LMFDB - L-function 14-17e7-1.1-c9e7-0-0

Dirichlet series

L(s) = 1

− 2^-s + 88·3^-s − 597·4^-s + 1.36e3·5^-s − 88·6^-s + 9.38e3·7^-s + 6.37e3·8^-s − 2.43e4·9^-s − 1.36e3·10^-s + 1.35e5·11^-s − 5.25e4·12^-s + 1.66e5·13^-s − 9.38e3·14^-s + 1.19e5·15^-s + 2.32e5·16^-s + 5.84e5·17^-s + 2.43e4·18^-s + 7.77e5·19^-s − 8.13e5·20^-s + 8.26e5·21^-s − 1.35e5·22^-s + 1.35e6·23^-s + 5.61e5·24^-s − 5.37e6·25^-s − 1.66e5·26^-s − 4.45e6·27^-s − 5.60e6·28^-s + ⋯

L(s) = 1

− 0.0441·2^-s + 0.627·3^-s − 1.16·4^-s + 0.974·5^-s − 0.0277·6^-s + 1.47·7^-s + 0.550·8^-s − 1.23·9^-s − 0.0430·10^-s + 2.79·11^-s − 0.731·12^-s + 1.61·13^-s − 0.0653·14^-s + 0.611·15^-s + 0.887·16^-s + 1.69·17^-s + 0.0545·18^-s + 1.36·19^-s − 1.13·20^-s + 0.926·21^-s − 0.123·22^-s + 1.01·23^-s + 0.345·24^-s − 2.75·25^-s − 0.0712·26^-s − 1.61·27^-s − 1.72·28^-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(17^{7}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{7} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(10-s)\end{aligned}\]

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(17^{7}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+9/2)^{7} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]

Invariants

Degree:	$14$
Conductor:	$17^{7}$
Sign:	$1$
Analytic conductor:	$3.94461\times 10^{6}$
Root analytic conductor:	$2.95898$
Motivic weight:	$9$
Rational:	yes
Arithmetic:	yes
Character:	Trivial
Primitive:	no
Self-dual:	yes
Analytic rank:	$0$
Selberg data:	$(14,\ 17^{7} ,\ ( \ : [9/2]^{7} ),\ 1 )$

Particular Values

$L(5)$	$\approx$	$23.02284281$
$L(\frac12)$	$\approx$	$23.02284281$
$L(\frac{11}{2})$		not available
$L(1)$		not available

Euler product

$L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} $

	$p$	$F_p(T)$
bad	17	$ ( 1 - p^{4} T )^{7} $
good	2	$ 1 + T + 299 p T^{2} - 1295 p^{2} T^{3} + 14115 p^{3} T^{4} - 80599 p^{5} T^{5} + 668745 p^{7} T^{6} + 1990581 p^{9} T^{7} + 668745 p^{16} T^{8} - 80599 p^{23} T^{9} + 14115 p^{30} T^{10} - 1295 p^{38} T^{11} + 299 p^{46} T^{12} + p^{54} T^{13} + p^{63} T^{14} $
	3	$ 1 - 88 T + 32053 T^{2} - 169928 p T^{3} + 10118477 p^{4} T^{4} - 1162506328 p^{3} T^{5} + 2243718737 p^{8} T^{6} + 1135094102608 p^{5} T^{7} + 2243718737 p^{17} T^{8} - 1162506328 p^{21} T^{9} + 10118477 p^{31} T^{10} - 169928 p^{37} T^{11} + 32053 p^{45} T^{12} - 88 p^{54} T^{13} + p^{63} T^{14} $
	5	$ 1 - 1362 T + 7230567 T^{2} - 180823684 p^{2} T^{3} + 818396294953 p^{2} T^{4} - 125636115174 p^{5} T^{5} + 60356607903632927 p^{4} T^{6} + 3958396497804070312 p^{5} T^{7} + 60356607903632927 p^{13} T^{8} - 125636115174 p^{23} T^{9} + 818396294953 p^{29} T^{10} - 180823684 p^{38} T^{11} + 7230567 p^{45} T^{12} - 1362 p^{54} T^{13} + p^{63} T^{14} $
	7	$ 1 - 9388 T + 171799721 T^{2} - 1171723923712 T^{3} + 1894379515664715 p T^{4} - 1498272325406275700 p^{2} T^{5} + $$20\!\cdots\!95$$ p^{3} T^{6} - $$13\!\cdots\!88$$ p^{4} T^{7} + $$20\!\cdots\!95$$ p^{12} T^{8} - 1498272325406275700 p^{20} T^{9} + 1894379515664715 p^{28} T^{10} - 1171723923712 p^{36} T^{11} + 171799721 p^{45} T^{12} - 9388 p^{54} T^{13} + p^{63} T^{14} $
	11	$ 1 - 135536 T + 18715983613 T^{2} - 1497302316100632 T^{3} + $$12\!\cdots\!25$$ T^{4} - $$72\!\cdots\!92$$ T^{5} + $$44\!\cdots\!37$$ T^{6} - $$21\!\cdots\!72$$ T^{7} + $$44\!\cdots\!37$$ p^{9} T^{8} - $$72\!\cdots\!92$$ p^{18} T^{9} + $$12\!\cdots\!25$$ p^{27} T^{10} - 1497302316100632 p^{36} T^{11} + 18715983613 p^{45} T^{12} - 135536 p^{54} T^{13} + p^{63} T^{14} $
	13	$ 1 - 166122 T + 50414906991 T^{2} - 5203646785769876 T^{3} + $$98\!\cdots\!45$$ T^{4} - $$71\!\cdots\!26$$ T^{5} + $$11\!\cdots\!31$$ T^{6} - $$73\!\cdots\!04$$ T^{7} + $$11\!\cdots\!31$$ p^{9} T^{8} - $$71\!\cdots\!26$$ p^{18} T^{9} + $$98\!\cdots\!45$$ p^{27} T^{10} - 5203646785769876 p^{36} T^{11} + 50414906991 p^{45} T^{12} - 166122 p^{54} T^{13} + p^{63} T^{14} $
	19	$ 1 - 777172 T + 374495139317 T^{2} + 68955098143291288 T^{3} - $$30\!\cdots\!75$$ T^{4} - $$79\!\cdots\!32$$ T^{5} + $$64\!\cdots\!53$$ T^{6} - $$36\!\cdots\!88$$ T^{7} + $$64\!\cdots\!53$$ p^{9} T^{8} - $$79\!\cdots\!32$$ p^{18} T^{9} - $$30\!\cdots\!75$$ p^{27} T^{10} + 68955098143291288 p^{36} T^{11} + 374495139317 p^{45} T^{12} - 777172 p^{54} T^{13} + p^{63} T^{14} $
	23	$ 1 - 1357764 T + 6514524023049 T^{2} - 6721075762811064976 T^{3} + $$22\!\cdots\!21$$ T^{4} - $$19\!\cdots\!72$$ T^{5} + $$52\!\cdots\!17$$ T^{6} - $$40\!\cdots\!28$$ T^{7} + $$52\!\cdots\!17$$ p^{9} T^{8} - $$19\!\cdots\!72$$ p^{18} T^{9} + $$22\!\cdots\!21$$ p^{27} T^{10} - 6721075762811064976 p^{36} T^{11} + 6514524023049 p^{45} T^{12} - 1357764 p^{54} T^{13} + p^{63} T^{14} $
	29	$ 1 - 967002 T + 75160403436591 T^{2} - 93226043731707880788 T^{3} + $$26\!\cdots\!41$$ T^{4} - $$34\!\cdots\!58$$ T^{5} + $$58\!\cdots\!31$$ T^{6} - $$65\!\cdots\!44$$ T^{7} + $$58\!\cdots\!31$$ p^{9} T^{8} - $$34\!\cdots\!58$$ p^{18} T^{9} + $$26\!\cdots\!41$$ p^{27} T^{10} - 93226043731707880788 p^{36} T^{11} + 75160403436591 p^{45} T^{12} - 967002 p^{54} T^{13} + p^{63} T^{14} $
	31	$ 1 - 3546740 T + 97757254742513 T^{2} - $$29\!\cdots\!20$$ T^{3} + $$46\!\cdots\!69$$ T^{4} - $$14\!\cdots\!04$$ T^{5} + $$16\!\cdots\!85$$ T^{6} - $$49\!\cdots\!28$$ p^{2} T^{7} + $$16\!\cdots\!85$$ p^{9} T^{8} - $$14\!\cdots\!04$$ p^{18} T^{9} + $$46\!\cdots\!69$$ p^{27} T^{10} - $$29\!\cdots\!20$$ p^{36} T^{11} + 97757254742513 p^{45} T^{12} - 3546740 p^{54} T^{13} + p^{63} T^{14} $
	37	$ 1 - 18296498 T + 664882288842215 T^{2} - $$11\!\cdots\!00$$ T^{3} + $$22\!\cdots\!29$$ T^{4} - $$31\!\cdots\!54$$ T^{5} + $$45\!\cdots\!95$$ T^{6} - $$52\!\cdots\!80$$ T^{7} + $$45\!\cdots\!95$$ p^{9} T^{8} - $$31\!\cdots\!54$$ p^{18} T^{9} + $$22\!\cdots\!29$$ p^{27} T^{10} - $$11\!\cdots\!00$$ p^{36} T^{11} + 664882288842215 p^{45} T^{12} - 18296498 p^{54} T^{13} + p^{63} T^{14} $
	41	$ 1 - 10285686 T + 1382895753635475 T^{2} - $$42\!\cdots\!64$$ T^{3} + $$77\!\cdots\!05$$ T^{4} + $$34\!\cdots\!78$$ T^{5} + $$26\!\cdots\!15$$ T^{6} + $$24\!\cdots\!12$$ T^{7} + $$26\!\cdots\!15$$ p^{9} T^{8} + $$34\!\cdots\!78$$ p^{18} T^{9} + $$77\!\cdots\!05$$ p^{27} T^{10} - $$42\!\cdots\!64$$ p^{36} T^{11} + 1382895753635475 p^{45} T^{12} - 10285686 p^{54} T^{13} + p^{63} T^{14} $
	43	$ 1 - 21913204 T + 2627801175592349 T^{2} - $$53\!\cdots\!76$$ T^{3} + $$32\!\cdots\!13$$ T^{4} - $$59\!\cdots\!16$$ T^{5} + $$24\!\cdots\!41$$ T^{6} - $$37\!\cdots\!20$$ T^{7} + $$24\!\cdots\!41$$ p^{9} T^{8} - $$59\!\cdots\!16$$ p^{18} T^{9} + $$32\!\cdots\!13$$ p^{27} T^{10} - $$53\!\cdots\!76$$ p^{36} T^{11} + 2627801175592349 p^{45} T^{12} - 21913204 p^{54} T^{13} + p^{63} T^{14} $
	47	$ 1 - 56639800 T + 5464864808109577 T^{2} - $$17\!\cdots\!24$$ T^{3} + $$10\!\cdots\!61$$ T^{4} - $$20\!\cdots\!96$$ T^{5} + $$11\!\cdots\!17$$ T^{6} - $$17\!\cdots\!92$$ T^{7} + $$11\!\cdots\!17$$ p^{9} T^{8} - $$20\!\cdots\!96$$ p^{18} T^{9} + $$10\!\cdots\!61$$ p^{27} T^{10} - $$17\!\cdots\!24$$ p^{36} T^{11} + 5464864808109577 p^{45} T^{12} - 56639800 p^{54} T^{13} + p^{63} T^{14} $
	53	$ 1 - 121813562 T + 15960381948040711 T^{2} - $$15\!\cdots\!60$$ T^{3} + $$14\!\cdots\!49$$ T^{4} - $$10\!\cdots\!22$$ T^{5} + $$72\!\cdots\!39$$ T^{6} - $$43\!\cdots\!60$$ T^{7} + $$72\!\cdots\!39$$ p^{9} T^{8} - $$10\!\cdots\!22$$ p^{18} T^{9} + $$14\!\cdots\!49$$ p^{27} T^{10} - $$15\!\cdots\!60$$ p^{36} T^{11} + 15960381948040711 p^{45} T^{12} - 121813562 p^{54} T^{13} + p^{63} T^{14} $
	59	$ 1 - 29222388 T + 38743784663931213 T^{2} - $$10\!\cdots\!32$$ T^{3} + $$78\!\cdots\!81$$ T^{4} - $$19\!\cdots\!68$$ T^{5} + $$99\!\cdots\!09$$ T^{6} - $$20\!\cdots\!44$$ T^{7} + $$99\!\cdots\!09$$ p^{9} T^{8} - $$19\!\cdots\!68$$ p^{18} T^{9} + $$78\!\cdots\!81$$ p^{27} T^{10} - $$10\!\cdots\!32$$ p^{36} T^{11} + 38743784663931213 p^{45} T^{12} - 29222388 p^{54} T^{13} + p^{63} T^{14} $
	61	$ 1 + 49915846 T + 51036539781826415 T^{2} + $$40\!\cdots\!16$$ T^{3} + $$12\!\cdots\!69$$ T^{4} + $$11\!\cdots\!62$$ T^{5} + $$21\!\cdots\!19$$ T^{6} + $$17\!\cdots\!24$$ T^{7} + $$21\!\cdots\!19$$ p^{9} T^{8} + $$11\!\cdots\!62$$ p^{18} T^{9} + $$12\!\cdots\!69$$ p^{27} T^{10} + $$40\!\cdots\!16$$ p^{36} T^{11} + 51036539781826415 p^{45} T^{12} + 49915846 p^{54} T^{13} + p^{63} T^{14} $
	67	$ 1 - 301863420 T + 174315165377438021 T^{2} - $$42\!\cdots\!72$$ T^{3} + $$13\!\cdots\!45$$ T^{4} - $$26\!\cdots\!88$$ T^{5} + $$58\!\cdots\!49$$ T^{6} - $$91\!\cdots\!80$$ T^{7} + $$58\!\cdots\!49$$ p^{9} T^{8} - $$26\!\cdots\!88$$ p^{18} T^{9} + $$13\!\cdots\!45$$ p^{27} T^{10} - $$42\!\cdots\!72$$ p^{36} T^{11} + 174315165377438021 p^{45} T^{12} - 301863420 p^{54} T^{13} + p^{63} T^{14} $
	71	$ 1 - 652473940 T + 395785453180899961 T^{2} - $$16\!\cdots\!56$$ T^{3} + $$59\!\cdots\!37$$ T^{4} - $$17\!\cdots\!96$$ T^{5} + $$46\!\cdots\!01$$ T^{6} - $$10\!\cdots\!16$$ T^{7} + $$46\!\cdots\!01$$ p^{9} T^{8} - $$17\!\cdots\!96$$ p^{18} T^{9} + $$59\!\cdots\!37$$ p^{27} T^{10} - $$16\!\cdots\!56$$ p^{36} T^{11} + 395785453180899961 p^{45} T^{12} - 652473940 p^{54} T^{13} + p^{63} T^{14} $
	73	$ 1 - 306656342 T + 368816681103768371 T^{2} - $$94\!\cdots\!16$$ T^{3} + $$60\!\cdots\!53$$ T^{4} - $$12\!\cdots\!82$$ T^{5} + $$56\!\cdots\!31$$ T^{6} - $$97\!\cdots\!68$$ T^{7} + $$56\!\cdots\!31$$ p^{9} T^{8} - $$12\!\cdots\!82$$ p^{18} T^{9} + $$60\!\cdots\!53$$ p^{27} T^{10} - $$94\!\cdots\!16$$ p^{36} T^{11} + 368816681103768371 p^{45} T^{12} - 306656342 p^{54} T^{13} + p^{63} T^{14} $
	79	$ 1 - 959147884 T + 1105722859010207057 T^{2} - $$69\!\cdots\!28$$ T^{3} + $$45\!\cdots\!45$$ T^{4} - $$20\!\cdots\!44$$ T^{5} + $$95\!\cdots\!77$$ T^{6} - $$33\!\cdots\!68$$ T^{7} + $$95\!\cdots\!77$$ p^{9} T^{8} - $$20\!\cdots\!44$$ p^{18} T^{9} + $$45\!\cdots\!45$$ p^{27} T^{10} - $$69\!\cdots\!28$$ p^{36} T^{11} + 1105722859010207057 p^{45} T^{12} - 959147884 p^{54} T^{13} + p^{63} T^{14} $
	83	$ 1 + 1512945268 T + 1750810807114580341 T^{2} + $$13\!\cdots\!36$$ T^{3} + $$90\!\cdots\!41$$ T^{4} + $$48\!\cdots\!56$$ T^{5} + $$24\!\cdots\!65$$ T^{6} + $$10\!\cdots\!48$$ T^{7} + $$24\!\cdots\!65$$ p^{9} T^{8} + $$48\!\cdots\!56$$ p^{18} T^{9} + $$90\!\cdots\!41$$ p^{27} T^{10} + $$13\!\cdots\!36$$ p^{36} T^{11} + 1750810807114580341 p^{45} T^{12} + 1512945268 p^{54} T^{13} + p^{63} T^{14} $
	89	$ 1 + 1971327114 T + 3491107103618599779 T^{2} + $$40\!\cdots\!96$$ T^{3} + $$42\!\cdots\!65$$ T^{4} + $$34\!\cdots\!70$$ T^{5} + $$25\!\cdots\!63$$ T^{6} + $$16\!\cdots\!20$$ T^{7} + $$25\!\cdots\!63$$ p^{9} T^{8} + $$34\!\cdots\!70$$ p^{18} T^{9} + $$42\!\cdots\!65$$ p^{27} T^{10} + $$40\!\cdots\!96$$ p^{36} T^{11} + 3491107103618599779 p^{45} T^{12} + 1971327114 p^{54} T^{13} + p^{63} T^{14} $
	97	$ 1 - 2006526254 T + 4610054277620485499 T^{2} - $$60\!\cdots\!92$$ T^{3} + $$88\!\cdots\!93$$ T^{4} - $$91\!\cdots\!22$$ T^{5} + $$10\!\cdots\!79$$ T^{6} - $$85\!\cdots\!76$$ T^{7} + $$10\!\cdots\!79$$ p^{9} T^{8} - $$91\!\cdots\!22$$ p^{18} T^{9} + $$88\!\cdots\!93$$ p^{27} T^{10} - $$60\!\cdots\!92$$ p^{36} T^{11} + 4610054277620485499 p^{45} T^{12} - 2006526254 p^{54} T^{13} + p^{63} T^{14} $
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$L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{14} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}$

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−8.099615789853963887761836891481, −7.70653694709031935913070747997, −7.70572490911238671485960578545, −7.21342054371703754541035211976, −6.74289187633109225193852640621, −6.71926124848699301595070906182, −6.19883438744100674546912363288, −5.78859085187022506234082272096, −5.71504062958116055510467538005, −5.64638718591517569820758078715, −5.41543927693687106766573064045, −4.82801047484950600224407818281, −4.55855265695563168355632802467, −4.05334358887555833762083259030, −3.98718451997191803367848058337, −3.79306451037682429053245026325, −3.24490865549226043494539667760, −3.19151948276565238362434478355, −2.48781855586923147381985174343, −2.05266453409891427308902586184, −1.64154761238917240061481378123, −1.50121256120600685429285899933, −0.915894036795500598442491894205, −0.849171790121337493242783066568, −0.62618691271467735594292864210, 0.62618691271467735594292864210, 0.849171790121337493242783066568, 0.915894036795500598442491894205, 1.50121256120600685429285899933, 1.64154761238917240061481378123, 2.05266453409891427308902586184, 2.48781855586923147381985174343, 3.19151948276565238362434478355, 3.24490865549226043494539667760, 3.79306451037682429053245026325, 3.98718451997191803367848058337, 4.05334358887555833762083259030, 4.55855265695563168355632802467, 4.82801047484950600224407818281, 5.41543927693687106766573064045, 5.64638718591517569820758078715, 5.71504062958116055510467538005, 5.78859085187022506234082272096, 6.19883438744100674546912363288, 6.71926124848699301595070906182, 6.74289187633109225193852640621, 7.21342054371703754541035211976, 7.70572490911238671485960578545, 7.70653694709031935913070747997, 8.099615789853963887761836891481

Graph of the $Z$-function along the critical line

Plot not available for L-functions of degree greater than 10.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

\(L(5)\)	\(\approx\)	\(23.02284281\)
\(L(\frac12)\)	\(\approx\)	\(23.02284281\)
\(L(\frac{11}{2})\)		not available
\(L(1)\)		not available

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Origins

Origins of factors

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