LMFDB - L-function 14-21e7-1.1-c29e7-0-1

Dirichlet series

L(s) = 1

+ 4.17e3·2^-s − 3.34e7·3^-s − 9.95e8·4^-s − 1.71e9·5^-s − 1.39e11·6^-s − 4.74e12·7^-s − 3.50e12·8^-s + 6.40e14·9^-s − 7.17e12·10^-s + 2.54e12·11^-s + 3.33e16·12^-s + 1.49e16·13^-s − 1.98e16·14^-s + 5.74e16·15^-s + 2.28e17·16^-s − 7.35e17·17^-s + 2.67e18·18^-s + 3.23e18·19^-s + 1.70e18·20^-s + 1.58e20·21^-s + 1.06e16·22^-s − 4.21e19·23^-s + 1.17e20·24^-s − 6.27e20·25^-s + 6.22e19·26^-s − 9.19e21·27^-s + 4.72e21·28^-s + ⋯

L(s) = 1

+ 0.180·2^-s − 4.04·3^-s − 1.85·4^-s − 0.125·5^-s − 0.728·6^-s − 2.64·7^-s − 0.281·8^-s + 28/3·9^-s − 0.0226·10^-s + 0.00202·11^-s + 7.49·12^-s + 1.05·13^-s − 0.476·14^-s + 0.508·15^-s + 0.793·16^-s − 1.05·17^-s + 1.68·18^-s + 0.927·19^-s + 0.233·20^-s + 10.6·21^-s + 0.000364·22^-s − 0.758·23^-s + 1.13·24^-s − 3.36·25^-s + 0.189·26^-s − 16.1·27^-s + 4.90·28^-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{7} \cdot 7^{7}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{7} \, L(s)\cr=\mathstrut & -\,\Lambda(30-s)\end{aligned}\]

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{7} \cdot 7^{7}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+29/2)^{7} \, L(s)\cr=\mathstrut & -\,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]

Invariants

Degree:	$14$
Conductor:	$3^{7} \cdot 7^{7}$
Sign:	$-1$
Analytic conductor:	$2.19468\times 10^{14}$
Root analytic conductor:	$10.5775$
Motivic weight:	$29$
Rational:	yes
Arithmetic:	yes
Character:	Trivial
Primitive:	no
Self-dual:	yes
Analytic rank:	$7$
Selberg data:	$(14,\ 3^{7} \cdot 7^{7} ,\ ( \ : [29/2]^{7} ),\ -1 )$

Particular Values

$L(15)$	$=$	$0$
$L(\frac12)$	$=$	$0$
$L(\frac{31}{2})$		not available
$L(1)$		not available

Euler product

$L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} $

	$p$	$F_p(T)$
bad	3	$ ( 1 + p^{14} T )^{7} $
	7	$ ( 1 + p^{14} T )^{7} $
good	2	$ 1 - 4177 T + 989519 p^{10} T^{2} - 305507566965 p^{4} T^{3} + 767701596850191 p^{10} T^{4} - 25564191559850283 p^{17} T^{5} + $$12\!\cdots\!75$$ p^{22} T^{6} + $$22\!\cdots\!07$$ p^{28} T^{7} + $$12\!\cdots\!75$$ p^{51} T^{8} - 25564191559850283 p^{75} T^{9} + 767701596850191 p^{97} T^{10} - 305507566965 p^{120} T^{11} + 989519 p^{155} T^{12} - 4177 p^{174} T^{13} + p^{203} T^{14} $
	5	$ 1 + 1716792694 T + 5039978602703210443 p^{3} T^{2} + $$28\!\cdots\!36$$ p^{6} T^{3} + $$94\!\cdots\!69$$ p^{9} T^{4} + $$98\!\cdots\!66$$ p^{12} T^{5} + $$23\!\cdots\!83$$ p^{16} T^{6} + $$64\!\cdots\!56$$ p^{20} T^{7} + $$23\!\cdots\!83$$ p^{45} T^{8} + $$98\!\cdots\!66$$ p^{70} T^{9} + $$94\!\cdots\!69$$ p^{96} T^{10} + $$28\!\cdots\!36$$ p^{122} T^{11} + 5039978602703210443 p^{148} T^{12} + 1716792694 p^{174} T^{13} + p^{203} T^{14} $
	11	$ 1 - 2545492652300 T + $$62\!\cdots\!37$$ T^{2} - $$74\!\cdots\!60$$ p T^{3} + $$15\!\cdots\!01$$ p^{2} T^{4} - $$18\!\cdots\!32$$ p^{3} T^{5} + $$25\!\cdots\!35$$ p^{5} T^{6} - $$19\!\cdots\!44$$ p^{7} T^{7} + $$25\!\cdots\!35$$ p^{34} T^{8} - $$18\!\cdots\!32$$ p^{61} T^{9} + $$15\!\cdots\!01$$ p^{89} T^{10} - $$74\!\cdots\!60$$ p^{117} T^{11} + $$62\!\cdots\!37$$ p^{145} T^{12} - 2545492652300 p^{174} T^{13} + p^{203} T^{14} $
	13	$ 1 - 14913999229538746 T + $$54\!\cdots\!59$$ p T^{2} - $$55\!\cdots\!84$$ p^{2} T^{3} + $$11\!\cdots\!69$$ p^{3} T^{4} - $$95\!\cdots\!30$$ p^{5} T^{5} + $$83\!\cdots\!11$$ p^{8} T^{6} - $$81\!\cdots\!04$$ p^{9} T^{7} + $$83\!\cdots\!11$$ p^{37} T^{8} - $$95\!\cdots\!30$$ p^{63} T^{9} + $$11\!\cdots\!69$$ p^{90} T^{10} - $$55\!\cdots\!84$$ p^{118} T^{11} + $$54\!\cdots\!59$$ p^{146} T^{12} - 14913999229538746 p^{174} T^{13} + p^{203} T^{14} $
	17	$ 1 + 735563339328645834 T + $$18\!\cdots\!63$$ T^{2} + $$60\!\cdots\!40$$ p T^{3} + $$38\!\cdots\!25$$ p^{3} T^{4} + $$19\!\cdots\!42$$ p^{3} T^{5} + $$15\!\cdots\!99$$ p^{4} T^{6} + $$37\!\cdots\!60$$ p^{5} T^{7} + $$15\!\cdots\!99$$ p^{33} T^{8} + $$19\!\cdots\!42$$ p^{61} T^{9} + $$38\!\cdots\!25$$ p^{90} T^{10} + $$60\!\cdots\!40$$ p^{117} T^{11} + $$18\!\cdots\!63$$ p^{145} T^{12} + 735563339328645834 p^{174} T^{13} + p^{203} T^{14} $
	19	$ 1 - 3231835378045104676 T + $$30\!\cdots\!87$$ p T^{2} - $$89\!\cdots\!24$$ p T^{3} + $$43\!\cdots\!17$$ p^{2} T^{4} - $$62\!\cdots\!76$$ p^{3} T^{5} + $$20\!\cdots\!81$$ p^{4} T^{6} - $$26\!\cdots\!12$$ p^{5} T^{7} + $$20\!\cdots\!81$$ p^{33} T^{8} - $$62\!\cdots\!76$$ p^{61} T^{9} + $$43\!\cdots\!17$$ p^{89} T^{10} - $$89\!\cdots\!24$$ p^{117} T^{11} + $$30\!\cdots\!87$$ p^{146} T^{12} - 3231835378045104676 p^{174} T^{13} + p^{203} T^{14} $
	23	$ 1 + 42184428229682843136 T + $$15\!\cdots\!41$$ T^{2} + $$24\!\cdots\!48$$ p T^{3} + $$20\!\cdots\!85$$ p^{2} T^{4} + $$30\!\cdots\!56$$ p^{3} T^{5} + $$78\!\cdots\!11$$ p^{5} T^{6} + $$22\!\cdots\!56$$ p^{5} T^{7} + $$78\!\cdots\!11$$ p^{34} T^{8} + $$30\!\cdots\!56$$ p^{61} T^{9} + $$20\!\cdots\!85$$ p^{89} T^{10} + $$24\!\cdots\!48$$ p^{117} T^{11} + $$15\!\cdots\!41$$ p^{145} T^{12} + 42184428229682843136 p^{174} T^{13} + p^{203} T^{14} $
	29	$ 1 + $$24\!\cdots\!10$$ T + $$17\!\cdots\!91$$ T^{2} + $$34\!\cdots\!72$$ T^{3} + $$13\!\cdots\!37$$ T^{4} + $$24\!\cdots\!50$$ p^{2} T^{5} + $$58\!\cdots\!63$$ T^{6} + $$70\!\cdots\!16$$ T^{7} + $$58\!\cdots\!63$$ p^{29} T^{8} + $$24\!\cdots\!50$$ p^{60} T^{9} + $$13\!\cdots\!37$$ p^{87} T^{10} + $$34\!\cdots\!72$$ p^{116} T^{11} + $$17\!\cdots\!91$$ p^{145} T^{12} + $$24\!\cdots\!10$$ p^{174} T^{13} + p^{203} T^{14} $
	31	$ 1 - $$21\!\cdots\!80$$ T + $$56\!\cdots\!45$$ T^{2} - $$14\!\cdots\!32$$ T^{3} + $$13\!\cdots\!57$$ T^{4} - $$56\!\cdots\!20$$ T^{5} + $$82\!\cdots\!51$$ p T^{6} - $$13\!\cdots\!24$$ T^{7} + $$82\!\cdots\!51$$ p^{30} T^{8} - $$56\!\cdots\!20$$ p^{58} T^{9} + $$13\!\cdots\!57$$ p^{87} T^{10} - $$14\!\cdots\!32$$ p^{116} T^{11} + $$56\!\cdots\!45$$ p^{145} T^{12} - $$21\!\cdots\!80$$ p^{174} T^{13} + p^{203} T^{14} $
	37	$ 1 + $$49\!\cdots\!34$$ T + $$89\!\cdots\!59$$ T^{2} + $$65\!\cdots\!08$$ T^{3} + $$52\!\cdots\!93$$ T^{4} + $$35\!\cdots\!06$$ T^{5} + $$23\!\cdots\!95$$ T^{6} + $$12\!\cdots\!76$$ T^{7} + $$23\!\cdots\!95$$ p^{29} T^{8} + $$35\!\cdots\!06$$ p^{58} T^{9} + $$52\!\cdots\!93$$ p^{87} T^{10} + $$65\!\cdots\!08$$ p^{116} T^{11} + $$89\!\cdots\!59$$ p^{145} T^{12} + $$49\!\cdots\!34$$ p^{174} T^{13} + p^{203} T^{14} $
	41	$ 1 + $$14\!\cdots\!90$$ T + $$21\!\cdots\!39$$ T^{2} + $$40\!\cdots\!68$$ T^{3} + $$28\!\cdots\!81$$ T^{4} + $$46\!\cdots\!82$$ T^{5} + $$24\!\cdots\!95$$ T^{6} + $$34\!\cdots\!28$$ T^{7} + $$24\!\cdots\!95$$ p^{29} T^{8} + $$46\!\cdots\!82$$ p^{58} T^{9} + $$28\!\cdots\!81$$ p^{87} T^{10} + $$40\!\cdots\!68$$ p^{116} T^{11} + $$21\!\cdots\!39$$ p^{145} T^{12} + $$14\!\cdots\!90$$ p^{174} T^{13} + p^{203} T^{14} $
	43	$ 1 - $$94\!\cdots\!16$$ T + $$11\!\cdots\!17$$ T^{2} - $$60\!\cdots\!16$$ T^{3} + $$48\!\cdots\!33$$ T^{4} - $$41\!\cdots\!60$$ p T^{5} + $$13\!\cdots\!21$$ T^{6} - $$43\!\cdots\!12$$ T^{7} + $$13\!\cdots\!21$$ p^{29} T^{8} - $$41\!\cdots\!60$$ p^{59} T^{9} + $$48\!\cdots\!33$$ p^{87} T^{10} - $$60\!\cdots\!16$$ p^{116} T^{11} + $$11\!\cdots\!17$$ p^{145} T^{12} - $$94\!\cdots\!16$$ p^{174} T^{13} + p^{203} T^{14} $
	47	$ 1 - $$70\!\cdots\!92$$ T + $$36\!\cdots\!61$$ T^{2} - $$12\!\cdots\!72$$ T^{3} + $$37\!\cdots\!89$$ T^{4} - $$89\!\cdots\!40$$ T^{5} + $$19\!\cdots\!53$$ T^{6} - $$35\!\cdots\!88$$ T^{7} + $$19\!\cdots\!53$$ p^{29} T^{8} - $$89\!\cdots\!40$$ p^{58} T^{9} + $$37\!\cdots\!89$$ p^{87} T^{10} - $$12\!\cdots\!72$$ p^{116} T^{11} + $$36\!\cdots\!61$$ p^{145} T^{12} - $$70\!\cdots\!92$$ p^{174} T^{13} + p^{203} T^{14} $
	53	$ 1 + $$10\!\cdots\!62$$ T + $$33\!\cdots\!59$$ T^{2} + $$41\!\cdots\!92$$ T^{3} + $$76\!\cdots\!69$$ T^{4} + $$77\!\cdots\!38$$ T^{5} + $$11\!\cdots\!35$$ T^{6} + $$96\!\cdots\!20$$ T^{7} + $$11\!\cdots\!35$$ p^{29} T^{8} + $$77\!\cdots\!38$$ p^{58} T^{9} + $$76\!\cdots\!69$$ p^{87} T^{10} + $$41\!\cdots\!92$$ p^{116} T^{11} + $$33\!\cdots\!59$$ p^{145} T^{12} + $$10\!\cdots\!62$$ p^{174} T^{13} + p^{203} T^{14} $
	59	$ 1 + $$51\!\cdots\!60$$ T + $$14\!\cdots\!53$$ T^{2} + $$63\!\cdots\!52$$ T^{3} + $$93\!\cdots\!41$$ T^{4} + $$34\!\cdots\!52$$ T^{5} + $$34\!\cdots\!01$$ T^{6} + $$10\!\cdots\!92$$ T^{7} + $$34\!\cdots\!01$$ p^{29} T^{8} + $$34\!\cdots\!52$$ p^{58} T^{9} + $$93\!\cdots\!41$$ p^{87} T^{10} + $$63\!\cdots\!52$$ p^{116} T^{11} + $$14\!\cdots\!53$$ p^{145} T^{12} + $$51\!\cdots\!60$$ p^{174} T^{13} + p^{203} T^{14} $
	61	$ 1 + $$11\!\cdots\!98$$ T + $$33\!\cdots\!67$$ T^{2} + $$31\!\cdots\!84$$ T^{3} + $$53\!\cdots\!89$$ T^{4} + $$40\!\cdots\!74$$ T^{5} + $$49\!\cdots\!03$$ T^{6} + $$30\!\cdots\!08$$ T^{7} + $$49\!\cdots\!03$$ p^{29} T^{8} + $$40\!\cdots\!74$$ p^{58} T^{9} + $$53\!\cdots\!89$$ p^{87} T^{10} + $$31\!\cdots\!84$$ p^{116} T^{11} + $$33\!\cdots\!67$$ p^{145} T^{12} + $$11\!\cdots\!98$$ p^{174} T^{13} + p^{203} T^{14} $
	67	$ 1 + $$32\!\cdots\!36$$ T + $$43\!\cdots\!25$$ T^{2} - $$43\!\cdots\!92$$ T^{3} + $$89\!\cdots\!17$$ T^{4} - $$15\!\cdots\!92$$ T^{5} + $$11\!\cdots\!17$$ T^{6} - $$23\!\cdots\!24$$ T^{7} + $$11\!\cdots\!17$$ p^{29} T^{8} - $$15\!\cdots\!92$$ p^{58} T^{9} + $$89\!\cdots\!17$$ p^{87} T^{10} - $$43\!\cdots\!92$$ p^{116} T^{11} + $$43\!\cdots\!25$$ p^{145} T^{12} + $$32\!\cdots\!36$$ p^{174} T^{13} + p^{203} T^{14} $
	71	$ 1 + $$68\!\cdots\!64$$ T + $$13\!\cdots\!61$$ T^{2} + $$31\!\cdots\!44$$ T^{3} + $$66\!\cdots\!21$$ T^{4} + $$49\!\cdots\!88$$ T^{5} + $$16\!\cdots\!37$$ T^{6} + $$34\!\cdots\!28$$ T^{7} + $$16\!\cdots\!37$$ p^{29} T^{8} + $$49\!\cdots\!88$$ p^{58} T^{9} + $$66\!\cdots\!21$$ p^{87} T^{10} + $$31\!\cdots\!44$$ p^{116} T^{11} + $$13\!\cdots\!61$$ p^{145} T^{12} + $$68\!\cdots\!64$$ p^{174} T^{13} + p^{203} T^{14} $
	73	$ 1 - $$26\!\cdots\!58$$ T + $$66\!\cdots\!47$$ T^{2} - $$12\!\cdots\!72$$ T^{3} + $$18\!\cdots\!17$$ T^{4} - $$26\!\cdots\!78$$ T^{5} + $$32\!\cdots\!03$$ T^{6} - $$35\!\cdots\!60$$ T^{7} + $$32\!\cdots\!03$$ p^{29} T^{8} - $$26\!\cdots\!78$$ p^{58} T^{9} + $$18\!\cdots\!17$$ p^{87} T^{10} - $$12\!\cdots\!72$$ p^{116} T^{11} + $$66\!\cdots\!47$$ p^{145} T^{12} - $$26\!\cdots\!58$$ p^{174} T^{13} + p^{203} T^{14} $
	79	$ 1 - $$11\!\cdots\!20$$ T + $$10\!\cdots\!13$$ T^{2} - $$65\!\cdots\!44$$ T^{3} + $$35\!\cdots\!81$$ T^{4} - $$16\!\cdots\!24$$ T^{5} + $$65\!\cdots\!89$$ T^{6} - $$22\!\cdots\!24$$ T^{7} + $$65\!\cdots\!89$$ p^{29} T^{8} - $$16\!\cdots\!24$$ p^{58} T^{9} + $$35\!\cdots\!81$$ p^{87} T^{10} - $$65\!\cdots\!44$$ p^{116} T^{11} + $$10\!\cdots\!13$$ p^{145} T^{12} - $$11\!\cdots\!20$$ p^{174} T^{13} + p^{203} T^{14} $
	83	$ 1 + $$11\!\cdots\!68$$ T + $$19\!\cdots\!33$$ T^{2} + $$20\!\cdots\!80$$ T^{3} + $$21\!\cdots\!41$$ T^{4} + $$18\!\cdots\!92$$ T^{5} + $$14\!\cdots\!33$$ T^{6} + $$98\!\cdots\!00$$ T^{7} + $$14\!\cdots\!33$$ p^{29} T^{8} + $$18\!\cdots\!92$$ p^{58} T^{9} + $$21\!\cdots\!41$$ p^{87} T^{10} + $$20\!\cdots\!80$$ p^{116} T^{11} + $$19\!\cdots\!33$$ p^{145} T^{12} + $$11\!\cdots\!68$$ p^{174} T^{13} + p^{203} T^{14} $
	89	$ 1 + $$31\!\cdots\!14$$ T + $$20\!\cdots\!43$$ T^{2} + $$51\!\cdots\!32$$ T^{3} + $$17\!\cdots\!93$$ T^{4} + $$37\!\cdots\!38$$ T^{5} + $$87\!\cdots\!23$$ T^{6} + $$16\!\cdots\!52$$ T^{7} + $$87\!\cdots\!23$$ p^{29} T^{8} + $$37\!\cdots\!38$$ p^{58} T^{9} + $$17\!\cdots\!93$$ p^{87} T^{10} + $$51\!\cdots\!32$$ p^{116} T^{11} + $$20\!\cdots\!43$$ p^{145} T^{12} + $$31\!\cdots\!14$$ p^{174} T^{13} + p^{203} T^{14} $
	97	$ 1 - $$13\!\cdots\!90$$ T + $$19\!\cdots\!71$$ T^{2} - $$15\!\cdots\!56$$ T^{3} + $$14\!\cdots\!21$$ T^{4} - $$10\!\cdots\!62$$ T^{5} + $$88\!\cdots\!03$$ T^{6} - $$56\!\cdots\!48$$ T^{7} + $$88\!\cdots\!03$$ p^{29} T^{8} - $$10\!\cdots\!62$$ p^{58} T^{9} + $$14\!\cdots\!21$$ p^{87} T^{10} - $$15\!\cdots\!56$$ p^{116} T^{11} + $$19\!\cdots\!71$$ p^{145} T^{12} - $$13\!\cdots\!90$$ p^{174} T^{13} + p^{203} T^{14} $
show more
show less

$L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{14} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}$

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−5.32328800718491276306952084307, −5.31936385591114535081131692719, −5.20074959458881697814387369708, −4.92966673754852250615738796847, −4.30295820892292374045429548412, −4.16530055101682964695683044538, −4.12849518436577415795593507096, −4.11212878921532703946904812779, −4.05772142625744115849782910778, −3.93367138312897892221419372135, −3.76997659404660831412040385527, −3.34153021988595031205995732488, −3.16494162359593339134066945689, −2.87408478100116483342213610684, −2.72158499688290941430556499242, −2.29963898708187377207123377670, −2.29437934484924511038754619553, −1.92450534125781899366554624131, −1.90791469439755908267545116772, −1.50584942277206848960041647493, −1.16503569798432556351941192335, −1.13934271717888377750183670254, −1.01409084734630238132878734208, −0.813671630278439778333396022374, −0.77904264270617855345789880388, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.77904264270617855345789880388, 0.813671630278439778333396022374, 1.01409084734630238132878734208, 1.13934271717888377750183670254, 1.16503569798432556351941192335, 1.50584942277206848960041647493, 1.90791469439755908267545116772, 1.92450534125781899366554624131, 2.29437934484924511038754619553, 2.29963898708187377207123377670, 2.72158499688290941430556499242, 2.87408478100116483342213610684, 3.16494162359593339134066945689, 3.34153021988595031205995732488, 3.76997659404660831412040385527, 3.93367138312897892221419372135, 4.05772142625744115849782910778, 4.11212878921532703946904812779, 4.12849518436577415795593507096, 4.16530055101682964695683044538, 4.30295820892292374045429548412, 4.92966673754852250615738796847, 5.20074959458881697814387369708, 5.31936385591114535081131692719, 5.32328800718491276306952084307

Graph of the $Z$-function along the critical line

Plot not available for L-functions of degree greater than 10.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

\(L(15)\)	\(=\)	\(0\)
\(L(\frac12)\)	\(=\)	\(0\)
\(L(\frac{31}{2})\)		not available
\(L(1)\)		not available

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Origins

Origins of factors

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