LMFDB - L-function 26-177e13-1.1-c5e13-0-0

Dirichlet series

L(s) = 1

− 117·3^-s − 85·4^-s − 14·5^-s + 373·7^-s + 41·8^-s + 7.37e3·9^-s + 250·11^-s + 9.94e3·12^-s + 1.05e3·13^-s + 1.63e3·15^-s + 1.87e3·16^-s + 271·17^-s + 671·19^-s + 1.19e3·20^-s − 4.36e4·21^-s + 3.97e3·23^-s − 4.79e3·24^-s − 1.24e4·25^-s − 3.31e5·27^-s − 3.17e4·28^-s − 1.06e4·29^-s + 2.55e4·31^-s − 1.07e3·32^-s − 2.92e4·33^-s − 5.22e3·35^-s − 6.26e5·36^-s + 1.75e4·37^-s + ⋯

L(s) = 1

− 7.50·3^-s − 2.65·4^-s − 0.250·5^-s + 2.87·7^-s + 0.226·8^-s + 91/3·9^-s + 0.622·11^-s + 19.9·12^-s + 1.72·13^-s + 1.87·15^-s + 1.83·16^-s + 0.227·17^-s + 0.426·19^-s + 0.665·20^-s − 21.5·21^-s + 1.56·23^-s − 1.69·24^-s − 3.97·25^-s − 87.5·27^-s − 7.64·28^-s − 2.34·29^-s + 4.78·31^-s − 0.186·32^-s − 4.67·33^-s − 0.720·35^-s − 80.5·36^-s + 2.11·37^-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{13} \cdot 59^{13}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{13} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(6-s)\end{aligned}\]

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{13} \cdot 59^{13}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{13} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]

Invariants

Degree:	$26$
Conductor:	$3^{13} \cdot 59^{13}$
Sign:	$1$
Analytic conductor:	$7.77570\times 10^{18}$
Root analytic conductor:	$5.32803$
Motivic weight:	$5$
Rational:	yes
Arithmetic:	yes
Character:	Trivial
Primitive:	no
Self-dual:	yes
Analytic rank:	$0$
Selberg data:	$(26,\ 3^{13} \cdot 59^{13} ,\ ( \ : [5/2]^{13} ),\ 1 )$

Particular Values

$L(3)$	$\approx$	$0.3573657709$
$L(\frac12)$	$\approx$	$0.3573657709$
$L(\frac{7}{2})$		not available
$L(1)$		not available

Euler product

$L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} $

	$p$	$F_p(T)$
bad	3	$ ( 1 + p^{2} T )^{13} $
	59	$ ( 1 - p^{2} T )^{13} $
good	2	$ 1 + 85 T^{2} - 41 T^{3} + 2675 p T^{4} - 5891 T^{5} + 57621 p^{2} T^{6} - 87689 p^{2} T^{7} + 72769 p^{7} T^{8} - 551425 p^{5} T^{9} + 5489061 p^{6} T^{10} - 9164669 p^{6} T^{11} + 6201659 p^{11} T^{12} - 82755529 p^{8} T^{13} + 6201659 p^{16} T^{14} - 9164669 p^{16} T^{15} + 5489061 p^{21} T^{16} - 551425 p^{25} T^{17} + 72769 p^{32} T^{18} - 87689 p^{32} T^{19} + 57621 p^{37} T^{20} - 5891 p^{40} T^{21} + 2675 p^{46} T^{22} - 41 p^{50} T^{23} + 85 p^{55} T^{24} + p^{65} T^{26} $
	5	$ 1 + 14 T + 12626 T^{2} + 10916 p T^{3} + 89026834 T^{4} - 631798098 T^{5} + 452982273301 T^{6} - 8600400605708 T^{7} + 1873424646511959 T^{8} - 57147280565311834 T^{9} + 6650418438316126422 T^{10} - 54048383428858739848 p T^{11} + $$21\!\cdots\!57$$ T^{12} - $$96\!\cdots\!64$$ T^{13} + $$21\!\cdots\!57$$ p^{5} T^{14} - 54048383428858739848 p^{11} T^{15} + 6650418438316126422 p^{15} T^{16} - 57147280565311834 p^{20} T^{17} + 1873424646511959 p^{25} T^{18} - 8600400605708 p^{30} T^{19} + 452982273301 p^{35} T^{20} - 631798098 p^{40} T^{21} + 89026834 p^{45} T^{22} + 10916 p^{51} T^{23} + 12626 p^{55} T^{24} + 14 p^{60} T^{25} + p^{65} T^{26} $
	7	$ 1 - 373 T + 131118 T^{2} - 33761232 T^{3} + 8239213709 T^{4} - 1728913600070 T^{5} + 345998172242146 T^{6} - 62575826148827115 T^{7} + 10870914509260267760 T^{8} - $$17\!\cdots\!93$$ T^{9} + $$27\!\cdots\!69$$ T^{10} - $$39\!\cdots\!09$$ T^{11} + $$55\!\cdots\!87$$ T^{12} - $$72\!\cdots\!52$$ T^{13} + $$55\!\cdots\!87$$ p^{5} T^{14} - $$39\!\cdots\!09$$ p^{10} T^{15} + $$27\!\cdots\!69$$ p^{15} T^{16} - $$17\!\cdots\!93$$ p^{20} T^{17} + 10870914509260267760 p^{25} T^{18} - 62575826148827115 p^{30} T^{19} + 345998172242146 p^{35} T^{20} - 1728913600070 p^{40} T^{21} + 8239213709 p^{45} T^{22} - 33761232 p^{50} T^{23} + 131118 p^{55} T^{24} - 373 p^{60} T^{25} + p^{65} T^{26} $
	11	$ 1 - 250 T + 1004417 T^{2} - 210640026 T^{3} + 471213481744 T^{4} - 66238775564662 T^{5} + 133809539384116218 T^{6} - 3705354127945268824 T^{7} + $$24\!\cdots\!30$$ T^{8} + $$42\!\cdots\!66$$ T^{9} + $$27\!\cdots\!40$$ p T^{10} + $$17\!\cdots\!94$$ T^{11} + $$27\!\cdots\!56$$ T^{12} + $$36\!\cdots\!84$$ T^{13} + $$27\!\cdots\!56$$ p^{5} T^{14} + $$17\!\cdots\!94$$ p^{10} T^{15} + $$27\!\cdots\!40$$ p^{16} T^{16} + $$42\!\cdots\!66$$ p^{20} T^{17} + $$24\!\cdots\!30$$ p^{25} T^{18} - 3705354127945268824 p^{30} T^{19} + 133809539384116218 p^{35} T^{20} - 66238775564662 p^{40} T^{21} + 471213481744 p^{45} T^{22} - 210640026 p^{50} T^{23} + 1004417 p^{55} T^{24} - 250 p^{60} T^{25} + p^{65} T^{26} $
	13	$ 1 - 1054 T + 2559277 T^{2} - 2323260574 T^{3} + 3215198186826 T^{4} - 2603261216445598 T^{5} + 2664799864692025928 T^{6} - $$19\!\cdots\!92$$ T^{7} + $$16\!\cdots\!40$$ T^{8} - $$11\!\cdots\!26$$ T^{9} + $$82\!\cdots\!38$$ T^{10} - $$51\!\cdots\!94$$ T^{11} + $$35\!\cdots\!34$$ T^{12} - $$20\!\cdots\!20$$ T^{13} + $$35\!\cdots\!34$$ p^{5} T^{14} - $$51\!\cdots\!94$$ p^{10} T^{15} + $$82\!\cdots\!38$$ p^{15} T^{16} - $$11\!\cdots\!26$$ p^{20} T^{17} + $$16\!\cdots\!40$$ p^{25} T^{18} - $$19\!\cdots\!92$$ p^{30} T^{19} + 2664799864692025928 p^{35} T^{20} - 2603261216445598 p^{40} T^{21} + 3215198186826 p^{45} T^{22} - 2323260574 p^{50} T^{23} + 2559277 p^{55} T^{24} - 1054 p^{60} T^{25} + p^{65} T^{26} $
	17	$ 1 - 271 T + 11113680 T^{2} - 4670072228 T^{3} + 63414351862637 T^{4} - 32251054703363032 T^{5} + 14302733388294224070 p T^{6} - $$13\!\cdots\!19$$ T^{7} + $$69\!\cdots\!44$$ T^{8} - $$38\!\cdots\!57$$ T^{9} + $$15\!\cdots\!69$$ T^{10} - $$81\!\cdots\!25$$ T^{11} + $$27\!\cdots\!39$$ T^{12} - $$13\!\cdots\!12$$ T^{13} + $$27\!\cdots\!39$$ p^{5} T^{14} - $$81\!\cdots\!25$$ p^{10} T^{15} + $$15\!\cdots\!69$$ p^{15} T^{16} - $$38\!\cdots\!57$$ p^{20} T^{17} + $$69\!\cdots\!44$$ p^{25} T^{18} - $$13\!\cdots\!19$$ p^{30} T^{19} + 14302733388294224070 p^{36} T^{20} - 32251054703363032 p^{40} T^{21} + 63414351862637 p^{45} T^{22} - 4670072228 p^{50} T^{23} + 11113680 p^{55} T^{24} - 271 p^{60} T^{25} + p^{65} T^{26} $
	19	$ 1 - 671 T + 18772271 T^{2} - 18061061383 T^{3} + 9342426005750 p T^{4} - 206194280190730543 T^{5} + $$11\!\cdots\!89$$ T^{6} - $$14\!\cdots\!55$$ T^{7} + $$53\!\cdots\!18$$ T^{8} - $$69\!\cdots\!73$$ T^{9} + $$19\!\cdots\!72$$ T^{10} - $$25\!\cdots\!18$$ T^{11} + $$60\!\cdots\!27$$ T^{12} - $$71\!\cdots\!34$$ T^{13} + $$60\!\cdots\!27$$ p^{5} T^{14} - $$25\!\cdots\!18$$ p^{10} T^{15} + $$19\!\cdots\!72$$ p^{15} T^{16} - $$69\!\cdots\!73$$ p^{20} T^{17} + $$53\!\cdots\!18$$ p^{25} T^{18} - $$14\!\cdots\!55$$ p^{30} T^{19} + $$11\!\cdots\!89$$ p^{35} T^{20} - 206194280190730543 p^{40} T^{21} + 9342426005750 p^{46} T^{22} - 18061061383 p^{50} T^{23} + 18772271 p^{55} T^{24} - 671 p^{60} T^{25} + p^{65} T^{26} $
	23	$ 1 - 3975 T + 1904369 p T^{2} - 158132942939 T^{3} + 978994361951958 T^{4} - 3249410792287685683 T^{5} + $$14\!\cdots\!81$$ T^{6} - $$45\!\cdots\!07$$ T^{7} + $$17\!\cdots\!22$$ T^{8} - $$48\!\cdots\!53$$ T^{9} + $$16\!\cdots\!40$$ T^{10} - $$42\!\cdots\!82$$ T^{11} + $$12\!\cdots\!31$$ T^{12} - $$29\!\cdots\!34$$ T^{13} + $$12\!\cdots\!31$$ p^{5} T^{14} - $$42\!\cdots\!82$$ p^{10} T^{15} + $$16\!\cdots\!40$$ p^{15} T^{16} - $$48\!\cdots\!53$$ p^{20} T^{17} + $$17\!\cdots\!22$$ p^{25} T^{18} - $$45\!\cdots\!07$$ p^{30} T^{19} + $$14\!\cdots\!81$$ p^{35} T^{20} - 3249410792287685683 p^{40} T^{21} + 978994361951958 p^{45} T^{22} - 158132942939 p^{50} T^{23} + 1904369 p^{56} T^{24} - 3975 p^{60} T^{25} + p^{65} T^{26} $
	29	$ 1 + 10613 T + 121182749 T^{2} + 606206250295 T^{3} + 4312419228630852 T^{4} + 18233172844209086859 T^{5} + $$16\!\cdots\!49$$ T^{6} + $$82\!\cdots\!33$$ T^{7} + $$55\!\cdots\!36$$ T^{8} + $$21\!\cdots\!83$$ T^{9} + $$12\!\cdots\!58$$ T^{10} + $$49\!\cdots\!96$$ T^{11} + $$31\!\cdots\!07$$ T^{12} + $$13\!\cdots\!10$$ T^{13} + $$31\!\cdots\!07$$ p^{5} T^{14} + $$49\!\cdots\!96$$ p^{10} T^{15} + $$12\!\cdots\!58$$ p^{15} T^{16} + $$21\!\cdots\!83$$ p^{20} T^{17} + $$55\!\cdots\!36$$ p^{25} T^{18} + $$82\!\cdots\!33$$ p^{30} T^{19} + $$16\!\cdots\!49$$ p^{35} T^{20} + 18233172844209086859 p^{40} T^{21} + 4312419228630852 p^{45} T^{22} + 606206250295 p^{50} T^{23} + 121182749 p^{55} T^{24} + 10613 p^{60} T^{25} + p^{65} T^{26} $
	31	$ 1 - 25597 T + 459363857 T^{2} - 199320851191 p T^{3} + 70061499399898796 T^{4} - $$68\!\cdots\!33$$ T^{5} + $$60\!\cdots\!07$$ T^{6} - $$49\!\cdots\!77$$ T^{7} + $$36\!\cdots\!38$$ T^{8} - $$25\!\cdots\!15$$ T^{9} + $$16\!\cdots\!50$$ T^{10} - $$10\!\cdots\!38$$ T^{11} + $$59\!\cdots\!35$$ T^{12} - $$32\!\cdots\!78$$ T^{13} + $$59\!\cdots\!35$$ p^{5} T^{14} - $$10\!\cdots\!38$$ p^{10} T^{15} + $$16\!\cdots\!50$$ p^{15} T^{16} - $$25\!\cdots\!15$$ p^{20} T^{17} + $$36\!\cdots\!38$$ p^{25} T^{18} - $$49\!\cdots\!77$$ p^{30} T^{19} + $$60\!\cdots\!07$$ p^{35} T^{20} - $$68\!\cdots\!33$$ p^{40} T^{21} + 70061499399898796 p^{45} T^{22} - 199320851191 p^{51} T^{23} + 459363857 p^{55} T^{24} - 25597 p^{60} T^{25} + p^{65} T^{26} $
	37	$ 1 - 17585 T + 571097802 T^{2} - 8267227120698 T^{3} + 158401086886237579 T^{4} - $$20\!\cdots\!66$$ T^{5} + $$29\!\cdots\!82$$ T^{6} - $$32\!\cdots\!05$$ T^{7} + $$39\!\cdots\!52$$ T^{8} - $$40\!\cdots\!03$$ T^{9} + $$42\!\cdots\!17$$ T^{10} - $$38\!\cdots\!53$$ T^{11} + $$35\!\cdots\!99$$ T^{12} - $$30\!\cdots\!00$$ T^{13} + $$35\!\cdots\!99$$ p^{5} T^{14} - $$38\!\cdots\!53$$ p^{10} T^{15} + $$42\!\cdots\!17$$ p^{15} T^{16} - $$40\!\cdots\!03$$ p^{20} T^{17} + $$39\!\cdots\!52$$ p^{25} T^{18} - $$32\!\cdots\!05$$ p^{30} T^{19} + $$29\!\cdots\!82$$ p^{35} T^{20} - $$20\!\cdots\!66$$ p^{40} T^{21} + 158401086886237579 p^{45} T^{22} - 8267227120698 p^{50} T^{23} + 571097802 p^{55} T^{24} - 17585 p^{60} T^{25} + p^{65} T^{26} $
	41	$ 1 - 12537 T + 746621988 T^{2} - 10249369441364 T^{3} + 298838618270821497 T^{4} - $$41\!\cdots\!16$$ T^{5} + $$83\!\cdots\!94$$ T^{6} - $$11\!\cdots\!85$$ T^{7} + $$18\!\cdots\!72$$ T^{8} - $$22\!\cdots\!83$$ T^{9} + $$31\!\cdots\!93$$ T^{10} - $$34\!\cdots\!59$$ T^{11} + $$44\!\cdots\!99$$ T^{12} - $$44\!\cdots\!00$$ T^{13} + $$44\!\cdots\!99$$ p^{5} T^{14} - $$34\!\cdots\!59$$ p^{10} T^{15} + $$31\!\cdots\!93$$ p^{15} T^{16} - $$22\!\cdots\!83$$ p^{20} T^{17} + $$18\!\cdots\!72$$ p^{25} T^{18} - $$11\!\cdots\!85$$ p^{30} T^{19} + $$83\!\cdots\!94$$ p^{35} T^{20} - $$41\!\cdots\!16$$ p^{40} T^{21} + 298838618270821497 p^{45} T^{22} - 10249369441364 p^{50} T^{23} + 746621988 p^{55} T^{24} - 12537 p^{60} T^{25} + p^{65} T^{26} $
	43	$ 1 - 26644 T + 1437788183 T^{2} - 32920802581868 T^{3} + 1001410342203442712 T^{4} - $$19\!\cdots\!40$$ T^{5} + $$44\!\cdots\!28$$ T^{6} - $$76\!\cdots\!12$$ T^{7} + $$13\!\cdots\!56$$ T^{8} - $$21\!\cdots\!56$$ T^{9} + $$33\!\cdots\!36$$ T^{10} - $$44\!\cdots\!00$$ T^{11} + $$61\!\cdots\!30$$ T^{12} - $$73\!\cdots\!88$$ T^{13} + $$61\!\cdots\!30$$ p^{5} T^{14} - $$44\!\cdots\!00$$ p^{10} T^{15} + $$33\!\cdots\!36$$ p^{15} T^{16} - $$21\!\cdots\!56$$ p^{20} T^{17} + $$13\!\cdots\!56$$ p^{25} T^{18} - $$76\!\cdots\!12$$ p^{30} T^{19} + $$44\!\cdots\!28$$ p^{35} T^{20} - $$19\!\cdots\!40$$ p^{40} T^{21} + 1001410342203442712 p^{45} T^{22} - 32920802581868 p^{50} T^{23} + 1437788183 p^{55} T^{24} - 26644 p^{60} T^{25} + p^{65} T^{26} $
	47	$ 1 - 52087 T + 3079982325 T^{2} - 106952797740611 T^{3} + 3794671645013060134 T^{4} - $$10\!\cdots\!95$$ T^{5} + $$26\!\cdots\!07$$ T^{6} - $$58\!\cdots\!11$$ T^{7} + $$12\!\cdots\!14$$ T^{8} - $$23\!\cdots\!49$$ T^{9} + $$45\!\cdots\!66$$ T^{10} - $$74\!\cdots\!74$$ T^{11} + $$12\!\cdots\!05$$ T^{12} - $$18\!\cdots\!18$$ T^{13} + $$12\!\cdots\!05$$ p^{5} T^{14} - $$74\!\cdots\!74$$ p^{10} T^{15} + $$45\!\cdots\!66$$ p^{15} T^{16} - $$23\!\cdots\!49$$ p^{20} T^{17} + $$12\!\cdots\!14$$ p^{25} T^{18} - $$58\!\cdots\!11$$ p^{30} T^{19} + $$26\!\cdots\!07$$ p^{35} T^{20} - $$10\!\cdots\!95$$ p^{40} T^{21} + 3794671645013060134 p^{45} T^{22} - 106952797740611 p^{50} T^{23} + 3079982325 p^{55} T^{24} - 52087 p^{60} T^{25} + p^{65} T^{26} $
	53	$ 1 - 20014 T + 2548443378 T^{2} - 49668802214508 T^{3} + 3508573265227611074 T^{4} - $$65\!\cdots\!98$$ T^{5} + $$33\!\cdots\!53$$ T^{6} - $$60\!\cdots\!96$$ T^{7} + $$25\!\cdots\!91$$ T^{8} - $$42\!\cdots\!02$$ T^{9} + $$15\!\cdots\!94$$ T^{10} - $$23\!\cdots\!44$$ T^{11} + $$75\!\cdots\!97$$ T^{12} - $$11\!\cdots\!20$$ T^{13} + $$75\!\cdots\!97$$ p^{5} T^{14} - $$23\!\cdots\!44$$ p^{10} T^{15} + $$15\!\cdots\!94$$ p^{15} T^{16} - $$42\!\cdots\!02$$ p^{20} T^{17} + $$25\!\cdots\!91$$ p^{25} T^{18} - $$60\!\cdots\!96$$ p^{30} T^{19} + $$33\!\cdots\!53$$ p^{35} T^{20} - $$65\!\cdots\!98$$ p^{40} T^{21} + 3508573265227611074 p^{45} T^{22} - 49668802214508 p^{50} T^{23} + 2548443378 p^{55} T^{24} - 20014 p^{60} T^{25} + p^{65} T^{26} $
	61	$ 1 + 11667 T + 5635380341 T^{2} + 15161797559645 T^{3} + 15583808544458459400 T^{4} - $$72\!\cdots\!15$$ T^{5} + $$29\!\cdots\!41$$ T^{6} - $$28\!\cdots\!73$$ T^{7} + $$44\!\cdots\!32$$ T^{8} - $$53\!\cdots\!91$$ T^{9} + $$54\!\cdots\!98$$ T^{10} - $$68\!\cdots\!36$$ T^{11} + $$54\!\cdots\!43$$ T^{12} - $$66\!\cdots\!98$$ T^{13} + $$54\!\cdots\!43$$ p^{5} T^{14} - $$68\!\cdots\!36$$ p^{10} T^{15} + $$54\!\cdots\!98$$ p^{15} T^{16} - $$53\!\cdots\!91$$ p^{20} T^{17} + $$44\!\cdots\!32$$ p^{25} T^{18} - $$28\!\cdots\!73$$ p^{30} T^{19} + $$29\!\cdots\!41$$ p^{35} T^{20} - $$72\!\cdots\!15$$ p^{40} T^{21} + 15583808544458459400 p^{45} T^{22} + 15161797559645 p^{50} T^{23} + 5635380341 p^{55} T^{24} + 11667 p^{60} T^{25} + p^{65} T^{26} $
	67	$ 1 - 1106 T + 10447152334 T^{2} + 2264979082808 T^{3} + 54300752215438721116 T^{4} + $$10\!\cdots\!30$$ T^{5} + $$18\!\cdots\!65$$ T^{6} + $$68\!\cdots\!80$$ T^{7} + $$70\!\cdots\!43$$ p T^{8} + $$24\!\cdots\!06$$ T^{9} + $$93\!\cdots\!64$$ T^{10} + $$56\!\cdots\!56$$ T^{11} + $$15\!\cdots\!85$$ T^{12} + $$90\!\cdots\!64$$ T^{13} + $$15\!\cdots\!85$$ p^{5} T^{14} + $$56\!\cdots\!56$$ p^{10} T^{15} + $$93\!\cdots\!64$$ p^{15} T^{16} + $$24\!\cdots\!06$$ p^{20} T^{17} + $$70\!\cdots\!43$$ p^{26} T^{18} + $$68\!\cdots\!80$$ p^{30} T^{19} + $$18\!\cdots\!65$$ p^{35} T^{20} + $$10\!\cdots\!30$$ p^{40} T^{21} + 54300752215438721116 p^{45} T^{22} + 2264979082808 p^{50} T^{23} + 10447152334 p^{55} T^{24} - 1106 p^{60} T^{25} + p^{65} T^{26} $
	71	$ 1 - 21230 T + 11461806093 T^{2} - 242258586588828 T^{3} + 65224206004973252338 T^{4} - $$15\!\cdots\!80$$ T^{5} + $$24\!\cdots\!70$$ T^{6} - $$67\!\cdots\!84$$ T^{7} + $$66\!\cdots\!26$$ T^{8} - $$22\!\cdots\!64$$ T^{9} + $$14\!\cdots\!94$$ T^{10} - $$58\!\cdots\!48$$ T^{11} + $$27\!\cdots\!84$$ T^{12} - $$12\!\cdots\!84$$ T^{13} + $$27\!\cdots\!84$$ p^{5} T^{14} - $$58\!\cdots\!48$$ p^{10} T^{15} + $$14\!\cdots\!94$$ p^{15} T^{16} - $$22\!\cdots\!64$$ p^{20} T^{17} + $$66\!\cdots\!26$$ p^{25} T^{18} - $$67\!\cdots\!84$$ p^{30} T^{19} + $$24\!\cdots\!70$$ p^{35} T^{20} - $$15\!\cdots\!80$$ p^{40} T^{21} + 65224206004973252338 p^{45} T^{22} - 242258586588828 p^{50} T^{23} + 11461806093 p^{55} T^{24} - 21230 p^{60} T^{25} + p^{65} T^{26} $
	73	$ 1 - 81131 T + 14066455653 T^{2} - 1046279254288485 T^{3} + $$10\!\cdots\!94$$ T^{4} - $$71\!\cdots\!41$$ T^{5} + $$56\!\cdots\!13$$ T^{6} - $$33\!\cdots\!91$$ T^{7} + $$22\!\cdots\!84$$ T^{8} - $$12\!\cdots\!77$$ T^{9} + $$71\!\cdots\!66$$ T^{10} - $$34\!\cdots\!60$$ T^{11} + $$18\!\cdots\!57$$ T^{12} - $$79\!\cdots\!78$$ T^{13} + $$18\!\cdots\!57$$ p^{5} T^{14} - $$34\!\cdots\!60$$ p^{10} T^{15} + $$71\!\cdots\!66$$ p^{15} T^{16} - $$12\!\cdots\!77$$ p^{20} T^{17} + $$22\!\cdots\!84$$ p^{25} T^{18} - $$33\!\cdots\!91$$ p^{30} T^{19} + $$56\!\cdots\!13$$ p^{35} T^{20} - $$71\!\cdots\!41$$ p^{40} T^{21} + $$10\!\cdots\!94$$ p^{45} T^{22} - 1046279254288485 p^{50} T^{23} + 14066455653 p^{55} T^{24} - 81131 p^{60} T^{25} + p^{65} T^{26} $
	79	$ 1 + 13470 T + 24370665969 T^{2} + 420389288231950 T^{3} + $$29\!\cdots\!28$$ T^{4} + $$62\!\cdots\!50$$ T^{5} + $$22\!\cdots\!22$$ T^{6} + $$58\!\cdots\!00$$ T^{7} + $$12\!\cdots\!22$$ T^{8} + $$37\!\cdots\!06$$ T^{9} + $$57\!\cdots\!04$$ T^{10} + $$17\!\cdots\!66$$ T^{11} + $$21\!\cdots\!60$$ T^{12} + $$62\!\cdots\!92$$ T^{13} + $$21\!\cdots\!60$$ p^{5} T^{14} + $$17\!\cdots\!66$$ p^{10} T^{15} + $$57\!\cdots\!04$$ p^{15} T^{16} + $$37\!\cdots\!06$$ p^{20} T^{17} + $$12\!\cdots\!22$$ p^{25} T^{18} + $$58\!\cdots\!00$$ p^{30} T^{19} + $$22\!\cdots\!22$$ p^{35} T^{20} + $$62\!\cdots\!50$$ p^{40} T^{21} + $$29\!\cdots\!28$$ p^{45} T^{22} + 420389288231950 p^{50} T^{23} + 24370665969 p^{55} T^{24} + 13470 p^{60} T^{25} + p^{65} T^{26} $
	83	$ 1 + 76149 T + 38765187478 T^{2} + 29834321210614 p T^{3} + $$69\!\cdots\!91$$ T^{4} + $$37\!\cdots\!08$$ T^{5} + $$78\!\cdots\!66$$ T^{6} + $$35\!\cdots\!43$$ T^{7} + $$62\!\cdots\!92$$ T^{8} + $$24\!\cdots\!13$$ T^{9} + $$37\!\cdots\!29$$ T^{10} + $$13\!\cdots\!95$$ T^{11} + $$18\!\cdots\!33$$ T^{12} + $$56\!\cdots\!16$$ T^{13} + $$18\!\cdots\!33$$ p^{5} T^{14} + $$13\!\cdots\!95$$ p^{10} T^{15} + $$37\!\cdots\!29$$ p^{15} T^{16} + $$24\!\cdots\!13$$ p^{20} T^{17} + $$62\!\cdots\!92$$ p^{25} T^{18} + $$35\!\cdots\!43$$ p^{30} T^{19} + $$78\!\cdots\!66$$ p^{35} T^{20} + $$37\!\cdots\!08$$ p^{40} T^{21} + $$69\!\cdots\!91$$ p^{45} T^{22} + 29834321210614 p^{51} T^{23} + 38765187478 p^{55} T^{24} + 76149 p^{60} T^{25} + p^{65} T^{26} $
	89	$ 1 + 190205 T + 77936657319 T^{2} + 11782260058841127 T^{3} + $$27\!\cdots\!30$$ T^{4} + $$33\!\cdots\!31$$ T^{5} + $$56\!\cdots\!87$$ T^{6} + $$60\!\cdots\!37$$ T^{7} + $$79\!\cdots\!52$$ T^{8} + $$72\!\cdots\!35$$ T^{9} + $$80\!\cdots\!08$$ T^{10} + $$63\!\cdots\!08$$ T^{11} + $$59\!\cdots\!83$$ T^{12} + $$41\!\cdots\!22$$ T^{13} + $$59\!\cdots\!83$$ p^{5} T^{14} + $$63\!\cdots\!08$$ p^{10} T^{15} + $$80\!\cdots\!08$$ p^{15} T^{16} + $$72\!\cdots\!35$$ p^{20} T^{17} + $$79\!\cdots\!52$$ p^{25} T^{18} + $$60\!\cdots\!37$$ p^{30} T^{19} + $$56\!\cdots\!87$$ p^{35} T^{20} + $$33\!\cdots\!31$$ p^{40} T^{21} + $$27\!\cdots\!30$$ p^{45} T^{22} + 11782260058841127 p^{50} T^{23} + 77936657319 p^{55} T^{24} + 190205 p^{60} T^{25} + p^{65} T^{26} $
	97	$ 1 - 160850 T + 58923506362 T^{2} - 8037330347561998 T^{3} + $$17\!\cdots\!28$$ T^{4} - $$21\!\cdots\!42$$ T^{5} + $$36\!\cdots\!23$$ T^{6} - $$41\!\cdots\!92$$ T^{7} + $$56\!\cdots\!09$$ T^{8} - $$60\!\cdots\!34$$ T^{9} + $$71\!\cdots\!16$$ T^{10} - $$69\!\cdots\!82$$ T^{11} + $$73\!\cdots\!29$$ T^{12} - $$66\!\cdots\!36$$ T^{13} + $$73\!\cdots\!29$$ p^{5} T^{14} - $$69\!\cdots\!82$$ p^{10} T^{15} + $$71\!\cdots\!16$$ p^{15} T^{16} - $$60\!\cdots\!34$$ p^{20} T^{17} + $$56\!\cdots\!09$$ p^{25} T^{18} - $$41\!\cdots\!92$$ p^{30} T^{19} + $$36\!\cdots\!23$$ p^{35} T^{20} - $$21\!\cdots\!42$$ p^{40} T^{21} + $$17\!\cdots\!28$$ p^{45} T^{22} - 8037330347561998 p^{50} T^{23} + 58923506362 p^{55} T^{24} - 160850 p^{60} T^{25} + p^{65} T^{26} $
show more
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$L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{26} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}$

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−3.23878009590516716951553053936, −3.15998221580713747043873213140, −3.10935645830598113267951476901, −2.86278985379174049968612595519, −2.66371843491709283406620422300, −2.55176692878869075136933253748, −2.15578377093210361030676336905, −2.15243772184414270060510925282, −2.02102192882851117687702967181, −1.95843377023923889517315112176, −1.80591707110677906970293135019, −1.70137145366776843658678035656, −1.51410512353981281761610422527, −1.36482185231700456205618119316, −1.26620540903332943478637594112, −1.01810232019338471843676685262, −0.893729549963620601188906258580, −0.884651381840147443018739709513, −0.850422553592304083520457174587, −0.78284424529553755152661852041, −0.63458487426939331091532222526, −0.49011152935370269740145836495, −0.43853937049258350782184085579, −0.16061467988902900320233417912, −0.14071825729615920649905622193, 0.14071825729615920649905622193, 0.16061467988902900320233417912, 0.43853937049258350782184085579, 0.49011152935370269740145836495, 0.63458487426939331091532222526, 0.78284424529553755152661852041, 0.850422553592304083520457174587, 0.884651381840147443018739709513, 0.893729549963620601188906258580, 1.01810232019338471843676685262, 1.26620540903332943478637594112, 1.36482185231700456205618119316, 1.51410512353981281761610422527, 1.70137145366776843658678035656, 1.80591707110677906970293135019, 1.95843377023923889517315112176, 2.02102192882851117687702967181, 2.15243772184414270060510925282, 2.15578377093210361030676336905, 2.55176692878869075136933253748, 2.66371843491709283406620422300, 2.86278985379174049968612595519, 3.10935645830598113267951476901, 3.15998221580713747043873213140, 3.23878009590516716951553053936

Graph of the $Z$-function along the critical line

Plot not available for L-functions of degree greater than 10.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

\(L(3)\)	\(\approx\)	\(0.3573657709\)
\(L(\frac12)\)	\(\approx\)	\(0.3573657709\)
\(L(\frac{7}{2})\)		not available
\(L(1)\)		not available

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Origins

Origins of factors

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