T^{13} + p^{7} T^{14}$$
67 $$1 - 18 T + 312 T^{2} - 3657 T^{3} + 46177 T^{4} - 442394 T^{5} + 4388546 T^{6} - 34987571 T^{7} + 4388546 p T^{8} - 442394 p^{2} T^{9} + 46177 p^{3} T^{10} - 3657 p^{4} T^{11} + 312 p^{5} T^{12} - 18 p^{6} T^{13} + p^{7} T^{14}$$
71 $$1 - 50 T + 1452 T^{2} - 29886 T^{3} + 479876 T^{4} - 6256313 T^{5} + 67998420 T^{6} - 622620957 T^{7} + 67998420 p T^{8} - 6256313 p^{2} T^{9} + 479876 p^{3} T^{10} - 29886 p^{4} T^{11} + 1452 p^{5} T^{12} - 50 p^{6} T^{13} + p^{7} T^{14}$$
73 $$1 + 133 T^{2} + 1068 T^{3} + 10948 T^{4} + 119175 T^{5} + 1571649 T^{6} + 6028685 T^{7} + 1571649 p T^{8} + 119175 p^{2} T^{9} + 10948 p^{3} T^{10} + 1068 p^{4} T^{11} + 133 p^{5} T^{12} + p^{7} T^{14}$$
79 $$1 + 15 T + 468 T^{2} + 5553 T^{3} + 1243 p T^{4} + 946068 T^{5} + 12199714 T^{6} + 95010077 T^{7} + 12199714 p T^{8} + 946068 p^{2} T^{9} + 1243 p^{4} T^{10} + 5553 p^{4} T^{11} + 468 p^{5} T^{12} + 15 p^{6} T^{13} + p^{7} T^{14}$$
83 $$1 - 24 T + 705 T^{2} - 11938 T^{3} + 194891 T^{4} - 2473798 T^{5} + 28249166 T^{6} - 273618813 T^{7} + 28249166 p T^{8} - 2473798 p^{2} T^{9} + 194891 p^{3} T^{10} - 11938 p^{4} T^{11} + 705 p^{5} T^{12} - 24 p^{6} T^{13} + p^{7} T^{14}$$
89 $$1 - 13 T + 260 T^{2} - 2275 T^{3} + 16962 T^{4} - 2186 T^{5} - 807494 T^{6} + 17411725 T^{7} - 807494 p T^{8} - 2186 p^{2} T^{9} + 16962 p^{3} T^{10} - 2275 p^{4} T^{11} + 260 p^{5} T^{12} - 13 p^{6} T^{13} + p^{7} T^{14}$$
97 $$1 - T + 396 T^{2} + 357 T^{3} + 75395 T^{4} + 180194 T^{5} + 9562600 T^{6} + 26454385 T^{7} + 9562600 p T^{8} + 180194 p^{2} T^{9} + 75395 p^{3} T^{10} + 357 p^{4} T^{11} + 396 p^{5} T^{12} - p^{6} T^{13} + p^{7} T^{14}$$
$$L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{14} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}$$