LMFDB - L-function 28-160e14-1.1-c5e14-0-1

Dirichlet series

L(s) = 1

+ 10·3^-s + 42·5^-s + 66·7^-s + 50·9^-s − 414·13^-s + 420·15^-s + 1.22e3·17^-s + 5.67e3·19^-s + 660·21^-s + 2.90e3·23^-s − 1.35e3·25^-s + 254·27^-s + 2.77e3·35^-s − 1.79e3·37^-s − 4.14e3·39^-s + 1.16e4·41^-s − 3.98e3·43^-s + 2.10e3·45^-s − 1.27e3·47^-s + 2.17e3·49^-s + 1.22e4·51^-s + 5.88e3·53^-s + 5.67e4·57^-s − 8.50e3·59^-s + 2.05e4·61^-s + 3.30e3·63^-s − 1.73e4·65^-s + ⋯

L(s) = 1

+ 0.641·3^-s + 0.751·5^-s + 0.509·7^-s + 0.205·9^-s − 0.679·13^-s + 0.481·15^-s + 1.02·17^-s + 3.60·19^-s + 0.326·21^-s + 1.14·23^-s − 0.432·25^-s + 0.0670·27^-s + 0.382·35^-s − 0.214·37^-s − 0.435·39^-s + 1.08·41^-s − 0.328·43^-s + 0.154·45^-s − 0.0843·47^-s + 0.129·49^-s + 0.657·51^-s + 0.287·53^-s + 2.31·57^-s − 0.318·59^-s + 0.707·61^-s + 0.104·63^-s − 0.510·65^-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{70} \cdot 5^{14}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{14} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(6-s)\end{aligned}\]

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{70} \cdot 5^{14}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{14} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]

Invariants

Degree:	$28$
Conductor:	$2^{70} \cdot 5^{14}$
Sign:	$1$
Analytic conductor:	$5.36942\times 10^{19}$
Root analytic conductor:	$5.06570$
Motivic weight:	$5$
Rational:	yes
Arithmetic:	yes
Character:	Trivial
Primitive:	no
Self-dual:	yes
Analytic rank:	$0$
Selberg data:	$(28,\ 2^{70} \cdot 5^{14} ,\ ( \ : [5/2]^{14} ),\ 1 )$

Particular Values

$L(3)$	$\approx$	$9.265857704$
$L(\frac12)$	$\approx$	$9.265857704$
$L(\frac{7}{2})$		not available
$L(1)$		not available

Euler product

$L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} $

	$p$	$F_p(T)$
bad	2	$ 1 $
	5	$ 1 - 42 T + 623 p T^{2} - 15532 p T^{3} - 64003 p^{2} T^{4} + 24826 p^{4} T^{5} - 5225877 p^{5} T^{6} + 11846872 p^{7} T^{7} - 5225877 p^{10} T^{8} + 24826 p^{14} T^{9} - 64003 p^{17} T^{10} - 15532 p^{21} T^{11} + 623 p^{26} T^{12} - 42 p^{30} T^{13} + p^{35} T^{14} $
good	3	$ 1 - 10 T + 50 T^{2} - 254 T^{3} - 91369 T^{4} + 1354100 T^{5} - 8940292 T^{6} + 156709276 T^{7} + 3134936461 T^{8} - 12907304306 p T^{9} + 32288446142 p^{2} T^{10} - 27718466434 p^{4} T^{11} + 116231885755 p^{4} T^{12} - 1947008143736 p^{5} T^{13} + 26412951129032 p^{6} T^{14} - 1947008143736 p^{10} T^{15} + 116231885755 p^{14} T^{16} - 27718466434 p^{19} T^{17} + 32288446142 p^{22} T^{18} - 12907304306 p^{26} T^{19} + 3134936461 p^{30} T^{20} + 156709276 p^{35} T^{21} - 8940292 p^{40} T^{22} + 1354100 p^{45} T^{23} - 91369 p^{50} T^{24} - 254 p^{55} T^{25} + 50 p^{60} T^{26} - 10 p^{65} T^{27} + p^{70} T^{28} $
	7	$ 1 - 66 T + 2178 T^{2} + 3104786 T^{3} - 7972673 p^{2} T^{4} - 28598040732 T^{5} + 7558178349116 T^{6} - 730117525814980 T^{7} - 100452887411613603 T^{8} + 13091475719468548578 T^{9} + 64214231979007274450 p T^{10} - $$38\!\cdots\!06$$ T^{11} + $$37\!\cdots\!31$$ T^{12} + $$47\!\cdots\!84$$ T^{13} - $$77\!\cdots\!76$$ T^{14} + $$47\!\cdots\!84$$ p^{5} T^{15} + $$37\!\cdots\!31$$ p^{10} T^{16} - $$38\!\cdots\!06$$ p^{15} T^{17} + 64214231979007274450 p^{21} T^{18} + 13091475719468548578 p^{25} T^{19} - 100452887411613603 p^{30} T^{20} - 730117525814980 p^{35} T^{21} + 7558178349116 p^{40} T^{22} - 28598040732 p^{45} T^{23} - 7972673 p^{52} T^{24} + 3104786 p^{55} T^{25} + 2178 p^{60} T^{26} - 66 p^{65} T^{27} + p^{70} T^{28} $
	11	$ 1 - 137970 p T^{2} + 1118279059571 T^{4} - 531239593921187868 T^{6} + $$18\!\cdots\!61$$ T^{8} - $$48\!\cdots\!18$$ T^{10} + $$10\!\cdots\!67$$ T^{12} - $$18\!\cdots\!88$$ T^{14} + $$10\!\cdots\!67$$ p^{10} T^{16} - $$48\!\cdots\!18$$ p^{20} T^{18} + $$18\!\cdots\!61$$ p^{30} T^{20} - 531239593921187868 p^{40} T^{22} + 1118279059571 p^{50} T^{24} - 137970 p^{61} T^{26} + p^{70} T^{28} $
	13	$ 1 + 414 T + 85698 T^{2} + 485371686 T^{3} + 407510115667 T^{4} - 25330305055892 T^{5} + 72383288599671444 T^{6} + $$13\!\cdots\!64$$ T^{7} + $$19\!\cdots\!85$$ T^{8} - $$26\!\cdots\!74$$ T^{9} + $$24\!\cdots\!22$$ T^{10} + $$12\!\cdots\!02$$ T^{11} - $$59\!\cdots\!93$$ p^{2} T^{12} - $$21\!\cdots\!88$$ p T^{13} + $$44\!\cdots\!64$$ T^{14} - $$21\!\cdots\!88$$ p^{6} T^{15} - $$59\!\cdots\!93$$ p^{12} T^{16} + $$12\!\cdots\!02$$ p^{15} T^{17} + $$24\!\cdots\!22$$ p^{20} T^{18} - $$26\!\cdots\!74$$ p^{25} T^{19} + $$19\!\cdots\!85$$ p^{30} T^{20} + $$13\!\cdots\!64$$ p^{35} T^{21} + 72383288599671444 p^{40} T^{22} - 25330305055892 p^{45} T^{23} + 407510115667 p^{50} T^{24} + 485371686 p^{55} T^{25} + 85698 p^{60} T^{26} + 414 p^{65} T^{27} + p^{70} T^{28} $
	17	$ 1 - 1222 T + 746642 T^{2} - 1023656774 T^{3} - 7517818418661 T^{4} + 9805314295428420 T^{5} - 5845038493789599340 T^{6} + $$85\!\cdots\!80$$ T^{7} + $$21\!\cdots\!05$$ T^{8} - $$32\!\cdots\!70$$ T^{9} + $$19\!\cdots\!70$$ T^{10} - $$33\!\cdots\!50$$ T^{11} - $$20\!\cdots\!37$$ T^{12} + $$66\!\cdots\!24$$ T^{13} - $$44\!\cdots\!04$$ T^{14} + $$66\!\cdots\!24$$ p^{5} T^{15} - $$20\!\cdots\!37$$ p^{10} T^{16} - $$33\!\cdots\!50$$ p^{15} T^{17} + $$19\!\cdots\!70$$ p^{20} T^{18} - $$32\!\cdots\!70$$ p^{25} T^{19} + $$21\!\cdots\!05$$ p^{30} T^{20} + $$85\!\cdots\!80$$ p^{35} T^{21} - 5845038493789599340 p^{40} T^{22} + 9805314295428420 p^{45} T^{23} - 7517818418661 p^{50} T^{24} - 1023656774 p^{55} T^{25} + 746642 p^{60} T^{26} - 1222 p^{65} T^{27} + p^{70} T^{28} $
	19	$ ( 1 - 2836 T + 12192485 T^{2} - 21773970856 T^{3} + 3075663164351 p T^{4} - 77435325554759820 T^{5} + $$17\!\cdots\!85$$ T^{6} - $$20\!\cdots\!00$$ T^{7} + $$17\!\cdots\!85$$ p^{5} T^{8} - 77435325554759820 p^{10} T^{9} + 3075663164351 p^{16} T^{10} - 21773970856 p^{20} T^{11} + 12192485 p^{25} T^{12} - 2836 p^{30} T^{13} + p^{35} T^{14} )^{2} $
	23	$ 1 - 2902 T + 4210802 T^{2} + 8585545830 T^{3} - 77137172452561 T^{4} + 5298422918089420 T^{5} + $$34\!\cdots\!32$$ T^{6} - $$17\!\cdots\!48$$ T^{7} + $$43\!\cdots\!33$$ T^{8} + $$14\!\cdots\!50$$ T^{9} - $$10\!\cdots\!54$$ T^{10} + $$57\!\cdots\!98$$ T^{11} - $$19\!\cdots\!21$$ T^{12} - $$51\!\cdots\!28$$ T^{13} + $$13\!\cdots\!40$$ T^{14} - $$51\!\cdots\!28$$ p^{5} T^{15} - $$19\!\cdots\!21$$ p^{10} T^{16} + $$57\!\cdots\!98$$ p^{15} T^{17} - $$10\!\cdots\!54$$ p^{20} T^{18} + $$14\!\cdots\!50$$ p^{25} T^{19} + $$43\!\cdots\!33$$ p^{30} T^{20} - $$17\!\cdots\!48$$ p^{35} T^{21} + $$34\!\cdots\!32$$ p^{40} T^{22} + 5298422918089420 p^{45} T^{23} - 77137172452561 p^{50} T^{24} + 8585545830 p^{55} T^{25} + 4210802 p^{60} T^{26} - 2902 p^{65} T^{27} + p^{70} T^{28} $
	29	$ 1 - 127109206 T^{2} + 8400089254893139 T^{4} - $$38\!\cdots\!76$$ T^{6} + $$13\!\cdots\!57$$ T^{8} - $$39\!\cdots\!02$$ T^{10} + $$98\!\cdots\!23$$ T^{12} - $$21\!\cdots\!92$$ T^{14} + $$98\!\cdots\!23$$ p^{10} T^{16} - $$39\!\cdots\!02$$ p^{20} T^{18} + $$13\!\cdots\!57$$ p^{30} T^{20} - $$38\!\cdots\!76$$ p^{40} T^{22} + 8400089254893139 p^{50} T^{24} - 127109206 p^{60} T^{26} + p^{70} T^{28} $
	31	$ 1 - 265679454 T^{2} + 34933996110970539 T^{4} - $$30\!\cdots\!64$$ T^{6} + $$19\!\cdots\!17$$ T^{8} - $$92\!\cdots\!38$$ T^{10} + $$36\!\cdots\!43$$ T^{12} - $$11\!\cdots\!88$$ T^{14} + $$36\!\cdots\!43$$ p^{10} T^{16} - $$92\!\cdots\!38$$ p^{20} T^{18} + $$19\!\cdots\!17$$ p^{30} T^{20} - $$30\!\cdots\!64$$ p^{40} T^{22} + 34933996110970539 p^{50} T^{24} - 265679454 p^{60} T^{26} + p^{70} T^{28} $
	37	$ 1 + 1790 T + 1602050 T^{2} - 1085215470730 T^{3} - 5589943426343837 T^{4} - 5189725886098796788 T^{5} + $$58\!\cdots\!80$$ T^{6} + $$37\!\cdots\!60$$ T^{7} + $$20\!\cdots\!01$$ T^{8} - $$14\!\cdots\!14$$ T^{9} - $$11\!\cdots\!78$$ T^{10} - $$12\!\cdots\!50$$ T^{11} - $$40\!\cdots\!45$$ T^{12} + $$67\!\cdots\!72$$ T^{13} + $$47\!\cdots\!96$$ T^{14} + $$67\!\cdots\!72$$ p^{5} T^{15} - $$40\!\cdots\!45$$ p^{10} T^{16} - $$12\!\cdots\!50$$ p^{15} T^{17} - $$11\!\cdots\!78$$ p^{20} T^{18} - $$14\!\cdots\!14$$ p^{25} T^{19} + $$20\!\cdots\!01$$ p^{30} T^{20} + $$37\!\cdots\!60$$ p^{35} T^{21} + $$58\!\cdots\!80$$ p^{40} T^{22} - 5189725886098796788 p^{45} T^{23} - 5589943426343837 p^{50} T^{24} - 1085215470730 p^{55} T^{25} + 1602050 p^{60} T^{26} + 1790 p^{65} T^{27} + p^{70} T^{28} $
	41	$ ( 1 - 142 p T + 527400583 T^{2} - 3511555483012 T^{3} + 138605008918596701 T^{4} - $$95\!\cdots\!50$$ T^{5} + $$23\!\cdots\!95$$ T^{6} - $$14\!\cdots\!20$$ T^{7} + $$23\!\cdots\!95$$ p^{5} T^{8} - $$95\!\cdots\!50$$ p^{10} T^{9} + 138605008918596701 p^{15} T^{10} - 3511555483012 p^{20} T^{11} + 527400583 p^{25} T^{12} - 142 p^{31} T^{13} + p^{35} T^{14} )^{2} $
	43	$ 1 + 3982 T + 7928162 T^{2} + 5090675647610 T^{3} + 44126507369726119 T^{4} + 95654814508201483332 T^{5} + $$12\!\cdots\!96$$ T^{6} + $$15\!\cdots\!12$$ T^{7} + $$46\!\cdots\!93$$ T^{8} + $$33\!\cdots\!78$$ T^{9} + $$35\!\cdots\!38$$ T^{10} + $$10\!\cdots\!70$$ T^{11} + $$78\!\cdots\!59$$ T^{12} + $$84\!\cdots\!64$$ T^{13} + $$18\!\cdots\!08$$ T^{14} + $$84\!\cdots\!64$$ p^{5} T^{15} + $$78\!\cdots\!59$$ p^{10} T^{16} + $$10\!\cdots\!70$$ p^{15} T^{17} + $$35\!\cdots\!38$$ p^{20} T^{18} + $$33\!\cdots\!78$$ p^{25} T^{19} + $$46\!\cdots\!93$$ p^{30} T^{20} + $$15\!\cdots\!12$$ p^{35} T^{21} + $$12\!\cdots\!96$$ p^{40} T^{22} + 95654814508201483332 p^{45} T^{23} + 44126507369726119 p^{50} T^{24} + 5090675647610 p^{55} T^{25} + 7928162 p^{60} T^{26} + 3982 p^{65} T^{27} + p^{70} T^{28} $
	47	$ 1 + 1278 T + 816642 T^{2} + 351784473730 T^{3} + 13143771115043551 T^{4} - 55735540634425394844 T^{5} - $$20\!\cdots\!24$$ T^{6} - $$35\!\cdots\!24$$ T^{7} + $$21\!\cdots\!21$$ T^{8} + $$27\!\cdots\!06$$ T^{9} + $$23\!\cdots\!58$$ T^{10} + $$14\!\cdots\!22$$ T^{11} - $$33\!\cdots\!25$$ T^{12} - $$57\!\cdots\!44$$ T^{13} - $$35\!\cdots\!52$$ T^{14} - $$57\!\cdots\!44$$ p^{5} T^{15} - $$33\!\cdots\!25$$ p^{10} T^{16} + $$14\!\cdots\!22$$ p^{15} T^{17} + $$23\!\cdots\!58$$ p^{20} T^{18} + $$27\!\cdots\!06$$ p^{25} T^{19} + $$21\!\cdots\!21$$ p^{30} T^{20} - $$35\!\cdots\!24$$ p^{35} T^{21} - $$20\!\cdots\!24$$ p^{40} T^{22} - 55735540634425394844 p^{45} T^{23} + 13143771115043551 p^{50} T^{24} + 351784473730 p^{55} T^{25} + 816642 p^{60} T^{26} + 1278 p^{65} T^{27} + p^{70} T^{28} $
	53	$ 1 - 5882 T + 17298962 T^{2} + 13844528488830 T^{3} - 174311180941592381 T^{4} - $$81\!\cdots\!52$$ T^{5} + $$14\!\cdots\!36$$ T^{6} - $$35\!\cdots\!12$$ T^{7} - $$10\!\cdots\!67$$ T^{8} + $$15\!\cdots\!82$$ T^{9} + $$26\!\cdots\!38$$ T^{10} - $$97\!\cdots\!30$$ T^{11} + $$23\!\cdots\!39$$ T^{12} + $$29\!\cdots\!36$$ T^{13} - $$56\!\cdots\!72$$ T^{14} + $$29\!\cdots\!36$$ p^{5} T^{15} + $$23\!\cdots\!39$$ p^{10} T^{16} - $$97\!\cdots\!30$$ p^{15} T^{17} + $$26\!\cdots\!38$$ p^{20} T^{18} + $$15\!\cdots\!82$$ p^{25} T^{19} - $$10\!\cdots\!67$$ p^{30} T^{20} - $$35\!\cdots\!12$$ p^{35} T^{21} + $$14\!\cdots\!36$$ p^{40} T^{22} - $$81\!\cdots\!52$$ p^{45} T^{23} - 174311180941592381 p^{50} T^{24} + 13844528488830 p^{55} T^{25} + 17298962 p^{60} T^{26} - 5882 p^{65} T^{27} + p^{70} T^{28} $
	59	$ ( 1 + 4252 T + 2005910877 T^{2} + 20518241068280 T^{3} + 2395790088022200413 T^{4} + $$22\!\cdots\!48$$ T^{5} + $$23\!\cdots\!29$$ T^{6} + $$16\!\cdots\!28$$ T^{7} + $$23\!\cdots\!29$$ p^{5} T^{8} + $$22\!\cdots\!48$$ p^{10} T^{9} + 2395790088022200413 p^{15} T^{10} + 20518241068280 p^{20} T^{11} + 2005910877 p^{25} T^{12} + 4252 p^{30} T^{13} + p^{35} T^{14} )^{2} $
	61	$ ( 1 - 10282 T + 2916253203 T^{2} + 3083320715268 T^{3} + 3046127491767085861 T^{4} + $$70\!\cdots\!38$$ T^{5} + $$15\!\cdots\!39$$ T^{6} + $$10\!\cdots\!44$$ T^{7} + $$15\!\cdots\!39$$ p^{5} T^{8} + $$70\!\cdots\!38$$ p^{10} T^{9} + 3046127491767085861 p^{15} T^{10} + 3083320715268 p^{20} T^{11} + 2916253203 p^{25} T^{12} - 10282 p^{30} T^{13} + p^{35} T^{14} )^{2} $
	67	$ 1 - 107926 T + 5824010738 T^{2} - 286091118212770 T^{3} + 7910959270847152663 T^{4} + $$10\!\cdots\!32$$ T^{5} - $$16\!\cdots\!76$$ T^{6} + $$10\!\cdots\!52$$ T^{7} - $$49\!\cdots\!51$$ T^{8} + $$12\!\cdots\!38$$ T^{9} - $$20\!\cdots\!90$$ T^{10} - $$24\!\cdots\!26$$ T^{11} + $$60\!\cdots\!11$$ T^{12} - $$31\!\cdots\!32$$ T^{13} + $$11\!\cdots\!96$$ T^{14} - $$31\!\cdots\!32$$ p^{5} T^{15} + $$60\!\cdots\!11$$ p^{10} T^{16} - $$24\!\cdots\!26$$ p^{15} T^{17} - $$20\!\cdots\!90$$ p^{20} T^{18} + $$12\!\cdots\!38$$ p^{25} T^{19} - $$49\!\cdots\!51$$ p^{30} T^{20} + $$10\!\cdots\!52$$ p^{35} T^{21} - $$16\!\cdots\!76$$ p^{40} T^{22} + $$10\!\cdots\!32$$ p^{45} T^{23} + 7910959270847152663 p^{50} T^{24} - 286091118212770 p^{55} T^{25} + 5824010738 p^{60} T^{26} - 107926 p^{65} T^{27} + p^{70} T^{28} $
	71	$ 1 - 12494857902 T^{2} + 77600272039468829243 T^{4} - $$32\!\cdots\!32$$ T^{6} + $$99\!\cdots\!41$$ T^{8} - $$25\!\cdots\!58$$ T^{10} + $$55\!\cdots\!91$$ T^{12} - $$10\!\cdots\!64$$ T^{14} + $$55\!\cdots\!91$$ p^{10} T^{16} - $$25\!\cdots\!58$$ p^{20} T^{18} + $$99\!\cdots\!41$$ p^{30} T^{20} - $$32\!\cdots\!32$$ p^{40} T^{22} + 77600272039468829243 p^{50} T^{24} - 12494857902 p^{60} T^{26} + p^{70} T^{28} $
	73	$ 1 + 16418 T + 134775362 T^{2} - 257655666175822 T^{3} - 4365114300655601877 T^{4} + $$39\!\cdots\!72$$ T^{5} + $$40\!\cdots\!12$$ T^{6} + $$72\!\cdots\!32$$ T^{7} - $$10\!\cdots\!35$$ T^{8} - $$45\!\cdots\!66$$ T^{9} + $$74\!\cdots\!94$$ T^{10} + $$14\!\cdots\!50$$ T^{11} + $$46\!\cdots\!07$$ T^{12} - $$13\!\cdots\!16$$ T^{13} - $$14\!\cdots\!04$$ T^{14} - $$13\!\cdots\!16$$ p^{5} T^{15} + $$46\!\cdots\!07$$ p^{10} T^{16} + $$14\!\cdots\!50$$ p^{15} T^{17} + $$74\!\cdots\!94$$ p^{20} T^{18} - $$45\!\cdots\!66$$ p^{25} T^{19} - $$10\!\cdots\!35$$ p^{30} T^{20} + $$72\!\cdots\!32$$ p^{35} T^{21} + $$40\!\cdots\!12$$ p^{40} T^{22} + $$39\!\cdots\!72$$ p^{45} T^{23} - 4365114300655601877 p^{50} T^{24} - 257655666175822 p^{55} T^{25} + 134775362 p^{60} T^{26} + 16418 p^{65} T^{27} + p^{70} T^{28} $
	79	$ ( 1 + 73272 T + 14910422889 T^{2} + 713614712327088 T^{3} + 91878682859930077941 T^{4} + $$38\!\cdots\!48$$ p T^{5} + $$35\!\cdots\!29$$ T^{6} + $$97\!\cdots\!08$$ T^{7} + $$35\!\cdots\!29$$ p^{5} T^{8} + $$38\!\cdots\!48$$ p^{11} T^{9} + 91878682859930077941 p^{15} T^{10} + 713614712327088 p^{20} T^{11} + 14910422889 p^{25} T^{12} + 73272 p^{30} T^{13} + p^{35} T^{14} )^{2} $
	83	$ 1 + 36398 T + 662407202 T^{2} - 351755925637942 T^{3} - 18959358682913357257 T^{4} + $$10\!\cdots\!44$$ T^{5} + $$11\!\cdots\!08$$ T^{6} + $$60\!\cdots\!36$$ T^{7} + $$11\!\cdots\!21$$ T^{8} - $$15\!\cdots\!90$$ T^{9} - $$10\!\cdots\!50$$ T^{10} - $$86\!\cdots\!90$$ T^{11} - $$70\!\cdots\!85$$ T^{12} + $$38\!\cdots\!20$$ T^{13} + $$31\!\cdots\!80$$ T^{14} + $$38\!\cdots\!20$$ p^{5} T^{15} - $$70\!\cdots\!85$$ p^{10} T^{16} - $$86\!\cdots\!90$$ p^{15} T^{17} - $$10\!\cdots\!50$$ p^{20} T^{18} - $$15\!\cdots\!90$$ p^{25} T^{19} + $$11\!\cdots\!21$$ p^{30} T^{20} + $$60\!\cdots\!36$$ p^{35} T^{21} + $$11\!\cdots\!08$$ p^{40} T^{22} + $$10\!\cdots\!44$$ p^{45} T^{23} - 18959358682913357257 p^{50} T^{24} - 351755925637942 p^{55} T^{25} + 662407202 p^{60} T^{26} + 36398 p^{65} T^{27} + p^{70} T^{28} $
	89	$ 1 - 30334038558 T^{2} + $$36\!\cdots\!35$$ T^{4} - $$20\!\cdots\!52$$ T^{6} + $$39\!\cdots\!69$$ T^{8} - $$12\!\cdots\!10$$ T^{10} + $$42\!\cdots\!95$$ T^{12} - $$38\!\cdots\!60$$ T^{14} + $$42\!\cdots\!95$$ p^{10} T^{16} - $$12\!\cdots\!10$$ p^{20} T^{18} + $$39\!\cdots\!69$$ p^{30} T^{20} - $$20\!\cdots\!52$$ p^{40} T^{22} + $$36\!\cdots\!35$$ p^{50} T^{24} - 30334038558 p^{60} T^{26} + p^{70} T^{28} $
	97	$ 1 + 60314 T + 1818889298 T^{2} - 623535693824102 T^{3} - $$16\!\cdots\!77$$ T^{4} - $$33\!\cdots\!64$$ T^{5} + $$29\!\cdots\!52$$ T^{6} + $$51\!\cdots\!52$$ T^{7} + $$13\!\cdots\!33$$ p T^{8} - $$44\!\cdots\!50$$ T^{9} + $$18\!\cdots\!50$$ T^{10} + $$91\!\cdots\!50$$ T^{11} + $$44\!\cdots\!75$$ T^{12} - $$82\!\cdots\!00$$ T^{13} - $$73\!\cdots\!00$$ T^{14} - $$82\!\cdots\!00$$ p^{5} T^{15} + $$44\!\cdots\!75$$ p^{10} T^{16} + $$91\!\cdots\!50$$ p^{15} T^{17} + $$18\!\cdots\!50$$ p^{20} T^{18} - $$44\!\cdots\!50$$ p^{25} T^{19} + $$13\!\cdots\!33$$ p^{31} T^{20} + $$51\!\cdots\!52$$ p^{35} T^{21} + $$29\!\cdots\!52$$ p^{40} T^{22} - $$33\!\cdots\!64$$ p^{45} T^{23} - $$16\!\cdots\!77$$ p^{50} T^{24} - 623535693824102 p^{55} T^{25} + 1818889298 p^{60} T^{26} + 60314 p^{65} T^{27} + p^{70} T^{28} $
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$L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{28} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}$

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−3.19914015631181393228383475479, −2.89753591575533337412428868412, −2.82907750635253006250112616136, −2.60870918179524455051715736523, −2.57115347528033955768273724667, −2.46320163188241689481934650008, −2.41371282080863118701772723750, −2.32772902192153018731103182030, −2.21796798113967994700151704038, −2.21195161939312623989040451545, −1.80642404621072424911334776632, −1.71961416883680084948431854474, −1.70130479412006016918873077545, −1.48185048105592344971770333785, −1.35857038319010044384302043991, −1.27371045554518024638722051706, −1.17902911520192284746270255018, −0.976546217881951214578717580638, −0.933270648023861040921065627100, −0.930462747598537041568561568035, −0.819059916348767244595269756700, −0.45600610741081031681833466976, −0.34058295467615935608739459195, −0.27544117574174641306384999406, −0.07853856617321036398884190249, 0.07853856617321036398884190249, 0.27544117574174641306384999406, 0.34058295467615935608739459195, 0.45600610741081031681833466976, 0.819059916348767244595269756700, 0.930462747598537041568561568035, 0.933270648023861040921065627100, 0.976546217881951214578717580638, 1.17902911520192284746270255018, 1.27371045554518024638722051706, 1.35857038319010044384302043991, 1.48185048105592344971770333785, 1.70130479412006016918873077545, 1.71961416883680084948431854474, 1.80642404621072424911334776632, 2.21195161939312623989040451545, 2.21796798113967994700151704038, 2.32772902192153018731103182030, 2.41371282080863118701772723750, 2.46320163188241689481934650008, 2.57115347528033955768273724667, 2.60870918179524455051715736523, 2.82907750635253006250112616136, 2.89753591575533337412428868412, 3.19914015631181393228383475479

Graph of the $Z$-function along the critical line

Plot not available for L-functions of degree greater than 10.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

\(L(3)\)	\(\approx\)	\(9.265857704\)
\(L(\frac12)\)	\(\approx\)	\(9.265857704\)
\(L(\frac{7}{2})\)		not available
\(L(1)\)		not available

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Origins

Origins of factors

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