Dirichlet series
L(s) = 1 | + 6.08e4·2-s − 3.34e7·3-s + 1.07e9·4-s − 2.86e9·5-s − 2.03e12·6-s + 4.74e12·7-s − 1.73e13·8-s + 6.40e14·9-s − 1.74e14·10-s + 1.35e14·11-s − 3.59e16·12-s + 1.21e16·13-s + 2.88e17·14-s + 9.58e16·15-s − 9.98e17·16-s − 3.85e17·17-s + 3.89e19·18-s + 7.26e17·19-s − 3.07e18·20-s − 1.58e20·21-s + 8.27e18·22-s + 8.16e19·23-s + 5.81e20·24-s − 8.20e20·25-s + 7.38e20·26-s − 9.19e21·27-s + 5.09e21·28-s + ⋯ |
L(s) = 1 | + 2.62·2-s − 4.04·3-s + 2.00·4-s − 0.209·5-s − 10.6·6-s + 2.64·7-s − 1.39·8-s + 28/3·9-s − 0.550·10-s + 0.107·11-s − 8.08·12-s + 0.855·13-s + 6.95·14-s + 0.847·15-s − 3.46·16-s − 0.555·17-s + 24.5·18-s + 0.208·19-s − 0.419·20-s − 10.6·21-s + 0.283·22-s + 1.46·23-s + 5.64·24-s − 4.40·25-s + 2.24·26-s − 16.1·27-s + 5.29·28-s + ⋯ |
Functional equation
Invariants
Degree: | \(14\) |
Conductor: | \(3^{7} \cdot 7^{7}\) |
Sign: | $1$ |
Analytic conductor: | \(2.19468\times 10^{14}\) |
Root analytic conductor: | \(10.5775\) |
Motivic weight: | \(29\) |
Rational: | yes |
Arithmetic: | yes |
Character: | Trivial |
Primitive: | no |
Self-dual: | yes |
Analytic rank: | \(0\) |
Selberg data: | \((14,\ 3^{7} \cdot 7^{7} ,\ ( \ : [29/2]^{7} ),\ 1 )\) |
Particular Values
\(L(15)\) | \(\approx\) | \(20.56715864\) |
\(L(\frac12)\) | \(\approx\) | \(20.56715864\) |
\(L(\frac{31}{2})\) | not available | |
\(L(1)\) | not available |
Euler product
$p$ | $F_p(T)$ | |
---|---|---|
bad | 3 | \( ( 1 + p^{14} T )^{7} \) |
7 | \( ( 1 - p^{14} T )^{7} \) | |
good | 2 | \( 1 - 30435 p T + 328882363 p^{3} T^{2} - 604712936295 p^{7} T^{3} + 111487553463921 p^{14} T^{4} - 31117694500814499 p^{20} T^{5} + 14101663836710116145 p^{25} T^{6} - \)\(43\!\cdots\!59\)\( p^{34} T^{7} + 14101663836710116145 p^{54} T^{8} - 31117694500814499 p^{78} T^{9} + 111487553463921 p^{101} T^{10} - 604712936295 p^{123} T^{11} + 328882363 p^{148} T^{12} - 30435 p^{175} T^{13} + p^{203} T^{14} \) |
5 | \( 1 + 2861618502 T + \)\(16\!\cdots\!03\)\( p T^{2} + \)\(26\!\cdots\!48\)\( p^{2} T^{3} + \)\(10\!\cdots\!97\)\( p^{5} T^{4} - \)\(42\!\cdots\!78\)\( p^{8} T^{5} + \)\(34\!\cdots\!23\)\( p^{12} T^{6} - \)\(48\!\cdots\!12\)\( p^{16} T^{7} + \)\(34\!\cdots\!23\)\( p^{41} T^{8} - \)\(42\!\cdots\!78\)\( p^{66} T^{9} + \)\(10\!\cdots\!97\)\( p^{92} T^{10} + \)\(26\!\cdots\!48\)\( p^{118} T^{11} + \)\(16\!\cdots\!03\)\( p^{146} T^{12} + 2861618502 p^{174} T^{13} + p^{203} T^{14} \) | |
11 | \( 1 - 135879674344284 T + \)\(33\!\cdots\!81\)\( T^{2} - \)\(38\!\cdots\!44\)\( p T^{3} + \)\(44\!\cdots\!61\)\( p^{2} T^{4} - \)\(87\!\cdots\!24\)\( p^{3} T^{5} + \)\(86\!\cdots\!31\)\( p^{5} T^{6} - \)\(84\!\cdots\!84\)\( p^{7} T^{7} + \)\(86\!\cdots\!31\)\( p^{34} T^{8} - \)\(87\!\cdots\!24\)\( p^{61} T^{9} + \)\(44\!\cdots\!61\)\( p^{89} T^{10} - \)\(38\!\cdots\!44\)\( p^{117} T^{11} + \)\(33\!\cdots\!81\)\( p^{145} T^{12} - 135879674344284 p^{174} T^{13} + p^{203} T^{14} \) | |
13 | \( 1 - 933768842195090 p T + \)\(34\!\cdots\!59\)\( p^{2} T^{2} - \)\(47\!\cdots\!20\)\( p^{2} T^{3} + \)\(10\!\cdots\!77\)\( p^{3} T^{4} - \)\(71\!\cdots\!46\)\( p^{5} T^{5} + \)\(91\!\cdots\!55\)\( p^{7} T^{6} - \)\(60\!\cdots\!76\)\( p^{9} T^{7} + \)\(91\!\cdots\!55\)\( p^{36} T^{8} - \)\(71\!\cdots\!46\)\( p^{63} T^{9} + \)\(10\!\cdots\!77\)\( p^{90} T^{10} - \)\(47\!\cdots\!20\)\( p^{118} T^{11} + \)\(34\!\cdots\!59\)\( p^{147} T^{12} - 933768842195090 p^{175} T^{13} + p^{203} T^{14} \) | |
17 | \( 1 + 385869676567281066 T + \)\(26\!\cdots\!63\)\( T^{2} + \)\(10\!\cdots\!52\)\( T^{3} + \)\(32\!\cdots\!29\)\( T^{4} + \)\(69\!\cdots\!58\)\( p T^{5} + \)\(82\!\cdots\!79\)\( p^{2} T^{6} + \)\(15\!\cdots\!96\)\( p^{3} T^{7} + \)\(82\!\cdots\!79\)\( p^{31} T^{8} + \)\(69\!\cdots\!58\)\( p^{59} T^{9} + \)\(32\!\cdots\!29\)\( p^{87} T^{10} + \)\(10\!\cdots\!52\)\( p^{116} T^{11} + \)\(26\!\cdots\!63\)\( p^{145} T^{12} + 385869676567281066 p^{174} T^{13} + p^{203} T^{14} \) | |
19 | \( 1 - 38214507429662876 p T + \)\(38\!\cdots\!97\)\( T^{2} - \)\(53\!\cdots\!36\)\( T^{3} + \)\(82\!\cdots\!21\)\( T^{4} - \)\(64\!\cdots\!96\)\( p T^{5} + \)\(38\!\cdots\!61\)\( p^{2} T^{6} - \)\(24\!\cdots\!12\)\( p^{3} T^{7} + \)\(38\!\cdots\!61\)\( p^{31} T^{8} - \)\(64\!\cdots\!96\)\( p^{59} T^{9} + \)\(82\!\cdots\!21\)\( p^{87} T^{10} - \)\(53\!\cdots\!36\)\( p^{116} T^{11} + \)\(38\!\cdots\!97\)\( p^{145} T^{12} - 38214507429662876 p^{175} T^{13} + p^{203} T^{14} \) | |
23 | \( 1 - 81623233895572110192 T + \)\(83\!\cdots\!17\)\( T^{2} - \)\(27\!\cdots\!32\)\( p T^{3} + \)\(10\!\cdots\!41\)\( p^{2} T^{4} - \)\(30\!\cdots\!20\)\( p^{3} T^{5} + \)\(84\!\cdots\!85\)\( p^{4} T^{6} - \)\(19\!\cdots\!40\)\( p^{5} T^{7} + \)\(84\!\cdots\!85\)\( p^{33} T^{8} - \)\(30\!\cdots\!20\)\( p^{61} T^{9} + \)\(10\!\cdots\!41\)\( p^{89} T^{10} - \)\(27\!\cdots\!32\)\( p^{117} T^{11} + \)\(83\!\cdots\!17\)\( p^{145} T^{12} - 81623233895572110192 p^{174} T^{13} + p^{203} T^{14} \) | |
29 | \( 1 - \)\(25\!\cdots\!06\)\( T + \)\(15\!\cdots\!07\)\( T^{2} - \)\(25\!\cdots\!04\)\( T^{3} + \)\(92\!\cdots\!21\)\( T^{4} - \)\(11\!\cdots\!38\)\( T^{5} + \)\(32\!\cdots\!83\)\( T^{6} - \)\(31\!\cdots\!56\)\( T^{7} + \)\(32\!\cdots\!83\)\( p^{29} T^{8} - \)\(11\!\cdots\!38\)\( p^{58} T^{9} + \)\(92\!\cdots\!21\)\( p^{87} T^{10} - \)\(25\!\cdots\!04\)\( p^{116} T^{11} + \)\(15\!\cdots\!07\)\( p^{145} T^{12} - \)\(25\!\cdots\!06\)\( p^{174} T^{13} + p^{203} T^{14} \) | |
31 | \( 1 - \)\(30\!\cdots\!52\)\( T + \)\(41\!\cdots\!93\)\( T^{2} - \)\(42\!\cdots\!12\)\( T^{3} + \)\(67\!\cdots\!21\)\( T^{4} + \)\(26\!\cdots\!80\)\( T^{5} + \)\(61\!\cdots\!85\)\( T^{6} + \)\(79\!\cdots\!00\)\( T^{7} + \)\(61\!\cdots\!85\)\( p^{29} T^{8} + \)\(26\!\cdots\!80\)\( p^{58} T^{9} + \)\(67\!\cdots\!21\)\( p^{87} T^{10} - \)\(42\!\cdots\!12\)\( p^{116} T^{11} + \)\(41\!\cdots\!93\)\( p^{145} T^{12} - \)\(30\!\cdots\!52\)\( p^{174} T^{13} + p^{203} T^{14} \) | |
37 | \( 1 - \)\(12\!\cdots\!66\)\( T + \)\(31\!\cdots\!79\)\( p T^{2} + \)\(83\!\cdots\!88\)\( T^{3} + \)\(17\!\cdots\!37\)\( p T^{4} + \)\(71\!\cdots\!94\)\( T^{5} + \)\(24\!\cdots\!71\)\( T^{6} + \)\(35\!\cdots\!72\)\( T^{7} + \)\(24\!\cdots\!71\)\( p^{29} T^{8} + \)\(71\!\cdots\!94\)\( p^{58} T^{9} + \)\(17\!\cdots\!37\)\( p^{88} T^{10} + \)\(83\!\cdots\!88\)\( p^{116} T^{11} + \)\(31\!\cdots\!79\)\( p^{146} T^{12} - \)\(12\!\cdots\!66\)\( p^{174} T^{13} + p^{203} T^{14} \) | |
41 | \( 1 + \)\(26\!\cdots\!54\)\( T + \)\(95\!\cdots\!91\)\( p T^{2} + \)\(81\!\cdots\!24\)\( T^{3} + \)\(65\!\cdots\!21\)\( T^{4} + \)\(11\!\cdots\!98\)\( T^{5} + \)\(62\!\cdots\!87\)\( T^{6} + \)\(84\!\cdots\!88\)\( T^{7} + \)\(62\!\cdots\!87\)\( p^{29} T^{8} + \)\(11\!\cdots\!98\)\( p^{58} T^{9} + \)\(65\!\cdots\!21\)\( p^{87} T^{10} + \)\(81\!\cdots\!24\)\( p^{116} T^{11} + \)\(95\!\cdots\!91\)\( p^{146} T^{12} + \)\(26\!\cdots\!54\)\( p^{174} T^{13} + p^{203} T^{14} \) | |
43 | \( 1 + \)\(19\!\cdots\!80\)\( T + \)\(54\!\cdots\!41\)\( T^{2} - \)\(15\!\cdots\!80\)\( T^{3} + \)\(98\!\cdots\!69\)\( T^{4} - \)\(17\!\cdots\!36\)\( T^{5} + \)\(16\!\cdots\!45\)\( T^{6} - \)\(17\!\cdots\!96\)\( T^{7} + \)\(16\!\cdots\!45\)\( p^{29} T^{8} - \)\(17\!\cdots\!36\)\( p^{58} T^{9} + \)\(98\!\cdots\!69\)\( p^{87} T^{10} - \)\(15\!\cdots\!80\)\( p^{116} T^{11} + \)\(54\!\cdots\!41\)\( p^{145} T^{12} + \)\(19\!\cdots\!80\)\( p^{174} T^{13} + p^{203} T^{14} \) | |
47 | \( 1 + \)\(11\!\cdots\!48\)\( T + \)\(12\!\cdots\!65\)\( T^{2} + \)\(81\!\cdots\!16\)\( T^{3} + \)\(12\!\cdots\!67\)\( p T^{4} + \)\(84\!\cdots\!40\)\( T^{5} + \)\(15\!\cdots\!65\)\( T^{6} - \)\(34\!\cdots\!40\)\( T^{7} + \)\(15\!\cdots\!65\)\( p^{29} T^{8} + \)\(84\!\cdots\!40\)\( p^{58} T^{9} + \)\(12\!\cdots\!67\)\( p^{88} T^{10} + \)\(81\!\cdots\!16\)\( p^{116} T^{11} + \)\(12\!\cdots\!65\)\( p^{145} T^{12} + \)\(11\!\cdots\!48\)\( p^{174} T^{13} + p^{203} T^{14} \) | |
53 | \( 1 + \)\(66\!\cdots\!14\)\( T + \)\(45\!\cdots\!35\)\( p T^{2} + \)\(22\!\cdots\!52\)\( T^{3} + \)\(53\!\cdots\!49\)\( T^{4} + \)\(33\!\cdots\!14\)\( T^{5} + \)\(69\!\cdots\!91\)\( T^{6} + \)\(46\!\cdots\!20\)\( T^{7} + \)\(69\!\cdots\!91\)\( p^{29} T^{8} + \)\(33\!\cdots\!14\)\( p^{58} T^{9} + \)\(53\!\cdots\!49\)\( p^{87} T^{10} + \)\(22\!\cdots\!52\)\( p^{116} T^{11} + \)\(45\!\cdots\!35\)\( p^{146} T^{12} + \)\(66\!\cdots\!14\)\( p^{174} T^{13} + p^{203} T^{14} \) | |
59 | \( 1 - \)\(42\!\cdots\!20\)\( p T + \)\(36\!\cdots\!33\)\( T^{2} - \)\(38\!\cdots\!40\)\( T^{3} + \)\(31\!\cdots\!21\)\( T^{4} - \)\(21\!\cdots\!92\)\( T^{5} + \)\(12\!\cdots\!05\)\( T^{6} - \)\(64\!\cdots\!56\)\( T^{7} + \)\(12\!\cdots\!05\)\( p^{29} T^{8} - \)\(21\!\cdots\!92\)\( p^{58} T^{9} + \)\(31\!\cdots\!21\)\( p^{87} T^{10} - \)\(38\!\cdots\!40\)\( p^{116} T^{11} + \)\(36\!\cdots\!33\)\( p^{145} T^{12} - \)\(42\!\cdots\!20\)\( p^{175} T^{13} + p^{203} T^{14} \) | |
61 | \( 1 - \)\(28\!\cdots\!86\)\( T + \)\(58\!\cdots\!91\)\( T^{2} - \)\(86\!\cdots\!76\)\( T^{3} + \)\(10\!\cdots\!81\)\( T^{4} - \)\(11\!\cdots\!98\)\( T^{5} + \)\(10\!\cdots\!03\)\( T^{6} - \)\(85\!\cdots\!68\)\( T^{7} + \)\(10\!\cdots\!03\)\( p^{29} T^{8} - \)\(11\!\cdots\!98\)\( p^{58} T^{9} + \)\(10\!\cdots\!81\)\( p^{87} T^{10} - \)\(86\!\cdots\!76\)\( p^{116} T^{11} + \)\(58\!\cdots\!91\)\( p^{145} T^{12} - \)\(28\!\cdots\!86\)\( p^{174} T^{13} + p^{203} T^{14} \) | |
67 | \( 1 + \)\(21\!\cdots\!12\)\( T + \)\(30\!\cdots\!85\)\( T^{2} - \)\(96\!\cdots\!56\)\( T^{3} + \)\(49\!\cdots\!09\)\( T^{4} - \)\(29\!\cdots\!04\)\( T^{5} + \)\(58\!\cdots\!17\)\( T^{6} - \)\(36\!\cdots\!80\)\( T^{7} + \)\(58\!\cdots\!17\)\( p^{29} T^{8} - \)\(29\!\cdots\!04\)\( p^{58} T^{9} + \)\(49\!\cdots\!09\)\( p^{87} T^{10} - \)\(96\!\cdots\!56\)\( p^{116} T^{11} + \)\(30\!\cdots\!85\)\( p^{145} T^{12} + \)\(21\!\cdots\!12\)\( p^{174} T^{13} + p^{203} T^{14} \) | |
71 | \( 1 - \)\(23\!\cdots\!20\)\( T + \)\(17\!\cdots\!37\)\( T^{2} - \)\(16\!\cdots\!20\)\( T^{3} + \)\(15\!\cdots\!81\)\( T^{4} - \)\(46\!\cdots\!00\)\( T^{5} + \)\(98\!\cdots\!85\)\( T^{6} - \)\(17\!\cdots\!00\)\( T^{7} + \)\(98\!\cdots\!85\)\( p^{29} T^{8} - \)\(46\!\cdots\!00\)\( p^{58} T^{9} + \)\(15\!\cdots\!81\)\( p^{87} T^{10} - \)\(16\!\cdots\!20\)\( p^{116} T^{11} + \)\(17\!\cdots\!37\)\( p^{145} T^{12} - \)\(23\!\cdots\!20\)\( p^{174} T^{13} + p^{203} T^{14} \) | |
73 | \( 1 - \)\(14\!\cdots\!06\)\( T + \)\(61\!\cdots\!15\)\( T^{2} - \)\(63\!\cdots\!48\)\( T^{3} + \)\(16\!\cdots\!89\)\( T^{4} - \)\(12\!\cdots\!74\)\( T^{5} + \)\(25\!\cdots\!19\)\( T^{6} - \)\(16\!\cdots\!00\)\( T^{7} + \)\(25\!\cdots\!19\)\( p^{29} T^{8} - \)\(12\!\cdots\!74\)\( p^{58} T^{9} + \)\(16\!\cdots\!89\)\( p^{87} T^{10} - \)\(63\!\cdots\!48\)\( p^{116} T^{11} + \)\(61\!\cdots\!15\)\( p^{145} T^{12} - \)\(14\!\cdots\!06\)\( p^{174} T^{13} + p^{203} T^{14} \) | |
79 | \( 1 - \)\(44\!\cdots\!48\)\( T + \)\(33\!\cdots\!29\)\( T^{2} - \)\(36\!\cdots\!12\)\( T^{3} + \)\(58\!\cdots\!61\)\( T^{4} - \)\(83\!\cdots\!64\)\( T^{5} + \)\(78\!\cdots\!97\)\( T^{6} - \)\(10\!\cdots\!56\)\( T^{7} + \)\(78\!\cdots\!97\)\( p^{29} T^{8} - \)\(83\!\cdots\!64\)\( p^{58} T^{9} + \)\(58\!\cdots\!61\)\( p^{87} T^{10} - \)\(36\!\cdots\!12\)\( p^{116} T^{11} + \)\(33\!\cdots\!29\)\( p^{145} T^{12} - \)\(44\!\cdots\!48\)\( p^{174} T^{13} + p^{203} T^{14} \) | |
83 | \( 1 - \)\(47\!\cdots\!76\)\( T + \)\(20\!\cdots\!65\)\( T^{2} - \)\(13\!\cdots\!88\)\( T^{3} + \)\(19\!\cdots\!09\)\( T^{4} - \)\(15\!\cdots\!28\)\( T^{5} + \)\(11\!\cdots\!13\)\( T^{6} - \)\(93\!\cdots\!40\)\( T^{7} + \)\(11\!\cdots\!13\)\( p^{29} T^{8} - \)\(15\!\cdots\!28\)\( p^{58} T^{9} + \)\(19\!\cdots\!09\)\( p^{87} T^{10} - \)\(13\!\cdots\!88\)\( p^{116} T^{11} + \)\(20\!\cdots\!65\)\( p^{145} T^{12} - \)\(47\!\cdots\!76\)\( p^{174} T^{13} + p^{203} T^{14} \) | |
89 | \( 1 - \)\(52\!\cdots\!86\)\( T + \)\(18\!\cdots\!87\)\( T^{2} - \)\(41\!\cdots\!44\)\( T^{3} + \)\(91\!\cdots\!21\)\( T^{4} - \)\(18\!\cdots\!06\)\( T^{5} + \)\(45\!\cdots\!11\)\( T^{6} - \)\(87\!\cdots\!32\)\( T^{7} + \)\(45\!\cdots\!11\)\( p^{29} T^{8} - \)\(18\!\cdots\!06\)\( p^{58} T^{9} + \)\(91\!\cdots\!21\)\( p^{87} T^{10} - \)\(41\!\cdots\!44\)\( p^{116} T^{11} + \)\(18\!\cdots\!87\)\( p^{145} T^{12} - \)\(52\!\cdots\!86\)\( p^{174} T^{13} + p^{203} T^{14} \) | |
97 | \( 1 - \)\(74\!\cdots\!42\)\( T + \)\(15\!\cdots\!95\)\( T^{2} - \)\(76\!\cdots\!84\)\( T^{3} + \)\(10\!\cdots\!29\)\( T^{4} - \)\(48\!\cdots\!38\)\( T^{5} + \)\(61\!\cdots\!31\)\( T^{6} - \)\(25\!\cdots\!40\)\( T^{7} + \)\(61\!\cdots\!31\)\( p^{29} T^{8} - \)\(48\!\cdots\!38\)\( p^{58} T^{9} + \)\(10\!\cdots\!29\)\( p^{87} T^{10} - \)\(76\!\cdots\!84\)\( p^{116} T^{11} + \)\(15\!\cdots\!95\)\( p^{145} T^{12} - \)\(74\!\cdots\!42\)\( p^{174} T^{13} + p^{203} T^{14} \) | |
show more | ||
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Imaginary part of the first few zeros on the critical line
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