Dirichlet series
| L(s) = 1 | − 5·2-s − 5·3-s + 4·4-s − 11·5-s + 25·6-s − 6·7-s + 21·8-s − 7·9-s + 55·10-s − 2·11-s − 20·12-s − 7·13-s + 30·14-s + 55·15-s − 48·16-s − 11·17-s + 35·18-s − 31·19-s − 44·20-s + 30·21-s + 10·22-s − 11·23-s − 105·24-s + 20·25-s + 35·26-s + 74·27-s − 24·28-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | − 3.53·2-s − 2.88·3-s + 2·4-s − 4.91·5-s + 10.2·6-s − 2.26·7-s + 7.42·8-s − 7/3·9-s + 17.3·10-s − 0.603·11-s − 5.77·12-s − 1.94·13-s + 8.01·14-s + 14.2·15-s − 12·16-s − 2.66·17-s + 8.24·18-s − 7.11·19-s − 9.83·20-s + 6.54·21-s + 2.13·22-s − 2.29·23-s − 21.4·24-s + 4·25-s + 6.86·26-s + 14.2·27-s − 4.53·28-s + ⋯ |
Functional equation
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(43^{36}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{18} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(43^{36}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{18} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Invariants
| Degree: | \(36\) |
| Conductor: | \(43^{36}\) |
| Sign: | $1$ |
| Analytic conductor: | \(1.11135\times 10^{21}\) |
| Root analytic conductor: | \(3.84243\) |
| Motivic weight: | \(1\) |
| Rational: | yes |
| Arithmetic: | yes |
| Character: | Trivial |
| Primitive: | no |
| Self-dual: | yes |
| Analytic rank: | \(18\) |
| Selberg data: | \((36,\ 43^{36} ,\ ( \ : [1/2]^{18} ),\ 1 )\) |
Particular Values
| \(L(1)\) | \(=\) | \(0\) |
| \(L(\frac12)\) | \(=\) | \(0\) |
| \(L(\frac{3}{2})\) | not available | |
| \(L(1)\) | not available |
Euler product
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $F_p(T)$ | |
|---|---|---|
| bad | 43 | \( 1 \) |
| good | 2 | \( 1 + 5 T + 21 T^{2} + p^{6} T^{3} + 179 T^{4} + 437 T^{5} + 63 p^{4} T^{6} + 2147 T^{7} + 4381 T^{8} + 8465 T^{9} + 15785 T^{10} + 14097 p T^{11} + 48769 T^{12} + 40643 p T^{13} + 131557 T^{14} + 205927 T^{15} + 313527 T^{16} + 462513 T^{17} + 664265 T^{18} + 462513 p T^{19} + 313527 p^{2} T^{20} + 205927 p^{3} T^{21} + 131557 p^{4} T^{22} + 40643 p^{6} T^{23} + 48769 p^{6} T^{24} + 14097 p^{8} T^{25} + 15785 p^{8} T^{26} + 8465 p^{9} T^{27} + 4381 p^{10} T^{28} + 2147 p^{11} T^{29} + 63 p^{16} T^{30} + 437 p^{13} T^{31} + 179 p^{14} T^{32} + p^{21} T^{33} + 21 p^{16} T^{34} + 5 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) |
| 3 | \( 1 + 5 T + 32 T^{2} + 121 T^{3} + 487 T^{4} + 1519 T^{5} + 4810 T^{6} + 4331 p T^{7} + 35099 T^{8} + 84694 T^{9} + 203425 T^{10} + 447800 T^{11} + 980330 T^{12} + 1997474 T^{13} + 449890 p^{2} T^{14} + 7709756 T^{15} + 4870700 p T^{16} + 26142572 T^{17} + 46568083 T^{18} + 26142572 p T^{19} + 4870700 p^{3} T^{20} + 7709756 p^{3} T^{21} + 449890 p^{6} T^{22} + 1997474 p^{5} T^{23} + 980330 p^{6} T^{24} + 447800 p^{7} T^{25} + 203425 p^{8} T^{26} + 84694 p^{9} T^{27} + 35099 p^{10} T^{28} + 4331 p^{12} T^{29} + 4810 p^{12} T^{30} + 1519 p^{13} T^{31} + 487 p^{14} T^{32} + 121 p^{15} T^{33} + 32 p^{16} T^{34} + 5 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 5 | \( 1 + 11 T + 101 T^{2} + 669 T^{3} + 3903 T^{4} + 19466 T^{5} + 88477 T^{6} + 72632 p T^{7} + 277292 p T^{8} + 4905936 T^{9} + 16359692 T^{10} + 10263313 p T^{11} + 153036579 T^{12} + 433243564 T^{13} + 1172911578 T^{14} + 3031457583 T^{15} + 7519728391 T^{16} + 3572610531 p T^{17} + 40796547233 T^{18} + 3572610531 p^{2} T^{19} + 7519728391 p^{2} T^{20} + 3031457583 p^{3} T^{21} + 1172911578 p^{4} T^{22} + 433243564 p^{5} T^{23} + 153036579 p^{6} T^{24} + 10263313 p^{8} T^{25} + 16359692 p^{8} T^{26} + 4905936 p^{9} T^{27} + 277292 p^{11} T^{28} + 72632 p^{12} T^{29} + 88477 p^{12} T^{30} + 19466 p^{13} T^{31} + 3903 p^{14} T^{32} + 669 p^{15} T^{33} + 101 p^{16} T^{34} + 11 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 7 | \( 1 + 6 T + 12 p T^{2} + 404 T^{3} + 3274 T^{4} + 13241 T^{5} + 80350 T^{6} + 281196 T^{7} + 1411311 T^{8} + 4354137 T^{9} + 2725746 p T^{10} + 52630458 T^{11} + 208882075 T^{12} + 522279147 T^{13} + 1931335668 T^{14} + 4450614354 T^{15} + 15661259403 T^{16} + 33919735838 T^{17} + 114695007659 T^{18} + 33919735838 p T^{19} + 15661259403 p^{2} T^{20} + 4450614354 p^{3} T^{21} + 1931335668 p^{4} T^{22} + 522279147 p^{5} T^{23} + 208882075 p^{6} T^{24} + 52630458 p^{7} T^{25} + 2725746 p^{9} T^{26} + 4354137 p^{9} T^{27} + 1411311 p^{10} T^{28} + 281196 p^{11} T^{29} + 80350 p^{12} T^{30} + 13241 p^{13} T^{31} + 3274 p^{14} T^{32} + 404 p^{15} T^{33} + 12 p^{17} T^{34} + 6 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 11 | \( 1 + 2 T + 106 T^{2} + 229 T^{3} + 5690 T^{4} + 12747 T^{5} + 204282 T^{6} + 465265 T^{7} + 5488286 T^{8} + 12572724 T^{9} + 117435749 T^{10} + 268589062 T^{11} + 2084590259 T^{12} + 4722228468 T^{13} + 31603117559 T^{14} + 70103709703 T^{15} + 37980678843 p T^{16} + 892536995699 T^{17} + 4878827245269 T^{18} + 892536995699 p T^{19} + 37980678843 p^{3} T^{20} + 70103709703 p^{3} T^{21} + 31603117559 p^{4} T^{22} + 4722228468 p^{5} T^{23} + 2084590259 p^{6} T^{24} + 268589062 p^{7} T^{25} + 117435749 p^{8} T^{26} + 12572724 p^{9} T^{27} + 5488286 p^{10} T^{28} + 465265 p^{11} T^{29} + 204282 p^{12} T^{30} + 12747 p^{13} T^{31} + 5690 p^{14} T^{32} + 229 p^{15} T^{33} + 106 p^{16} T^{34} + 2 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 13 | \( 1 + 7 T + 177 T^{2} + 1018 T^{3} + 14604 T^{4} + 71860 T^{5} + 763549 T^{6} + 3294581 T^{7} + 28732485 T^{8} + 110474722 T^{9} + 834095319 T^{10} + 2891021534 T^{11} + 19507460320 T^{12} + 61516713994 T^{13} + 378392228455 T^{14} + 1094212986566 T^{15} + 6206713401763 T^{16} + 16564106110855 T^{17} + 87079098238593 T^{18} + 16564106110855 p T^{19} + 6206713401763 p^{2} T^{20} + 1094212986566 p^{3} T^{21} + 378392228455 p^{4} T^{22} + 61516713994 p^{5} T^{23} + 19507460320 p^{6} T^{24} + 2891021534 p^{7} T^{25} + 834095319 p^{8} T^{26} + 110474722 p^{9} T^{27} + 28732485 p^{10} T^{28} + 3294581 p^{11} T^{29} + 763549 p^{12} T^{30} + 71860 p^{13} T^{31} + 14604 p^{14} T^{32} + 1018 p^{15} T^{33} + 177 p^{16} T^{34} + 7 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 17 | \( 1 + 11 T + 231 T^{2} + 2107 T^{3} + 25583 T^{4} + 199091 T^{5} + 1812738 T^{6} + 12335903 T^{7} + 92694466 T^{8} + 562106618 T^{9} + 3654967661 T^{10} + 20022851568 T^{11} + 6808553783 p T^{12} + 578272697713 T^{13} + 177709051133 p T^{14} + 13847422994218 T^{15} + 66040420965504 T^{16} + 278550252870720 T^{17} + 1219711875918623 T^{18} + 278550252870720 p T^{19} + 66040420965504 p^{2} T^{20} + 13847422994218 p^{3} T^{21} + 177709051133 p^{5} T^{22} + 578272697713 p^{5} T^{23} + 6808553783 p^{7} T^{24} + 20022851568 p^{7} T^{25} + 3654967661 p^{8} T^{26} + 562106618 p^{9} T^{27} + 92694466 p^{10} T^{28} + 12335903 p^{11} T^{29} + 1812738 p^{12} T^{30} + 199091 p^{13} T^{31} + 25583 p^{14} T^{32} + 2107 p^{15} T^{33} + 231 p^{16} T^{34} + 11 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 19 | \( 1 + 31 T + 675 T^{2} + 10622 T^{3} + 138940 T^{4} + 1530782 T^{5} + 781604 p T^{6} + 127843653 T^{7} + 997668299 T^{8} + 7093671340 T^{9} + 46564190903 T^{10} + 283329671122 T^{11} + 1614507118332 T^{12} + 8652670079090 T^{13} + 44043302083234 T^{14} + 11262983095133 p T^{15} + 1002183404208665 T^{16} + 4542498121139650 T^{17} + 20064380211625821 T^{18} + 4542498121139650 p T^{19} + 1002183404208665 p^{2} T^{20} + 11262983095133 p^{4} T^{21} + 44043302083234 p^{4} T^{22} + 8652670079090 p^{5} T^{23} + 1614507118332 p^{6} T^{24} + 283329671122 p^{7} T^{25} + 46564190903 p^{8} T^{26} + 7093671340 p^{9} T^{27} + 997668299 p^{10} T^{28} + 127843653 p^{11} T^{29} + 781604 p^{13} T^{30} + 1530782 p^{13} T^{31} + 138940 p^{14} T^{32} + 10622 p^{15} T^{33} + 675 p^{16} T^{34} + 31 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 23 | \( 1 + 11 T + 15 p T^{2} + 3132 T^{3} + 54949 T^{4} + 426589 T^{5} + 5467252 T^{6} + 37174733 T^{7} + 385954917 T^{8} + 2338057961 T^{9} + 20753234723 T^{10} + 4931886503 p T^{11} + 889059106742 T^{12} + 4426383841877 T^{13} + 31268375908075 T^{14} + 142781111925693 T^{15} + 920860147265066 T^{16} + 3872880455307088 T^{17} + 22970106119407687 T^{18} + 3872880455307088 p T^{19} + 920860147265066 p^{2} T^{20} + 142781111925693 p^{3} T^{21} + 31268375908075 p^{4} T^{22} + 4426383841877 p^{5} T^{23} + 889059106742 p^{6} T^{24} + 4931886503 p^{8} T^{25} + 20753234723 p^{8} T^{26} + 2338057961 p^{9} T^{27} + 385954917 p^{10} T^{28} + 37174733 p^{11} T^{29} + 5467252 p^{12} T^{30} + 426589 p^{13} T^{31} + 54949 p^{14} T^{32} + 3132 p^{15} T^{33} + 15 p^{17} T^{34} + 11 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 29 | \( 1 + 37 T + 947 T^{2} + 17923 T^{3} + 283912 T^{4} + 3855141 T^{5} + 46586206 T^{6} + 507248339 T^{7} + 5061572456 T^{8} + 46624628122 T^{9} + 400155735430 T^{10} + 3214306403195 T^{11} + 24300142007900 T^{12} + 173384015282340 T^{13} + 1171644165735371 T^{14} + 7510398411648064 T^{15} + 45763756699519426 T^{16} + 265249439219992246 T^{17} + 1463952283209284935 T^{18} + 265249439219992246 p T^{19} + 45763756699519426 p^{2} T^{20} + 7510398411648064 p^{3} T^{21} + 1171644165735371 p^{4} T^{22} + 173384015282340 p^{5} T^{23} + 24300142007900 p^{6} T^{24} + 3214306403195 p^{7} T^{25} + 400155735430 p^{8} T^{26} + 46624628122 p^{9} T^{27} + 5061572456 p^{10} T^{28} + 507248339 p^{11} T^{29} + 46586206 p^{12} T^{30} + 3855141 p^{13} T^{31} + 283912 p^{14} T^{32} + 17923 p^{15} T^{33} + 947 p^{16} T^{34} + 37 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 31 | \( 1 + 12 T + 394 T^{2} + 4062 T^{3} + 73790 T^{4} + 667459 T^{5} + 8810142 T^{6} + 71153719 T^{7} + 759179657 T^{8} + 5555787033 T^{9} + 50683565295 T^{10} + 340153856696 T^{11} + 88551589517 p T^{12} + 17046603704779 T^{13} + 124394247414918 T^{14} + 718550937993414 T^{15} + 4809074473741562 T^{16} + 25882288865469751 T^{17} + 160293089661061235 T^{18} + 25882288865469751 p T^{19} + 4809074473741562 p^{2} T^{20} + 718550937993414 p^{3} T^{21} + 124394247414918 p^{4} T^{22} + 17046603704779 p^{5} T^{23} + 88551589517 p^{7} T^{24} + 340153856696 p^{7} T^{25} + 50683565295 p^{8} T^{26} + 5555787033 p^{9} T^{27} + 759179657 p^{10} T^{28} + 71153719 p^{11} T^{29} + 8810142 p^{12} T^{30} + 667459 p^{13} T^{31} + 73790 p^{14} T^{32} + 4062 p^{15} T^{33} + 394 p^{16} T^{34} + 12 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 37 | \( 1 - 19 T + 589 T^{2} - 8420 T^{3} + 151063 T^{4} - 1759614 T^{5} + 23459736 T^{6} - 233272537 T^{7} + 2542189646 T^{8} - 22257059122 T^{9} + 208488795367 T^{10} - 1643111338752 T^{11} + 13649989650958 T^{12} - 98401118005386 T^{13} + 740427345007403 T^{14} - 4935637642077440 T^{15} + 34126021579140508 T^{16} - 211580817085833068 T^{17} + 1356370300983331895 T^{18} - 211580817085833068 p T^{19} + 34126021579140508 p^{2} T^{20} - 4935637642077440 p^{3} T^{21} + 740427345007403 p^{4} T^{22} - 98401118005386 p^{5} T^{23} + 13649989650958 p^{6} T^{24} - 1643111338752 p^{7} T^{25} + 208488795367 p^{8} T^{26} - 22257059122 p^{9} T^{27} + 2542189646 p^{10} T^{28} - 233272537 p^{11} T^{29} + 23459736 p^{12} T^{30} - 1759614 p^{13} T^{31} + 151063 p^{14} T^{32} - 8420 p^{15} T^{33} + 589 p^{16} T^{34} - 19 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 41 | \( 1 + 7 T + 420 T^{2} + 3240 T^{3} + 90202 T^{4} + 716786 T^{5} + 13103701 T^{6} + 102786964 T^{7} + 1433407248 T^{8} + 10828886149 T^{9} + 124839503390 T^{10} + 895792488941 T^{11} + 8953259514722 T^{12} + 60526589311090 T^{13} + 540233339209753 T^{14} + 3422358652721154 T^{15} + 27793767354912440 T^{16} + 164244156889528625 T^{17} + 1228158616200818539 T^{18} + 164244156889528625 p T^{19} + 27793767354912440 p^{2} T^{20} + 3422358652721154 p^{3} T^{21} + 540233339209753 p^{4} T^{22} + 60526589311090 p^{5} T^{23} + 8953259514722 p^{6} T^{24} + 895792488941 p^{7} T^{25} + 124839503390 p^{8} T^{26} + 10828886149 p^{9} T^{27} + 1433407248 p^{10} T^{28} + 102786964 p^{11} T^{29} + 13103701 p^{12} T^{30} + 716786 p^{13} T^{31} + 90202 p^{14} T^{32} + 3240 p^{15} T^{33} + 420 p^{16} T^{34} + 7 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 47 | \( 1 + T + 441 T^{2} + 378 T^{3} + 100243 T^{4} + 64059 T^{5} + 15507867 T^{6} + 6421735 T^{7} + 1823396570 T^{8} + 389880529 T^{9} + 3674369928 p T^{10} + 192779925 p T^{11} + 13634569947126 T^{12} - 876954772658 T^{13} + 916565401866601 T^{14} - 124355291786094 T^{15} + 53146338562582634 T^{16} - 8694613538868321 T^{17} + 2676993076546814875 T^{18} - 8694613538868321 p T^{19} + 53146338562582634 p^{2} T^{20} - 124355291786094 p^{3} T^{21} + 916565401866601 p^{4} T^{22} - 876954772658 p^{5} T^{23} + 13634569947126 p^{6} T^{24} + 192779925 p^{8} T^{25} + 3674369928 p^{9} T^{26} + 389880529 p^{9} T^{27} + 1823396570 p^{10} T^{28} + 6421735 p^{11} T^{29} + 15507867 p^{12} T^{30} + 64059 p^{13} T^{31} + 100243 p^{14} T^{32} + 378 p^{15} T^{33} + 441 p^{16} T^{34} + p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 53 | \( 1 - 3 T + 471 T^{2} - 1056 T^{3} + 113523 T^{4} - 153549 T^{5} + 18344467 T^{6} - 6960585 T^{7} + 2222494860 T^{8} + 1426226391 T^{9} + 215187452214 T^{10} + 355484655993 T^{11} + 17400446510730 T^{12} + 44440317183162 T^{13} + 1215028415653965 T^{14} + 73677905087646 p T^{15} + 75147380191168470 T^{16} + 262691650979577669 T^{17} + 4185046851497965019 T^{18} + 262691650979577669 p T^{19} + 75147380191168470 p^{2} T^{20} + 73677905087646 p^{4} T^{21} + 1215028415653965 p^{4} T^{22} + 44440317183162 p^{5} T^{23} + 17400446510730 p^{6} T^{24} + 355484655993 p^{7} T^{25} + 215187452214 p^{8} T^{26} + 1426226391 p^{9} T^{27} + 2222494860 p^{10} T^{28} - 6960585 p^{11} T^{29} + 18344467 p^{12} T^{30} - 153549 p^{13} T^{31} + 113523 p^{14} T^{32} - 1056 p^{15} T^{33} + 471 p^{16} T^{34} - 3 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 59 | \( 1 - 17 T + 890 T^{2} - 12969 T^{3} + 371964 T^{4} - 4775447 T^{5} + 98199544 T^{6} - 1131507793 T^{7} + 18510827194 T^{8} - 193828091271 T^{9} + 2662524759788 T^{10} - 25536895733756 T^{11} + 304262792505393 T^{12} - 2684476478739574 T^{13} + 28341034676025816 T^{14} - 3903049511230539 p T^{15} + 37056933780574976 p T^{16} - 16332723780371798493 T^{17} + \)\(14\!\cdots\!85\)\( T^{18} - 16332723780371798493 p T^{19} + 37056933780574976 p^{3} T^{20} - 3903049511230539 p^{4} T^{21} + 28341034676025816 p^{4} T^{22} - 2684476478739574 p^{5} T^{23} + 304262792505393 p^{6} T^{24} - 25536895733756 p^{7} T^{25} + 2662524759788 p^{8} T^{26} - 193828091271 p^{9} T^{27} + 18510827194 p^{10} T^{28} - 1131507793 p^{11} T^{29} + 98199544 p^{12} T^{30} - 4775447 p^{13} T^{31} + 371964 p^{14} T^{32} - 12969 p^{15} T^{33} + 890 p^{16} T^{34} - 17 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 61 | \( 1 + 28 T + 1019 T^{2} + 20072 T^{3} + 437347 T^{4} + 6824646 T^{5} + 112590320 T^{6} + 1473831616 T^{7} + 20079161609 T^{8} + 228034178555 T^{9} + 2684926553124 T^{10} + 27078104395535 T^{11} + 283831171459274 T^{12} + 2590252054230334 T^{13} + 24721592527244465 T^{14} + 207570410437628343 T^{15} + 1836081624449708055 T^{16} + 14378049045728950908 T^{17} + \)\(11\!\cdots\!89\)\( T^{18} + 14378049045728950908 p T^{19} + 1836081624449708055 p^{2} T^{20} + 207570410437628343 p^{3} T^{21} + 24721592527244465 p^{4} T^{22} + 2590252054230334 p^{5} T^{23} + 283831171459274 p^{6} T^{24} + 27078104395535 p^{7} T^{25} + 2684926553124 p^{8} T^{26} + 228034178555 p^{9} T^{27} + 20079161609 p^{10} T^{28} + 1473831616 p^{11} T^{29} + 112590320 p^{12} T^{30} + 6824646 p^{13} T^{31} + 437347 p^{14} T^{32} + 20072 p^{15} T^{33} + 1019 p^{16} T^{34} + 28 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 67 | \( 1 - 18 T + 747 T^{2} - 11021 T^{3} + 266098 T^{4} - 3386261 T^{5} + 61776616 T^{6} - 700286712 T^{7} + 10647673611 T^{8} - 109744348215 T^{9} + 1459937506974 T^{10} - 13858055653902 T^{11} + 165766321224565 T^{12} - 1460245745643108 T^{13} + 15966332829424392 T^{14} - 131058934756843494 T^{15} + 1323312512220230094 T^{16} - 10136102287940402999 T^{17} + 95100333637183309469 T^{18} - 10136102287940402999 p T^{19} + 1323312512220230094 p^{2} T^{20} - 131058934756843494 p^{3} T^{21} + 15966332829424392 p^{4} T^{22} - 1460245745643108 p^{5} T^{23} + 165766321224565 p^{6} T^{24} - 13858055653902 p^{7} T^{25} + 1459937506974 p^{8} T^{26} - 109744348215 p^{9} T^{27} + 10647673611 p^{10} T^{28} - 700286712 p^{11} T^{29} + 61776616 p^{12} T^{30} - 3386261 p^{13} T^{31} + 266098 p^{14} T^{32} - 11021 p^{15} T^{33} + 747 p^{16} T^{34} - 18 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 71 | \( 1 + 86 T + 4381 T^{2} + 161393 T^{3} + 4751593 T^{4} + 117237598 T^{5} + 2504196342 T^{6} + 47287231405 T^{7} + 802182116929 T^{8} + 12371512985841 T^{9} + 175156069890510 T^{10} + 2294291010191878 T^{11} + 27986288362685489 T^{12} + 319629084849093298 T^{13} + 3433341088218201345 T^{14} + 34811199581426803904 T^{15} + \)\(33\!\cdots\!95\)\( T^{16} + \)\(30\!\cdots\!98\)\( T^{17} + \)\(26\!\cdots\!75\)\( T^{18} + \)\(30\!\cdots\!98\)\( p T^{19} + \)\(33\!\cdots\!95\)\( p^{2} T^{20} + 34811199581426803904 p^{3} T^{21} + 3433341088218201345 p^{4} T^{22} + 319629084849093298 p^{5} T^{23} + 27986288362685489 p^{6} T^{24} + 2294291010191878 p^{7} T^{25} + 175156069890510 p^{8} T^{26} + 12371512985841 p^{9} T^{27} + 802182116929 p^{10} T^{28} + 47287231405 p^{11} T^{29} + 2504196342 p^{12} T^{30} + 117237598 p^{13} T^{31} + 4751593 p^{14} T^{32} + 161393 p^{15} T^{33} + 4381 p^{16} T^{34} + 86 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 73 | \( 1 - 27 T + 1007 T^{2} - 19815 T^{3} + 447765 T^{4} - 7156446 T^{5} + 124212868 T^{6} - 1702517030 T^{7} + 24770220974 T^{8} - 300583815481 T^{9} + 3832197589506 T^{10} - 42031917749538 T^{11} + 482153954860024 T^{12} - 4847925257622480 T^{13} + 50891805726542784 T^{14} - 473582143472657046 T^{15} + 4599037907896224962 T^{16} - 39832962881131374483 T^{17} + \)\(36\!\cdots\!59\)\( T^{18} - 39832962881131374483 p T^{19} + 4599037907896224962 p^{2} T^{20} - 473582143472657046 p^{3} T^{21} + 50891805726542784 p^{4} T^{22} - 4847925257622480 p^{5} T^{23} + 482153954860024 p^{6} T^{24} - 42031917749538 p^{7} T^{25} + 3832197589506 p^{8} T^{26} - 300583815481 p^{9} T^{27} + 24770220974 p^{10} T^{28} - 1702517030 p^{11} T^{29} + 124212868 p^{12} T^{30} - 7156446 p^{13} T^{31} + 447765 p^{14} T^{32} - 19815 p^{15} T^{33} + 1007 p^{16} T^{34} - 27 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 79 | \( 1 - 17 T + 946 T^{2} - 13939 T^{3} + 432350 T^{4} - 5643790 T^{5} + 128080842 T^{6} - 1504658537 T^{7} + 27779437033 T^{8} - 297208185691 T^{9} + 4716645703113 T^{10} - 46373717355855 T^{11} + 653486932362430 T^{12} - 5942510278530939 T^{13} + 75878465997252205 T^{14} - 640670189666756761 T^{15} + 7507412874523164847 T^{16} - 58935399487024227850 T^{17} + \)\(63\!\cdots\!79\)\( T^{18} - 58935399487024227850 p T^{19} + 7507412874523164847 p^{2} T^{20} - 640670189666756761 p^{3} T^{21} + 75878465997252205 p^{4} T^{22} - 5942510278530939 p^{5} T^{23} + 653486932362430 p^{6} T^{24} - 46373717355855 p^{7} T^{25} + 4716645703113 p^{8} T^{26} - 297208185691 p^{9} T^{27} + 27779437033 p^{10} T^{28} - 1504658537 p^{11} T^{29} + 128080842 p^{12} T^{30} - 5643790 p^{13} T^{31} + 432350 p^{14} T^{32} - 13939 p^{15} T^{33} + 946 p^{16} T^{34} - 17 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 83 | \( 1 + 12 T + 1078 T^{2} + 11305 T^{3} + 561490 T^{4} + 5215328 T^{5} + 188751070 T^{6} + 1566682212 T^{7} + 46085293241 T^{8} + 344087059159 T^{9} + 8713394246075 T^{10} + 58850822346822 T^{11} + 1327322439513751 T^{12} + 8154166109275604 T^{13} + 167189447742982401 T^{14} + 939442501420537189 T^{15} + 17709135064744613010 T^{16} + 91493035467322566291 T^{17} + \)\(15\!\cdots\!39\)\( T^{18} + 91493035467322566291 p T^{19} + 17709135064744613010 p^{2} T^{20} + 939442501420537189 p^{3} T^{21} + 167189447742982401 p^{4} T^{22} + 8154166109275604 p^{5} T^{23} + 1327322439513751 p^{6} T^{24} + 58850822346822 p^{7} T^{25} + 8713394246075 p^{8} T^{26} + 344087059159 p^{9} T^{27} + 46085293241 p^{10} T^{28} + 1566682212 p^{11} T^{29} + 188751070 p^{12} T^{30} + 5215328 p^{13} T^{31} + 561490 p^{14} T^{32} + 11305 p^{15} T^{33} + 1078 p^{16} T^{34} + 12 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 89 | \( 1 + 51 T + 2269 T^{2} + 69808 T^{3} + 1913596 T^{4} + 43812335 T^{5} + 915214729 T^{6} + 16990491798 T^{7} + 292605997565 T^{8} + 4611751813072 T^{9} + 68223773399243 T^{10} + 939340780074915 T^{11} + 12244142926058626 T^{12} + 150150675566213465 T^{13} + 1754271192106775274 T^{14} + 19419208919876480401 T^{15} + \)\(20\!\cdots\!07\)\( T^{16} + \)\(20\!\cdots\!40\)\( T^{17} + \)\(20\!\cdots\!57\)\( T^{18} + \)\(20\!\cdots\!40\)\( p T^{19} + \)\(20\!\cdots\!07\)\( p^{2} T^{20} + 19419208919876480401 p^{3} T^{21} + 1754271192106775274 p^{4} T^{22} + 150150675566213465 p^{5} T^{23} + 12244142926058626 p^{6} T^{24} + 939340780074915 p^{7} T^{25} + 68223773399243 p^{8} T^{26} + 4611751813072 p^{9} T^{27} + 292605997565 p^{10} T^{28} + 16990491798 p^{11} T^{29} + 915214729 p^{12} T^{30} + 43812335 p^{13} T^{31} + 1913596 p^{14} T^{32} + 69808 p^{15} T^{33} + 2269 p^{16} T^{34} + 51 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 97 | \( 1 + 19 T + 1209 T^{2} + 19154 T^{3} + 675661 T^{4} + 9241955 T^{5} + 237136112 T^{6} + 2876020341 T^{7} + 59712863582 T^{8} + 655928587660 T^{9} + 11654954223677 T^{10} + 1215923813359 p T^{11} + 1856060149182267 T^{12} + 17528861806014983 T^{13} + 250072895629370224 T^{14} + 2222533021348576604 T^{15} + 29240177165801608601 T^{16} + \)\(24\!\cdots\!45\)\( T^{17} + \)\(30\!\cdots\!63\)\( T^{18} + \)\(24\!\cdots\!45\)\( p T^{19} + 29240177165801608601 p^{2} T^{20} + 2222533021348576604 p^{3} T^{21} + 250072895629370224 p^{4} T^{22} + 17528861806014983 p^{5} T^{23} + 1856060149182267 p^{6} T^{24} + 1215923813359 p^{8} T^{25} + 11654954223677 p^{8} T^{26} + 655928587660 p^{9} T^{27} + 59712863582 p^{10} T^{28} + 2876020341 p^{11} T^{29} + 237136112 p^{12} T^{30} + 9241955 p^{13} T^{31} + 675661 p^{14} T^{32} + 19154 p^{15} T^{33} + 1209 p^{16} T^{34} + 19 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| show more | ||
| show less | ||
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{36} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−2.59666526004694303948312757547, −2.52825654926114616364196702395, −2.44348163714093411898305892893, −2.40226520107546377552394770771, −2.39947443490716328098582381483, −2.37474757295089354171738707422, −2.27577841578509552289254211080, −2.24304451691032716258339608191, −2.19825868959610866765315438797, −2.13682779769289895176252059857, −2.13640164885846566078640930188, −1.96226725969410286411442368390, −1.81006404067458042355582001664, −1.77811736043358852040683550082, −1.72435963223482797793316498704, −1.69119979488966231970219904971, −1.68194573184341347753522188222, −1.43417574361808464727299635509, −1.34092246602574634184227226043, −1.32628314364973181658936330045, −1.18917905903285848709475800445, −1.06798761346239114415470801746, −1.00485720477341491549967537773, −0.949049267417994263790887144134, −0.851544563243426163040662232965, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.851544563243426163040662232965, 0.949049267417994263790887144134, 1.00485720477341491549967537773, 1.06798761346239114415470801746, 1.18917905903285848709475800445, 1.32628314364973181658936330045, 1.34092246602574634184227226043, 1.43417574361808464727299635509, 1.68194573184341347753522188222, 1.69119979488966231970219904971, 1.72435963223482797793316498704, 1.77811736043358852040683550082, 1.81006404067458042355582001664, 1.96226725969410286411442368390, 2.13640164885846566078640930188, 2.13682779769289895176252059857, 2.19825868959610866765315438797, 2.24304451691032716258339608191, 2.27577841578509552289254211080, 2.37474757295089354171738707422, 2.39947443490716328098582381483, 2.40226520107546377552394770771, 2.44348163714093411898305892893, 2.52825654926114616364196702395, 2.59666526004694303948312757547
Graph of the $Z$-function along the critical line
Plot not available for L-functions of degree greater than 10.