| L(s) = 1 | + 3·2-s − 36·3-s − 25·4-s − 108·6-s − 75·8-s + 810·9-s + 402·11-s + 900·12-s − 462·13-s + 599·16-s − 276·17-s + 2.43e3·18-s − 510·19-s + 1.20e3·22-s + 6.90e3·23-s + 2.70e3·24-s − 4.84e3·25-s − 1.38e3·26-s − 1.45e4·27-s + 540·29-s + 6.41e3·31-s + 4.06e3·32-s − 1.44e4·33-s − 828·34-s − 2.02e4·36-s + 1.52e4·37-s − 1.53e3·38-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | + 0.530·2-s − 2.30·3-s − 0.781·4-s − 1.22·6-s − 0.414·8-s + 10/3·9-s + 1.00·11-s + 1.80·12-s − 0.758·13-s + 0.584·16-s − 0.231·17-s + 1.76·18-s − 0.324·19-s + 0.531·22-s + 2.71·23-s + 0.956·24-s − 1.54·25-s − 0.402·26-s − 3.84·27-s + 0.119·29-s + 1.19·31-s + 0.701·32-s − 2.31·33-s − 0.122·34-s − 2.60·36-s + 1.83·37-s − 0.171·38-s + ⋯ |
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{4} \cdot 7^{8}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{4} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(6-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{4} \cdot 7^{8}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{4} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Particular Values
| \(L(3)\) |
\(\approx\) |
\(3.002754157\) |
| \(L(\frac12)\) |
\(\approx\) |
\(3.002754157\) |
| \(L(\frac{7}{2})\) |
|
not available |
| \(L(1)\) |
|
not available |
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $\Gal(F_p)$ | $F_p(T)$ |
|---|
| bad | 3 | $C_1$ | \( ( 1 + p^{2} T )^{4} \) |
| 7 | | \( 1 \) |
| good | 2 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 3 T + 17 p T^{2} - 51 p T^{3} + 83 p^{2} T^{4} - 51 p^{6} T^{5} + 17 p^{11} T^{6} - 3 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 5 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 4843 T^{2} - 12108 p^{2} T^{3} + 7549256 T^{4} - 12108 p^{7} T^{5} + 4843 p^{10} T^{6} + p^{20} T^{8} \) |
| 11 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 402 T + 405841 T^{2} - 93416934 T^{3} + 77165216456 T^{4} - 93416934 p^{5} T^{5} + 405841 p^{10} T^{6} - 402 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 13 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 462 T + 336749 T^{2} - 500754 T^{3} + 123849672672 T^{4} - 500754 p^{5} T^{5} + 336749 p^{10} T^{6} + 462 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 17 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 276 T + 4084676 T^{2} + 280763388 T^{3} + 7517219673798 T^{4} + 280763388 p^{5} T^{5} + 4084676 p^{10} T^{6} + 276 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 19 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 510 T + 4007525 T^{2} + 2990607690 T^{3} + 14975063190924 T^{4} + 2990607690 p^{5} T^{5} + 4007525 p^{10} T^{6} + 510 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 23 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 300 p T + 32867228 T^{2} - 116109363780 T^{3} + 343244422915686 T^{4} - 116109363780 p^{5} T^{5} + 32867228 p^{10} T^{6} - 300 p^{16} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 29 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 540 T + 29394199 T^{2} + 29299685892 T^{3} + 772430149366772 T^{4} + 29299685892 p^{5} T^{5} + 29394199 p^{10} T^{6} - 540 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 31 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 6410 T + 96802736 T^{2} - 491920044696 T^{3} + 3990219807562217 T^{4} - 491920044696 p^{5} T^{5} + 96802736 p^{10} T^{6} - 6410 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 37 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 15250 T + 230519621 T^{2} - 1675418532570 T^{3} + 17310190338885440 T^{4} - 1675418532570 p^{5} T^{5} + 230519621 p^{10} T^{6} - 15250 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 41 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 4308 T + 270683560 T^{2} + 2598901038204 T^{3} + 34018560333944366 T^{4} + 2598901038204 p^{5} T^{5} + 270683560 p^{10} T^{6} + 4308 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 43 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 29198 T + 787995265 T^{2} - 13076978932730 T^{3} + 187469286625894360 T^{4} - 13076978932730 p^{5} T^{5} + 787995265 p^{10} T^{6} - 29198 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 47 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 15060 T + 968029772 T^{2} - 10316869428852 T^{3} + 338556639544077654 T^{4} - 10316869428852 p^{5} T^{5} + 968029772 p^{10} T^{6} - 15060 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 53 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 13692 T + 1174874543 T^{2} - 9138918677148 T^{3} + 624374053991775828 T^{4} - 9138918677148 p^{5} T^{5} + 1174874543 p^{10} T^{6} - 13692 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 59 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 34830 T + 3047953637 T^{2} + 74240819598150 T^{3} + 3333299875817266188 T^{4} + 74240819598150 p^{5} T^{5} + 3047953637 p^{10} T^{6} + 34830 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 61 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 5364 T + 2845789028 T^{2} - 10211521644252 T^{3} + 3398342140250230278 T^{4} - 10211521644252 p^{5} T^{5} + 2845789028 p^{10} T^{6} - 5364 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 67 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 5994 T + 2554505537 T^{2} + 29219705413074 T^{3} + 3802215802346578704 T^{4} + 29219705413074 p^{5} T^{5} + 2554505537 p^{10} T^{6} + 5994 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 71 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 89268 T + 8738662172 T^{2} - 466802240277492 T^{3} + 25044546792022133910 T^{4} - 466802240277492 p^{5} T^{5} + 8738662172 p^{10} T^{6} - 89268 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 73 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 59638 T + 8655226553 T^{2} + 350574157952982 T^{3} + 27168426643986231860 T^{4} + 350574157952982 p^{5} T^{5} + 8655226553 p^{10} T^{6} + 59638 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 79 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 44062 T + 8526420688 T^{2} + 421600841789848 T^{3} + 33701233575740693881 T^{4} + 421600841789848 p^{5} T^{5} + 8526420688 p^{10} T^{6} + 44062 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 83 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 208446 T + 23363412401 T^{2} - 1724627286611514 T^{3} + \)\(11\!\cdots\!56\)\( T^{4} - 1724627286611514 p^{5} T^{5} + 23363412401 p^{10} T^{6} - 208446 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 89 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 77520 T + 5530024288 T^{2} + 567577230261264 T^{3} - 47925515398937104546 T^{4} + 567577230261264 p^{5} T^{5} + 5530024288 p^{10} T^{6} - 77520 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 97 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 188630 T + 43620869129 T^{2} - 4760435860011510 T^{3} + \)\(59\!\cdots\!64\)\( T^{4} - 4760435860011510 p^{5} T^{5} + 43620869129 p^{10} T^{6} - 188630 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| show more | | |
| show less | | |
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{8} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−9.028442259121079944820981210210, −8.136909881077012312757723096259, −7.920021477549789167324028620144, −7.83156994860384442958808611183, −7.28453358243644259375965462763, −7.19223440578622148344131217763, −6.72559631578348948887831813645, −6.40089641971576003044274838613, −6.37342524397915815722611525578, −5.95581419629759966610896774074, −5.54665988761084605530048122176, −5.45119488434621746384490922936, −5.12261466717173574189736814232, −4.61462153694137126622245428274, −4.49842324787841682048731061753, −4.18548019338380411579486646028, −4.16943160633210232698693632090, −3.38392877375504342739088743903, −3.09704172136941538112104547478, −2.47598522849323675211513679697, −2.03985272499899840589554176227, −1.40197763487196187633171187720, −0.888534743569429170056968536288, −0.57327568500100226838185803414, −0.57202263421052946958012512823,
0.57202263421052946958012512823, 0.57327568500100226838185803414, 0.888534743569429170056968536288, 1.40197763487196187633171187720, 2.03985272499899840589554176227, 2.47598522849323675211513679697, 3.09704172136941538112104547478, 3.38392877375504342739088743903, 4.16943160633210232698693632090, 4.18548019338380411579486646028, 4.49842324787841682048731061753, 4.61462153694137126622245428274, 5.12261466717173574189736814232, 5.45119488434621746384490922936, 5.54665988761084605530048122176, 5.95581419629759966610896774074, 6.37342524397915815722611525578, 6.40089641971576003044274838613, 6.72559631578348948887831813645, 7.19223440578622148344131217763, 7.28453358243644259375965462763, 7.83156994860384442958808611183, 7.920021477549789167324028620144, 8.136909881077012312757723096259, 9.028442259121079944820981210210
