# Properties

 Degree 6 Conductor $2^{3}$ Sign $1$ Motivic weight 83 Primitive no Self-dual yes Analytic rank 0

# Origins of factors

## Dirichlet series

 L(s)  = 1 − 6.59e12·2-s − 1.01e20·3-s + 2.90e25·4-s − 3.01e27·5-s + 6.70e32·6-s − 5.68e34·7-s − 1.06e38·8-s − 1.46e39·9-s + 1.99e40·10-s − 1.49e43·11-s − 2.95e45·12-s − 1.24e45·13-s + 3.75e47·14-s + 3.06e47·15-s + 3.50e50·16-s + 3.08e50·17-s + 9.65e51·18-s − 1.15e53·19-s − 8.75e52·20-s + 5.78e54·21-s + 9.86e55·22-s + 1.94e56·23-s + 1.08e58·24-s − 9.05e57·25-s + 8.23e57·26-s + 5.37e59·27-s − 1.64e60·28-s + ⋯
 L(s)  = 1 − 2.12·2-s − 1.60·3-s + 3·4-s − 0.0296·5-s + 3.41·6-s − 0.482·7-s − 3.53·8-s − 0.366·9-s + 0.0629·10-s − 0.905·11-s − 4.82·12-s − 0.0737·13-s + 1.02·14-s + 0.0477·15-s + 15/4·16-s + 0.266·17-s + 0.777·18-s − 0.987·19-s − 0.0890·20-s + 0.776·21-s + 1.92·22-s + 0.599·23-s + 5.69·24-s − 0.875·25-s + 0.156·26-s + 2.13·27-s − 1.44·28-s + ⋯

## Functional equation

\begin{aligned} \Lambda(s)=\mathstrut & 8 ^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{3} \, L(s)\cr =\mathstrut & \, \Lambda(84-s) \end{aligned}
\begin{aligned} \Lambda(s)=\mathstrut & 8 ^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+83/2)^{3} \, L(s)\cr =\mathstrut & \, \Lambda(1-s) \end{aligned}

## Invariants

 $$d$$ = $$6$$ $$N$$ = $$8$$    =    $$2^{3}$$ $$\varepsilon$$ = $1$ motivic weight = $$83$$ character : induced by $\chi_{2} (1, \cdot )$ primitive : no self-dual : yes analytic rank = 0 Selberg data = $(6,\ 8,\ (\ :83/2, 83/2, 83/2),\ 1)$ $L(42)$ $\approx$ $0.01857966202$ $L(\frac12)$ $\approx$ $0.01857966202$ $L(\frac{85}{2})$ not available $L(1)$ not available

## Euler product

$L(s) = \prod_{p \text{ prime}} F_p(p^{-s})^{-1}$ where, for $p \neq 2$, $$F_p(T)$$ is a polynomial of degree 6. If $p = 2$, then $F_p(T)$ is a polynomial of degree at most 5.
$p$$\Gal(F_p)$$F_p(T)$
bad2$C_1$ $$( 1 + p^{41} T )^{3}$$
good3$S_4\times C_2$ $$1 + 3766768380958173188 p^{3} T +$$$$66\!\cdots\!59$$$$p^{11} T^{2} +$$$$95\!\cdots\!44$$$$p^{25} T^{3} +$$$$66\!\cdots\!59$$$$p^{94} T^{4} + 3766768380958173188 p^{169} T^{5} + p^{249} T^{6}$$
5$S_4\times C_2$ $$1 +$$$$48\!\cdots\!06$$$$p^{4} T +$$$$18\!\cdots\!43$$$$p^{11} T^{2} -$$$$33\!\cdots\!28$$$$p^{22} T^{3} +$$$$18\!\cdots\!43$$$$p^{94} T^{4} +$$$$48\!\cdots\!06$$$$p^{170} T^{5} + p^{249} T^{6}$$
7$S_4\times C_2$ $$1 +$$$$11\!\cdots\!12$$$$p^{2} T +$$$$59\!\cdots\!77$$$$p^{8} T^{2} +$$$$45\!\cdots\!04$$$$p^{16} T^{3} +$$$$59\!\cdots\!77$$$$p^{91} T^{4} +$$$$11\!\cdots\!12$$$$p^{168} T^{5} + p^{249} T^{6}$$
11$S_4\times C_2$ $$1 +$$$$13\!\cdots\!24$$$$p T +$$$$46\!\cdots\!25$$$$p^{2} T^{2} +$$$$34\!\cdots\!40$$$$p^{7} T^{3} +$$$$46\!\cdots\!25$$$$p^{85} T^{4} +$$$$13\!\cdots\!24$$$$p^{167} T^{5} + p^{249} T^{6}$$
13$S_4\times C_2$ $$1 +$$$$73\!\cdots\!54$$$$p^{2} T +$$$$79\!\cdots\!87$$$$p^{6} T^{2} +$$$$12\!\cdots\!36$$$$p^{11} T^{3} +$$$$79\!\cdots\!87$$$$p^{89} T^{4} +$$$$73\!\cdots\!54$$$$p^{168} T^{5} + p^{249} T^{6}$$
17$S_4\times C_2$ $$1 -$$$$18\!\cdots\!06$$$$p T +$$$$13\!\cdots\!63$$$$p^{2} T^{2} +$$$$12\!\cdots\!92$$$$p^{5} T^{3} +$$$$13\!\cdots\!63$$$$p^{85} T^{4} -$$$$18\!\cdots\!06$$$$p^{167} T^{5} + p^{249} T^{6}$$
19$S_4\times C_2$ $$1 +$$$$60\!\cdots\!00$$$$p T +$$$$20\!\cdots\!03$$$$p^{3} T^{2} -$$$$23\!\cdots\!00$$$$p^{6} T^{3} +$$$$20\!\cdots\!03$$$$p^{86} T^{4} +$$$$60\!\cdots\!00$$$$p^{167} T^{5} + p^{249} T^{6}$$
23$S_4\times C_2$ $$1 -$$$$84\!\cdots\!48$$$$p T +$$$$41\!\cdots\!37$$$$p^{2} T^{2} -$$$$76\!\cdots\!48$$$$p^{4} T^{3} +$$$$41\!\cdots\!37$$$$p^{85} T^{4} -$$$$84\!\cdots\!48$$$$p^{167} T^{5} + p^{249} T^{6}$$
29$S_4\times C_2$ $$1 +$$$$13\!\cdots\!70$$$$T +$$$$41\!\cdots\!23$$$$p T^{2} +$$$$27\!\cdots\!40$$$$p^{3} T^{3} +$$$$41\!\cdots\!23$$$$p^{84} T^{4} +$$$$13\!\cdots\!70$$$$p^{166} T^{5} + p^{249} T^{6}$$
31$S_4\times C_2$ $$1 +$$$$15\!\cdots\!44$$$$T +$$$$49\!\cdots\!35$$$$p T^{2} -$$$$32\!\cdots\!00$$$$p^{3} T^{3} +$$$$49\!\cdots\!35$$$$p^{84} T^{4} +$$$$15\!\cdots\!44$$$$p^{166} T^{5} + p^{249} T^{6}$$
37$S_4\times C_2$ $$1 +$$$$39\!\cdots\!54$$$$p T +$$$$35\!\cdots\!59$$$$p^{3} T^{2} -$$$$18\!\cdots\!88$$$$p^{5} T^{3} +$$$$35\!\cdots\!59$$$$p^{86} T^{4} +$$$$39\!\cdots\!54$$$$p^{167} T^{5} + p^{249} T^{6}$$
41$S_4\times C_2$ $$1 +$$$$36\!\cdots\!54$$$$p T +$$$$14\!\cdots\!95$$$$p^{2} T^{2} +$$$$27\!\cdots\!60$$$$p^{3} T^{3} +$$$$14\!\cdots\!95$$$$p^{85} T^{4} +$$$$36\!\cdots\!54$$$$p^{167} T^{5} + p^{249} T^{6}$$
43$S_4\times C_2$ $$1 +$$$$18\!\cdots\!96$$$$T +$$$$21\!\cdots\!93$$$$T^{2} +$$$$36\!\cdots\!84$$$$p T^{3} +$$$$21\!\cdots\!93$$$$p^{83} T^{4} +$$$$18\!\cdots\!96$$$$p^{166} T^{5} + p^{249} T^{6}$$
47$S_4\times C_2$ $$1 +$$$$34\!\cdots\!88$$$$T +$$$$15\!\cdots\!17$$$$T^{2} +$$$$74\!\cdots\!72$$$$p T^{3} +$$$$15\!\cdots\!17$$$$p^{83} T^{4} +$$$$34\!\cdots\!88$$$$p^{166} T^{5} + p^{249} T^{6}$$
53$S_4\times C_2$ $$1 +$$$$38\!\cdots\!66$$$$T +$$$$37\!\cdots\!11$$$$p T^{2} +$$$$80\!\cdots\!68$$$$p^{2} T^{3} +$$$$37\!\cdots\!11$$$$p^{84} T^{4} +$$$$38\!\cdots\!66$$$$p^{166} T^{5} + p^{249} T^{6}$$
59$S_4\times C_2$ $$1 -$$$$31\!\cdots\!60$$$$T +$$$$25\!\cdots\!37$$$$T^{2} -$$$$83\!\cdots\!20$$$$p T^{3} +$$$$25\!\cdots\!37$$$$p^{83} T^{4} -$$$$31\!\cdots\!60$$$$p^{166} T^{5} + p^{249} T^{6}$$
61$S_4\times C_2$ $$1 +$$$$49\!\cdots\!54$$$$p T +$$$$16\!\cdots\!55$$$$p^{2} T^{2} +$$$$41\!\cdots\!20$$$$p^{3} T^{3} +$$$$16\!\cdots\!55$$$$p^{85} T^{4} +$$$$49\!\cdots\!54$$$$p^{167} T^{5} + p^{249} T^{6}$$
67$S_4\times C_2$ $$1 +$$$$98\!\cdots\!28$$$$T +$$$$49\!\cdots\!51$$$$p T^{2} -$$$$47\!\cdots\!64$$$$p^{2} T^{3} +$$$$49\!\cdots\!51$$$$p^{84} T^{4} +$$$$98\!\cdots\!28$$$$p^{166} T^{5} + p^{249} T^{6}$$
71$S_4\times C_2$ $$1 -$$$$81\!\cdots\!96$$$$T +$$$$18\!\cdots\!55$$$$p T^{2} -$$$$13\!\cdots\!80$$$$p^{2} T^{3} +$$$$18\!\cdots\!55$$$$p^{84} T^{4} -$$$$81\!\cdots\!96$$$$p^{166} T^{5} + p^{249} T^{6}$$
73$S_4\times C_2$ $$1 -$$$$75\!\cdots\!18$$$$p T +$$$$43\!\cdots\!27$$$$p^{2} T^{2} -$$$$14\!\cdots\!44$$$$p^{3} T^{3} +$$$$43\!\cdots\!27$$$$p^{85} T^{4} -$$$$75\!\cdots\!18$$$$p^{167} T^{5} + p^{249} T^{6}$$
79$S_4\times C_2$ $$1 +$$$$65\!\cdots\!80$$$$p^{2} T +$$$$10\!\cdots\!37$$$$p^{2} T^{2} +$$$$60\!\cdots\!60$$$$p^{3} T^{3} +$$$$10\!\cdots\!37$$$$p^{85} T^{4} +$$$$65\!\cdots\!80$$$$p^{168} T^{5} + p^{249} T^{6}$$
83$S_4\times C_2$ $$1 -$$$$52\!\cdots\!84$$$$T +$$$$37\!\cdots\!13$$$$T^{2} -$$$$94\!\cdots\!68$$$$T^{3} +$$$$37\!\cdots\!13$$$$p^{83} T^{4} -$$$$52\!\cdots\!84$$$$p^{166} T^{5} + p^{249} T^{6}$$
89$S_4\times C_2$ $$1 -$$$$73\!\cdots\!30$$$$T -$$$$73\!\cdots\!93$$$$T^{2} +$$$$70\!\cdots\!60$$$$T^{3} -$$$$73\!\cdots\!93$$$$p^{83} T^{4} -$$$$73\!\cdots\!30$$$$p^{166} T^{5} + p^{249} T^{6}$$
97$S_4\times C_2$ $$1 -$$$$11\!\cdots\!82$$$$T +$$$$67\!\cdots\!27$$$$T^{2} -$$$$23\!\cdots\!56$$$$T^{3} +$$$$67\!\cdots\!27$$$$p^{83} T^{4} -$$$$11\!\cdots\!82$$$$p^{166} T^{5} + p^{249} T^{6}$$
\begin{aligned} L(s) = \prod_p \ \prod_{j=1}^{6} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1} \end{aligned}