| L(s) = 1 | − 10·3-s − 75·5-s + 6·7-s − 81·9-s + 396·11-s − 354·13-s + 750·15-s + 1.15e3·17-s − 3.19e3·19-s − 60·21-s − 6.12e3·23-s + 3.75e3·25-s − 2.64e3·27-s + 426·29-s − 3.27e3·31-s − 3.96e3·33-s − 450·35-s − 1.15e4·37-s + 3.54e3·39-s + 1.24e4·41-s − 2.63e4·43-s + 6.07e3·45-s − 3.67e4·47-s − 2.71e4·49-s − 1.15e4·51-s − 2.11e4·53-s − 2.97e4·55-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | − 0.641·3-s − 1.34·5-s + 0.0462·7-s − 1/3·9-s + 0.986·11-s − 0.580·13-s + 0.860·15-s + 0.971·17-s − 2.02·19-s − 0.0296·21-s − 2.41·23-s + 6/5·25-s − 0.699·27-s + 0.0940·29-s − 0.612·31-s − 0.633·33-s − 0.0620·35-s − 1.38·37-s + 0.372·39-s + 1.15·41-s − 2.17·43-s + 0.447·45-s − 2.42·47-s − 1.61·49-s − 0.623·51-s − 1.03·53-s − 1.32·55-s + ⋯ |
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut & 4096000 ^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{3} \, L(s)\cr =\mathstrut & -\, \Lambda(6-s) \end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut & 4096000 ^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{3} \, L(s)\cr =\mathstrut & -\, \Lambda(1-s) \end{aligned}\]
Particular Values
| \(L(3)\) |
\(=\) |
\(0\) |
| \(L(\frac12)\) |
\(=\) |
\(0\) |
| \(L(\frac{7}{2})\) |
|
not available |
| \(L(1)\) |
|
not available |
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $\Gal(F_p)$ | $F_p(T)$ |
|---|
| bad | 2 | | \( 1 \) |
| 5 | $C_1$ | \( ( 1 + p^{2} T )^{3} \) |
| good | 3 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 10 T + 181 T^{2} + 1756 p T^{3} + 181 p^{5} T^{4} + 10 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 7 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 6 T + 3879 p T^{2} - 1137532 T^{3} + 3879 p^{6} T^{4} - 6 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 11 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 36 p T + 327873 T^{2} - 67617992 T^{3} + 327873 p^{5} T^{4} - 36 p^{11} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 13 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 354 T + 845379 T^{2} + 291738444 T^{3} + 845379 p^{5} T^{4} + 354 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 17 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 1158 T + 1914111 T^{2} - 544550612 T^{3} + 1914111 p^{5} T^{4} - 1158 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 19 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 168 p T + 9330057 T^{2} + 15933739216 T^{3} + 9330057 p^{5} T^{4} + 168 p^{11} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 23 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 6126 T + 29722593 T^{2} + 84141222540 T^{3} + 29722593 p^{5} T^{4} + 6126 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 29 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 426 T - 939693 T^{2} + 141773503364 T^{3} - 939693 p^{5} T^{4} - 426 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 31 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 3276 T + 2292813 T^{2} - 41639420248 T^{3} + 2292813 p^{5} T^{4} + 3276 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 37 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 11562 T + 90623691 T^{2} + 525372493468 T^{3} + 90623691 p^{5} T^{4} + 11562 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 41 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 12450 T + 384843783 T^{2} - 2886023186300 T^{3} + 384843783 p^{5} T^{4} - 12450 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 43 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 26346 T + 640605069 T^{2} + 8098987233524 T^{3} + 640605069 p^{5} T^{4} + 26346 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 47 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 36762 T + 1119958377 T^{2} + 18490559326820 T^{3} + 1119958377 p^{5} T^{4} + 36762 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 53 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 21162 T + 395789499 T^{2} - 881498066468 T^{3} + 395789499 p^{5} T^{4} + 21162 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 59 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 35040 T + 1757220897 T^{2} + 50989349593920 T^{3} + 1757220897 p^{5} T^{4} + 35040 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 61 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 24138 T + 393086643 T^{2} - 6904061162564 T^{3} + 393086643 p^{5} T^{4} + 24138 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 67 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 9570 T + 659335509 T^{2} - 83080838420484 T^{3} + 659335509 p^{5} T^{4} - 9570 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 71 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 88092 T + 7289446053 T^{2} + 329541325840584 T^{3} + 7289446053 p^{5} T^{4} + 88092 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 73 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 66750 T + 3875077479 T^{2} - 111360074258500 T^{3} + 3875077479 p^{5} T^{4} - 66750 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 79 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 92952 T + 11164448877 T^{2} - 573846024396496 T^{3} + 11164448877 p^{5} T^{4} - 92952 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 83 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 30258 T + 4293702405 T^{2} + 426012342532708 T^{3} + 4293702405 p^{5} T^{4} + 30258 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 89 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 172686 T + 26445328791 T^{2} - 2103593815517412 T^{3} + 26445328791 p^{5} T^{4} - 172686 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 97 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 170910 T + 30283966671 T^{2} - 2852314667192740 T^{3} + 30283966671 p^{5} T^{4} - 170910 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| show more | | |
| show less | | |
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{6} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−11.27050447212599366973044392174, −10.86035900137637743120242414005, −10.59993151724947527469797938449, −10.17584493246933271800738120180, −9.868715459851326141550545345594, −9.314924081239737843472522811812, −9.285572741990560513247785200233, −8.520960642800793687601580268878, −8.239567108710144476076182787642, −8.079925173098185201561343578961, −7.69208852068157848444432413848, −7.33765836667164176429801814145, −6.74087638851485414674686685271, −6.33892895066687371594621114938, −6.20928064222710585968866079419, −5.83277928500606808047445180260, −4.93395395577262492474580226920, −4.91609933533364798608609205979, −4.41499979050703957022956231429, −3.82804514604172390168989672510, −3.41215065610698883458837439470, −3.34358243778884549981412487263, −2.17125213068215103474453554626, −1.85335732277351157954145972783, −1.27493553566702296665536869070, 0, 0, 0,
1.27493553566702296665536869070, 1.85335732277351157954145972783, 2.17125213068215103474453554626, 3.34358243778884549981412487263, 3.41215065610698883458837439470, 3.82804514604172390168989672510, 4.41499979050703957022956231429, 4.91609933533364798608609205979, 4.93395395577262492474580226920, 5.83277928500606808047445180260, 6.20928064222710585968866079419, 6.33892895066687371594621114938, 6.74087638851485414674686685271, 7.33765836667164176429801814145, 7.69208852068157848444432413848, 8.079925173098185201561343578961, 8.239567108710144476076182787642, 8.520960642800793687601580268878, 9.285572741990560513247785200233, 9.314924081239737843472522811812, 9.868715459851326141550545345594, 10.17584493246933271800738120180, 10.59993151724947527469797938449, 10.86035900137637743120242414005, 11.27050447212599366973044392174
