LMFDB - L-function 16-14e8-1.1-c13e8-0-0

Dirichlet series

L(s) = 1

+ 256·2^-s + 182·3^-s + 2.45e4·4^-s + 1.79e3·5^-s + 4.65e4·6^-s − 2.68e5·7^-s + 3.50e6·9^-s + 4.58e5·10^-s − 8.72e6·11^-s + 4.47e6·12^-s + 1.43e6·13^-s − 6.86e7·14^-s + 3.26e5·15^-s − 2.51e8·16^-s − 7.94e6·17^-s + 8.97e8·18^-s − 2.15e8·19^-s + 4.40e7·20^-s − 4.88e7·21^-s − 2.23e9·22^-s − 6.19e7·23^-s + 1.77e9·25^-s + 3.68e8·26^-s − 2.60e8·27^-s − 6.59e9·28^-s − 6.32e9·29^-s + 8.34e7·30^-s + ⋯

L(s) = 1

+ 2.82·2^-s + 0.144·3^-s + 3·4^-s + 0.0512·5^-s + 0.407·6^-s − 0.862·7^-s + 2.19·9^-s + 0.145·10^-s − 1.48·11^-s + 0.432·12^-s + 0.0826·13^-s − 2.43·14^-s + 0.00739·15^-s − 3.75·16^-s − 0.0798·17^-s + 6.21·18^-s − 1.05·19^-s + 0.153·20^-s − 0.124·21^-s − 4.20·22^-s − 0.0872·23^-s + 1.45·25^-s + 0.233·26^-s − 0.129·27^-s − 2.58·28^-s − 1.97·29^-s + 0.0209·30^-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{8} \cdot 7^{8}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{8} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(14-s)\end{aligned}\]

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{8} \cdot 7^{8}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+13/2)^{8} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]

Invariants

Degree:	$16$
Conductor:	$2^{8} \cdot 7^{8}$
Sign:	$1$
Analytic conductor:	$2.57979\times 10^{9}$
Root analytic conductor:	$3.87457$
Motivic weight:	$13$
Rational:	yes
Arithmetic:	yes
Character:	Trivial
Primitive:	no
Self-dual:	yes
Analytic rank:	$0$
Selberg data:	$(16,\ 2^{8} \cdot 7^{8} ,\ ( \ : [13/2]^{8} ),\ 1 )$

Particular Values

$L(7)$	$\approx$	$0.2344700904$
$L(\frac12)$	$\approx$	$0.2344700904$
$L(\frac{15}{2})$		not available
$L(1)$		not available

Euler product

$L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} $

	$p$	$F_p(T)$
bad	2	$ ( 1 - p^{6} T + p^{12} T^{2} )^{4} $
	7	$ 1 + 38336 p T - 115258988 p^{3} T^{2} - 1173216704 p^{8} T^{3} + 5981537894 p^{14} T^{4} - 1173216704 p^{21} T^{5} - 115258988 p^{29} T^{6} + 38336 p^{40} T^{7} + p^{52} T^{8} $
good	3	$ 1 - 182 T - 3472004 T^{2} + 510005888 p T^{3} + 610111576351 p^{2} T^{4} - 38594331621020 p^{4} T^{5} - 6098702794604744 p^{6} T^{6} + 132316912065600514 p^{9} T^{7} + 7966403831993958904 p^{12} T^{8} + 132316912065600514 p^{22} T^{9} - 6098702794604744 p^{32} T^{10} - 38594331621020 p^{43} T^{11} + 610111576351 p^{54} T^{12} + 510005888 p^{66} T^{13} - 3472004 p^{78} T^{14} - 182 p^{91} T^{15} + p^{104} T^{16} $
	5	$ 1 - 1792 T - 1775878222 T^{2} + 184747900060528 T^{3} + 2296434795996497581 T^{4} - $$55\!\cdots\!84$$ p T^{5} + $$50\!\cdots\!26$$ p^{2} T^{6} + $$53\!\cdots\!12$$ p^{4} T^{7} - $$11\!\cdots\!96$$ p^{6} T^{8} + $$53\!\cdots\!12$$ p^{17} T^{9} + $$50\!\cdots\!26$$ p^{28} T^{10} - $$55\!\cdots\!84$$ p^{40} T^{11} + 2296434795996497581 p^{52} T^{12} + 184747900060528 p^{65} T^{13} - 1775878222 p^{78} T^{14} - 1792 p^{91} T^{15} + p^{104} T^{16} $
	11	$ 1 + 8726914 T - 25911547427740 T^{2} - 67039793147424510224 p T^{3} - $$11\!\cdots\!25$$ p^{2} T^{4} + $$22\!\cdots\!28$$ p^{3} T^{5} + $$12\!\cdots\!92$$ p^{4} T^{6} - $$31\!\cdots\!90$$ p^{5} T^{7} - $$47\!\cdots\!56$$ p^{6} T^{8} - $$31\!\cdots\!90$$ p^{18} T^{9} + $$12\!\cdots\!92$$ p^{30} T^{10} + $$22\!\cdots\!28$$ p^{42} T^{11} - $$11\!\cdots\!25$$ p^{54} T^{12} - 67039793147424510224 p^{66} T^{13} - 25911547427740 p^{78} T^{14} + 8726914 p^{91} T^{15} + p^{104} T^{16} $
	13	$ ( 1 - 719208 T + 661703400953692 T^{2} - $$30\!\cdots\!92$$ T^{3} + $$24\!\cdots\!34$$ T^{4} - $$30\!\cdots\!92$$ p^{13} T^{5} + 661703400953692 p^{26} T^{6} - 719208 p^{39} T^{7} + p^{52} T^{8} )^{2} $
	17	$ 1 + 7943068 T - 12420153001480906 T^{2} + $$15\!\cdots\!36$$ T^{3} + $$32\!\cdots\!53$$ T^{4} - $$18\!\cdots\!12$$ T^{5} + $$14\!\cdots\!82$$ T^{6} + $$10\!\cdots\!96$$ T^{7} - $$13\!\cdots\!44$$ T^{8} + $$10\!\cdots\!96$$ p^{13} T^{9} + $$14\!\cdots\!82$$ p^{26} T^{10} - $$18\!\cdots\!12$$ p^{39} T^{11} + $$32\!\cdots\!53$$ p^{52} T^{12} + $$15\!\cdots\!36$$ p^{65} T^{13} - 12420153001480906 p^{78} T^{14} + 7943068 p^{91} T^{15} + p^{104} T^{16} $
	19	$ 1 + 215706806 T - 83649252740873580 T^{2} - $$64\!\cdots\!84$$ T^{3} + $$61\!\cdots\!95$$ T^{4} - $$73\!\cdots\!52$$ T^{5} - $$31\!\cdots\!04$$ T^{6} - $$14\!\cdots\!30$$ T^{7} + $$11\!\cdots\!32$$ T^{8} - $$14\!\cdots\!30$$ p^{13} T^{9} - $$31\!\cdots\!04$$ p^{26} T^{10} - $$73\!\cdots\!52$$ p^{39} T^{11} + $$61\!\cdots\!95$$ p^{52} T^{12} - $$64\!\cdots\!84$$ p^{65} T^{13} - 83649252740873580 p^{78} T^{14} + 215706806 p^{91} T^{15} + p^{104} T^{16} $
	23	$ 1 + 61927978 T - 1190855939592873856 T^{2} + $$30\!\cdots\!76$$ T^{3} + $$72\!\cdots\!19$$ T^{4} - $$28\!\cdots\!84$$ T^{5} - $$22\!\cdots\!24$$ T^{6} + $$84\!\cdots\!66$$ T^{7} + $$67\!\cdots\!48$$ T^{8} + $$84\!\cdots\!66$$ p^{13} T^{9} - $$22\!\cdots\!24$$ p^{26} T^{10} - $$28\!\cdots\!84$$ p^{39} T^{11} + $$72\!\cdots\!19$$ p^{52} T^{12} + $$30\!\cdots\!76$$ p^{65} T^{13} - 1190855939592873856 p^{78} T^{14} + 61927978 p^{91} T^{15} + p^{104} T^{16} $
	29	$ ( 1 + 3162923032 T + 22916063388720489116 T^{2} + $$10\!\cdots\!52$$ T^{3} + $$16\!\cdots\!10$$ T^{4} + $$10\!\cdots\!52$$ p^{13} T^{5} + 22916063388720489116 p^{26} T^{6} + 3162923032 p^{39} T^{7} + p^{52} T^{8} )^{2} $
	31	$ 1 - 6113775570 T - 34184846727810893416 T^{2} - $$15\!\cdots\!56$$ T^{3} + $$19\!\cdots\!11$$ T^{4} + $$31\!\cdots\!76$$ T^{5} - $$38\!\cdots\!04$$ T^{6} - $$15\!\cdots\!66$$ T^{7} + $$24\!\cdots\!44$$ T^{8} - $$15\!\cdots\!66$$ p^{13} T^{9} - $$38\!\cdots\!04$$ p^{26} T^{10} + $$31\!\cdots\!76$$ p^{39} T^{11} + $$19\!\cdots\!11$$ p^{52} T^{12} - $$15\!\cdots\!56$$ p^{65} T^{13} - 34184846727810893416 p^{78} T^{14} - 6113775570 p^{91} T^{15} + p^{104} T^{16} $
	37	$ 1 + 3945652880 T - $$35\!\cdots\!22$$ T^{2} - $$75\!\cdots\!84$$ T^{3} + $$29\!\cdots\!37$$ T^{4} + $$20\!\cdots\!48$$ T^{5} + $$26\!\cdots\!46$$ T^{6} - $$26\!\cdots\!52$$ T^{7} - $$78\!\cdots\!16$$ T^{8} - $$26\!\cdots\!52$$ p^{13} T^{9} + $$26\!\cdots\!46$$ p^{26} T^{10} + $$20\!\cdots\!48$$ p^{39} T^{11} + $$29\!\cdots\!37$$ p^{52} T^{12} - $$75\!\cdots\!84$$ p^{65} T^{13} - $$35\!\cdots\!22$$ p^{78} T^{14} + 3945652880 p^{91} T^{15} + p^{104} T^{16} $
	41	$ ( 1 - 43189289976 T + $$25\!\cdots\!84$$ T^{2} - $$40\!\cdots\!84$$ T^{3} + $$19\!\cdots\!30$$ T^{4} - $$40\!\cdots\!84$$ p^{13} T^{5} + $$25\!\cdots\!84$$ p^{26} T^{6} - 43189289976 p^{39} T^{7} + p^{52} T^{8} )^{2} $
	43	$ ( 1 + 54537062128 T + $$53\!\cdots\!52$$ T^{2} + $$27\!\cdots\!32$$ T^{3} + $$12\!\cdots\!74$$ T^{4} + $$27\!\cdots\!32$$ p^{13} T^{5} + $$53\!\cdots\!52$$ p^{26} T^{6} + 54537062128 p^{39} T^{7} + p^{52} T^{8} )^{2} $
	47	$ 1 + 3141202722 T - $$99\!\cdots\!08$$ T^{2} + $$96\!\cdots\!24$$ T^{3} + $$56\!\cdots\!43$$ T^{4} - $$74\!\cdots\!24$$ T^{5} + $$37\!\cdots\!04$$ T^{6} + $$31\!\cdots\!22$$ T^{7} - $$30\!\cdots\!12$$ T^{8} + $$31\!\cdots\!22$$ p^{13} T^{9} + $$37\!\cdots\!04$$ p^{26} T^{10} - $$74\!\cdots\!24$$ p^{39} T^{11} + $$56\!\cdots\!43$$ p^{52} T^{12} + $$96\!\cdots\!24$$ p^{65} T^{13} - $$99\!\cdots\!08$$ p^{78} T^{14} + 3141202722 p^{91} T^{15} + p^{104} T^{16} $
	53	$ 1 - 149625680376 T - $$32\!\cdots\!14$$ T^{2} + $$30\!\cdots\!72$$ T^{3} + $$35\!\cdots\!73$$ T^{4} + $$83\!\cdots\!64$$ T^{5} - $$14\!\cdots\!22$$ T^{6} - $$22\!\cdots\!88$$ T^{7} + $$70\!\cdots\!56$$ T^{8} - $$22\!\cdots\!88$$ p^{13} T^{9} - $$14\!\cdots\!22$$ p^{26} T^{10} + $$83\!\cdots\!64$$ p^{39} T^{11} + $$35\!\cdots\!73$$ p^{52} T^{12} + $$30\!\cdots\!72$$ p^{65} T^{13} - $$32\!\cdots\!14$$ p^{78} T^{14} - 149625680376 p^{91} T^{15} + p^{104} T^{16} $
	59	$ 1 + 866297313938 T + $$26\!\cdots\!16$$ T^{2} + $$32\!\cdots\!72$$ T^{3} - $$16\!\cdots\!01$$ T^{4} - $$55\!\cdots\!40$$ T^{5} - $$29\!\cdots\!16$$ T^{6} - $$69\!\cdots\!46$$ T^{7} - $$13\!\cdots\!88$$ T^{8} - $$69\!\cdots\!46$$ p^{13} T^{9} - $$29\!\cdots\!16$$ p^{26} T^{10} - $$55\!\cdots\!40$$ p^{39} T^{11} - $$16\!\cdots\!01$$ p^{52} T^{12} + $$32\!\cdots\!72$$ p^{65} T^{13} + $$26\!\cdots\!16$$ p^{78} T^{14} + 866297313938 p^{91} T^{15} + p^{104} T^{16} $
	61	$ 1 + 477908594184 T - $$49\!\cdots\!54$$ T^{2} - $$12\!\cdots\!32$$ T^{3} + $$22\!\cdots\!57$$ T^{4} + $$35\!\cdots\!84$$ T^{5} - $$56\!\cdots\!18$$ T^{6} - $$12\!\cdots\!52$$ T^{7} + $$11\!\cdots\!56$$ T^{8} - $$12\!\cdots\!52$$ p^{13} T^{9} - $$56\!\cdots\!18$$ p^{26} T^{10} + $$35\!\cdots\!84$$ p^{39} T^{11} + $$22\!\cdots\!57$$ p^{52} T^{12} - $$12\!\cdots\!32$$ p^{65} T^{13} - $$49\!\cdots\!54$$ p^{78} T^{14} + 477908594184 p^{91} T^{15} + p^{104} T^{16} $
	67	$ 1 - 1895501016278 T + $$16\!\cdots\!44$$ T^{2} + $$36\!\cdots\!92$$ T^{3} + $$20\!\cdots\!99$$ T^{4} - $$15\!\cdots\!64$$ T^{5} - $$63\!\cdots\!80$$ T^{6} - $$28\!\cdots\!02$$ T^{7} + $$12\!\cdots\!00$$ T^{8} - $$28\!\cdots\!02$$ p^{13} T^{9} - $$63\!\cdots\!80$$ p^{26} T^{10} - $$15\!\cdots\!64$$ p^{39} T^{11} + $$20\!\cdots\!99$$ p^{52} T^{12} + $$36\!\cdots\!92$$ p^{65} T^{13} + $$16\!\cdots\!44$$ p^{78} T^{14} - 1895501016278 p^{91} T^{15} + p^{104} T^{16} $
	71	$ ( 1 - 319416336064 T + $$11\!\cdots\!92$$ T^{2} + $$18\!\cdots\!52$$ T^{3} + $$28\!\cdots\!78$$ p T^{4} + $$18\!\cdots\!52$$ p^{13} T^{5} + $$11\!\cdots\!92$$ p^{26} T^{6} - 319416336064 p^{39} T^{7} + p^{52} T^{8} )^{2} $
	73	$ 1 + 2966596192756 T - $$63\!\cdots\!50$$ T^{2} - $$36\!\cdots\!60$$ T^{3} + $$16\!\cdots\!25$$ T^{4} + $$21\!\cdots\!56$$ T^{5} - $$21\!\cdots\!70$$ T^{6} + $$68\!\cdots\!04$$ p T^{7} + $$16\!\cdots\!24$$ p^{2} T^{8} + $$68\!\cdots\!04$$ p^{14} T^{9} - $$21\!\cdots\!70$$ p^{26} T^{10} + $$21\!\cdots\!56$$ p^{39} T^{11} + $$16\!\cdots\!25$$ p^{52} T^{12} - $$36\!\cdots\!60$$ p^{65} T^{13} - $$63\!\cdots\!50$$ p^{78} T^{14} + 2966596192756 p^{91} T^{15} + p^{104} T^{16} $
	79	$ 1 + 6505959677634 T + $$10\!\cdots\!40$$ T^{2} + $$11\!\cdots\!68$$ T^{3} + $$13\!\cdots\!83$$ T^{4} + $$31\!\cdots\!32$$ T^{5} - $$17\!\cdots\!68$$ T^{6} + $$60\!\cdots\!74$$ T^{7} + $$43\!\cdots\!56$$ T^{8} + $$60\!\cdots\!74$$ p^{13} T^{9} - $$17\!\cdots\!68$$ p^{26} T^{10} + $$31\!\cdots\!32$$ p^{39} T^{11} + $$13\!\cdots\!83$$ p^{52} T^{12} + $$11\!\cdots\!68$$ p^{65} T^{13} + $$10\!\cdots\!40$$ p^{78} T^{14} + 6505959677634 p^{91} T^{15} + p^{104} T^{16} $
	83	$ ( 1 + 1689908567984 T + $$20\!\cdots\!40$$ T^{2} + $$40\!\cdots\!32$$ T^{3} + $$20\!\cdots\!38$$ T^{4} + $$40\!\cdots\!32$$ p^{13} T^{5} + $$20\!\cdots\!40$$ p^{26} T^{6} + 1689908567984 p^{39} T^{7} + p^{52} T^{8} )^{2} $
	89	$ 1 - 9586601667468 T - $$11\!\cdots\!14$$ T^{2} + $$13\!\cdots\!04$$ T^{3} + $$18\!\cdots\!49$$ T^{4} - $$53\!\cdots\!00$$ T^{5} - $$54\!\cdots\!90$$ T^{6} + $$55\!\cdots\!68$$ T^{7} + $$12\!\cdots\!52$$ T^{8} + $$55\!\cdots\!68$$ p^{13} T^{9} - $$54\!\cdots\!90$$ p^{26} T^{10} - $$53\!\cdots\!00$$ p^{39} T^{11} + $$18\!\cdots\!49$$ p^{52} T^{12} + $$13\!\cdots\!04$$ p^{65} T^{13} - $$11\!\cdots\!14$$ p^{78} T^{14} - 9586601667468 p^{91} T^{15} + p^{104} T^{16} $
	97	$ ( 1 + 22280367655784 T + $$39\!\cdots\!28$$ T^{2} + $$43\!\cdots\!36$$ T^{3} + $$42\!\cdots\!74$$ T^{4} + $$43\!\cdots\!36$$ p^{13} T^{5} + $$39\!\cdots\!28$$ p^{26} T^{6} + 22280367655784 p^{39} T^{7} + p^{52} T^{8} )^{2} $
show more
show less

$L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{16} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}$

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−6.36765821679055246556175587690, −5.98511076326541554076456885122, −5.91651713318611611728478057526, −5.66307475700102631451840109785, −5.65867954484030400555419836781, −5.03146044966849350581870089078, −4.73934187318295763589757543889, −4.73571821817269864954902540026, −4.60824578979732840832767291432, −4.49316695987840878654794507909, −4.12014752295418179011544794237, −3.65368761205294173122189503424, −3.63402336398901053449189313561, −3.55525541228603105073194405151, −3.16670027599768625710971812208, −2.82379028073472069892657516563, −2.54738380356064688896284778271, −2.43208766918718112815508495584, −2.10765151307443108673067106960, −1.61242001388358858830932104211, −1.54506551789164061948829893906, −1.03825390696610814602550554896, −0.792605522114908835596061840747, −0.38537465632742703949773636713, −0.02927334630808015149752848512, 0.02927334630808015149752848512, 0.38537465632742703949773636713, 0.792605522114908835596061840747, 1.03825390696610814602550554896, 1.54506551789164061948829893906, 1.61242001388358858830932104211, 2.10765151307443108673067106960, 2.43208766918718112815508495584, 2.54738380356064688896284778271, 2.82379028073472069892657516563, 3.16670027599768625710971812208, 3.55525541228603105073194405151, 3.63402336398901053449189313561, 3.65368761205294173122189503424, 4.12014752295418179011544794237, 4.49316695987840878654794507909, 4.60824578979732840832767291432, 4.73571821817269864954902540026, 4.73934187318295763589757543889, 5.03146044966849350581870089078, 5.65867954484030400555419836781, 5.66307475700102631451840109785, 5.91651713318611611728478057526, 5.98511076326541554076456885122, 6.36765821679055246556175587690

Graph of the $Z$-function along the critical line

Plot not available for L-functions of degree greater than 10.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

\(L(7)\)	\(\approx\)	\(0.2344700904\)
\(L(\frac12)\)	\(\approx\)	\(0.2344700904\)
\(L(\frac{15}{2})\)		not available
\(L(1)\)		not available

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Origins

Origins of factors

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