LMFDB - L-function 20-12e20-1.1-c5e10-0-0

Dirichlet series

L(s) = 1

− 12·3^-s − 21·5^-s − 29·7^-s + 78·9^-s − 177·11^-s − 181·13^-s + 252·15^-s + 2.28e3·17^-s + 832·19^-s + 348·21^-s − 399·23^-s + 5.64e3·25^-s + 2.01e3·27^-s − 6.03e3·29^-s − 2.75e3·31^-s + 2.12e3·33^-s + 609·35^-s − 1.51e4·37^-s + 2.17e3·39^-s − 1.84e4·41^-s − 1.46e3·43^-s − 1.63e3·45^-s + 2.51e4·47^-s + 4.04e4·49^-s − 2.73e4·51^-s + 1.16e5·53^-s + 3.71e3·55^-s + ⋯

L(s) = 1

− 0.769·3^-s − 0.375·5^-s − 0.223·7^-s + 0.320·9^-s − 0.441·11^-s − 0.297·13^-s + 0.289·15^-s + 1.91·17^-s + 0.528·19^-s + 0.172·21^-s − 0.157·23^-s + 1.80·25^-s + 0.532·27^-s − 1.33·29^-s − 0.515·31^-s + 0.339·33^-s + 0.0840·35^-s − 1.82·37^-s + 0.228·39^-s − 1.71·41^-s − 0.121·43^-s − 0.120·45^-s + 1.66·47^-s + 2.40·49^-s − 1.47·51^-s + 5.71·53^-s + 0.165·55^-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{40} \cdot 3^{20}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{10} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(6-s)\end{aligned}\]

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{40} \cdot 3^{20}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{10} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]

Invariants

Degree:	$20$
Conductor:	$2^{40} \cdot 3^{20}$
Sign:	$1$
Analytic conductor:	$4.31748\times 10^{13}$
Root analytic conductor:	$4.80575$
Motivic weight:	$5$
Rational:	yes
Arithmetic:	yes
Character:	Trivial
Primitive:	no
Self-dual:	yes
Analytic rank:	$0$
Selberg data:	$(20,\ 2^{40} \cdot 3^{20} ,\ ( \ : [5/2]^{10} ),\ 1 )$

Particular Values

$L(3)$	$\approx$	$0.02621612330$
$L(\frac12)$	$\approx$	$0.02621612330$
$L(\frac{7}{2})$		not available
$L(1)$		not available

Euler product

$L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} $

	$p$	$F_p(T)$
bad	2	$ 1 $
	3	$ 1 + 4 p T + 22 p T^{2} - 80 p^{3} T^{3} + 901 p^{4} T^{4} + 88 p^{9} T^{5} + 901 p^{9} T^{6} - 80 p^{13} T^{7} + 22 p^{16} T^{8} + 4 p^{21} T^{9} + p^{25} T^{10} $
good	5	$ 1 + 21 T - 5203 T^{2} - 103986 p T^{3} + 14035794 T^{4} + 570964554 p T^{5} + 76722872007 T^{6} - 9761967315441 T^{7} - 599011867854189 T^{8} + 476972383330224 p^{2} T^{9} + 2533145723872694124 T^{10} + 476972383330224 p^{7} T^{11} - 599011867854189 p^{10} T^{12} - 9761967315441 p^{15} T^{13} + 76722872007 p^{20} T^{14} + 570964554 p^{26} T^{15} + 14035794 p^{30} T^{16} - 103986 p^{36} T^{17} - 5203 p^{40} T^{18} + 21 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} $
	7	$ 1 + 29 T - 39569 T^{2} - 537492 p T^{3} + 440397336 T^{4} + 77352503496 T^{5} - 395584797729 p T^{6} + 560172784984473 T^{7} + 238615372451780007 T^{8} - 16031898530170676332 T^{9} - $$69\!\cdots\!60$$ T^{10} - 16031898530170676332 p^{5} T^{11} + 238615372451780007 p^{10} T^{12} + 560172784984473 p^{15} T^{13} - 395584797729 p^{21} T^{14} + 77352503496 p^{25} T^{15} + 440397336 p^{30} T^{16} - 537492 p^{36} T^{17} - 39569 p^{40} T^{18} + 29 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} $
	11	$ 1 + 177 T - 396232 T^{2} + 71434269 T^{3} + 104816625882 T^{4} - 33726096455301 T^{5} - 6913987980717606 T^{6} + 8552599160812456257 T^{7} - $$10\!\cdots\!51$$ T^{8} - $$50\!\cdots\!82$$ T^{9} + $$47\!\cdots\!16$$ T^{10} - $$50\!\cdots\!82$$ p^{5} T^{11} - $$10\!\cdots\!51$$ p^{10} T^{12} + 8552599160812456257 p^{15} T^{13} - 6913987980717606 p^{20} T^{14} - 33726096455301 p^{25} T^{15} + 104816625882 p^{30} T^{16} + 71434269 p^{35} T^{17} - 396232 p^{40} T^{18} + 177 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} $
	13	$ 1 + 181 T - 1012331 T^{2} + 1114014 p T^{3} + 446454243174 T^{4} - 84043375137762 T^{5} - 14806115812129521 p T^{6} - 802846347498861897 T^{7} + $$98\!\cdots\!51$$ T^{8} + $$77\!\cdots\!72$$ T^{9} - $$41\!\cdots\!24$$ T^{10} + $$77\!\cdots\!72$$ p^{5} T^{11} + $$98\!\cdots\!51$$ p^{10} T^{12} - 802846347498861897 p^{15} T^{13} - 14806115812129521 p^{21} T^{14} - 84043375137762 p^{25} T^{15} + 446454243174 p^{30} T^{16} + 1114014 p^{36} T^{17} - 1012331 p^{40} T^{18} + 181 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} $
	17	$ ( 1 - 1140 T + 4980550 T^{2} - 3443850354 T^{3} + 10068870522169 T^{4} - 5069379208548852 T^{5} + 10068870522169 p^{5} T^{6} - 3443850354 p^{10} T^{7} + 4980550 p^{15} T^{8} - 1140 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} )^{2} $
	19	$ ( 1 - 416 T + 5046258 T^{2} - 6215761044 T^{3} + 20272296121125 T^{4} - 15898268281316088 T^{5} + 20272296121125 p^{5} T^{6} - 6215761044 p^{10} T^{7} + 5046258 p^{15} T^{8} - 416 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} )^{2} $
	23	$ 1 + 399 T - 16077241 T^{2} + 38108825820 T^{3} + 155650662506976 T^{4} - 562944417983120520 T^{5} - 48522958516353490863 T^{6} + $$48\!\cdots\!51$$ T^{7} - $$71\!\cdots\!41$$ T^{8} - $$50\!\cdots\!24$$ p T^{9} + $$81\!\cdots\!80$$ T^{10} - $$50\!\cdots\!24$$ p^{6} T^{11} - $$71\!\cdots\!41$$ p^{10} T^{12} + $$48\!\cdots\!51$$ p^{15} T^{13} - 48522958516353490863 p^{20} T^{14} - 562944417983120520 p^{25} T^{15} + 155650662506976 p^{30} T^{16} + 38108825820 p^{35} T^{17} - 16077241 p^{40} T^{18} + 399 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} $
	29	$ 1 + 6033 T + 3652157 T^{2} + 31641196734 T^{3} + 283528398607854 T^{4} + 668469168127712358 T^{5} + $$64\!\cdots\!39$$ T^{6} + $$82\!\cdots\!55$$ T^{7} - $$90\!\cdots\!17$$ T^{8} + $$14\!\cdots\!60$$ T^{9} + $$58\!\cdots\!16$$ T^{10} + $$14\!\cdots\!60$$ p^{5} T^{11} - $$90\!\cdots\!17$$ p^{10} T^{12} + $$82\!\cdots\!55$$ p^{15} T^{13} + $$64\!\cdots\!39$$ p^{20} T^{14} + 668469168127712358 p^{25} T^{15} + 283528398607854 p^{30} T^{16} + 31641196734 p^{35} T^{17} + 3652157 p^{40} T^{18} + 6033 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} $
	31	$ 1 + 89 p T - 54902477 T^{2} + 189444651072 T^{3} + 2052158291804100 T^{4} - 13274031992302596720 T^{5} - $$32\!\cdots\!47$$ T^{6} + $$42\!\cdots\!39$$ T^{7} - $$13\!\cdots\!49$$ T^{8} - $$36\!\cdots\!48$$ T^{9} + $$63\!\cdots\!24$$ T^{10} - $$36\!\cdots\!48$$ p^{5} T^{11} - $$13\!\cdots\!49$$ p^{10} T^{12} + $$42\!\cdots\!39$$ p^{15} T^{13} - $$32\!\cdots\!47$$ p^{20} T^{14} - 13274031992302596720 p^{25} T^{15} + 2052158291804100 p^{30} T^{16} + 189444651072 p^{35} T^{17} - 54902477 p^{40} T^{18} + 89 p^{46} T^{19} + p^{50} T^{20} $
	37	$ ( 1 + 7586 T + 201201093 T^{2} + 803146672896 T^{3} + 19241810738464926 T^{4} + 60351714230064941916 T^{5} + 19241810738464926 p^{5} T^{6} + 803146672896 p^{10} T^{7} + 201201093 p^{15} T^{8} + 7586 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} )^{2} $
	41	$ 1 + 18435 T - 117679042 T^{2} - 4344492069675 T^{3} - 505249106564622 T^{4} + $$52\!\cdots\!97$$ T^{5} + $$16\!\cdots\!40$$ T^{6} - $$39\!\cdots\!43$$ T^{7} - $$76\!\cdots\!83$$ p T^{8} + $$10\!\cdots\!42$$ T^{9} + $$29\!\cdots\!40$$ T^{10} + $$10\!\cdots\!42$$ p^{5} T^{11} - $$76\!\cdots\!83$$ p^{11} T^{12} - $$39\!\cdots\!43$$ p^{15} T^{13} + $$16\!\cdots\!40$$ p^{20} T^{14} + $$52\!\cdots\!97$$ p^{25} T^{15} - 505249106564622 p^{30} T^{16} - 4344492069675 p^{35} T^{17} - 117679042 p^{40} T^{18} + 18435 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} $
	43	$ 1 + 1469 T - 271863536 T^{2} - 4016430594327 T^{3} + 12129147672135834 T^{4} + $$75\!\cdots\!27$$ T^{5} + $$55\!\cdots\!62$$ T^{6} + $$12\!\cdots\!57$$ T^{7} - $$29\!\cdots\!39$$ T^{8} - $$61\!\cdots\!62$$ T^{9} - $$11\!\cdots\!84$$ T^{10} - $$61\!\cdots\!62$$ p^{5} T^{11} - $$29\!\cdots\!39$$ p^{10} T^{12} + $$12\!\cdots\!57$$ p^{15} T^{13} + $$55\!\cdots\!62$$ p^{20} T^{14} + $$75\!\cdots\!27$$ p^{25} T^{15} + 12129147672135834 p^{30} T^{16} - 4016430594327 p^{35} T^{17} - 271863536 p^{40} T^{18} + 1469 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} $
	47	$ 1 - 25155 T - 401246233 T^{2} + 14349179861244 T^{3} + 97557609874842960 T^{4} - $$41\!\cdots\!12$$ T^{5} - $$25\!\cdots\!27$$ T^{6} + $$55\!\cdots\!85$$ T^{7} + $$12\!\cdots\!11$$ T^{8} - $$42\!\cdots\!56$$ T^{9} - $$37\!\cdots\!60$$ T^{10} - $$42\!\cdots\!56$$ p^{5} T^{11} + $$12\!\cdots\!11$$ p^{10} T^{12} + $$55\!\cdots\!85$$ p^{15} T^{13} - $$25\!\cdots\!27$$ p^{20} T^{14} - $$41\!\cdots\!12$$ p^{25} T^{15} + 97557609874842960 p^{30} T^{16} + 14349179861244 p^{35} T^{17} - 401246233 p^{40} T^{18} - 25155 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} $
	53	$ ( 1 - 58422 T + 3354568213 T^{2} - 110313236959296 T^{3} + 3390725554692289246 T^{4} - $$71\!\cdots\!28$$ T^{5} + 3390725554692289246 p^{5} T^{6} - 110313236959296 p^{10} T^{7} + 3354568213 p^{15} T^{8} - 58422 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} )^{2} $
	59	$ 1 - 90537 T + 2831117840 T^{2} - 13805150996349 T^{3} - 966660594685472478 T^{4} + $$10\!\cdots\!09$$ T^{5} + $$69\!\cdots\!78$$ T^{6} - $$67\!\cdots\!27$$ p T^{7} + $$84\!\cdots\!01$$ T^{8} + $$17\!\cdots\!74$$ T^{9} - $$12\!\cdots\!20$$ T^{10} + $$17\!\cdots\!74$$ p^{5} T^{11} + $$84\!\cdots\!01$$ p^{10} T^{12} - $$67\!\cdots\!27$$ p^{16} T^{13} + $$69\!\cdots\!78$$ p^{20} T^{14} + $$10\!\cdots\!09$$ p^{25} T^{15} - 966660594685472478 p^{30} T^{16} - 13805150996349 p^{35} T^{17} + 2831117840 p^{40} T^{18} - 90537 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} $
	61	$ 1 - 23 p T - 3536905883 T^{2} - 452840008146 T^{3} + 7065863261737144698 T^{4} + $$54\!\cdots\!90$$ T^{5} - $$10\!\cdots\!33$$ T^{6} - $$70\!\cdots\!89$$ T^{7} + $$11\!\cdots\!67$$ T^{8} + $$32\!\cdots\!04$$ T^{9} - $$10\!\cdots\!12$$ T^{10} + $$32\!\cdots\!04$$ p^{5} T^{11} + $$11\!\cdots\!67$$ p^{10} T^{12} - $$70\!\cdots\!89$$ p^{15} T^{13} - $$10\!\cdots\!33$$ p^{20} T^{14} + $$54\!\cdots\!90$$ p^{25} T^{15} + 7065863261737144698 p^{30} T^{16} - 452840008146 p^{35} T^{17} - 3536905883 p^{40} T^{18} - 23 p^{46} T^{19} + p^{50} T^{20} $
	67	$ 1 + 13907 T - 3876685544 T^{2} + 77425491657903 T^{3} + 10014688417385231130 T^{4} - $$30\!\cdots\!39$$ T^{5} - $$79\!\cdots\!54$$ T^{6} + $$69\!\cdots\!51$$ T^{7} - $$33\!\cdots\!67$$ T^{8} - $$37\!\cdots\!46$$ T^{9} + $$22\!\cdots\!76$$ T^{10} - $$37\!\cdots\!46$$ p^{5} T^{11} - $$33\!\cdots\!67$$ p^{10} T^{12} + $$69\!\cdots\!51$$ p^{15} T^{13} - $$79\!\cdots\!54$$ p^{20} T^{14} - $$30\!\cdots\!39$$ p^{25} T^{15} + 10014688417385231130 p^{30} T^{16} + 77425491657903 p^{35} T^{17} - 3876685544 p^{40} T^{18} + 13907 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} $
	71	$ ( 1 + 114684 T + 7758380659 T^{2} + 426246123888336 T^{3} + 19260501229393543450 T^{4} + $$77\!\cdots\!40$$ T^{5} + 19260501229393543450 p^{5} T^{6} + 426246123888336 p^{10} T^{7} + 7758380659 p^{15} T^{8} + 114684 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} )^{2} $
	73	$ ( 1 - 7600 T + 3606834246 T^{2} - 31056473559714 T^{3} + 12288417972789256281 T^{4} - $$80\!\cdots\!84$$ T^{5} + 12288417972789256281 p^{5} T^{6} - 31056473559714 p^{10} T^{7} + 3606834246 p^{15} T^{8} - 7600 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} )^{2} $
	79	$ 1 + 29993 T - 5352351629 T^{2} + 358913063028768 T^{3} + 26234825811851125236 T^{4} - $$21\!\cdots\!52$$ T^{5} + $$27\!\cdots\!85$$ T^{6} + $$84\!\cdots\!45$$ T^{7} - $$35\!\cdots\!45$$ T^{8} - $$81\!\cdots\!80$$ T^{9} + $$16\!\cdots\!00$$ T^{10} - $$81\!\cdots\!80$$ p^{5} T^{11} - $$35\!\cdots\!45$$ p^{10} T^{12} + $$84\!\cdots\!45$$ p^{15} T^{13} + $$27\!\cdots\!85$$ p^{20} T^{14} - $$21\!\cdots\!52$$ p^{25} T^{15} + 26234825811851125236 p^{30} T^{16} + 358913063028768 p^{35} T^{17} - 5352351629 p^{40} T^{18} + 29993 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} $
	83	$ 1 - 228951 T + 21403431983 T^{2} - 1202282302650156 T^{3} + 62567029919071222368 T^{4} - $$36\!\cdots\!68$$ T^{5} + $$11\!\cdots\!01$$ T^{6} + $$11\!\cdots\!41$$ T^{7} - $$18\!\cdots\!73$$ T^{8} + $$14\!\cdots\!84$$ T^{9} - $$88\!\cdots\!72$$ T^{10} + $$14\!\cdots\!84$$ p^{5} T^{11} - $$18\!\cdots\!73$$ p^{10} T^{12} + $$11\!\cdots\!41$$ p^{15} T^{13} + $$11\!\cdots\!01$$ p^{20} T^{14} - $$36\!\cdots\!68$$ p^{25} T^{15} + 62567029919071222368 p^{30} T^{16} - 1202282302650156 p^{35} T^{17} + 21403431983 p^{40} T^{18} - 228951 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} $
	89	$ ( 1 - 299166 T + 52616244181 T^{2} - 6660261403977288 T^{3} + $$67\!\cdots\!10$$ T^{4} - $$55\!\cdots\!64$$ T^{5} + $$67\!\cdots\!10$$ p^{5} T^{6} - 6660261403977288 p^{10} T^{7} + 52616244181 p^{15} T^{8} - 299166 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} )^{2} $
	97	$ 1 - 40541 T - 17893496138 T^{2} + 2263333692661293 T^{3} + 99710157551726941410 T^{4} - $$30\!\cdots\!95$$ T^{5} + $$10\!\cdots\!20$$ T^{6} + $$21\!\cdots\!29$$ T^{7} - $$20\!\cdots\!15$$ T^{8} - $$65\!\cdots\!06$$ T^{9} + $$19\!\cdots\!00$$ T^{10} - $$65\!\cdots\!06$$ p^{5} T^{11} - $$20\!\cdots\!15$$ p^{10} T^{12} + $$21\!\cdots\!29$$ p^{15} T^{13} + $$10\!\cdots\!20$$ p^{20} T^{14} - $$30\!\cdots\!95$$ p^{25} T^{15} + 99710157551726941410 p^{30} T^{16} + 2263333692661293 p^{35} T^{17} - 17893496138 p^{40} T^{18} - 40541 p^{45} T^{19} + p^{50} T^{20} $
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$L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{20} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}$

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−4.13620901155725905493781174870, −4.03110493849751625283095384821, −3.92221980776667836679237905255, −3.66629215002745305837316053926, −3.60936209052161201594329946847, −3.45584533247781661691158638066, −3.34473583515559701086466866646, −3.11070876428603001369726244492, −3.04636596667796510992060096348, −2.99673710971946741369304761926, −2.45685120712594370558742504567, −2.33155470659926820900888676885, −2.31879247421945912971925094683, −2.29327695348439657852659631307, −2.11220842332428610272563102206, −1.99042911986332009308469380558, −1.40304907040626907242837493107, −1.27609543811733971513064205197, −1.06925980650457739927322861201, −1.06900381581810106482476760630, −0.945023024305247521576134489162, −0.900860932988173695075717566957, −0.50802988034308700843044780301, −0.10436946407147779030751820364, −0.03213018443031007644988130060, 0.03213018443031007644988130060, 0.10436946407147779030751820364, 0.50802988034308700843044780301, 0.900860932988173695075717566957, 0.945023024305247521576134489162, 1.06900381581810106482476760630, 1.06925980650457739927322861201, 1.27609543811733971513064205197, 1.40304907040626907242837493107, 1.99042911986332009308469380558, 2.11220842332428610272563102206, 2.29327695348439657852659631307, 2.31879247421945912971925094683, 2.33155470659926820900888676885, 2.45685120712594370558742504567, 2.99673710971946741369304761926, 3.04636596667796510992060096348, 3.11070876428603001369726244492, 3.34473583515559701086466866646, 3.45584533247781661691158638066, 3.60936209052161201594329946847, 3.66629215002745305837316053926, 3.92221980776667836679237905255, 4.03110493849751625283095384821, 4.13620901155725905493781174870

Graph of the $Z$-function along the critical line

Plot not available for L-functions of degree greater than 10.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

\(L(3)\)	\(\approx\)	\(0.02621612330\)
\(L(\frac12)\)	\(\approx\)	\(0.02621612330\)
\(L(\frac{7}{2})\)		not available
\(L(1)\)		not available

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Origins

Origins of factors

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