Properties

Label 8-200e4-1.1-c5e4-0-4
Degree $8$
Conductor $1600000000$
Sign $1$
Analytic cond. $1.05867\times 10^{6}$
Root an. cond. $5.66363$
Motivic weight $5$
Arithmetic yes
Rational yes
Primitive no
Self-dual yes
Analytic rank $4$

Origins

Origins of factors

Downloads

Learn more

Normalization:  

Dirichlet series

L(s)  = 1  − 4·3-s − 148·7-s − 228·9-s − 368·11-s − 440·13-s + 672·17-s − 688·19-s + 592·21-s − 4.49e3·23-s − 1.46e3·27-s − 2.93e3·29-s + 2.11e3·31-s + 1.47e3·33-s − 8.79e3·37-s + 1.76e3·39-s + 1.18e4·41-s − 4.82e4·43-s − 1.47e4·47-s − 1.14e4·49-s − 2.68e3·51-s − 8.42e4·53-s + 2.75e3·57-s − 4.58e4·59-s + 6.19e4·61-s + 3.37e4·63-s − 7.27e4·67-s + 1.79e4·69-s + ⋯
L(s)  = 1  − 0.256·3-s − 1.14·7-s − 0.938·9-s − 0.916·11-s − 0.722·13-s + 0.563·17-s − 0.437·19-s + 0.292·21-s − 1.77·23-s − 0.385·27-s − 0.648·29-s + 0.394·31-s + 0.235·33-s − 1.05·37-s + 0.185·39-s + 1.09·41-s − 3.98·43-s − 0.972·47-s − 0.679·49-s − 0.144·51-s − 4.12·53-s + 0.112·57-s − 1.71·59-s + 2.13·61-s + 1.07·63-s − 1.97·67-s + 0.454·69-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{12} \cdot 5^{8}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{4} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(6-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{12} \cdot 5^{8}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{4} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]

Invariants

Degree: \(8\)
Conductor: \(2^{12} \cdot 5^{8}\)
Sign: $1$
Analytic conductor: \(1.05867\times 10^{6}\)
Root analytic conductor: \(5.66363\)
Motivic weight: \(5\)
Rational: yes
Arithmetic: yes
Character: Trivial
Primitive: no
Self-dual: yes
Analytic rank: \(4\)
Selberg data: \((8,\ 2^{12} \cdot 5^{8} ,\ ( \ : 5/2, 5/2, 5/2, 5/2 ),\ 1 )\)

Particular Values

\(L(3)\) \(=\) \(0\)
\(L(\frac12)\) \(=\) \(0\)
\(L(\frac{7}{2})\) not available
\(L(1)\) not available

Euler product

   \(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
$p$$\Gal(F_p)$$F_p(T)$
bad2 \( 1 \)
5 \( 1 \)
good3$C_2 \wr S_4$ \( 1 + 4 T + 244 T^{2} + 124 p^{3} T^{3} + 2054 p^{2} T^{4} + 124 p^{8} T^{5} + 244 p^{10} T^{6} + 4 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
7$C_2 \wr S_4$ \( 1 + 148 T + 33316 T^{2} + 2108948 T^{3} + 503710694 T^{4} + 2108948 p^{5} T^{5} + 33316 p^{10} T^{6} + 148 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
11$C_2 \wr S_4$ \( 1 + 368 T + 176204 T^{2} + 51158896 T^{3} + 42277949270 T^{4} + 51158896 p^{5} T^{5} + 176204 p^{10} T^{6} + 368 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
13$C_2 \wr S_4$ \( 1 + 440 T + 886036 T^{2} + 564452872 T^{3} + 392923998710 T^{4} + 564452872 p^{5} T^{5} + 886036 p^{10} T^{6} + 440 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
17$C_2 \wr S_4$ \( 1 - 672 T + 3356228 T^{2} - 3540729312 T^{3} + 5520858237894 T^{4} - 3540729312 p^{5} T^{5} + 3356228 p^{10} T^{6} - 672 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
19$C_2 \wr S_4$ \( 1 + 688 T + 5308396 T^{2} + 6058136368 T^{3} + 15069081422710 T^{4} + 6058136368 p^{5} T^{5} + 5308396 p^{10} T^{6} + 688 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
23$C_2 \wr S_4$ \( 1 + 4492 T + 27426980 T^{2} + 79192657228 T^{3} + 264562508116390 T^{4} + 79192657228 p^{5} T^{5} + 27426980 p^{10} T^{6} + 4492 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
29$C_2 \wr S_4$ \( 1 + 2936 T + 58625996 T^{2} + 77951973928 T^{3} + 1466411094282230 T^{4} + 77951973928 p^{5} T^{5} + 58625996 p^{10} T^{6} + 2936 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
31$C_2 \wr S_4$ \( 1 - 2112 T + 80187004 T^{2} - 163080265536 T^{3} + 3196344720873606 T^{4} - 163080265536 p^{5} T^{5} + 80187004 p^{10} T^{6} - 2112 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
37$C_2 \wr S_4$ \( 1 + 8792 T + 164536948 T^{2} + 653354012200 T^{3} + 11523689002604438 T^{4} + 653354012200 p^{5} T^{5} + 164536948 p^{10} T^{6} + 8792 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
41$C_2 \wr S_4$ \( 1 - 11800 T + 337909340 T^{2} - 2943020124776 T^{3} + 51155654972384870 T^{4} - 2943020124776 p^{5} T^{5} + 337909340 p^{10} T^{6} - 11800 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
43$C_2 \wr S_4$ \( 1 + 48276 T + 1306891924 T^{2} + 24102642735684 T^{3} + 333606713965182294 T^{4} + 24102642735684 p^{5} T^{5} + 1306891924 p^{10} T^{6} + 48276 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
47$C_2 \wr S_4$ \( 1 + 14724 T + 590074244 T^{2} + 7755349482468 T^{3} + 177012391425566214 T^{4} + 7755349482468 p^{5} T^{5} + 590074244 p^{10} T^{6} + 14724 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
53$C_2 \wr S_4$ \( 1 + 84296 T + 4144600628 T^{2} + 135070817073080 T^{3} + 3234464962764166486 T^{4} + 135070817073080 p^{5} T^{5} + 4144600628 p^{10} T^{6} + 84296 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
59$C_2 \wr S_4$ \( 1 + 45840 T + 3064286732 T^{2} + 94721285480976 T^{3} + 3348109683185502486 T^{4} + 94721285480976 p^{5} T^{5} + 3064286732 p^{10} T^{6} + 45840 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
61$C_2 \wr S_4$ \( 1 - 61928 T + 3903014764 T^{2} - 145287706763384 T^{3} + 5198153942066716726 T^{4} - 145287706763384 p^{5} T^{5} + 3903014764 p^{10} T^{6} - 61928 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
67$C_2 \wr S_4$ \( 1 + 72700 T + 7283604532 T^{2} + 314621051775212 T^{3} + 16093744308113184182 T^{4} + 314621051775212 p^{5} T^{5} + 7283604532 p^{10} T^{6} + 72700 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
71$C_2 \wr S_4$ \( 1 + 62816 T + 3398787356 T^{2} + 184024084124896 T^{3} + 8353296562609817510 T^{4} + 184024084124896 p^{5} T^{5} + 3398787356 p^{10} T^{6} + 62816 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
73$C_2 \wr S_4$ \( 1 + 133072 T + 13424418340 T^{2} + 846379227250928 T^{3} + 45561026057566462310 T^{4} + 846379227250928 p^{5} T^{5} + 13424418340 p^{10} T^{6} + 133072 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
79$C_2 \wr S_4$ \( 1 + 21632 T + 7152876604 T^{2} + 332616618908288 T^{3} + 24121899620797566790 T^{4} + 332616618908288 p^{5} T^{5} + 7152876604 p^{10} T^{6} + 21632 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
83$C_2 \wr S_4$ \( 1 + 74660 T + 6167006708 T^{2} + 554766838355444 T^{3} + 42874466663031633142 T^{4} + 554766838355444 p^{5} T^{5} + 6167006708 p^{10} T^{6} + 74660 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
89$C_2 \wr S_4$ \( 1 - 20952 T + 16118164796 T^{2} - 497915996461992 T^{3} + \)\(11\!\cdots\!30\)\( T^{4} - 497915996461992 p^{5} T^{5} + 16118164796 p^{10} T^{6} - 20952 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
97$C_2 \wr S_4$ \( 1 + 59456 T + 24399465604 T^{2} + 684112850575552 T^{3} + \)\(25\!\cdots\!74\)\( T^{4} + 684112850575552 p^{5} T^{5} + 24399465604 p^{10} T^{6} + 59456 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
show more
show less
   \(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{8} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−8.964095800241609125503822084638, −8.254001113523959168202724951423, −8.232452920220068416707298089912, −7.916951376649847115543613895512, −7.71228941890068635770066459695, −7.38379614581742832381396856189, −7.18470605974483117427763493836, −6.63921849102028348389506345939, −6.56315340439722353109631382447, −6.04649126806450969750431654022, −5.95708178611450055843294101208, −5.95113505955021008928599689935, −5.40648516554521891406361193444, −4.89645388552753982174570349567, −4.88271155643483363714935411401, −4.55598021586551119358782022351, −4.18167679553354898658580796234, −3.48761282402639971760457609845, −3.33701990116238506136572872889, −3.05725161085548370452052666276, −3.03248010685720210529637750964, −2.24820550445289668661267188311, −1.92997552332975060274339598469, −1.64148596388471484285959430059, −1.19678378750398756566297678686, 0, 0, 0, 0, 1.19678378750398756566297678686, 1.64148596388471484285959430059, 1.92997552332975060274339598469, 2.24820550445289668661267188311, 3.03248010685720210529637750964, 3.05725161085548370452052666276, 3.33701990116238506136572872889, 3.48761282402639971760457609845, 4.18167679553354898658580796234, 4.55598021586551119358782022351, 4.88271155643483363714935411401, 4.89645388552753982174570349567, 5.40648516554521891406361193444, 5.95113505955021008928599689935, 5.95708178611450055843294101208, 6.04649126806450969750431654022, 6.56315340439722353109631382447, 6.63921849102028348389506345939, 7.18470605974483117427763493836, 7.38379614581742832381396856189, 7.71228941890068635770066459695, 7.916951376649847115543613895512, 8.232452920220068416707298089912, 8.254001113523959168202724951423, 8.964095800241609125503822084638

Graph of the $Z$-function along the critical line