Dirichlet series
| L(s) = 1 | − 19·2-s + 6·3-s + 190·4-s + 2·5-s − 114·6-s + 13·7-s − 1.33e3·8-s + 2·9-s − 38·10-s − 7·11-s + 1.14e3·12-s + 19·13-s − 247·14-s + 12·15-s + 7.31e3·16-s + 11·17-s − 38·18-s + 7·19-s + 380·20-s + 78·21-s + 133·22-s + 12·23-s − 7.98e3·24-s − 27·25-s − 361·26-s − 58·27-s + 2.47e3·28-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | − 13.4·2-s + 3.46·3-s + 95·4-s + 0.894·5-s − 46.5·6-s + 4.91·7-s − 470.·8-s + 2/3·9-s − 12.0·10-s − 2.11·11-s + 329.·12-s + 5.26·13-s − 66.0·14-s + 3.09·15-s + 1.82e3·16-s + 2.66·17-s − 8.95·18-s + 1.60·19-s + 84.9·20-s + 17.0·21-s + 28.3·22-s + 2.50·23-s − 1.62e3·24-s − 5.39·25-s − 70.7·26-s − 11.1·27-s + 466.·28-s + ⋯ |
Functional equation
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{19} \cdot 751^{19}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{19} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{19} \cdot 751^{19}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{19} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Invariants
| Degree: | \(38\) |
| Conductor: | \(2^{19} \cdot 751^{19}\) |
| Sign: | $1$ |
| Analytic conductor: | \(3.16223\times 10^{20}\) |
| Root analytic conductor: | \(3.46316\) |
| Motivic weight: | \(1\) |
| Rational: | yes |
| Arithmetic: | yes |
| Character: | Trivial |
| Primitive: | no |
| Self-dual: | yes |
| Analytic rank: | \(0\) |
| Selberg data: | \((38,\ 2^{19} \cdot 751^{19} ,\ ( \ : [1/2]^{19} ),\ 1 )\) |
Particular Values
| \(L(1)\) | \(\approx\) | \(3.338744364\) |
| \(L(\frac12)\) | \(\approx\) | \(3.338744364\) |
| \(L(\frac{3}{2})\) | not available | |
| \(L(1)\) | not available |
Euler product
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $F_p(T)$ | |
|---|---|---|
| bad | 2 | \( ( 1 + T )^{19} \) |
| 751 | \( ( 1 - T )^{19} \) | |
| good | 3 | \( 1 - 2 p T + 34 T^{2} - 134 T^{3} + 494 T^{4} - 512 p T^{5} + 4520 T^{6} - 12001 T^{7} + 30509 T^{8} - 72386 T^{9} + 165971 T^{10} - 40277 p^{2} T^{11} + 770233 T^{12} - 526267 p T^{13} + 13000 p^{5} T^{14} - 2045959 p T^{15} + 11645743 T^{16} - 7169020 p T^{17} + 38745313 T^{18} - 67966190 T^{19} + 38745313 p T^{20} - 7169020 p^{3} T^{21} + 11645743 p^{3} T^{22} - 2045959 p^{5} T^{23} + 13000 p^{10} T^{24} - 526267 p^{7} T^{25} + 770233 p^{7} T^{26} - 40277 p^{10} T^{27} + 165971 p^{9} T^{28} - 72386 p^{10} T^{29} + 30509 p^{11} T^{30} - 12001 p^{12} T^{31} + 4520 p^{13} T^{32} - 512 p^{15} T^{33} + 494 p^{15} T^{34} - 134 p^{16} T^{35} + 34 p^{17} T^{36} - 2 p^{19} T^{37} + p^{19} T^{38} \) |
| 5 | \( 1 - 2 T + 31 T^{2} - 61 T^{3} + 104 p T^{4} - 1066 T^{5} + 2 p^{5} T^{6} - 13356 T^{7} + 60078 T^{8} - 132413 T^{9} + 490382 T^{10} - 1098791 T^{11} + 3515931 T^{12} - 7916816 T^{13} + 22609109 T^{14} - 50709862 T^{15} + 132323938 T^{16} - 292831479 T^{17} + 713309088 T^{18} - 1535263604 T^{19} + 713309088 p T^{20} - 292831479 p^{2} T^{21} + 132323938 p^{3} T^{22} - 50709862 p^{4} T^{23} + 22609109 p^{5} T^{24} - 7916816 p^{6} T^{25} + 3515931 p^{7} T^{26} - 1098791 p^{8} T^{27} + 490382 p^{9} T^{28} - 132413 p^{10} T^{29} + 60078 p^{11} T^{30} - 13356 p^{12} T^{31} + 2 p^{18} T^{32} - 1066 p^{14} T^{33} + 104 p^{16} T^{34} - 61 p^{16} T^{35} + 31 p^{17} T^{36} - 2 p^{18} T^{37} + p^{19} T^{38} \) | |
| 7 | \( 1 - 13 T + 130 T^{2} - 922 T^{3} + 5676 T^{4} - 29447 T^{5} + 139466 T^{6} - 593366 T^{7} + 2377117 T^{8} - 8857489 T^{9} + 31704744 T^{10} - 107673534 T^{11} + 355145772 T^{12} - 1122836769 T^{13} + 3465627733 T^{14} - 10307877634 T^{15} + 30013244361 T^{16} - 84473822970 T^{17} + 233109297166 T^{18} - 622717687456 T^{19} + 233109297166 p T^{20} - 84473822970 p^{2} T^{21} + 30013244361 p^{3} T^{22} - 10307877634 p^{4} T^{23} + 3465627733 p^{5} T^{24} - 1122836769 p^{6} T^{25} + 355145772 p^{7} T^{26} - 107673534 p^{8} T^{27} + 31704744 p^{9} T^{28} - 8857489 p^{10} T^{29} + 2377117 p^{11} T^{30} - 593366 p^{12} T^{31} + 139466 p^{13} T^{32} - 29447 p^{14} T^{33} + 5676 p^{15} T^{34} - 922 p^{16} T^{35} + 130 p^{17} T^{36} - 13 p^{18} T^{37} + p^{19} T^{38} \) | |
| 11 | \( 1 + 7 T + 107 T^{2} + 611 T^{3} + 5498 T^{4} + 27330 T^{5} + 187502 T^{6} + 76775 p T^{7} + 4867336 T^{8} + 20330703 T^{9} + 103248694 T^{10} + 404892681 T^{11} + 1861835255 T^{12} + 6896655490 T^{13} + 29215186237 T^{14} + 102499844792 T^{15} + 404629596948 T^{16} + 1345183519849 T^{17} + 4985922863874 T^{18} + 15684420751922 T^{19} + 4985922863874 p T^{20} + 1345183519849 p^{2} T^{21} + 404629596948 p^{3} T^{22} + 102499844792 p^{4} T^{23} + 29215186237 p^{5} T^{24} + 6896655490 p^{6} T^{25} + 1861835255 p^{7} T^{26} + 404892681 p^{8} T^{27} + 103248694 p^{9} T^{28} + 20330703 p^{10} T^{29} + 4867336 p^{11} T^{30} + 76775 p^{13} T^{31} + 187502 p^{13} T^{32} + 27330 p^{14} T^{33} + 5498 p^{15} T^{34} + 611 p^{16} T^{35} + 107 p^{17} T^{36} + 7 p^{18} T^{37} + p^{19} T^{38} \) | |
| 13 | \( 1 - 19 T + 270 T^{2} - 2755 T^{3} + 23977 T^{4} - 176336 T^{5} + 1164971 T^{6} - 6892206 T^{7} + 37751832 T^{8} - 191159920 T^{9} + 70414303 p T^{10} - 4137831957 T^{11} + 17960907449 T^{12} - 5740635309 p T^{13} + 300973176272 T^{14} - 90269275612 p T^{15} + 4481725911056 T^{16} - 16700374363484 T^{17} + 61498483768829 T^{18} - 222577737470044 T^{19} + 61498483768829 p T^{20} - 16700374363484 p^{2} T^{21} + 4481725911056 p^{3} T^{22} - 90269275612 p^{5} T^{23} + 300973176272 p^{5} T^{24} - 5740635309 p^{7} T^{25} + 17960907449 p^{7} T^{26} - 4137831957 p^{8} T^{27} + 70414303 p^{10} T^{28} - 191159920 p^{10} T^{29} + 37751832 p^{11} T^{30} - 6892206 p^{12} T^{31} + 1164971 p^{13} T^{32} - 176336 p^{14} T^{33} + 23977 p^{15} T^{34} - 2755 p^{16} T^{35} + 270 p^{17} T^{36} - 19 p^{18} T^{37} + p^{19} T^{38} \) | |
| 17 | \( 1 - 11 T + 229 T^{2} - 2190 T^{3} + 26240 T^{4} - 219848 T^{5} + 1977812 T^{6} - 14673485 T^{7} + 109417973 T^{8} - 726104396 T^{9} + 4708826652 T^{10} - 28194269222 T^{11} + 163242523603 T^{12} - 888198285491 T^{13} + 4661155981010 T^{14} - 23174028741421 T^{15} + 111185666309216 T^{16} - 507110859255614 T^{17} + 131442409105344 p T^{18} - 9371035988860356 T^{19} + 131442409105344 p^{2} T^{20} - 507110859255614 p^{2} T^{21} + 111185666309216 p^{3} T^{22} - 23174028741421 p^{4} T^{23} + 4661155981010 p^{5} T^{24} - 888198285491 p^{6} T^{25} + 163242523603 p^{7} T^{26} - 28194269222 p^{8} T^{27} + 4708826652 p^{9} T^{28} - 726104396 p^{10} T^{29} + 109417973 p^{11} T^{30} - 14673485 p^{12} T^{31} + 1977812 p^{13} T^{32} - 219848 p^{14} T^{33} + 26240 p^{15} T^{34} - 2190 p^{16} T^{35} + 229 p^{17} T^{36} - 11 p^{18} T^{37} + p^{19} T^{38} \) | |
| 19 | \( 1 - 7 T + 211 T^{2} - 77 p T^{3} + 22299 T^{4} - 150387 T^{5} + 1569499 T^{6} - 10149510 T^{7} + 82466696 T^{8} - 506496719 T^{9} + 3438437234 T^{10} - 19947696000 T^{11} + 118154428279 T^{12} - 33984463156 p T^{13} + 3432182625777 T^{14} - 17645045312788 T^{15} + 85751658513359 T^{16} - 414198989930851 T^{17} + 1863248884906465 T^{18} - 8435373824851710 T^{19} + 1863248884906465 p T^{20} - 414198989930851 p^{2} T^{21} + 85751658513359 p^{3} T^{22} - 17645045312788 p^{4} T^{23} + 3432182625777 p^{5} T^{24} - 33984463156 p^{7} T^{25} + 118154428279 p^{7} T^{26} - 19947696000 p^{8} T^{27} + 3438437234 p^{9} T^{28} - 506496719 p^{10} T^{29} + 82466696 p^{11} T^{30} - 10149510 p^{12} T^{31} + 1569499 p^{13} T^{32} - 150387 p^{14} T^{33} + 22299 p^{15} T^{34} - 77 p^{17} T^{35} + 211 p^{17} T^{36} - 7 p^{18} T^{37} + p^{19} T^{38} \) | |
| 23 | \( 1 - 12 T + 263 T^{2} - 2679 T^{3} + 34022 T^{4} - 300922 T^{5} + 2891478 T^{6} - 22622893 T^{7} + 181884746 T^{8} - 1278938043 T^{9} + 9042151640 T^{10} - 57927667572 T^{11} + 370278782141 T^{12} - 2185978582300 T^{13} + 12844072310299 T^{14} - 70489751267069 T^{15} + 384635688689594 T^{16} - 1973827659999699 T^{17} + 10064809975229432 T^{18} - 48428621857802870 T^{19} + 10064809975229432 p T^{20} - 1973827659999699 p^{2} T^{21} + 384635688689594 p^{3} T^{22} - 70489751267069 p^{4} T^{23} + 12844072310299 p^{5} T^{24} - 2185978582300 p^{6} T^{25} + 370278782141 p^{7} T^{26} - 57927667572 p^{8} T^{27} + 9042151640 p^{9} T^{28} - 1278938043 p^{10} T^{29} + 181884746 p^{11} T^{30} - 22622893 p^{12} T^{31} + 2891478 p^{13} T^{32} - 300922 p^{14} T^{33} + 34022 p^{15} T^{34} - 2679 p^{16} T^{35} + 263 p^{17} T^{36} - 12 p^{18} T^{37} + p^{19} T^{38} \) | |
| 29 | \( 1 + 8 T + 280 T^{2} + 74 p T^{3} + 39275 T^{4} + 278944 T^{5} + 3598386 T^{6} + 23150621 T^{7} + 237452937 T^{8} + 1357192919 T^{9} + 11811134160 T^{10} + 58584917223 T^{11} + 452949097552 T^{12} + 1878056140044 T^{13} + 13606437278143 T^{14} + 44153661869511 T^{15} + 333502058965561 T^{16} + 779212740105785 T^{17} + 7750684203202913 T^{18} + 534702331840430 p T^{19} + 7750684203202913 p T^{20} + 779212740105785 p^{2} T^{21} + 333502058965561 p^{3} T^{22} + 44153661869511 p^{4} T^{23} + 13606437278143 p^{5} T^{24} + 1878056140044 p^{6} T^{25} + 452949097552 p^{7} T^{26} + 58584917223 p^{8} T^{27} + 11811134160 p^{9} T^{28} + 1357192919 p^{10} T^{29} + 237452937 p^{11} T^{30} + 23150621 p^{12} T^{31} + 3598386 p^{13} T^{32} + 278944 p^{14} T^{33} + 39275 p^{15} T^{34} + 74 p^{17} T^{35} + 280 p^{17} T^{36} + 8 p^{18} T^{37} + p^{19} T^{38} \) | |
| 31 | \( 1 - 32 T + 814 T^{2} - 14961 T^{3} + 239296 T^{4} - 3265845 T^{5} + 40372776 T^{6} - 449557597 T^{7} + 4634608893 T^{8} - 44150369987 T^{9} + 394648723626 T^{10} - 3307128995798 T^{11} + 26234355326689 T^{12} - 196858573445004 T^{13} + 1406686500498076 T^{14} - 9563290369601241 T^{15} + 62154337965315842 T^{16} - 385680978715484028 T^{17} + 2293047123880906149 T^{18} - 13038280940883806406 T^{19} + 2293047123880906149 p T^{20} - 385680978715484028 p^{2} T^{21} + 62154337965315842 p^{3} T^{22} - 9563290369601241 p^{4} T^{23} + 1406686500498076 p^{5} T^{24} - 196858573445004 p^{6} T^{25} + 26234355326689 p^{7} T^{26} - 3307128995798 p^{8} T^{27} + 394648723626 p^{9} T^{28} - 44150369987 p^{10} T^{29} + 4634608893 p^{11} T^{30} - 449557597 p^{12} T^{31} + 40372776 p^{13} T^{32} - 3265845 p^{14} T^{33} + 239296 p^{15} T^{34} - 14961 p^{16} T^{35} + 814 p^{17} T^{36} - 32 p^{18} T^{37} + p^{19} T^{38} \) | |
| 37 | \( 1 - 41 T + 1260 T^{2} - 28003 T^{3} + 531786 T^{4} - 8584414 T^{5} + 124340959 T^{6} - 1615353019 T^{7} + 19303827014 T^{8} - 212254583686 T^{9} + 2178158307085 T^{10} - 20863133861757 T^{11} + 188203669861587 T^{12} - 1598499409769712 T^{13} + 12861217862883072 T^{14} - 97955558701077721 T^{15} + 709316492350279822 T^{16} - 4877588220472092819 T^{17} + 31952483547780304654 T^{18} - \)\(19\!\cdots\!32\)\( T^{19} + 31952483547780304654 p T^{20} - 4877588220472092819 p^{2} T^{21} + 709316492350279822 p^{3} T^{22} - 97955558701077721 p^{4} T^{23} + 12861217862883072 p^{5} T^{24} - 1598499409769712 p^{6} T^{25} + 188203669861587 p^{7} T^{26} - 20863133861757 p^{8} T^{27} + 2178158307085 p^{9} T^{28} - 212254583686 p^{10} T^{29} + 19303827014 p^{11} T^{30} - 1615353019 p^{12} T^{31} + 124340959 p^{13} T^{32} - 8584414 p^{14} T^{33} + 531786 p^{15} T^{34} - 28003 p^{16} T^{35} + 1260 p^{17} T^{36} - 41 p^{18} T^{37} + p^{19} T^{38} \) | |
| 41 | \( 1 - 15 T + 538 T^{2} - 6233 T^{3} + 128393 T^{4} - 1195463 T^{5} + 18424632 T^{6} - 139962648 T^{7} + 1808586081 T^{8} - 11184333661 T^{9} + 131591964088 T^{10} - 651601202855 T^{11} + 7613763880390 T^{12} - 29465981761533 T^{13} + 377542596627011 T^{14} - 1131658269580980 T^{15} + 17177210891187907 T^{16} - 41736665619154768 T^{17} + 741578050405932543 T^{18} - 1634681230378033832 T^{19} + 741578050405932543 p T^{20} - 41736665619154768 p^{2} T^{21} + 17177210891187907 p^{3} T^{22} - 1131658269580980 p^{4} T^{23} + 377542596627011 p^{5} T^{24} - 29465981761533 p^{6} T^{25} + 7613763880390 p^{7} T^{26} - 651601202855 p^{8} T^{27} + 131591964088 p^{9} T^{28} - 11184333661 p^{10} T^{29} + 1808586081 p^{11} T^{30} - 139962648 p^{12} T^{31} + 18424632 p^{13} T^{32} - 1195463 p^{14} T^{33} + 128393 p^{15} T^{34} - 6233 p^{16} T^{35} + 538 p^{17} T^{36} - 15 p^{18} T^{37} + p^{19} T^{38} \) | |
| 43 | \( 1 - 15 T + 457 T^{2} - 5415 T^{3} + 99152 T^{4} - 997507 T^{5} + 13998558 T^{6} - 123698465 T^{7} + 1457705668 T^{8} - 11548822642 T^{9} + 119930484096 T^{10} - 864300205504 T^{11} + 8160070931263 T^{12} - 54158260353293 T^{13} + 475813269925807 T^{14} - 2945202621070325 T^{15} + 24519232487449408 T^{16} - 3336217795914989 p T^{17} + 1145400784810667070 T^{18} - 6410531646485158758 T^{19} + 1145400784810667070 p T^{20} - 3336217795914989 p^{3} T^{21} + 24519232487449408 p^{3} T^{22} - 2945202621070325 p^{4} T^{23} + 475813269925807 p^{5} T^{24} - 54158260353293 p^{6} T^{25} + 8160070931263 p^{7} T^{26} - 864300205504 p^{8} T^{27} + 119930484096 p^{9} T^{28} - 11548822642 p^{10} T^{29} + 1457705668 p^{11} T^{30} - 123698465 p^{12} T^{31} + 13998558 p^{13} T^{32} - 997507 p^{14} T^{33} + 99152 p^{15} T^{34} - 5415 p^{16} T^{35} + 457 p^{17} T^{36} - 15 p^{18} T^{37} + p^{19} T^{38} \) | |
| 47 | \( 1 + 6 T + 510 T^{2} + 2475 T^{3} + 128269 T^{4} + 496761 T^{5} + 21332322 T^{6} + 64786471 T^{7} + 2651524058 T^{8} + 6184801844 T^{9} + 263315270107 T^{10} + 461999139049 T^{11} + 21750256895896 T^{12} + 28312300279827 T^{13} + 1532641791250169 T^{14} + 1491329545086163 T^{15} + 1991804184794644 p T^{16} + 71655322569757322 T^{17} + 5004383214442784632 T^{18} + 3356142599484909700 T^{19} + 5004383214442784632 p T^{20} + 71655322569757322 p^{2} T^{21} + 1991804184794644 p^{4} T^{22} + 1491329545086163 p^{4} T^{23} + 1532641791250169 p^{5} T^{24} + 28312300279827 p^{6} T^{25} + 21750256895896 p^{7} T^{26} + 461999139049 p^{8} T^{27} + 263315270107 p^{9} T^{28} + 6184801844 p^{10} T^{29} + 2651524058 p^{11} T^{30} + 64786471 p^{12} T^{31} + 21332322 p^{13} T^{32} + 496761 p^{14} T^{33} + 128269 p^{15} T^{34} + 2475 p^{16} T^{35} + 510 p^{17} T^{36} + 6 p^{18} T^{37} + p^{19} T^{38} \) | |
| 53 | \( 1 - 6 T + 676 T^{2} - 3553 T^{3} + 223344 T^{4} - 1040970 T^{5} + 48213114 T^{6} - 201456056 T^{7} + 7657458074 T^{8} - 28970745422 T^{9} + 953834477735 T^{10} - 3295861073171 T^{11} + 96847408135791 T^{12} - 307773025179027 T^{13} + 8214054578213844 T^{14} - 24127782303103054 T^{15} + 591068509860376959 T^{16} - 1609539778023056039 T^{17} + 36422213444568336690 T^{18} - 92033566035942725548 T^{19} + 36422213444568336690 p T^{20} - 1609539778023056039 p^{2} T^{21} + 591068509860376959 p^{3} T^{22} - 24127782303103054 p^{4} T^{23} + 8214054578213844 p^{5} T^{24} - 307773025179027 p^{6} T^{25} + 96847408135791 p^{7} T^{26} - 3295861073171 p^{8} T^{27} + 953834477735 p^{9} T^{28} - 28970745422 p^{10} T^{29} + 7657458074 p^{11} T^{30} - 201456056 p^{12} T^{31} + 48213114 p^{13} T^{32} - 1040970 p^{14} T^{33} + 223344 p^{15} T^{34} - 3553 p^{16} T^{35} + 676 p^{17} T^{36} - 6 p^{18} T^{37} + p^{19} T^{38} \) | |
| 59 | \( 1 + 4 T + 550 T^{2} + 1682 T^{3} + 148553 T^{4} + 346005 T^{5} + 26530062 T^{6} + 44822592 T^{7} + 3537166304 T^{8} + 3723278256 T^{9} + 376786836516 T^{10} + 143436433726 T^{11} + 33598598898282 T^{12} - 10439060195798 T^{13} + 2601361690076710 T^{14} - 2457444748733592 T^{15} + 180266085250759091 T^{16} - 250721911119999243 T^{17} + 11448922127620999197 T^{18} - 17400541247177817136 T^{19} + 11448922127620999197 p T^{20} - 250721911119999243 p^{2} T^{21} + 180266085250759091 p^{3} T^{22} - 2457444748733592 p^{4} T^{23} + 2601361690076710 p^{5} T^{24} - 10439060195798 p^{6} T^{25} + 33598598898282 p^{7} T^{26} + 143436433726 p^{8} T^{27} + 376786836516 p^{9} T^{28} + 3723278256 p^{10} T^{29} + 3537166304 p^{11} T^{30} + 44822592 p^{12} T^{31} + 26530062 p^{13} T^{32} + 346005 p^{14} T^{33} + 148553 p^{15} T^{34} + 1682 p^{16} T^{35} + 550 p^{17} T^{36} + 4 p^{18} T^{37} + p^{19} T^{38} \) | |
| 61 | \( 1 - 13 T + 857 T^{2} - 10451 T^{3} + 357056 T^{4} - 4095517 T^{5} + 96477493 T^{6} - 1041465758 T^{7} + 19005317315 T^{8} - 192881568073 T^{9} + 2905504782626 T^{10} - 27663082556300 T^{11} + 357895369689375 T^{12} - 3187547284866648 T^{13} + 36370905068711768 T^{14} - 302003237088477896 T^{15} + 3095306153489837671 T^{16} - 23867063571617335053 T^{17} + \)\(22\!\cdots\!46\)\( T^{18} - \)\(15\!\cdots\!70\)\( T^{19} + \)\(22\!\cdots\!46\)\( p T^{20} - 23867063571617335053 p^{2} T^{21} + 3095306153489837671 p^{3} T^{22} - 302003237088477896 p^{4} T^{23} + 36370905068711768 p^{5} T^{24} - 3187547284866648 p^{6} T^{25} + 357895369689375 p^{7} T^{26} - 27663082556300 p^{8} T^{27} + 2905504782626 p^{9} T^{28} - 192881568073 p^{10} T^{29} + 19005317315 p^{11} T^{30} - 1041465758 p^{12} T^{31} + 96477493 p^{13} T^{32} - 4095517 p^{14} T^{33} + 357056 p^{15} T^{34} - 10451 p^{16} T^{35} + 857 p^{17} T^{36} - 13 p^{18} T^{37} + p^{19} T^{38} \) | |
| 67 | \( 1 - 47 T + 1566 T^{2} - 37560 T^{3} + 748476 T^{4} - 12510726 T^{5} + 183744745 T^{6} - 2386181891 T^{7} + 28063812935 T^{8} - 300356343490 T^{9} + 2973478938276 T^{10} - 27313691922187 T^{11} + 235455980395984 T^{12} - 28379199714055 p T^{13} + 14461456040651743 T^{14} - 102829753587843641 T^{15} + 689826686021777816 T^{16} - 4415308607210554008 T^{17} + 28973951656732385922 T^{18} - \)\(21\!\cdots\!50\)\( T^{19} + 28973951656732385922 p T^{20} - 4415308607210554008 p^{2} T^{21} + 689826686021777816 p^{3} T^{22} - 102829753587843641 p^{4} T^{23} + 14461456040651743 p^{5} T^{24} - 28379199714055 p^{7} T^{25} + 235455980395984 p^{7} T^{26} - 27313691922187 p^{8} T^{27} + 2973478938276 p^{9} T^{28} - 300356343490 p^{10} T^{29} + 28063812935 p^{11} T^{30} - 2386181891 p^{12} T^{31} + 183744745 p^{13} T^{32} - 12510726 p^{14} T^{33} + 748476 p^{15} T^{34} - 37560 p^{16} T^{35} + 1566 p^{17} T^{36} - 47 p^{18} T^{37} + p^{19} T^{38} \) | |
| 71 | \( 1 + 905 T^{2} + 489 T^{3} + 400497 T^{4} + 414591 T^{5} + 115662740 T^{6} + 170247177 T^{7} + 24535585900 T^{8} + 45031294498 T^{9} + 4076858482099 T^{10} + 8604841140883 T^{11} + 551970297125069 T^{12} + 1262274348334489 T^{13} + 62457476014677365 T^{14} + 147355143589356962 T^{15} + 6002894829853805114 T^{16} + 13989217216391132129 T^{17} + \)\(49\!\cdots\!48\)\( T^{18} + \)\(10\!\cdots\!84\)\( T^{19} + \)\(49\!\cdots\!48\)\( p T^{20} + 13989217216391132129 p^{2} T^{21} + 6002894829853805114 p^{3} T^{22} + 147355143589356962 p^{4} T^{23} + 62457476014677365 p^{5} T^{24} + 1262274348334489 p^{6} T^{25} + 551970297125069 p^{7} T^{26} + 8604841140883 p^{8} T^{27} + 4076858482099 p^{9} T^{28} + 45031294498 p^{10} T^{29} + 24535585900 p^{11} T^{30} + 170247177 p^{12} T^{31} + 115662740 p^{13} T^{32} + 414591 p^{14} T^{33} + 400497 p^{15} T^{34} + 489 p^{16} T^{35} + 905 p^{17} T^{36} + p^{19} T^{38} \) | |
| 73 | \( 1 - 64 T + 2889 T^{2} - 95304 T^{3} + 2629599 T^{4} - 61733651 T^{5} + 1285213337 T^{6} - 23970448962 T^{7} + 408151822689 T^{8} - 6385922641759 T^{9} + 92775285499560 T^{10} - 1256883275355133 T^{11} + 15981820118277414 T^{12} - 191266170647899417 T^{13} + 2163547784861858619 T^{14} - 23171688187709184682 T^{15} + \)\(23\!\cdots\!86\)\( T^{16} - \)\(22\!\cdots\!41\)\( T^{17} + \)\(20\!\cdots\!94\)\( T^{18} - \)\(18\!\cdots\!54\)\( T^{19} + \)\(20\!\cdots\!94\)\( p T^{20} - \)\(22\!\cdots\!41\)\( p^{2} T^{21} + \)\(23\!\cdots\!86\)\( p^{3} T^{22} - 23171688187709184682 p^{4} T^{23} + 2163547784861858619 p^{5} T^{24} - 191266170647899417 p^{6} T^{25} + 15981820118277414 p^{7} T^{26} - 1256883275355133 p^{8} T^{27} + 92775285499560 p^{9} T^{28} - 6385922641759 p^{10} T^{29} + 408151822689 p^{11} T^{30} - 23970448962 p^{12} T^{31} + 1285213337 p^{13} T^{32} - 61733651 p^{14} T^{33} + 2629599 p^{15} T^{34} - 95304 p^{16} T^{35} + 2889 p^{17} T^{36} - 64 p^{18} T^{37} + p^{19} T^{38} \) | |
| 79 | \( 1 - 34 T + 1180 T^{2} - 25276 T^{3} + 537118 T^{4} - 8828017 T^{5} + 145456375 T^{6} - 2009661897 T^{7} + 28203194871 T^{8} - 344807447719 T^{9} + 4326002643629 T^{10} - 48219472170429 T^{11} + 555686154912328 T^{12} - 5750319340724500 T^{13} + 61860551556189098 T^{14} - 601047290951302857 T^{15} + 6092116602727514917 T^{16} - 55920599711587653554 T^{17} + \)\(53\!\cdots\!13\)\( T^{18} - \)\(46\!\cdots\!26\)\( T^{19} + \)\(53\!\cdots\!13\)\( p T^{20} - 55920599711587653554 p^{2} T^{21} + 6092116602727514917 p^{3} T^{22} - 601047290951302857 p^{4} T^{23} + 61860551556189098 p^{5} T^{24} - 5750319340724500 p^{6} T^{25} + 555686154912328 p^{7} T^{26} - 48219472170429 p^{8} T^{27} + 4326002643629 p^{9} T^{28} - 344807447719 p^{10} T^{29} + 28203194871 p^{11} T^{30} - 2009661897 p^{12} T^{31} + 145456375 p^{13} T^{32} - 8828017 p^{14} T^{33} + 537118 p^{15} T^{34} - 25276 p^{16} T^{35} + 1180 p^{17} T^{36} - 34 p^{18} T^{37} + p^{19} T^{38} \) | |
| 83 | \( 1 - 4 T + 659 T^{2} - 2850 T^{3} + 218284 T^{4} - 950085 T^{5} + 49422787 T^{6} - 207681820 T^{7} + 8710689001 T^{8} - 35000999094 T^{9} + 1279563054802 T^{10} - 4952185786784 T^{11} + 162857565542271 T^{12} - 610203675724323 T^{13} + 18370291210563929 T^{14} - 66559423750176230 T^{15} + 1860023982176792050 T^{16} - 6492158599778461667 T^{17} + \)\(17\!\cdots\!54\)\( T^{18} - \)\(56\!\cdots\!08\)\( T^{19} + \)\(17\!\cdots\!54\)\( p T^{20} - 6492158599778461667 p^{2} T^{21} + 1860023982176792050 p^{3} T^{22} - 66559423750176230 p^{4} T^{23} + 18370291210563929 p^{5} T^{24} - 610203675724323 p^{6} T^{25} + 162857565542271 p^{7} T^{26} - 4952185786784 p^{8} T^{27} + 1279563054802 p^{9} T^{28} - 35000999094 p^{10} T^{29} + 8710689001 p^{11} T^{30} - 207681820 p^{12} T^{31} + 49422787 p^{13} T^{32} - 950085 p^{14} T^{33} + 218284 p^{15} T^{34} - 2850 p^{16} T^{35} + 659 p^{17} T^{36} - 4 p^{18} T^{37} + p^{19} T^{38} \) | |
| 89 | \( 1 - 18 T + 1076 T^{2} - 16830 T^{3} + 565393 T^{4} - 7934186 T^{5} + 195466699 T^{6} - 2509445133 T^{7} + 50171016301 T^{8} - 596270783642 T^{9} + 10187587813099 T^{10} - 112852972768346 T^{11} + 1699058376471296 T^{12} - 197782080843326 p T^{13} + 238245455854970147 T^{14} - 2310420646250137056 T^{15} + 28504602570771799860 T^{16} - \)\(25\!\cdots\!00\)\( T^{17} + \)\(29\!\cdots\!64\)\( T^{18} - \)\(24\!\cdots\!18\)\( T^{19} + \)\(29\!\cdots\!64\)\( p T^{20} - \)\(25\!\cdots\!00\)\( p^{2} T^{21} + 28504602570771799860 p^{3} T^{22} - 2310420646250137056 p^{4} T^{23} + 238245455854970147 p^{5} T^{24} - 197782080843326 p^{7} T^{25} + 1699058376471296 p^{7} T^{26} - 112852972768346 p^{8} T^{27} + 10187587813099 p^{9} T^{28} - 596270783642 p^{10} T^{29} + 50171016301 p^{11} T^{30} - 2509445133 p^{12} T^{31} + 195466699 p^{13} T^{32} - 7934186 p^{14} T^{33} + 565393 p^{15} T^{34} - 16830 p^{16} T^{35} + 1076 p^{17} T^{36} - 18 p^{18} T^{37} + p^{19} T^{38} \) | |
| 97 | \( 1 - 82 T + 4588 T^{2} - 187966 T^{3} + 6378218 T^{4} - 183814745 T^{5} + 4670532770 T^{6} - 106012649209 T^{7} + 2186505399916 T^{8} - 41299703099469 T^{9} + 721164988347456 T^{10} - 11699738934567182 T^{11} + 177366353832885792 T^{12} - 2520686411361120298 T^{13} + 33706551170517464283 T^{14} - \)\(42\!\cdots\!96\)\( T^{15} + \)\(50\!\cdots\!42\)\( T^{16} - \)\(57\!\cdots\!06\)\( T^{17} + \)\(60\!\cdots\!70\)\( T^{18} - \)\(61\!\cdots\!34\)\( T^{19} + \)\(60\!\cdots\!70\)\( p T^{20} - \)\(57\!\cdots\!06\)\( p^{2} T^{21} + \)\(50\!\cdots\!42\)\( p^{3} T^{22} - \)\(42\!\cdots\!96\)\( p^{4} T^{23} + 33706551170517464283 p^{5} T^{24} - 2520686411361120298 p^{6} T^{25} + 177366353832885792 p^{7} T^{26} - 11699738934567182 p^{8} T^{27} + 721164988347456 p^{9} T^{28} - 41299703099469 p^{10} T^{29} + 2186505399916 p^{11} T^{30} - 106012649209 p^{12} T^{31} + 4670532770 p^{13} T^{32} - 183814745 p^{14} T^{33} + 6378218 p^{15} T^{34} - 187966 p^{16} T^{35} + 4588 p^{17} T^{36} - 82 p^{18} T^{37} + p^{19} T^{38} \) | |
| show more | ||
| show less | ||
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{38} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−2.14356002232440069044476515190, −1.98309081567632586911495822785, −1.85775442166112144787701989937, −1.83758208643364276291780295115, −1.81857295169402677890255296832, −1.77040202368688830971753309669, −1.51409937890078978088880096012, −1.48224707218641818530198738317, −1.42835014784752814144474141091, −1.41818963566063727865748206895, −1.32459077510427045763603028237, −1.14019184140686170753262378154, −1.04106477096327342081228800385, −0.981984960109742821344306880154, −0.944702894586602843313640117251, −0.923834286621207513799150621804, −0.894721600720139226623972685954, −0.880679633390684763090549708804, −0.817137777591282559989264115180, −0.813915200962234155908151217916, −0.66485969165961761672503905615, −0.52381950739996515532185707081, −0.46906729314973765890058153438, −0.31755971986557998232427975870, −0.27788107730216084446024999413, 0.27788107730216084446024999413, 0.31755971986557998232427975870, 0.46906729314973765890058153438, 0.52381950739996515532185707081, 0.66485969165961761672503905615, 0.813915200962234155908151217916, 0.817137777591282559989264115180, 0.880679633390684763090549708804, 0.894721600720139226623972685954, 0.923834286621207513799150621804, 0.944702894586602843313640117251, 0.981984960109742821344306880154, 1.04106477096327342081228800385, 1.14019184140686170753262378154, 1.32459077510427045763603028237, 1.41818963566063727865748206895, 1.42835014784752814144474141091, 1.48224707218641818530198738317, 1.51409937890078978088880096012, 1.77040202368688830971753309669, 1.81857295169402677890255296832, 1.83758208643364276291780295115, 1.85775442166112144787701989937, 1.98309081567632586911495822785, 2.14356002232440069044476515190
Graph of the $Z$-function along the critical line
Plot not available for L-functions of degree greater than 10.