Properties

Label 34-2151e17-1.1-c1e17-0-0
Degree $34$
Conductor $4.517\times 10^{56}$
Sign $1$
Analytic cond. $9.85366\times 10^{20}$
Root an. cond. $4.14437$
Motivic weight $1$
Arithmetic yes
Rational yes
Primitive no
Self-dual yes
Analytic rank $0$

Origins

Origins of factors

Downloads

Learn more

Normalization:  

Dirichlet series

L(s)  = 1  − 6·4-s − 6·5-s + 5·7-s + 8-s + 11-s + 15·13-s + 13·16-s − 4·17-s + 24·19-s + 36·20-s + 9·23-s − 5·25-s − 30·28-s + 2·29-s + 28·31-s − 32-s − 30·35-s + 11·37-s − 6·40-s − 20·41-s − 9·43-s − 6·44-s + 18·47-s − 17·49-s − 90·52-s + 12·53-s − 6·55-s + ⋯
L(s)  = 1  − 3·4-s − 2.68·5-s + 1.88·7-s + 0.353·8-s + 0.301·11-s + 4.16·13-s + 13/4·16-s − 0.970·17-s + 5.50·19-s + 8.04·20-s + 1.87·23-s − 25-s − 5.66·28-s + 0.371·29-s + 5.02·31-s − 0.176·32-s − 5.07·35-s + 1.80·37-s − 0.948·40-s − 3.12·41-s − 1.37·43-s − 0.904·44-s + 2.62·47-s − 2.42·49-s − 12.4·52-s + 1.64·53-s − 0.809·55-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{34} \cdot 239^{17}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{17} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{34} \cdot 239^{17}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{17} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]

Invariants

Degree: \(34\)
Conductor: \(3^{34} \cdot 239^{17}\)
Sign: $1$
Analytic conductor: \(9.85366\times 10^{20}\)
Root analytic conductor: \(4.14437\)
Motivic weight: \(1\)
Rational: yes
Arithmetic: yes
Character: Trivial
Primitive: no
Self-dual: yes
Analytic rank: \(0\)
Selberg data: \((34,\ 3^{34} \cdot 239^{17} ,\ ( \ : [1/2]^{17} ),\ 1 )\)

Particular Values

\(L(1)\) \(\approx\) \(83.15847880\)
\(L(\frac12)\) \(\approx\) \(83.15847880\)
\(L(\frac{3}{2})\) not available
\(L(1)\) not available

Euler product

   \(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
$p$$F_p(T)$
bad3 \( 1 \)
239 \( ( 1 + T )^{17} \)
good2 \( 1 + 3 p T^{2} - T^{3} + 23 T^{4} - 11 T^{5} + 71 T^{6} - 47 T^{7} + 199 T^{8} - 119 T^{9} + 527 T^{10} - 243 T^{11} + 1259 T^{12} - 491 T^{13} + 2671 T^{14} - 527 p T^{15} + 5335 T^{16} - 2273 T^{17} + 5335 p T^{18} - 527 p^{3} T^{19} + 2671 p^{3} T^{20} - 491 p^{4} T^{21} + 1259 p^{5} T^{22} - 243 p^{6} T^{23} + 527 p^{7} T^{24} - 119 p^{8} T^{25} + 199 p^{9} T^{26} - 47 p^{10} T^{27} + 71 p^{11} T^{28} - 11 p^{12} T^{29} + 23 p^{13} T^{30} - p^{14} T^{31} + 3 p^{16} T^{32} + p^{17} T^{34} \)
5 \( 1 + 6 T + 41 T^{2} + 169 T^{3} + 747 T^{4} + 2669 T^{5} + 1968 p T^{6} + 32151 T^{7} + 104338 T^{8} + 311137 T^{9} + 913216 T^{10} + 100707 p^{2} T^{11} + 6839662 T^{12} + 17595953 T^{13} + 8905564 p T^{14} + 107004409 T^{15} + 252979206 T^{16} + 569956319 T^{17} + 252979206 p T^{18} + 107004409 p^{2} T^{19} + 8905564 p^{4} T^{20} + 17595953 p^{4} T^{21} + 6839662 p^{5} T^{22} + 100707 p^{8} T^{23} + 913216 p^{7} T^{24} + 311137 p^{8} T^{25} + 104338 p^{9} T^{26} + 32151 p^{10} T^{27} + 1968 p^{12} T^{28} + 2669 p^{12} T^{29} + 747 p^{13} T^{30} + 169 p^{14} T^{31} + 41 p^{15} T^{32} + 6 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \)
7 \( 1 - 5 T + 6 p T^{2} - 167 T^{3} + 855 T^{4} - 454 p T^{5} + 13103 T^{6} - 46877 T^{7} + 3447 p^{2} T^{8} - 568576 T^{9} + 1870107 T^{10} - 5908143 T^{11} + 2611757 p T^{12} - 54251318 T^{13} + 159362323 T^{14} - 444306925 T^{15} + 1241452133 T^{16} - 3271975862 T^{17} + 1241452133 p T^{18} - 444306925 p^{2} T^{19} + 159362323 p^{3} T^{20} - 54251318 p^{4} T^{21} + 2611757 p^{6} T^{22} - 5908143 p^{6} T^{23} + 1870107 p^{7} T^{24} - 568576 p^{8} T^{25} + 3447 p^{11} T^{26} - 46877 p^{10} T^{27} + 13103 p^{11} T^{28} - 454 p^{13} T^{29} + 855 p^{13} T^{30} - 167 p^{14} T^{31} + 6 p^{16} T^{32} - 5 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \)
11 \( 1 - T + 64 T^{2} + 26 T^{3} + 2217 T^{4} + 2969 T^{5} + 58676 T^{6} + 108697 T^{7} + 1293016 T^{8} + 2699561 T^{9} + 24181408 T^{10} + 4832683 p T^{11} + 389956104 T^{12} + 866058229 T^{13} + 5509408352 T^{14} + 11935064381 T^{15} + 68644026768 T^{16} + 141229816081 T^{17} + 68644026768 p T^{18} + 11935064381 p^{2} T^{19} + 5509408352 p^{3} T^{20} + 866058229 p^{4} T^{21} + 389956104 p^{5} T^{22} + 4832683 p^{7} T^{23} + 24181408 p^{7} T^{24} + 2699561 p^{8} T^{25} + 1293016 p^{9} T^{26} + 108697 p^{10} T^{27} + 58676 p^{11} T^{28} + 2969 p^{12} T^{29} + 2217 p^{13} T^{30} + 26 p^{14} T^{31} + 64 p^{15} T^{32} - p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \)
13 \( 1 - 15 T + 191 T^{2} - 1713 T^{3} + 1068 p T^{4} - 95398 T^{5} + 612088 T^{6} - 272559 p T^{7} + 19500358 T^{8} - 99648400 T^{9} + 489083690 T^{10} - 174067021 p T^{11} + 10115307712 T^{12} - 42984402458 T^{13} + 177073953084 T^{14} - 53590619071 p T^{15} + 2662139479340 T^{16} - 9736579216578 T^{17} + 2662139479340 p T^{18} - 53590619071 p^{3} T^{19} + 177073953084 p^{3} T^{20} - 42984402458 p^{4} T^{21} + 10115307712 p^{5} T^{22} - 174067021 p^{7} T^{23} + 489083690 p^{7} T^{24} - 99648400 p^{8} T^{25} + 19500358 p^{9} T^{26} - 272559 p^{11} T^{27} + 612088 p^{11} T^{28} - 95398 p^{12} T^{29} + 1068 p^{14} T^{30} - 1713 p^{14} T^{31} + 191 p^{15} T^{32} - 15 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \)
17 \( 1 + 4 T + 137 T^{2} + 497 T^{3} + 9527 T^{4} + 31595 T^{5} + 450423 T^{6} + 1376553 T^{7} + 16322033 T^{8} + 46260800 T^{9} + 482980729 T^{10} + 75023196 p T^{11} + 12114980806 T^{12} + 29929785732 T^{13} + 263729038966 T^{14} + 611908921214 T^{15} + 5055359781714 T^{16} + 11046057204274 T^{17} + 5055359781714 p T^{18} + 611908921214 p^{2} T^{19} + 263729038966 p^{3} T^{20} + 29929785732 p^{4} T^{21} + 12114980806 p^{5} T^{22} + 75023196 p^{7} T^{23} + 482980729 p^{7} T^{24} + 46260800 p^{8} T^{25} + 16322033 p^{9} T^{26} + 1376553 p^{10} T^{27} + 450423 p^{11} T^{28} + 31595 p^{12} T^{29} + 9527 p^{13} T^{30} + 497 p^{14} T^{31} + 137 p^{15} T^{32} + 4 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \)
19 \( 1 - 24 T + 402 T^{2} - 4909 T^{3} + 50799 T^{4} - 23702 p T^{5} + 3597747 T^{6} - 26021575 T^{7} + 174785527 T^{8} - 57536924 p T^{9} + 6467303655 T^{10} - 36236001077 T^{11} + 194302886115 T^{12} - 996960094302 T^{13} + 4928905125495 T^{14} - 23443245425991 T^{15} + 107772494939493 T^{16} - 477633678579944 T^{17} + 107772494939493 p T^{18} - 23443245425991 p^{2} T^{19} + 4928905125495 p^{3} T^{20} - 996960094302 p^{4} T^{21} + 194302886115 p^{5} T^{22} - 36236001077 p^{6} T^{23} + 6467303655 p^{7} T^{24} - 57536924 p^{9} T^{25} + 174785527 p^{9} T^{26} - 26021575 p^{10} T^{27} + 3597747 p^{11} T^{28} - 23702 p^{13} T^{29} + 50799 p^{13} T^{30} - 4909 p^{14} T^{31} + 402 p^{15} T^{32} - 24 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \)
23 \( 1 - 9 T + 225 T^{2} - 1637 T^{3} + 23008 T^{4} - 140618 T^{5} + 1468620 T^{6} - 7765463 T^{7} + 67967802 T^{8} - 319754256 T^{9} + 2520003746 T^{10} - 10857698829 T^{11} + 80352302196 T^{12} - 324882521942 T^{13} + 2290180858856 T^{14} - 8785273412887 T^{15} + 58795374781968 T^{16} - 213714601664398 T^{17} + 58795374781968 p T^{18} - 8785273412887 p^{2} T^{19} + 2290180858856 p^{3} T^{20} - 324882521942 p^{4} T^{21} + 80352302196 p^{5} T^{22} - 10857698829 p^{6} T^{23} + 2520003746 p^{7} T^{24} - 319754256 p^{8} T^{25} + 67967802 p^{9} T^{26} - 7765463 p^{10} T^{27} + 1468620 p^{11} T^{28} - 140618 p^{12} T^{29} + 23008 p^{13} T^{30} - 1637 p^{14} T^{31} + 225 p^{15} T^{32} - 9 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \)
29 \( 1 - 2 T + 175 T^{2} - 525 T^{3} + 575 p T^{4} - 57457 T^{5} + 1118960 T^{6} - 3931703 T^{7} + 57897354 T^{8} - 194555181 T^{9} + 2416855924 T^{10} - 7519593099 T^{11} + 84707725654 T^{12} - 240438934329 T^{13} + 2624593473816 T^{14} - 6862367688145 T^{15} + 76665319756110 T^{16} - 194106770028931 T^{17} + 76665319756110 p T^{18} - 6862367688145 p^{2} T^{19} + 2624593473816 p^{3} T^{20} - 240438934329 p^{4} T^{21} + 84707725654 p^{5} T^{22} - 7519593099 p^{6} T^{23} + 2416855924 p^{7} T^{24} - 194555181 p^{8} T^{25} + 57897354 p^{9} T^{26} - 3931703 p^{10} T^{27} + 1118960 p^{11} T^{28} - 57457 p^{12} T^{29} + 575 p^{14} T^{30} - 525 p^{14} T^{31} + 175 p^{15} T^{32} - 2 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \)
31 \( 1 - 28 T + 690 T^{2} - 11368 T^{3} + 168017 T^{4} - 2016552 T^{5} + 22140664 T^{6} - 210397308 T^{7} + 1852768636 T^{8} - 14527157948 T^{9} + 106549419380 T^{10} - 706533855612 T^{11} + 4431502148396 T^{12} - 25500220238648 T^{13} + 142241552895896 T^{14} - 751297349611688 T^{15} + 4059252142004908 T^{16} - 21878802217193176 T^{17} + 4059252142004908 p T^{18} - 751297349611688 p^{2} T^{19} + 142241552895896 p^{3} T^{20} - 25500220238648 p^{4} T^{21} + 4431502148396 p^{5} T^{22} - 706533855612 p^{6} T^{23} + 106549419380 p^{7} T^{24} - 14527157948 p^{8} T^{25} + 1852768636 p^{9} T^{26} - 210397308 p^{10} T^{27} + 22140664 p^{11} T^{28} - 2016552 p^{12} T^{29} + 168017 p^{13} T^{30} - 11368 p^{14} T^{31} + 690 p^{15} T^{32} - 28 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \)
37 \( 1 - 11 T + 401 T^{2} - 4503 T^{3} + 83036 T^{4} - 902106 T^{5} + 11625172 T^{6} - 117788005 T^{7} + 1215795248 T^{8} - 11241408040 T^{9} + 99699813656 T^{10} - 832670551999 T^{11} + 6585237818636 T^{12} - 49573894250534 T^{13} + 355913675317412 T^{14} - 2422056625494005 T^{15} + 15882959030369626 T^{16} - 98201313479952026 T^{17} + 15882959030369626 p T^{18} - 2422056625494005 p^{2} T^{19} + 355913675317412 p^{3} T^{20} - 49573894250534 p^{4} T^{21} + 6585237818636 p^{5} T^{22} - 832670551999 p^{6} T^{23} + 99699813656 p^{7} T^{24} - 11241408040 p^{8} T^{25} + 1215795248 p^{9} T^{26} - 117788005 p^{10} T^{27} + 11625172 p^{11} T^{28} - 902106 p^{12} T^{29} + 83036 p^{13} T^{30} - 4503 p^{14} T^{31} + 401 p^{15} T^{32} - 11 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \)
41 \( 1 + 20 T + 536 T^{2} + 7891 T^{3} + 129107 T^{4} + 1546558 T^{5} + 19546473 T^{6} + 200950545 T^{7} + 2136623001 T^{8} + 19446318652 T^{9} + 181380739827 T^{10} + 36327499507 p T^{11} + 12476807489995 T^{12} + 2281163960082 p T^{13} + 713534274489801 T^{14} + 119906055827305 p T^{15} + 34433346225083667 T^{16} + 218712712489504928 T^{17} + 34433346225083667 p T^{18} + 119906055827305 p^{3} T^{19} + 713534274489801 p^{3} T^{20} + 2281163960082 p^{5} T^{21} + 12476807489995 p^{5} T^{22} + 36327499507 p^{7} T^{23} + 181380739827 p^{7} T^{24} + 19446318652 p^{8} T^{25} + 2136623001 p^{9} T^{26} + 200950545 p^{10} T^{27} + 19546473 p^{11} T^{28} + 1546558 p^{12} T^{29} + 129107 p^{13} T^{30} + 7891 p^{14} T^{31} + 536 p^{15} T^{32} + 20 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \)
43 \( 1 + 9 T + 411 T^{2} + 3067 T^{3} + 84284 T^{4} + 548002 T^{5} + 11634756 T^{6} + 67535681 T^{7} + 1212625252 T^{8} + 6375775680 T^{9} + 101218067756 T^{10} + 486931969875 T^{11} + 7000830363220 T^{12} + 31025932270046 T^{13} + 409398077635340 T^{14} + 1678817820695969 T^{15} + 20476176687160198 T^{16} + 77863721878270958 T^{17} + 20476176687160198 p T^{18} + 1678817820695969 p^{2} T^{19} + 409398077635340 p^{3} T^{20} + 31025932270046 p^{4} T^{21} + 7000830363220 p^{5} T^{22} + 486931969875 p^{6} T^{23} + 101218067756 p^{7} T^{24} + 6375775680 p^{8} T^{25} + 1212625252 p^{9} T^{26} + 67535681 p^{10} T^{27} + 11634756 p^{11} T^{28} + 548002 p^{12} T^{29} + 84284 p^{13} T^{30} + 3067 p^{14} T^{31} + 411 p^{15} T^{32} + 9 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \)
47 \( 1 - 18 T + 584 T^{2} - 8227 T^{3} + 153611 T^{4} - 1809626 T^{5} + 25037695 T^{6} - 256437825 T^{7} + 2893103025 T^{8} - 26443116060 T^{9} + 255929313821 T^{10} - 2129734936331 T^{11} + 18289391755787 T^{12} - 140937828966982 T^{13} + 1102643454519159 T^{14} - 7977622370441425 T^{15} + 58081710912359203 T^{16} - 397487546242583652 T^{17} + 58081710912359203 p T^{18} - 7977622370441425 p^{2} T^{19} + 1102643454519159 p^{3} T^{20} - 140937828966982 p^{4} T^{21} + 18289391755787 p^{5} T^{22} - 2129734936331 p^{6} T^{23} + 255929313821 p^{7} T^{24} - 26443116060 p^{8} T^{25} + 2893103025 p^{9} T^{26} - 256437825 p^{10} T^{27} + 25037695 p^{11} T^{28} - 1809626 p^{12} T^{29} + 153611 p^{13} T^{30} - 8227 p^{14} T^{31} + 584 p^{15} T^{32} - 18 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \)
53 \( 1 - 12 T + 490 T^{2} - 5121 T^{3} + 117363 T^{4} - 1096278 T^{5} + 18520729 T^{6} - 157965683 T^{7} + 2186103171 T^{8} - 17297016716 T^{9} + 73711149 p^{2} T^{10} - 1535526884937 T^{11} + 16427785332623 T^{12} - 114847484930666 T^{13} + 1122519710630333 T^{14} - 7413597492838483 T^{15} + 67244696153672841 T^{16} - 418936029076203408 T^{17} + 67244696153672841 p T^{18} - 7413597492838483 p^{2} T^{19} + 1122519710630333 p^{3} T^{20} - 114847484930666 p^{4} T^{21} + 16427785332623 p^{5} T^{22} - 1535526884937 p^{6} T^{23} + 73711149 p^{9} T^{24} - 17297016716 p^{8} T^{25} + 2186103171 p^{9} T^{26} - 157965683 p^{10} T^{27} + 18520729 p^{11} T^{28} - 1096278 p^{12} T^{29} + 117363 p^{13} T^{30} - 5121 p^{14} T^{31} + 490 p^{15} T^{32} - 12 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \)
59 \( 1 + T + 503 T^{2} + 101 T^{3} + 129016 T^{4} - 87790 T^{5} + 22304216 T^{6} - 34797201 T^{7} + 2919912168 T^{8} - 6910859168 T^{9} + 308760582496 T^{10} - 933981683587 T^{11} + 27447890363000 T^{12} - 1613057933462 p T^{13} + 2103206448698840 T^{14} - 7673978661826497 T^{15} + 140946482689904194 T^{16} - 501269438336147266 T^{17} + 140946482689904194 p T^{18} - 7673978661826497 p^{2} T^{19} + 2103206448698840 p^{3} T^{20} - 1613057933462 p^{5} T^{21} + 27447890363000 p^{5} T^{22} - 933981683587 p^{6} T^{23} + 308760582496 p^{7} T^{24} - 6910859168 p^{8} T^{25} + 2919912168 p^{9} T^{26} - 34797201 p^{10} T^{27} + 22304216 p^{11} T^{28} - 87790 p^{12} T^{29} + 129016 p^{13} T^{30} + 101 p^{14} T^{31} + 503 p^{15} T^{32} + p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \)
61 \( 1 - 24 T + 958 T^{2} - 17982 T^{3} + 418733 T^{4} - 6522020 T^{5} + 113673749 T^{6} - 1521530862 T^{7} + 21748694782 T^{8} - 255797503552 T^{9} + 3136849629497 T^{10} - 32894816703216 T^{11} + 355000352902642 T^{12} - 3350470797075128 T^{13} + 32309706437631804 T^{14} - 275944184562794516 T^{15} + 2399313064116376234 T^{16} - 18582468945491978392 T^{17} + 2399313064116376234 p T^{18} - 275944184562794516 p^{2} T^{19} + 32309706437631804 p^{3} T^{20} - 3350470797075128 p^{4} T^{21} + 355000352902642 p^{5} T^{22} - 32894816703216 p^{6} T^{23} + 3136849629497 p^{7} T^{24} - 255797503552 p^{8} T^{25} + 21748694782 p^{9} T^{26} - 1521530862 p^{10} T^{27} + 113673749 p^{11} T^{28} - 6522020 p^{12} T^{29} + 418733 p^{13} T^{30} - 17982 p^{14} T^{31} + 958 p^{15} T^{32} - 24 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \)
67 \( 1 - 16 T + 667 T^{2} - 8923 T^{3} + 203401 T^{4} - 2344563 T^{5} + 38457607 T^{6} - 394374515 T^{7} + 5215333917 T^{8} - 49331247156 T^{9} + 562675228735 T^{10} - 5080715775940 T^{11} + 52217065107386 T^{12} - 458408519779236 T^{13} + 4344826796539390 T^{14} - 36914094210300818 T^{15} + 325759353925569802 T^{16} - 2634824132796476258 T^{17} + 325759353925569802 p T^{18} - 36914094210300818 p^{2} T^{19} + 4344826796539390 p^{3} T^{20} - 458408519779236 p^{4} T^{21} + 52217065107386 p^{5} T^{22} - 5080715775940 p^{6} T^{23} + 562675228735 p^{7} T^{24} - 49331247156 p^{8} T^{25} + 5215333917 p^{9} T^{26} - 394374515 p^{10} T^{27} + 38457607 p^{11} T^{28} - 2344563 p^{12} T^{29} + 203401 p^{13} T^{30} - 8923 p^{14} T^{31} + 667 p^{15} T^{32} - 16 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \)
71 \( 1 + 12 T + 705 T^{2} + 8751 T^{3} + 262645 T^{4} + 3191859 T^{5} + 66753932 T^{6} + 772947127 T^{7} + 12749962156 T^{8} + 138692823139 T^{9} + 1922616564681 T^{10} + 19495070427895 T^{11} + 235562648699469 T^{12} + 2215301982540126 T^{13} + 23862625437567061 T^{14} + 207245105044010794 T^{15} + 2018982846502800512 T^{16} + 16115340680586195074 T^{17} + 2018982846502800512 p T^{18} + 207245105044010794 p^{2} T^{19} + 23862625437567061 p^{3} T^{20} + 2215301982540126 p^{4} T^{21} + 235562648699469 p^{5} T^{22} + 19495070427895 p^{6} T^{23} + 1922616564681 p^{7} T^{24} + 138692823139 p^{8} T^{25} + 12749962156 p^{9} T^{26} + 772947127 p^{10} T^{27} + 66753932 p^{11} T^{28} + 3191859 p^{12} T^{29} + 262645 p^{13} T^{30} + 8751 p^{14} T^{31} + 705 p^{15} T^{32} + 12 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \)
73 \( 1 - 30 T + 16 p T^{2} - 26171 T^{3} + 603161 T^{4} - 10830886 T^{5} + 188454911 T^{6} - 2833197689 T^{7} + 40663864541 T^{8} - 527604465700 T^{9} + 6533513317895 T^{10} - 74873275875587 T^{11} + 822605316972133 T^{12} - 8483231466752890 T^{13} + 84324887627490643 T^{14} - 794072769472570729 T^{15} + 7238026546012556611 T^{16} - 62806751269174768828 T^{17} + 7238026546012556611 p T^{18} - 794072769472570729 p^{2} T^{19} + 84324887627490643 p^{3} T^{20} - 8483231466752890 p^{4} T^{21} + 822605316972133 p^{5} T^{22} - 74873275875587 p^{6} T^{23} + 6533513317895 p^{7} T^{24} - 527604465700 p^{8} T^{25} + 40663864541 p^{9} T^{26} - 2833197689 p^{10} T^{27} + 188454911 p^{11} T^{28} - 10830886 p^{12} T^{29} + 603161 p^{13} T^{30} - 26171 p^{14} T^{31} + 16 p^{16} T^{32} - 30 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \)
79 \( 1 + 10 T + 719 T^{2} + 5072 T^{3} + 239752 T^{4} + 1087728 T^{5} + 642376 p T^{6} + 108609904 T^{7} + 7853519228 T^{8} - 2269606248 T^{9} + 966170975044 T^{10} - 2670731899184 T^{11} + 99980790198776 T^{12} - 510984385570672 T^{13} + 9107656491065288 T^{14} - 62752648977780752 T^{15} + 761436953313383174 T^{16} - 5689526621448972868 T^{17} + 761436953313383174 p T^{18} - 62752648977780752 p^{2} T^{19} + 9107656491065288 p^{3} T^{20} - 510984385570672 p^{4} T^{21} + 99980790198776 p^{5} T^{22} - 2670731899184 p^{6} T^{23} + 966170975044 p^{7} T^{24} - 2269606248 p^{8} T^{25} + 7853519228 p^{9} T^{26} + 108609904 p^{10} T^{27} + 642376 p^{12} T^{28} + 1087728 p^{12} T^{29} + 239752 p^{13} T^{30} + 5072 p^{14} T^{31} + 719 p^{15} T^{32} + 10 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \)
83 \( 1 - 16 T + 926 T^{2} - 12116 T^{3} + 399953 T^{4} - 4434612 T^{5} + 109482012 T^{6} - 1049361692 T^{7} + 21604022016 T^{8} - 181169303660 T^{9} + 3307957406508 T^{10} - 24511702968280 T^{11} + 413620625707508 T^{12} - 2742646165556652 T^{13} + 43949746178661756 T^{14} - 265791595606528956 T^{15} + 4091405732175384452 T^{16} - 23120943047666190712 T^{17} + 4091405732175384452 p T^{18} - 265791595606528956 p^{2} T^{19} + 43949746178661756 p^{3} T^{20} - 2742646165556652 p^{4} T^{21} + 413620625707508 p^{5} T^{22} - 24511702968280 p^{6} T^{23} + 3307957406508 p^{7} T^{24} - 181169303660 p^{8} T^{25} + 21604022016 p^{9} T^{26} - 1049361692 p^{10} T^{27} + 109482012 p^{11} T^{28} - 4434612 p^{12} T^{29} + 399953 p^{13} T^{30} - 12116 p^{14} T^{31} + 926 p^{15} T^{32} - 16 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \)
89 \( 1 + 65 T + 2918 T^{2} + 96547 T^{3} + 2660077 T^{4} + 62565406 T^{5} + 1302334111 T^{6} + 273242489 p T^{7} + 413978428779 T^{8} + 6479291623832 T^{9} + 94068794785033 T^{10} + 1274219544997227 T^{11} + 16192159836265709 T^{12} + 193814174520024898 T^{13} + 2192687905245489687 T^{14} + 23508308960222996929 T^{15} + \)\(23\!\cdots\!93\)\( T^{16} + \)\(23\!\cdots\!70\)\( T^{17} + \)\(23\!\cdots\!93\)\( p T^{18} + 23508308960222996929 p^{2} T^{19} + 2192687905245489687 p^{3} T^{20} + 193814174520024898 p^{4} T^{21} + 16192159836265709 p^{5} T^{22} + 1274219544997227 p^{6} T^{23} + 94068794785033 p^{7} T^{24} + 6479291623832 p^{8} T^{25} + 413978428779 p^{9} T^{26} + 273242489 p^{11} T^{27} + 1302334111 p^{11} T^{28} + 62565406 p^{12} T^{29} + 2660077 p^{13} T^{30} + 96547 p^{14} T^{31} + 2918 p^{15} T^{32} + 65 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \)
97 \( 1 - 87 T + 4415 T^{2} - 164307 T^{3} + 4949392 T^{4} - 126808358 T^{5} + 2851071068 T^{6} - 57407322417 T^{7} + 1050385625706 T^{8} - 17649647222512 T^{9} + 274547184355918 T^{10} - 3977832384791355 T^{11} + 53937721352934652 T^{12} - 686977415687210362 T^{13} + 8241614852514511704 T^{14} - 93323613288061880641 T^{15} + \)\(99\!\cdots\!32\)\( T^{16} - \)\(10\!\cdots\!42\)\( T^{17} + \)\(99\!\cdots\!32\)\( p T^{18} - 93323613288061880641 p^{2} T^{19} + 8241614852514511704 p^{3} T^{20} - 686977415687210362 p^{4} T^{21} + 53937721352934652 p^{5} T^{22} - 3977832384791355 p^{6} T^{23} + 274547184355918 p^{7} T^{24} - 17649647222512 p^{8} T^{25} + 1050385625706 p^{9} T^{26} - 57407322417 p^{10} T^{27} + 2851071068 p^{11} T^{28} - 126808358 p^{12} T^{29} + 4949392 p^{13} T^{30} - 164307 p^{14} T^{31} + 4415 p^{15} T^{32} - 87 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \)
show more
show less
   \(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{34} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−2.09426704755142991269199455201, −1.91529930560960754256969032531, −1.85782642873151336926071146308, −1.83673850455880289963228410496, −1.76623478149794243581717983522, −1.75867375465645989322237892959, −1.75643748464247847774597296333, −1.74289830698587812066590545789, −1.59963524390048277298359079428, −1.48142922134988330650241215951, −1.25981455277541141898014519222, −1.24272980920415903753695849247, −1.16156701404506241434678792508, −1.11391993634066193646305445746, −0.993802377940641975891393843557, −0.975506007691015832262219976197, −0.886758517689850474466112275139, −0.879691661972770754040136248880, −0.78582574569515766417781175710, −0.68739193828235140463366413982, −0.43344493857591651281865691349, −0.42801059137348282852090835010, −0.38892071632581215694884536117, −0.37755825352898693789115362840, −0.34386423185050138387792423129, 0.34386423185050138387792423129, 0.37755825352898693789115362840, 0.38892071632581215694884536117, 0.42801059137348282852090835010, 0.43344493857591651281865691349, 0.68739193828235140463366413982, 0.78582574569515766417781175710, 0.879691661972770754040136248880, 0.886758517689850474466112275139, 0.975506007691015832262219976197, 0.993802377940641975891393843557, 1.11391993634066193646305445746, 1.16156701404506241434678792508, 1.24272980920415903753695849247, 1.25981455277541141898014519222, 1.48142922134988330650241215951, 1.59963524390048277298359079428, 1.74289830698587812066590545789, 1.75643748464247847774597296333, 1.75867375465645989322237892959, 1.76623478149794243581717983522, 1.83673850455880289963228410496, 1.85782642873151336926071146308, 1.91529930560960754256969032531, 2.09426704755142991269199455201

Graph of the $Z$-function along the critical line

Plot not available for L-functions of degree greater than 10.