LMFDB - L-function 8-2e4-1.1-c87e4-0-0

Dirichlet series

L(s) = 1

− 3.51e13·2^-s + 4.03e20·3^-s + 7.73e26·4^-s − 4.03e30·5^-s − 1.41e34·6^-s + 8.58e36·7^-s − 1.36e40·8^-s − 1.55e41·9^-s + 1.42e44·10^-s + 2.97e45·11^-s + 3.11e47·12^-s − 1.76e48·13^-s − 3.01e50·14^-s − 1.62e51·15^-s + 2.09e53·16^-s − 7.02e53·17^-s + 5.45e54·18^-s + 3.80e55·19^-s − 3.12e57·20^-s + 3.46e57·21^-s − 1.04e59·22^-s + 2.67e59·23^-s − 5.48e60·24^-s + 8.66e60·25^-s + 6.21e61·26^-s − 9.50e61·27^-s + 6.64e63·28^-s + ⋯

L(s) = 1

− 2.82·2^-s + 0.709·3^-s + 5·4^-s − 1.58·5^-s − 2.00·6^-s + 1.48·7^-s − 7.07·8^-s − 0.479·9^-s + 4.49·10^-s + 1.48·11^-s + 3.54·12^-s − 0.617·13^-s − 4.20·14^-s − 1.12·15^-s + 35/4·16^-s − 2.09·17^-s + 1.35·18^-s + 0.900·19^-s − 7.94·20^-s + 1.05·21^-s − 4.20·22^-s + 1.55·23^-s − 5.01·24^-s + 1.34·25^-s + 1.74·26^-s − 0.517·27^-s + 7.42·28^-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut & 16 ^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{4} \, L(s)\cr =\mathstrut & \, \Lambda(88-s) \end{aligned}\]

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut & 16 ^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+87/2)^{4} \, L(s)\cr =\mathstrut & \, \Lambda(1-s) \end{aligned}\]

Invariants

Degree:	$8$
Conductor:	$16$ = $2^{4}$
Sign:	$1$
Analytic conductor:	$8.44639\times 10^{7}$
Root analytic conductor:	$9.79115$
Motivic weight:	$87$
Rational:	yes
Arithmetic:	yes
Character:	Trivial
Primitive:	no
Self-dual:	yes
Analytic rank:	$0$
Selberg data:	$(8,\ 16,\ (\ :87/2, 87/2, 87/2, 87/2),\ 1)$

Particular Values

$L(44)$	$\approx$	$0.6896896870$
$L(\frac12)$	$\approx$	$0.6896896870$
$L(\frac{89}{2})$		not available
$L(1)$		not available

Euler product

$L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} $

	$p$	$\Gal(F_p)$	$F_p(T)$
bad	2	$C_1$	$ ( 1 + p^{43} T )^{4} $
good	3	$C_2 \wr S_4$	$ 1 - $$13\!\cdots\!76$$ p T + $$48\!\cdots\!72$$ p^{8} T^{2} - $$10\!\cdots\!40$$ p^{23} T^{3} + $$13\!\cdots\!46$$ p^{40} T^{4} - $$10\!\cdots\!40$$ p^{110} T^{5} + $$48\!\cdots\!72$$ p^{182} T^{6} - $$13\!\cdots\!76$$ p^{262} T^{7} + p^{348} T^{8} $
	5	$C_2 \wr S_4$	$ 1 + $$80\!\cdots\!52$$ p T + $$97\!\cdots\!52$$ p^{7} T^{2} + $$19\!\cdots\!08$$ p^{16} T^{3} + $$64\!\cdots\!82$$ p^{29} T^{4} + $$19\!\cdots\!08$$ p^{103} T^{5} + $$97\!\cdots\!52$$ p^{181} T^{6} + $$80\!\cdots\!52$$ p^{262} T^{7} + p^{348} T^{8} $
	7	$C_2 \wr S_4$	$ 1 - $$12\!\cdots\!72$$ p T + $$48\!\cdots\!04$$ p^{5} T^{2} - $$36\!\cdots\!20$$ p^{12} T^{3} + $$10\!\cdots\!14$$ p^{22} T^{4} - $$36\!\cdots\!20$$ p^{99} T^{5} + $$48\!\cdots\!04$$ p^{179} T^{6} - $$12\!\cdots\!72$$ p^{262} T^{7} + p^{348} T^{8} $
	11	$C_2 \wr S_4$	$ 1 - $$29\!\cdots\!48$$ T + $$10\!\cdots\!08$$ p^{3} T^{2} - $$17\!\cdots\!76$$ p^{6} T^{3} + $$24\!\cdots\!70$$ p^{13} T^{4} - $$17\!\cdots\!76$$ p^{93} T^{5} + $$10\!\cdots\!08$$ p^{177} T^{6} - $$29\!\cdots\!48$$ p^{261} T^{7} + p^{348} T^{8} $
	13	$C_2 \wr S_4$	$ 1 + $$13\!\cdots\!24$$ p T + $$57\!\cdots\!88$$ p^{2} T^{2} + $$95\!\cdots\!80$$ p^{6} T^{3} + $$28\!\cdots\!46$$ p^{12} T^{4} + $$95\!\cdots\!80$$ p^{93} T^{5} + $$57\!\cdots\!88$$ p^{176} T^{6} + $$13\!\cdots\!24$$ p^{262} T^{7} + p^{348} T^{8} $
	17	$C_2 \wr S_4$	$ 1 + $$70\!\cdots\!16$$ T + $$15\!\cdots\!92$$ p^{2} T^{2} + $$14\!\cdots\!80$$ p^{5} T^{3} + $$10\!\cdots\!06$$ p^{8} T^{4} + $$14\!\cdots\!80$$ p^{92} T^{5} + $$15\!\cdots\!92$$ p^{176} T^{6} + $$70\!\cdots\!16$$ p^{261} T^{7} + p^{348} T^{8} $
	19	$C_2 \wr S_4$	$ 1 - $$38\!\cdots\!60$$ T + $$27\!\cdots\!24$$ p T^{2} - $$13\!\cdots\!20$$ p^{4} T^{3} + $$69\!\cdots\!86$$ p^{8} T^{4} - $$13\!\cdots\!20$$ p^{91} T^{5} + $$27\!\cdots\!24$$ p^{175} T^{6} - $$38\!\cdots\!60$$ p^{261} T^{7} + p^{348} T^{8} $
	23	$C_2 \wr S_4$	$ 1 - $$26\!\cdots\!28$$ T + $$59\!\cdots\!84$$ p T^{2} - $$85\!\cdots\!20$$ p^{4} T^{3} + $$18\!\cdots\!78$$ p^{7} T^{4} - $$85\!\cdots\!20$$ p^{91} T^{5} + $$59\!\cdots\!84$$ p^{175} T^{6} - $$26\!\cdots\!28$$ p^{261} T^{7} + p^{348} T^{8} $
	29	$C_2 \wr S_4$	$ 1 + $$32\!\cdots\!60$$ p T + $$63\!\cdots\!96$$ p^{2} T^{2} + $$13\!\cdots\!20$$ p^{3} T^{3} + $$17\!\cdots\!06$$ p^{4} T^{4} + $$13\!\cdots\!20$$ p^{90} T^{5} + $$63\!\cdots\!96$$ p^{176} T^{6} + $$32\!\cdots\!60$$ p^{262} T^{7} + p^{348} T^{8} $
	31	$C_2 \wr S_4$	$ 1 - $$11\!\cdots\!68$$ T + $$34\!\cdots\!88$$ p T^{2} + $$36\!\cdots\!44$$ p^{3} T^{3} - $$61\!\cdots\!30$$ p^{5} T^{4} + $$36\!\cdots\!44$$ p^{90} T^{5} + $$34\!\cdots\!88$$ p^{175} T^{6} - $$11\!\cdots\!68$$ p^{261} T^{7} + p^{348} T^{8} $
	37	$C_2 \wr S_4$	$ 1 - $$18\!\cdots\!64$$ T + $$27\!\cdots\!64$$ p T^{2} - $$27\!\cdots\!40$$ p^{3} T^{3} + $$58\!\cdots\!78$$ p^{5} T^{4} - $$27\!\cdots\!40$$ p^{90} T^{5} + $$27\!\cdots\!64$$ p^{175} T^{6} - $$18\!\cdots\!64$$ p^{261} T^{7} + p^{348} T^{8} $
	41	$C_2 \wr S_4$	$ 1 - $$54\!\cdots\!08$$ T + $$75\!\cdots\!28$$ p T^{2} - $$22\!\cdots\!56$$ p^{3} T^{3} + $$62\!\cdots\!70$$ p^{5} T^{4} - $$22\!\cdots\!56$$ p^{90} T^{5} + $$75\!\cdots\!28$$ p^{175} T^{6} - $$54\!\cdots\!08$$ p^{261} T^{7} + p^{348} T^{8} $
	43	$C_2 \wr S_4$	$ 1 + $$36\!\cdots\!64$$ p T + $$27\!\cdots\!08$$ p^{2} T^{2} + $$69\!\cdots\!40$$ p^{3} T^{3} + $$28\!\cdots\!26$$ p^{4} T^{4} + $$69\!\cdots\!40$$ p^{90} T^{5} + $$27\!\cdots\!08$$ p^{176} T^{6} + $$36\!\cdots\!64$$ p^{262} T^{7} + p^{348} T^{8} $
	47	$C_2 \wr S_4$	$ 1 + $$11\!\cdots\!36$$ T + $$27\!\cdots\!04$$ p T^{2} + $$37\!\cdots\!80$$ p^{2} T^{3} + $$51\!\cdots\!82$$ p^{3} T^{4} + $$37\!\cdots\!80$$ p^{89} T^{5} + $$27\!\cdots\!04$$ p^{175} T^{6} + $$11\!\cdots\!36$$ p^{261} T^{7} + p^{348} T^{8} $
	53	$C_2 \wr S_4$	$ 1 + $$32\!\cdots\!12$$ T + $$12\!\cdots\!84$$ p T^{2} + $$34\!\cdots\!60$$ p^{2} T^{3} + $$74\!\cdots\!58$$ p^{3} T^{4} + $$34\!\cdots\!60$$ p^{89} T^{5} + $$12\!\cdots\!84$$ p^{175} T^{6} + $$32\!\cdots\!12$$ p^{261} T^{7} + p^{348} T^{8} $
	59	$C_2 \wr S_4$	$ 1 + $$81\!\cdots\!80$$ T + $$54\!\cdots\!64$$ p T^{2} + $$61\!\cdots\!60$$ p^{2} T^{3} + $$22\!\cdots\!54$$ p^{3} T^{4} + $$61\!\cdots\!60$$ p^{89} T^{5} + $$54\!\cdots\!64$$ p^{175} T^{6} + $$81\!\cdots\!80$$ p^{261} T^{7} + p^{348} T^{8} $
	61	$C_2 \wr S_4$	$ 1 - $$90\!\cdots\!28$$ T + $$15\!\cdots\!48$$ p T^{2} - $$12\!\cdots\!16$$ p^{2} T^{3} + $$12\!\cdots\!70$$ p^{3} T^{4} - $$12\!\cdots\!16$$ p^{89} T^{5} + $$15\!\cdots\!48$$ p^{175} T^{6} - $$90\!\cdots\!28$$ p^{261} T^{7} + p^{348} T^{8} $
	67	$C_2 \wr S_4$	$ 1 + $$65\!\cdots\!96$$ T + $$40\!\cdots\!44$$ p T^{2} + $$17\!\cdots\!80$$ p^{2} T^{3} + $$73\!\cdots\!02$$ p^{3} T^{4} + $$17\!\cdots\!80$$ p^{89} T^{5} + $$40\!\cdots\!44$$ p^{175} T^{6} + $$65\!\cdots\!96$$ p^{261} T^{7} + p^{348} T^{8} $
	71	$C_2 \wr S_4$	$ 1 + $$25\!\cdots\!52$$ p T + $$75\!\cdots\!68$$ p^{2} T^{2} + $$13\!\cdots\!44$$ p^{3} T^{3} + $$23\!\cdots\!70$$ p^{4} T^{4} + $$13\!\cdots\!44$$ p^{90} T^{5} + $$75\!\cdots\!68$$ p^{176} T^{6} + $$25\!\cdots\!52$$ p^{262} T^{7} + p^{348} T^{8} $
	73	$C_2 \wr S_4$	$ 1 - $$35\!\cdots\!88$$ T + $$39\!\cdots\!04$$ p T^{2} - $$17\!\cdots\!00$$ p^{2} T^{3} + $$13\!\cdots\!58$$ p^{3} T^{4} - $$17\!\cdots\!00$$ p^{89} T^{5} + $$39\!\cdots\!04$$ p^{175} T^{6} - $$35\!\cdots\!88$$ p^{261} T^{7} + p^{348} T^{8} $
	79	$C_2 \wr S_4$	$ 1 - $$19\!\cdots\!80$$ p T + $$35\!\cdots\!96$$ p^{2} T^{2} - $$67\!\cdots\!60$$ p^{3} T^{3} + $$10\!\cdots\!06$$ p^{4} T^{4} - $$67\!\cdots\!60$$ p^{90} T^{5} + $$35\!\cdots\!96$$ p^{176} T^{6} - $$19\!\cdots\!80$$ p^{262} T^{7} + p^{348} T^{8} $
	83	$C_2 \wr S_4$	$ 1 - $$13\!\cdots\!96$$ p T + $$34\!\cdots\!28$$ p^{2} T^{2} - $$56\!\cdots\!80$$ p^{3} T^{3} + $$57\!\cdots\!86$$ p^{4} T^{4} - $$56\!\cdots\!80$$ p^{90} T^{5} + $$34\!\cdots\!28$$ p^{176} T^{6} - $$13\!\cdots\!96$$ p^{262} T^{7} + p^{348} T^{8} $
	89	$C_2 \wr S_4$	$ 1 + $$11\!\cdots\!60$$ T + $$10\!\cdots\!16$$ T^{2} + $$12\!\cdots\!20$$ T^{3} + $$48\!\cdots\!46$$ T^{4} + $$12\!\cdots\!20$$ p^{87} T^{5} + $$10\!\cdots\!16$$ p^{174} T^{6} + $$11\!\cdots\!60$$ p^{261} T^{7} + p^{348} T^{8} $
	97	$C_2 \wr S_4$	$ 1 - $$84\!\cdots\!84$$ T + $$14\!\cdots\!48$$ T^{2} - $$30\!\cdots\!20$$ T^{3} + $$97\!\cdots\!66$$ T^{4} - $$30\!\cdots\!20$$ p^{87} T^{5} + $$14\!\cdots\!48$$ p^{174} T^{6} - $$84\!\cdots\!84$$ p^{261} T^{7} + p^{348} T^{8} $
show more
show less

$L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{8} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}$

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−8.692660134038095251606524820038, −8.041493609046368949896711463115, −7.78221580197980130400781843000, −7.59075105648841395702588976167, −7.57386580360675478197887990924, −6.86730410984493347909207082338, −6.54249269705281997050589741877, −6.37884725540771889676689976584, −6.16954090348003784561976396902, −5.21678181675835808610135081145, −4.80814530065435570364061133337, −4.68886295846973120643187208938, −4.37236280775379550751523776054, −3.76612893941011252821513228776, −3.17863575213613941618806631807, −3.12392282633690103654311652179, −2.97141330193538226762185766685, −2.34421222146130258906937531787, −1.90737593458329548511964222685, −1.84829865759006224261982024663, −1.35574022902466705355234506159, −1.20546400816313718680675491866, −0.75057581048736493451549292595, −0.45834592509668309188427641053, −0.20386348093953006742400555354, 0.20386348093953006742400555354, 0.45834592509668309188427641053, 0.75057581048736493451549292595, 1.20546400816313718680675491866, 1.35574022902466705355234506159, 1.84829865759006224261982024663, 1.90737593458329548511964222685, 2.34421222146130258906937531787, 2.97141330193538226762185766685, 3.12392282633690103654311652179, 3.17863575213613941618806631807, 3.76612893941011252821513228776, 4.37236280775379550751523776054, 4.68886295846973120643187208938, 4.80814530065435570364061133337, 5.21678181675835808610135081145, 6.16954090348003784561976396902, 6.37884725540771889676689976584, 6.54249269705281997050589741877, 6.86730410984493347909207082338, 7.57386580360675478197887990924, 7.59075105648841395702588976167, 7.78221580197980130400781843000, 8.041493609046368949896711463115, 8.692660134038095251606524820038

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

\(L(44)\)	\(\approx\)	\(0.6896896870\)
\(L(\frac12)\)	\(\approx\)	\(0.6896896870\)
\(L(\frac{89}{2})\)		not available
\(L(1)\)		not available

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Origins

Origins of factors

Downloads

Learn more