Properties

Degree $56$
Conductor $1.004\times 10^{59}$
Sign $1$
Motivic weight $2$
Primitive no
Self-dual yes
Analytic rank $0$

Origins

Origins of factors

Downloads

Learn more about

Normalization:  

Dirichlet series

L(s)  = 1  + 4·3-s − 4·5-s + 4·7-s + 6·9-s + 4·11-s − 4·13-s − 16·15-s + 4·19-s + 16·21-s + 68·23-s + 6·25-s + 36·27-s − 4·29-s + 16·33-s − 16·35-s − 4·37-s − 16·39-s − 4·41-s − 92·43-s − 24·45-s + 8·47-s + 8·49-s − 164·53-s − 16·55-s + 16·57-s − 124·59-s − 68·61-s + ⋯
L(s)  = 1  + 4/3·3-s − 4/5·5-s + 4/7·7-s + 2/3·9-s + 4/11·11-s − 0.307·13-s − 1.06·15-s + 4/19·19-s + 0.761·21-s + 2.95·23-s + 6/25·25-s + 4/3·27-s − 0.137·29-s + 0.484·33-s − 0.457·35-s − 0.108·37-s − 0.410·39-s − 0.0975·41-s − 2.13·43-s − 0.533·45-s + 8/47·47-s + 8/49·49-s − 3.09·53-s − 0.290·55-s + 0.280·57-s − 2.10·59-s − 1.11·61-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{196}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{28} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(3-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{196}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1)^{28} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]

Invariants

Degree: \(56\)
Conductor: \(2^{196}\)
Sign: $1$
Motivic weight: \(2\)
Character: induced by $\chi_{128} (1, \cdot )$
Primitive: no
Self-dual: yes
Analytic rank: \(0\)
Selberg data: \((56,\ 2^{196} ,\ ( \ : [1]^{28} ),\ 1 )\)

Particular Values

\(L(\frac{3}{2})\) \(\approx\) \(1.20538\)
\(L(\frac12)\) \(\approx\) \(1.20538\)
\(L(2)\) not available
\(L(1)\) not available

Euler product

   \(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
$p$$F_p(T)$
bad2 \( 1 \)
good3 \( 1 - 4 T + 10 T^{2} - 52 T^{3} + 2 p^{4} T^{4} - 52 T^{5} - 662 T^{6} + 1364 p T^{7} - 26245 T^{8} + 104504 T^{9} - 26332 p^{2} T^{10} + 389912 T^{11} - 302092 T^{12} - 1820216 p T^{13} + 11800108 p T^{14} - 116049416 T^{15} + 341895529 T^{16} - 834464092 T^{17} + 845214806 T^{18} + 4596163348 T^{19} - 9906234710 p T^{20} + 38972759708 p T^{21} - 390403683722 T^{22} + 1007116990948 T^{23} - 1306714409509 T^{24} - 1366587470960 T^{25} + 17418041503544 T^{26} - 92007761930032 T^{27} + 332896726659032 T^{28} - 92007761930032 p^{2} T^{29} + 17418041503544 p^{4} T^{30} - 1366587470960 p^{6} T^{31} - 1306714409509 p^{8} T^{32} + 1007116990948 p^{10} T^{33} - 390403683722 p^{12} T^{34} + 38972759708 p^{15} T^{35} - 9906234710 p^{17} T^{36} + 4596163348 p^{18} T^{37} + 845214806 p^{20} T^{38} - 834464092 p^{22} T^{39} + 341895529 p^{24} T^{40} - 116049416 p^{26} T^{41} + 11800108 p^{29} T^{42} - 1820216 p^{31} T^{43} - 302092 p^{32} T^{44} + 389912 p^{34} T^{45} - 26332 p^{38} T^{46} + 104504 p^{38} T^{47} - 26245 p^{40} T^{48} + 1364 p^{43} T^{49} - 662 p^{44} T^{50} - 52 p^{46} T^{51} + 2 p^{52} T^{52} - 52 p^{50} T^{53} + 10 p^{52} T^{54} - 4 p^{54} T^{55} + p^{56} T^{56} \)
5 \( 1 + 4 T + 2 p T^{2} - 12 T^{3} - 94 T^{4} + 4 p^{3} T^{5} + 938 T^{6} + 46724 T^{7} - 266469 T^{8} - 291608 p T^{9} - 5625596 T^{10} - 40645592 T^{11} - 91628364 T^{12} - 1781075096 T^{13} - 2864474684 T^{14} - 34472996024 T^{15} + 3350654897 p^{2} T^{16} + 387818789404 T^{17} + 443469243222 T^{18} + 10790165594348 T^{19} - 35916754299138 T^{20} + 462914656796332 T^{21} - 431429275333322 T^{22} + 11185946366012124 T^{23} + 32508880692810971 T^{24} + 21996555420373488 T^{25} + 794534008776349624 T^{26} - 263431193473525968 p^{2} T^{27} + 25161869921157155928 T^{28} - 263431193473525968 p^{4} T^{29} + 794534008776349624 p^{4} T^{30} + 21996555420373488 p^{6} T^{31} + 32508880692810971 p^{8} T^{32} + 11185946366012124 p^{10} T^{33} - 431429275333322 p^{12} T^{34} + 462914656796332 p^{14} T^{35} - 35916754299138 p^{16} T^{36} + 10790165594348 p^{18} T^{37} + 443469243222 p^{20} T^{38} + 387818789404 p^{22} T^{39} + 3350654897 p^{26} T^{40} - 34472996024 p^{26} T^{41} - 2864474684 p^{28} T^{42} - 1781075096 p^{30} T^{43} - 91628364 p^{32} T^{44} - 40645592 p^{34} T^{45} - 5625596 p^{36} T^{46} - 291608 p^{39} T^{47} - 266469 p^{40} T^{48} + 46724 p^{42} T^{49} + 938 p^{44} T^{50} + 4 p^{49} T^{51} - 94 p^{48} T^{52} - 12 p^{50} T^{53} + 2 p^{53} T^{54} + 4 p^{54} T^{55} + p^{56} T^{56} \)
7 \( 1 - 4 T + 8 T^{2} - 844 T^{3} + 142 p T^{4} - 3036 T^{5} + 51480 p T^{6} - 609844 T^{7} + 9676763 T^{8} - 94895352 T^{9} + 463286448 T^{10} - 4759916008 T^{11} + 15226347636 T^{12} - 225537389608 T^{13} + 189162854992 p T^{14} - 9435650886840 T^{15} - 3662352244311 T^{16} + 47964800936212 T^{17} + 657850810512296 p T^{18} + 50618705885725692 T^{19} - 5637566014622638 p T^{20} - 1249426904106242132 T^{21} - 22194382343104241224 T^{22} + 27336166747157725348 T^{23} - 7951991184565238549 p^{2} T^{24} + \)\(80\!\cdots\!24\)\( p T^{25} - \)\(30\!\cdots\!20\)\( T^{26} + \)\(28\!\cdots\!64\)\( T^{27} - \)\(10\!\cdots\!32\)\( T^{28} + \)\(28\!\cdots\!64\)\( p^{2} T^{29} - \)\(30\!\cdots\!20\)\( p^{4} T^{30} + \)\(80\!\cdots\!24\)\( p^{7} T^{31} - 7951991184565238549 p^{10} T^{32} + 27336166747157725348 p^{10} T^{33} - 22194382343104241224 p^{12} T^{34} - 1249426904106242132 p^{14} T^{35} - 5637566014622638 p^{17} T^{36} + 50618705885725692 p^{18} T^{37} + 657850810512296 p^{21} T^{38} + 47964800936212 p^{22} T^{39} - 3662352244311 p^{24} T^{40} - 9435650886840 p^{26} T^{41} + 189162854992 p^{29} T^{42} - 225537389608 p^{30} T^{43} + 15226347636 p^{32} T^{44} - 4759916008 p^{34} T^{45} + 463286448 p^{36} T^{46} - 94895352 p^{38} T^{47} + 9676763 p^{40} T^{48} - 609844 p^{42} T^{49} + 51480 p^{45} T^{50} - 3036 p^{46} T^{51} + 142 p^{49} T^{52} - 844 p^{50} T^{53} + 8 p^{52} T^{54} - 4 p^{54} T^{55} + p^{56} T^{56} \)
11 \( 1 - 4 T + 106 T^{2} + 524 T^{3} + 1890 T^{4} - 56500 T^{5} - 2477430 T^{6} + 2831804 T^{7} - 485405765 T^{8} - 121330008 p T^{9} - 16124678396 T^{10} - 351621465192 T^{11} + 4810836128884 T^{12} - 1122713383928 p T^{13} + 41655264441036 p T^{14} + 6365499089805432 T^{15} + 28186548831723497 T^{16} + 902427850069482916 T^{17} - 1679784019800395530 T^{18} + 88242810381789933268 T^{19} - 19072453056229186694 p T^{20} - \)\(77\!\cdots\!72\)\( T^{21} + \)\(18\!\cdots\!86\)\( T^{22} - \)\(22\!\cdots\!04\)\( T^{23} + \)\(55\!\cdots\!39\)\( T^{24} + \)\(43\!\cdots\!12\)\( T^{25} - \)\(20\!\cdots\!80\)\( T^{26} + \)\(11\!\cdots\!52\)\( T^{27} - \)\(39\!\cdots\!56\)\( T^{28} + \)\(11\!\cdots\!52\)\( p^{2} T^{29} - \)\(20\!\cdots\!80\)\( p^{4} T^{30} + \)\(43\!\cdots\!12\)\( p^{6} T^{31} + \)\(55\!\cdots\!39\)\( p^{8} T^{32} - \)\(22\!\cdots\!04\)\( p^{10} T^{33} + \)\(18\!\cdots\!86\)\( p^{12} T^{34} - \)\(77\!\cdots\!72\)\( p^{14} T^{35} - 19072453056229186694 p^{17} T^{36} + 88242810381789933268 p^{18} T^{37} - 1679784019800395530 p^{20} T^{38} + 902427850069482916 p^{22} T^{39} + 28186548831723497 p^{24} T^{40} + 6365499089805432 p^{26} T^{41} + 41655264441036 p^{29} T^{42} - 1122713383928 p^{31} T^{43} + 4810836128884 p^{32} T^{44} - 351621465192 p^{34} T^{45} - 16124678396 p^{36} T^{46} - 121330008 p^{39} T^{47} - 485405765 p^{40} T^{48} + 2831804 p^{42} T^{49} - 2477430 p^{44} T^{50} - 56500 p^{46} T^{51} + 1890 p^{48} T^{52} + 524 p^{50} T^{53} + 106 p^{52} T^{54} - 4 p^{54} T^{55} + p^{56} T^{56} \)
13 \( 1 + 4 T + 10 T^{2} + 2740 T^{3} + 10914 T^{4} - 202508 T^{5} - 1998102 T^{6} + 40271940 T^{7} - 438003749 T^{8} - 8261748344 T^{9} + 40947033604 T^{10} + 822539868840 T^{11} - 2104580462668 T^{12} - 154177655740312 T^{13} + 4150835490424644 T^{14} + 35615346534284744 T^{15} + 221854271492021449 T^{16} - 413649847941221092 T^{17} + \)\(13\!\cdots\!94\)\( T^{18} + \)\(20\!\cdots\!28\)\( T^{19} - \)\(16\!\cdots\!74\)\( T^{20} + \)\(12\!\cdots\!12\)\( T^{21} + \)\(20\!\cdots\!02\)\( T^{22} - \)\(10\!\cdots\!44\)\( T^{23} - \)\(47\!\cdots\!57\)\( T^{24} + \)\(41\!\cdots\!04\)\( T^{25} + \)\(55\!\cdots\!76\)\( T^{26} - \)\(71\!\cdots\!76\)\( T^{27} + \)\(11\!\cdots\!24\)\( T^{28} - \)\(71\!\cdots\!76\)\( p^{2} T^{29} + \)\(55\!\cdots\!76\)\( p^{4} T^{30} + \)\(41\!\cdots\!04\)\( p^{6} T^{31} - \)\(47\!\cdots\!57\)\( p^{8} T^{32} - \)\(10\!\cdots\!44\)\( p^{10} T^{33} + \)\(20\!\cdots\!02\)\( p^{12} T^{34} + \)\(12\!\cdots\!12\)\( p^{14} T^{35} - \)\(16\!\cdots\!74\)\( p^{16} T^{36} + \)\(20\!\cdots\!28\)\( p^{18} T^{37} + \)\(13\!\cdots\!94\)\( p^{20} T^{38} - 413649847941221092 p^{22} T^{39} + 221854271492021449 p^{24} T^{40} + 35615346534284744 p^{26} T^{41} + 4150835490424644 p^{28} T^{42} - 154177655740312 p^{30} T^{43} - 2104580462668 p^{32} T^{44} + 822539868840 p^{34} T^{45} + 40947033604 p^{36} T^{46} - 8261748344 p^{38} T^{47} - 438003749 p^{40} T^{48} + 40271940 p^{42} T^{49} - 1998102 p^{44} T^{50} - 202508 p^{46} T^{51} + 10914 p^{48} T^{52} + 2740 p^{50} T^{53} + 10 p^{52} T^{54} + 4 p^{54} T^{55} + p^{56} T^{56} \)
17 \( 1 - 4348 T^{2} + 9363834 T^{4} - 13373503020 T^{6} + 14302771061115 T^{8} - 12253150019337000 T^{10} + 8774712741770357156 T^{12} - \)\(54\!\cdots\!84\)\( T^{14} + \)\(29\!\cdots\!37\)\( T^{16} - \)\(14\!\cdots\!40\)\( T^{18} + \)\(61\!\cdots\!90\)\( T^{20} - \)\(24\!\cdots\!44\)\( T^{22} + \)\(86\!\cdots\!75\)\( T^{24} - \)\(28\!\cdots\!16\)\( T^{26} + \)\(85\!\cdots\!96\)\( T^{28} - \)\(28\!\cdots\!16\)\( p^{4} T^{30} + \)\(86\!\cdots\!75\)\( p^{8} T^{32} - \)\(24\!\cdots\!44\)\( p^{12} T^{34} + \)\(61\!\cdots\!90\)\( p^{16} T^{36} - \)\(14\!\cdots\!40\)\( p^{20} T^{38} + \)\(29\!\cdots\!37\)\( p^{24} T^{40} - \)\(54\!\cdots\!84\)\( p^{28} T^{42} + 8774712741770357156 p^{32} T^{44} - 12253150019337000 p^{36} T^{46} + 14302771061115 p^{40} T^{48} - 13373503020 p^{44} T^{50} + 9363834 p^{48} T^{52} - 4348 p^{52} T^{54} + p^{56} T^{56} \)
19 \( 1 - 4 T + 714 T^{2} - 7412 T^{3} + 273186 T^{4} - 3452916 T^{5} - 20323542 T^{6} - 965215492 T^{7} - 89037798661 T^{8} + 785372418744 T^{9} - 51192199977916 T^{10} + 850130807216920 T^{11} - 15994445965485836 T^{12} + 431294796813599832 T^{13} + 866625201212778884 T^{14} + 91329818783853744504 T^{15} + \)\(27\!\cdots\!37\)\( T^{16} - \)\(20\!\cdots\!52\)\( p T^{17} + \)\(15\!\cdots\!66\)\( T^{18} - \)\(40\!\cdots\!84\)\( T^{19} + \)\(45\!\cdots\!34\)\( T^{20} - \)\(18\!\cdots\!68\)\( T^{21} + \)\(47\!\cdots\!50\)\( T^{22} - \)\(29\!\cdots\!08\)\( T^{23} - \)\(25\!\cdots\!57\)\( T^{24} + \)\(11\!\cdots\!76\)\( T^{25} - \)\(21\!\cdots\!36\)\( T^{26} + \)\(10\!\cdots\!20\)\( T^{27} - \)\(86\!\cdots\!48\)\( T^{28} + \)\(10\!\cdots\!20\)\( p^{2} T^{29} - \)\(21\!\cdots\!36\)\( p^{4} T^{30} + \)\(11\!\cdots\!76\)\( p^{6} T^{31} - \)\(25\!\cdots\!57\)\( p^{8} T^{32} - \)\(29\!\cdots\!08\)\( p^{10} T^{33} + \)\(47\!\cdots\!50\)\( p^{12} T^{34} - \)\(18\!\cdots\!68\)\( p^{14} T^{35} + \)\(45\!\cdots\!34\)\( p^{16} T^{36} - \)\(40\!\cdots\!84\)\( p^{18} T^{37} + \)\(15\!\cdots\!66\)\( p^{20} T^{38} - \)\(20\!\cdots\!52\)\( p^{23} T^{39} + \)\(27\!\cdots\!37\)\( p^{24} T^{40} + 91329818783853744504 p^{26} T^{41} + 866625201212778884 p^{28} T^{42} + 431294796813599832 p^{30} T^{43} - 15994445965485836 p^{32} T^{44} + 850130807216920 p^{34} T^{45} - 51192199977916 p^{36} T^{46} + 785372418744 p^{38} T^{47} - 89037798661 p^{40} T^{48} - 965215492 p^{42} T^{49} - 20323542 p^{44} T^{50} - 3452916 p^{46} T^{51} + 273186 p^{48} T^{52} - 7412 p^{50} T^{53} + 714 p^{52} T^{54} - 4 p^{54} T^{55} + p^{56} T^{56} \)
23 \( 1 - 68 T + 2312 T^{2} - 67468 T^{3} + 1818594 T^{4} - 33584540 T^{5} + 355124904 T^{6} + 6433822732 T^{7} - 673978345381 T^{8} + 23516816703880 T^{9} - 556850109584720 T^{10} + 12237631186275480 T^{11} - 160281848565966220 T^{12} - 1764229102924708008 T^{13} + \)\(14\!\cdots\!60\)\( T^{14} - \)\(57\!\cdots\!88\)\( T^{15} + \)\(16\!\cdots\!01\)\( T^{16} - \)\(29\!\cdots\!80\)\( T^{17} + \)\(35\!\cdots\!12\)\( T^{18} + \)\(10\!\cdots\!44\)\( T^{19} - \)\(34\!\cdots\!98\)\( T^{20} + \)\(56\!\cdots\!96\)\( p T^{21} - \)\(31\!\cdots\!88\)\( T^{22} + \)\(67\!\cdots\!84\)\( T^{23} - \)\(90\!\cdots\!45\)\( T^{24} - \)\(30\!\cdots\!88\)\( T^{25} + \)\(47\!\cdots\!48\)\( T^{26} - \)\(19\!\cdots\!00\)\( T^{27} + \)\(56\!\cdots\!56\)\( T^{28} - \)\(19\!\cdots\!00\)\( p^{2} T^{29} + \)\(47\!\cdots\!48\)\( p^{4} T^{30} - \)\(30\!\cdots\!88\)\( p^{6} T^{31} - \)\(90\!\cdots\!45\)\( p^{8} T^{32} + \)\(67\!\cdots\!84\)\( p^{10} T^{33} - \)\(31\!\cdots\!88\)\( p^{12} T^{34} + \)\(56\!\cdots\!96\)\( p^{15} T^{35} - \)\(34\!\cdots\!98\)\( p^{16} T^{36} + \)\(10\!\cdots\!44\)\( p^{18} T^{37} + \)\(35\!\cdots\!12\)\( p^{20} T^{38} - \)\(29\!\cdots\!80\)\( p^{22} T^{39} + \)\(16\!\cdots\!01\)\( p^{24} T^{40} - \)\(57\!\cdots\!88\)\( p^{26} T^{41} + \)\(14\!\cdots\!60\)\( p^{28} T^{42} - 1764229102924708008 p^{30} T^{43} - 160281848565966220 p^{32} T^{44} + 12237631186275480 p^{34} T^{45} - 556850109584720 p^{36} T^{46} + 23516816703880 p^{38} T^{47} - 673978345381 p^{40} T^{48} + 6433822732 p^{42} T^{49} + 355124904 p^{44} T^{50} - 33584540 p^{46} T^{51} + 1818594 p^{48} T^{52} - 67468 p^{50} T^{53} + 2312 p^{52} T^{54} - 68 p^{54} T^{55} + p^{56} T^{56} \)
29 \( 1 + 4 T + 874 T^{2} + 17204 T^{3} + 436834 T^{4} + 36632564 T^{5} + 384900810 T^{6} + 43063510980 T^{7} + 1703369788251 T^{8} + 26598683470216 T^{9} + 1992147286114756 T^{10} + 43072602208091560 T^{11} + 1562672686617477940 T^{12} + 67740241856123696232 T^{13} + \)\(13\!\cdots\!00\)\( T^{14} + \)\(72\!\cdots\!40\)\( T^{15} + \)\(17\!\cdots\!77\)\( T^{16} + \)\(51\!\cdots\!88\)\( T^{17} + \)\(21\!\cdots\!34\)\( T^{18} + \)\(51\!\cdots\!88\)\( T^{19} + \)\(18\!\cdots\!46\)\( T^{20} + \)\(57\!\cdots\!76\)\( T^{21} + \)\(16\!\cdots\!62\)\( T^{22} + \)\(56\!\cdots\!76\)\( T^{23} + \)\(14\!\cdots\!99\)\( T^{24} + \)\(45\!\cdots\!40\)\( T^{25} + \)\(14\!\cdots\!16\)\( T^{26} + \)\(36\!\cdots\!12\)\( T^{27} + \)\(12\!\cdots\!32\)\( T^{28} + \)\(36\!\cdots\!12\)\( p^{2} T^{29} + \)\(14\!\cdots\!16\)\( p^{4} T^{30} + \)\(45\!\cdots\!40\)\( p^{6} T^{31} + \)\(14\!\cdots\!99\)\( p^{8} T^{32} + \)\(56\!\cdots\!76\)\( p^{10} T^{33} + \)\(16\!\cdots\!62\)\( p^{12} T^{34} + \)\(57\!\cdots\!76\)\( p^{14} T^{35} + \)\(18\!\cdots\!46\)\( p^{16} T^{36} + \)\(51\!\cdots\!88\)\( p^{18} T^{37} + \)\(21\!\cdots\!34\)\( p^{20} T^{38} + \)\(51\!\cdots\!88\)\( p^{22} T^{39} + \)\(17\!\cdots\!77\)\( p^{24} T^{40} + \)\(72\!\cdots\!40\)\( p^{26} T^{41} + \)\(13\!\cdots\!00\)\( p^{28} T^{42} + 67740241856123696232 p^{30} T^{43} + 1562672686617477940 p^{32} T^{44} + 43072602208091560 p^{34} T^{45} + 1992147286114756 p^{36} T^{46} + 26598683470216 p^{38} T^{47} + 1703369788251 p^{40} T^{48} + 43063510980 p^{42} T^{49} + 384900810 p^{44} T^{50} + 36632564 p^{46} T^{51} + 436834 p^{48} T^{52} + 17204 p^{50} T^{53} + 874 p^{52} T^{54} + 4 p^{54} T^{55} + p^{56} T^{56} \)
31 \( 1 - 14876 T^{2} + 109353850 T^{4} - 531000467660 T^{6} + 1921146182996219 T^{8} - 5537763963798420456 T^{10} + \)\(13\!\cdots\!12\)\( T^{12} - \)\(27\!\cdots\!68\)\( T^{14} + \)\(49\!\cdots\!33\)\( T^{16} - \)\(78\!\cdots\!56\)\( T^{18} + \)\(11\!\cdots\!54\)\( T^{20} - \)\(14\!\cdots\!28\)\( T^{22} + \)\(17\!\cdots\!55\)\( T^{24} - \)\(19\!\cdots\!84\)\( T^{26} + \)\(19\!\cdots\!32\)\( p^{2} T^{28} - \)\(19\!\cdots\!84\)\( p^{4} T^{30} + \)\(17\!\cdots\!55\)\( p^{8} T^{32} - \)\(14\!\cdots\!28\)\( p^{12} T^{34} + \)\(11\!\cdots\!54\)\( p^{16} T^{36} - \)\(78\!\cdots\!56\)\( p^{20} T^{38} + \)\(49\!\cdots\!33\)\( p^{24} T^{40} - \)\(27\!\cdots\!68\)\( p^{28} T^{42} + \)\(13\!\cdots\!12\)\( p^{32} T^{44} - 5537763963798420456 p^{36} T^{46} + 1921146182996219 p^{40} T^{48} - 531000467660 p^{44} T^{50} + 109353850 p^{48} T^{52} - 14876 p^{52} T^{54} + p^{56} T^{56} \)
37 \( 1 + 4 T + 3050 T^{2} - 165004 T^{3} + 106554 p T^{4} - 531533708 T^{5} + 21845067402 T^{6} - 699331240572 T^{7} + 56559452783131 T^{8} - 1994623508619128 T^{9} + 62708147115168196 T^{10} - 4299941341962325720 T^{11} + \)\(12\!\cdots\!08\)\( T^{12} - \)\(38\!\cdots\!32\)\( T^{13} + \)\(23\!\cdots\!00\)\( T^{14} - \)\(49\!\cdots\!00\)\( T^{15} + \)\(18\!\cdots\!93\)\( T^{16} - \)\(10\!\cdots\!12\)\( T^{17} + \)\(16\!\cdots\!38\)\( T^{18} - \)\(89\!\cdots\!68\)\( T^{19} + \)\(46\!\cdots\!46\)\( T^{20} - \)\(75\!\cdots\!20\)\( T^{21} + \)\(64\!\cdots\!14\)\( T^{22} - \)\(25\!\cdots\!80\)\( T^{23} + \)\(67\!\cdots\!15\)\( T^{24} - \)\(48\!\cdots\!36\)\( T^{25} + \)\(15\!\cdots\!60\)\( T^{26} - \)\(51\!\cdots\!88\)\( T^{27} + \)\(28\!\cdots\!04\)\( T^{28} - \)\(51\!\cdots\!88\)\( p^{2} T^{29} + \)\(15\!\cdots\!60\)\( p^{4} T^{30} - \)\(48\!\cdots\!36\)\( p^{6} T^{31} + \)\(67\!\cdots\!15\)\( p^{8} T^{32} - \)\(25\!\cdots\!80\)\( p^{10} T^{33} + \)\(64\!\cdots\!14\)\( p^{12} T^{34} - \)\(75\!\cdots\!20\)\( p^{14} T^{35} + \)\(46\!\cdots\!46\)\( p^{16} T^{36} - \)\(89\!\cdots\!68\)\( p^{18} T^{37} + \)\(16\!\cdots\!38\)\( p^{20} T^{38} - \)\(10\!\cdots\!12\)\( p^{22} T^{39} + \)\(18\!\cdots\!93\)\( p^{24} T^{40} - \)\(49\!\cdots\!00\)\( p^{26} T^{41} + \)\(23\!\cdots\!00\)\( p^{28} T^{42} - \)\(38\!\cdots\!32\)\( p^{30} T^{43} + \)\(12\!\cdots\!08\)\( p^{32} T^{44} - 4299941341962325720 p^{34} T^{45} + 62708147115168196 p^{36} T^{46} - 1994623508619128 p^{38} T^{47} + 56559452783131 p^{40} T^{48} - 699331240572 p^{42} T^{49} + 21845067402 p^{44} T^{50} - 531533708 p^{46} T^{51} + 106554 p^{49} T^{52} - 165004 p^{50} T^{53} + 3050 p^{52} T^{54} + 4 p^{54} T^{55} + p^{56} T^{56} \)
41 \( 1 + 4 T + 8 T^{2} - 146740 T^{3} + 5299010 T^{4} + 39014236 T^{5} + 10879978664 T^{6} - 615549292748 T^{7} + 16970020586075 T^{8} - 827024534256008 T^{9} + 29989784481138096 T^{10} - 1999131777934499992 T^{11} + 76703261367724022836 T^{12} - \)\(33\!\cdots\!40\)\( T^{13} + \)\(93\!\cdots\!36\)\( T^{14} - \)\(41\!\cdots\!08\)\( T^{15} + \)\(19\!\cdots\!29\)\( T^{16} - \)\(15\!\cdots\!68\)\( T^{17} + \)\(15\!\cdots\!60\)\( T^{18} - \)\(13\!\cdots\!68\)\( T^{19} + \)\(95\!\cdots\!94\)\( T^{20} - \)\(27\!\cdots\!16\)\( T^{21} + \)\(16\!\cdots\!80\)\( T^{22} - \)\(64\!\cdots\!08\)\( T^{23} + \)\(14\!\cdots\!99\)\( T^{24} - \)\(11\!\cdots\!08\)\( T^{25} + \)\(77\!\cdots\!68\)\( T^{26} - \)\(39\!\cdots\!24\)\( p T^{27} + \)\(42\!\cdots\!08\)\( p^{2} T^{28} - \)\(39\!\cdots\!24\)\( p^{3} T^{29} + \)\(77\!\cdots\!68\)\( p^{4} T^{30} - \)\(11\!\cdots\!08\)\( p^{6} T^{31} + \)\(14\!\cdots\!99\)\( p^{8} T^{32} - \)\(64\!\cdots\!08\)\( p^{10} T^{33} + \)\(16\!\cdots\!80\)\( p^{12} T^{34} - \)\(27\!\cdots\!16\)\( p^{14} T^{35} + \)\(95\!\cdots\!94\)\( p^{16} T^{36} - \)\(13\!\cdots\!68\)\( p^{18} T^{37} + \)\(15\!\cdots\!60\)\( p^{20} T^{38} - \)\(15\!\cdots\!68\)\( p^{22} T^{39} + \)\(19\!\cdots\!29\)\( p^{24} T^{40} - \)\(41\!\cdots\!08\)\( p^{26} T^{41} + \)\(93\!\cdots\!36\)\( p^{28} T^{42} - \)\(33\!\cdots\!40\)\( p^{30} T^{43} + 76703261367724022836 p^{32} T^{44} - 1999131777934499992 p^{34} T^{45} + 29989784481138096 p^{36} T^{46} - 827024534256008 p^{38} T^{47} + 16970020586075 p^{40} T^{48} - 615549292748 p^{42} T^{49} + 10879978664 p^{44} T^{50} + 39014236 p^{46} T^{51} + 5299010 p^{48} T^{52} - 146740 p^{50} T^{53} + 8 p^{52} T^{54} + 4 p^{54} T^{55} + p^{56} T^{56} \)
43 \( 1 + 92 T + 13354 T^{2} + 631532 T^{3} + 52147170 T^{4} + 399598380 T^{5} + 34718379466 T^{6} - 8398618107364 T^{7} - 227729338315845 T^{8} - 31550446902888200 T^{9} - 114294784020238332 T^{10} - 33962858106170505896 T^{11} + \)\(29\!\cdots\!92\)\( T^{12} + \)\(31\!\cdots\!52\)\( T^{13} + \)\(95\!\cdots\!40\)\( T^{14} - \)\(38\!\cdots\!40\)\( T^{15} + \)\(10\!\cdots\!73\)\( T^{16} - \)\(80\!\cdots\!96\)\( T^{17} - \)\(42\!\cdots\!98\)\( p T^{18} - \)\(21\!\cdots\!32\)\( T^{19} + \)\(25\!\cdots\!50\)\( T^{20} - \)\(19\!\cdots\!96\)\( T^{21} + \)\(18\!\cdots\!18\)\( T^{22} + \)\(14\!\cdots\!40\)\( T^{23} + \)\(40\!\cdots\!23\)\( T^{24} - \)\(60\!\cdots\!48\)\( T^{25} + \)\(29\!\cdots\!20\)\( T^{26} - \)\(33\!\cdots\!60\)\( T^{27} - \)\(38\!\cdots\!80\)\( T^{28} - \)\(33\!\cdots\!60\)\( p^{2} T^{29} + \)\(29\!\cdots\!20\)\( p^{4} T^{30} - \)\(60\!\cdots\!48\)\( p^{6} T^{31} + \)\(40\!\cdots\!23\)\( p^{8} T^{32} + \)\(14\!\cdots\!40\)\( p^{10} T^{33} + \)\(18\!\cdots\!18\)\( p^{12} T^{34} - \)\(19\!\cdots\!96\)\( p^{14} T^{35} + \)\(25\!\cdots\!50\)\( p^{16} T^{36} - \)\(21\!\cdots\!32\)\( p^{18} T^{37} - \)\(42\!\cdots\!98\)\( p^{21} T^{38} - \)\(80\!\cdots\!96\)\( p^{22} T^{39} + \)\(10\!\cdots\!73\)\( p^{24} T^{40} - \)\(38\!\cdots\!40\)\( p^{26} T^{41} + \)\(95\!\cdots\!40\)\( p^{28} T^{42} + \)\(31\!\cdots\!52\)\( p^{30} T^{43} + \)\(29\!\cdots\!92\)\( p^{32} T^{44} - 33962858106170505896 p^{34} T^{45} - 114294784020238332 p^{36} T^{46} - 31550446902888200 p^{38} T^{47} - 227729338315845 p^{40} T^{48} - 8398618107364 p^{42} T^{49} + 34718379466 p^{44} T^{50} + 399598380 p^{46} T^{51} + 52147170 p^{48} T^{52} + 631532 p^{50} T^{53} + 13354 p^{52} T^{54} + 92 p^{54} T^{55} + p^{56} T^{56} \)
47 \( ( 1 - 4 T + 17306 T^{2} - 201684 T^{3} + 150597883 T^{4} - 2640471640 T^{5} + 883349166436 T^{6} - 19014036802584 T^{7} + 3915610933481929 T^{8} - 92637563420056524 T^{9} + 13859866263483156230 T^{10} - \)\(33\!\cdots\!92\)\( T^{11} + \)\(40\!\cdots\!51\)\( T^{12} - \)\(93\!\cdots\!08\)\( T^{13} + \)\(97\!\cdots\!92\)\( T^{14} - \)\(93\!\cdots\!08\)\( p^{2} T^{15} + \)\(40\!\cdots\!51\)\( p^{4} T^{16} - \)\(33\!\cdots\!92\)\( p^{6} T^{17} + 13859866263483156230 p^{8} T^{18} - 92637563420056524 p^{10} T^{19} + 3915610933481929 p^{12} T^{20} - 19014036802584 p^{14} T^{21} + 883349166436 p^{16} T^{22} - 2640471640 p^{18} T^{23} + 150597883 p^{20} T^{24} - 201684 p^{22} T^{25} + 17306 p^{24} T^{26} - 4 p^{26} T^{27} + p^{28} T^{28} )^{2} \)
53 \( 1 + 164 T + 12778 T^{2} + 477588 T^{3} - 2865310 T^{4} - 1487543276 T^{5} - 40799035126 T^{6} + 5094170773668 T^{7} + 519330767244699 T^{8} + 17287941298996936 T^{9} - 329950203771387964 T^{10} - 49953512556108287384 T^{11} + \)\(15\!\cdots\!84\)\( T^{12} + \)\(28\!\cdots\!48\)\( T^{13} + \)\(18\!\cdots\!04\)\( T^{14} + \)\(31\!\cdots\!60\)\( T^{15} - \)\(30\!\cdots\!35\)\( T^{16} - \)\(21\!\cdots\!08\)\( T^{17} + \)\(78\!\cdots\!66\)\( T^{18} + \)\(81\!\cdots\!36\)\( T^{19} + \)\(42\!\cdots\!14\)\( T^{20} + \)\(81\!\cdots\!04\)\( T^{21} - \)\(99\!\cdots\!30\)\( T^{22} - \)\(43\!\cdots\!00\)\( T^{23} + \)\(13\!\cdots\!39\)\( T^{24} + \)\(21\!\cdots\!92\)\( T^{25} + \)\(69\!\cdots\!20\)\( T^{26} - \)\(21\!\cdots\!56\)\( T^{27} - \)\(26\!\cdots\!48\)\( T^{28} - \)\(21\!\cdots\!56\)\( p^{2} T^{29} + \)\(69\!\cdots\!20\)\( p^{4} T^{30} + \)\(21\!\cdots\!92\)\( p^{6} T^{31} + \)\(13\!\cdots\!39\)\( p^{8} T^{32} - \)\(43\!\cdots\!00\)\( p^{10} T^{33} - \)\(99\!\cdots\!30\)\( p^{12} T^{34} + \)\(81\!\cdots\!04\)\( p^{14} T^{35} + \)\(42\!\cdots\!14\)\( p^{16} T^{36} + \)\(81\!\cdots\!36\)\( p^{18} T^{37} + \)\(78\!\cdots\!66\)\( p^{20} T^{38} - \)\(21\!\cdots\!08\)\( p^{22} T^{39} - \)\(30\!\cdots\!35\)\( p^{24} T^{40} + \)\(31\!\cdots\!60\)\( p^{26} T^{41} + \)\(18\!\cdots\!04\)\( p^{28} T^{42} + \)\(28\!\cdots\!48\)\( p^{30} T^{43} + \)\(15\!\cdots\!84\)\( p^{32} T^{44} - 49953512556108287384 p^{34} T^{45} - 329950203771387964 p^{36} T^{46} + 17287941298996936 p^{38} T^{47} + 519330767244699 p^{40} T^{48} + 5094170773668 p^{42} T^{49} - 40799035126 p^{44} T^{50} - 1487543276 p^{46} T^{51} - 2865310 p^{48} T^{52} + 477588 p^{50} T^{53} + 12778 p^{52} T^{54} + 164 p^{54} T^{55} + p^{56} T^{56} \)
59 \( 1 + 124 T - 2582 T^{2} - 676148 T^{3} + 18297186 T^{4} + 2494237964 T^{5} - 74034097270 T^{6} - 1291301782724 T^{7} + 13450026987579 T^{8} - 50932148532532808 T^{9} + 1191494304161568004 T^{10} + \)\(24\!\cdots\!84\)\( T^{11} - \)\(15\!\cdots\!72\)\( T^{12} - \)\(72\!\cdots\!80\)\( T^{13} + \)\(61\!\cdots\!16\)\( T^{14} - \)\(67\!\cdots\!40\)\( T^{15} - \)\(94\!\cdots\!19\)\( T^{16} + \)\(13\!\cdots\!36\)\( T^{17} - \)\(60\!\cdots\!58\)\( T^{18} - \)\(49\!\cdots\!72\)\( T^{19} + \)\(50\!\cdots\!34\)\( T^{20} + \)\(50\!\cdots\!24\)\( T^{21} - \)\(15\!\cdots\!82\)\( T^{22} + \)\(47\!\cdots\!00\)\( T^{23} + \)\(96\!\cdots\!83\)\( T^{24} - \)\(24\!\cdots\!52\)\( T^{25} + \)\(17\!\cdots\!76\)\( T^{26} + \)\(43\!\cdots\!08\)\( T^{27} - \)\(91\!\cdots\!12\)\( T^{28} + \)\(43\!\cdots\!08\)\( p^{2} T^{29} + \)\(17\!\cdots\!76\)\( p^{4} T^{30} - \)\(24\!\cdots\!52\)\( p^{6} T^{31} + \)\(96\!\cdots\!83\)\( p^{8} T^{32} + \)\(47\!\cdots\!00\)\( p^{10} T^{33} - \)\(15\!\cdots\!82\)\( p^{12} T^{34} + \)\(50\!\cdots\!24\)\( p^{14} T^{35} + \)\(50\!\cdots\!34\)\( p^{16} T^{36} - \)\(49\!\cdots\!72\)\( p^{18} T^{37} - \)\(60\!\cdots\!58\)\( p^{20} T^{38} + \)\(13\!\cdots\!36\)\( p^{22} T^{39} - \)\(94\!\cdots\!19\)\( p^{24} T^{40} - \)\(67\!\cdots\!40\)\( p^{26} T^{41} + \)\(61\!\cdots\!16\)\( p^{28} T^{42} - \)\(72\!\cdots\!80\)\( p^{30} T^{43} - \)\(15\!\cdots\!72\)\( p^{32} T^{44} + \)\(24\!\cdots\!84\)\( p^{34} T^{45} + 1191494304161568004 p^{36} T^{46} - 50932148532532808 p^{38} T^{47} + 13450026987579 p^{40} T^{48} - 1291301782724 p^{42} T^{49} - 74034097270 p^{44} T^{50} + 2494237964 p^{46} T^{51} + 18297186 p^{48} T^{52} - 676148 p^{50} T^{53} - 2582 p^{52} T^{54} + 124 p^{54} T^{55} + p^{56} T^{56} \)
61 \( 1 + 68 T - 3382 T^{2} - 676620 T^{3} - 19307486 T^{4} + 550708916 T^{5} + 137721076522 T^{6} + 14290319529220 T^{7} + 879416281712219 T^{8} - 28458120472285176 T^{9} - 6519607438718241916 T^{10} - \)\(34\!\cdots\!92\)\( T^{11} + \)\(79\!\cdots\!92\)\( T^{12} + \)\(11\!\cdots\!56\)\( T^{13} + \)\(10\!\cdots\!72\)\( T^{14} + \)\(49\!\cdots\!56\)\( T^{15} - \)\(76\!\cdots\!35\)\( T^{16} - \)\(29\!\cdots\!84\)\( T^{17} - \)\(19\!\cdots\!74\)\( T^{18} - \)\(27\!\cdots\!96\)\( T^{19} + \)\(50\!\cdots\!66\)\( T^{20} + \)\(48\!\cdots\!24\)\( T^{21} + \)\(18\!\cdots\!06\)\( T^{22} - \)\(30\!\cdots\!80\)\( T^{23} - \)\(94\!\cdots\!53\)\( T^{24} - \)\(61\!\cdots\!20\)\( T^{25} - \)\(12\!\cdots\!76\)\( T^{26} + \)\(15\!\cdots\!48\)\( T^{27} + \)\(16\!\cdots\!80\)\( T^{28} + \)\(15\!\cdots\!48\)\( p^{2} T^{29} - \)\(12\!\cdots\!76\)\( p^{4} T^{30} - \)\(61\!\cdots\!20\)\( p^{6} T^{31} - \)\(94\!\cdots\!53\)\( p^{8} T^{32} - \)\(30\!\cdots\!80\)\( p^{10} T^{33} + \)\(18\!\cdots\!06\)\( p^{12} T^{34} + \)\(48\!\cdots\!24\)\( p^{14} T^{35} + \)\(50\!\cdots\!66\)\( p^{16} T^{36} - \)\(27\!\cdots\!96\)\( p^{18} T^{37} - \)\(19\!\cdots\!74\)\( p^{20} T^{38} - \)\(29\!\cdots\!84\)\( p^{22} T^{39} - \)\(76\!\cdots\!35\)\( p^{24} T^{40} + \)\(49\!\cdots\!56\)\( p^{26} T^{41} + \)\(10\!\cdots\!72\)\( p^{28} T^{42} + \)\(11\!\cdots\!56\)\( p^{30} T^{43} + \)\(79\!\cdots\!92\)\( p^{32} T^{44} - \)\(34\!\cdots\!92\)\( p^{34} T^{45} - 6519607438718241916 p^{36} T^{46} - 28458120472285176 p^{38} T^{47} + 879416281712219 p^{40} T^{48} + 14290319529220 p^{42} T^{49} + 137721076522 p^{44} T^{50} + 550708916 p^{46} T^{51} - 19307486 p^{48} T^{52} - 676620 p^{50} T^{53} - 3382 p^{52} T^{54} + 68 p^{54} T^{55} + p^{56} T^{56} \)
67 \( 1 - 164 T + 1610 T^{2} + 539180 T^{3} + 50416674 T^{4} - 4728668884 T^{5} - 159879353814 T^{6} - 10686563025060 T^{7} + 2770502956998267 T^{8} - 36035490028130568 T^{9} + 2186996268372420676 T^{10} - \)\(74\!\cdots\!12\)\( T^{11} + \)\(13\!\cdots\!12\)\( T^{12} - \)\(55\!\cdots\!32\)\( T^{13} + \)\(28\!\cdots\!52\)\( T^{14} - \)\(15\!\cdots\!36\)\( T^{15} + \)\(37\!\cdots\!37\)\( T^{16} - \)\(68\!\cdots\!00\)\( T^{17} + \)\(60\!\cdots\!02\)\( T^{18} - \)\(23\!\cdots\!36\)\( T^{19} + \)\(12\!\cdots\!10\)\( T^{20} - \)\(14\!\cdots\!16\)\( T^{21} + \)\(93\!\cdots\!66\)\( T^{22} - \)\(57\!\cdots\!48\)\( T^{23} + \)\(92\!\cdots\!97\)\( p T^{24} - \)\(40\!\cdots\!52\)\( T^{25} + \)\(10\!\cdots\!00\)\( T^{26} - \)\(10\!\cdots\!64\)\( T^{27} + \)\(13\!\cdots\!16\)\( T^{28} - \)\(10\!\cdots\!64\)\( p^{2} T^{29} + \)\(10\!\cdots\!00\)\( p^{4} T^{30} - \)\(40\!\cdots\!52\)\( p^{6} T^{31} + \)\(92\!\cdots\!97\)\( p^{9} T^{32} - \)\(57\!\cdots\!48\)\( p^{10} T^{33} + \)\(93\!\cdots\!66\)\( p^{12} T^{34} - \)\(14\!\cdots\!16\)\( p^{14} T^{35} + \)\(12\!\cdots\!10\)\( p^{16} T^{36} - \)\(23\!\cdots\!36\)\( p^{18} T^{37} + \)\(60\!\cdots\!02\)\( p^{20} T^{38} - \)\(68\!\cdots\!00\)\( p^{22} T^{39} + \)\(37\!\cdots\!37\)\( p^{24} T^{40} - \)\(15\!\cdots\!36\)\( p^{26} T^{41} + \)\(28\!\cdots\!52\)\( p^{28} T^{42} - \)\(55\!\cdots\!32\)\( p^{30} T^{43} + \)\(13\!\cdots\!12\)\( p^{32} T^{44} - \)\(74\!\cdots\!12\)\( p^{34} T^{45} + 2186996268372420676 p^{36} T^{46} - 36035490028130568 p^{38} T^{47} + 2770502956998267 p^{40} T^{48} - 10686563025060 p^{42} T^{49} - 159879353814 p^{44} T^{50} - 4728668884 p^{46} T^{51} + 50416674 p^{48} T^{52} + 539180 p^{50} T^{53} + 1610 p^{52} T^{54} - 164 p^{54} T^{55} + p^{56} T^{56} \)
71 \( 1 - 260 T + 33800 T^{2} - 3358028 T^{3} + 444069730 T^{4} - 58747785692 T^{5} + 5903043430312 T^{6} - 507612783055668 T^{7} + 50914532182356955 T^{8} - 5152210656262489336 T^{9} + \)\(42\!\cdots\!36\)\( T^{10} - \)\(31\!\cdots\!12\)\( T^{11} + \)\(27\!\cdots\!72\)\( T^{12} - \)\(23\!\cdots\!96\)\( T^{13} + \)\(15\!\cdots\!80\)\( T^{14} - \)\(10\!\cdots\!24\)\( T^{15} + \)\(76\!\cdots\!21\)\( T^{16} - \)\(53\!\cdots\!12\)\( T^{17} + \)\(25\!\cdots\!44\)\( T^{18} - \)\(10\!\cdots\!92\)\( T^{19} + \)\(65\!\cdots\!34\)\( T^{20} - \)\(14\!\cdots\!08\)\( T^{21} - \)\(37\!\cdots\!44\)\( T^{22} + \)\(43\!\cdots\!68\)\( T^{23} - \)\(30\!\cdots\!85\)\( T^{24} + \)\(31\!\cdots\!56\)\( T^{25} - \)\(31\!\cdots\!68\)\( T^{26} + \)\(21\!\cdots\!44\)\( T^{27} - \)\(13\!\cdots\!32\)\( T^{28} + \)\(21\!\cdots\!44\)\( p^{2} T^{29} - \)\(31\!\cdots\!68\)\( p^{4} T^{30} + \)\(31\!\cdots\!56\)\( p^{6} T^{31} - \)\(30\!\cdots\!85\)\( p^{8} T^{32} + \)\(43\!\cdots\!68\)\( p^{10} T^{33} - \)\(37\!\cdots\!44\)\( p^{12} T^{34} - \)\(14\!\cdots\!08\)\( p^{14} T^{35} + \)\(65\!\cdots\!34\)\( p^{16} T^{36} - \)\(10\!\cdots\!92\)\( p^{18} T^{37} + \)\(25\!\cdots\!44\)\( p^{20} T^{38} - \)\(53\!\cdots\!12\)\( p^{22} T^{39} + \)\(76\!\cdots\!21\)\( p^{24} T^{40} - \)\(10\!\cdots\!24\)\( p^{26} T^{41} + \)\(15\!\cdots\!80\)\( p^{28} T^{42} - \)\(23\!\cdots\!96\)\( p^{30} T^{43} + \)\(27\!\cdots\!72\)\( p^{32} T^{44} - \)\(31\!\cdots\!12\)\( p^{34} T^{45} + \)\(42\!\cdots\!36\)\( p^{36} T^{46} - 5152210656262489336 p^{38} T^{47} + 50914532182356955 p^{40} T^{48} - 507612783055668 p^{42} T^{49} + 5903043430312 p^{44} T^{50} - 58747785692 p^{46} T^{51} + 444069730 p^{48} T^{52} - 3358028 p^{50} T^{53} + 33800 p^{52} T^{54} - 260 p^{54} T^{55} + p^{56} T^{56} \)
73 \( 1 + 4 T + 8 T^{2} + 162380 T^{3} - 20449662 T^{4} - 1481324836 T^{5} + 7421930152 T^{6} - 8318740383948 T^{7} + 728881382650971 T^{8} + 27208025429491064 T^{9} + 1141584982502320 T^{10} + \)\(10\!\cdots\!28\)\( T^{11} - \)\(39\!\cdots\!24\)\( T^{12} - \)\(64\!\cdots\!80\)\( T^{13} + \)\(29\!\cdots\!08\)\( T^{14} - \)\(68\!\cdots\!84\)\( T^{15} + \)\(17\!\cdots\!09\)\( T^{16} + \)\(35\!\cdots\!24\)\( T^{17} - \)\(13\!\cdots\!88\)\( T^{18} + \)\(16\!\cdots\!72\)\( T^{19} - \)\(38\!\cdots\!26\)\( T^{20} - \)\(36\!\cdots\!72\)\( T^{21} - \)\(16\!\cdots\!92\)\( T^{22} - \)\(10\!\cdots\!00\)\( T^{23} + \)\(15\!\cdots\!47\)\( T^{24} - \)\(16\!\cdots\!56\)\( p T^{25} - \)\(11\!\cdots\!00\)\( T^{26} + \)\(19\!\cdots\!24\)\( T^{27} - \)\(57\!\cdots\!36\)\( T^{28} + \)\(19\!\cdots\!24\)\( p^{2} T^{29} - \)\(11\!\cdots\!00\)\( p^{4} T^{30} - \)\(16\!\cdots\!56\)\( p^{7} T^{31} + \)\(15\!\cdots\!47\)\( p^{8} T^{32} - \)\(10\!\cdots\!00\)\( p^{10} T^{33} - \)\(16\!\cdots\!92\)\( p^{12} T^{34} - \)\(36\!\cdots\!72\)\( p^{14} T^{35} - \)\(38\!\cdots\!26\)\( p^{16} T^{36} + \)\(16\!\cdots\!72\)\( p^{18} T^{37} - \)\(13\!\cdots\!88\)\( p^{20} T^{38} + \)\(35\!\cdots\!24\)\( p^{22} T^{39} + \)\(17\!\cdots\!09\)\( p^{24} T^{40} - \)\(68\!\cdots\!84\)\( p^{26} T^{41} + \)\(29\!\cdots\!08\)\( p^{28} T^{42} - \)\(64\!\cdots\!80\)\( p^{30} T^{43} - \)\(39\!\cdots\!24\)\( p^{32} T^{44} + \)\(10\!\cdots\!28\)\( p^{34} T^{45} + 1141584982502320 p^{36} T^{46} + 27208025429491064 p^{38} T^{47} + 728881382650971 p^{40} T^{48} - 8318740383948 p^{42} T^{49} + 7421930152 p^{44} T^{50} - 1481324836 p^{46} T^{51} - 20449662 p^{48} T^{52} + 162380 p^{50} T^{53} + 8 p^{52} T^{54} + 4 p^{54} T^{55} + p^{56} T^{56} \)
79 \( ( 1 - 260 T + 95642 T^{2} - 18771412 T^{3} + 4030082171 T^{4} - 637641691736 T^{5} + 101846137667940 T^{6} - 13492974421088792 T^{7} + 1748349708000644553 T^{8} - \)\(19\!\cdots\!64\)\( T^{9} + \)\(21\!\cdots\!54\)\( T^{10} - \)\(21\!\cdots\!24\)\( T^{11} + \)\(20\!\cdots\!83\)\( T^{12} - \)\(17\!\cdots\!76\)\( T^{13} + \)\(14\!\cdots\!72\)\( T^{14} - \)\(17\!\cdots\!76\)\( p^{2} T^{15} + \)\(20\!\cdots\!83\)\( p^{4} T^{16} - \)\(21\!\cdots\!24\)\( p^{6} T^{17} + \)\(21\!\cdots\!54\)\( p^{8} T^{18} - \)\(19\!\cdots\!64\)\( p^{10} T^{19} + 1748349708000644553 p^{12} T^{20} - 13492974421088792 p^{14} T^{21} + 101846137667940 p^{16} T^{22} - 637641691736 p^{18} T^{23} + 4030082171 p^{20} T^{24} - 18771412 p^{22} T^{25} + 95642 p^{24} T^{26} - 260 p^{26} T^{27} + p^{28} T^{28} )^{2} \)
83 \( 1 - 484 T + 103498 T^{2} - 12003540 T^{3} + 639572258 T^{4} + 20142216748 T^{5} - 5586218114390 T^{6} + 290579540968988 T^{7} + 4467098840062459 T^{8} - 338973532787675656 T^{9} - \)\(11\!\cdots\!84\)\( T^{10} + \)\(61\!\cdots\!92\)\( T^{11} + \)\(13\!\cdots\!52\)\( T^{12} - \)\(16\!\cdots\!28\)\( T^{13} + \)\(17\!\cdots\!24\)\( T^{14} + \)\(85\!\cdots\!80\)\( T^{15} - \)\(73\!\cdots\!39\)\( T^{16} - \)\(11\!\cdots\!96\)\( T^{17} + \)\(12\!\cdots\!66\)\( T^{18} - \)\(37\!\cdots\!92\)\( T^{19} - \)\(32\!\cdots\!78\)\( T^{20} + \)\(24\!\cdots\!16\)\( T^{21} + \)\(13\!\cdots\!02\)\( T^{22} - \)\(24\!\cdots\!16\)\( T^{23} + \)\(73\!\cdots\!51\)\( T^{24} + \)\(72\!\cdots\!80\)\( T^{25} - \)\(45\!\cdots\!92\)\( T^{26} - \)\(55\!\cdots\!72\)\( T^{27} + \)\(89\!\cdots\!12\)\( T^{28} - \)\(55\!\cdots\!72\)\( p^{2} T^{29} - \)\(45\!\cdots\!92\)\( p^{4} T^{30} + \)\(72\!\cdots\!80\)\( p^{6} T^{31} + \)\(73\!\cdots\!51\)\( p^{8} T^{32} - \)\(24\!\cdots\!16\)\( p^{10} T^{33} + \)\(13\!\cdots\!02\)\( p^{12} T^{34} + \)\(24\!\cdots\!16\)\( p^{14} T^{35} - \)\(32\!\cdots\!78\)\( p^{16} T^{36} - \)\(37\!\cdots\!92\)\( p^{18} T^{37} + \)\(12\!\cdots\!66\)\( p^{20} T^{38} - \)\(11\!\cdots\!96\)\( p^{22} T^{39} - \)\(73\!\cdots\!39\)\( p^{24} T^{40} + \)\(85\!\cdots\!80\)\( p^{26} T^{41} + \)\(17\!\cdots\!24\)\( p^{28} T^{42} - \)\(16\!\cdots\!28\)\( p^{30} T^{43} + \)\(13\!\cdots\!52\)\( p^{32} T^{44} + \)\(61\!\cdots\!92\)\( p^{34} T^{45} - \)\(11\!\cdots\!84\)\( p^{36} T^{46} - 338973532787675656 p^{38} T^{47} + 4467098840062459 p^{40} T^{48} + 290579540968988 p^{42} T^{49} - 5586218114390 p^{44} T^{50} + 20142216748 p^{46} T^{51} + 639572258 p^{48} T^{52} - 12003540 p^{50} T^{53} + 103498 p^{52} T^{54} - 484 p^{54} T^{55} + p^{56} T^{56} \)
89 \( 1 + 4 T + 8 T^{2} + 415308 T^{3} + 114976258 T^{4} - 956521892 T^{5} + 915668200 p T^{6} + 58702991801012 T^{7} + 10344826690180571 T^{8} - 269406900644620936 T^{9} + 14306973782434384816 T^{10} + \)\(27\!\cdots\!68\)\( T^{11} + \)\(90\!\cdots\!88\)\( T^{12} - \)\(57\!\cdots\!12\)\( T^{13} + \)\(61\!\cdots\!48\)\( T^{14} + \)\(18\!\cdots\!16\)\( T^{15} + \)\(82\!\cdots\!09\)\( T^{16} + \)\(33\!\cdots\!56\)\( T^{17} - \)\(11\!\cdots\!72\)\( T^{18} + \)\(17\!\cdots\!20\)\( T^{19} + \)\(69\!\cdots\!38\)\( T^{20} - \)\(86\!\cdots\!96\)\( T^{21} - \)\(18\!\cdots\!84\)\( T^{22} + \)\(96\!\cdots\!56\)\( T^{23} + \)\(45\!\cdots\!83\)\( T^{24} + \)\(71\!\cdots\!64\)\( T^{25} - \)\(11\!\cdots\!28\)\( T^{26} + \)\(37\!\cdots\!72\)\( T^{27} + \)\(26\!\cdots\!64\)\( T^{28} + \)\(37\!\cdots\!72\)\( p^{2} T^{29} - \)\(11\!\cdots\!28\)\( p^{4} T^{30} + \)\(71\!\cdots\!64\)\( p^{6} T^{31} + \)\(45\!\cdots\!83\)\( p^{8} T^{32} + \)\(96\!\cdots\!56\)\( p^{10} T^{33} - \)\(18\!\cdots\!84\)\( p^{12} T^{34} - \)\(86\!\cdots\!96\)\( p^{14} T^{35} + \)\(69\!\cdots\!38\)\( p^{16} T^{36} + \)\(17\!\cdots\!20\)\( p^{18} T^{37} - \)\(11\!\cdots\!72\)\( p^{20} T^{38} + \)\(33\!\cdots\!56\)\( p^{22} T^{39} + \)\(82\!\cdots\!09\)\( p^{24} T^{40} + \)\(18\!\cdots\!16\)\( p^{26} T^{41} + \)\(61\!\cdots\!48\)\( p^{28} T^{42} - \)\(57\!\cdots\!12\)\( p^{30} T^{43} + \)\(90\!\cdots\!88\)\( p^{32} T^{44} + \)\(27\!\cdots\!68\)\( p^{34} T^{45} + 14306973782434384816 p^{36} T^{46} - 269406900644620936 p^{38} T^{47} + 10344826690180571 p^{40} T^{48} + 58702991801012 p^{42} T^{49} + 915668200 p^{45} T^{50} - 956521892 p^{46} T^{51} + 114976258 p^{48} T^{52} + 415308 p^{50} T^{53} + 8 p^{52} T^{54} + 4 p^{54} T^{55} + p^{56} T^{56} \)
97 \( ( 1 + 4 T + 78474 T^{2} + 78868 T^{3} + 3115261595 T^{4} - 9513593064 T^{5} + 82085510621700 T^{6} - 594744065858344 T^{7} + 1601504954000400553 T^{8} - 17354013974432109428 T^{9} + \)\(24\!\cdots\!38\)\( T^{10} - \)\(32\!\cdots\!56\)\( T^{11} + \)\(30\!\cdots\!19\)\( T^{12} - \)\(41\!\cdots\!40\)\( T^{13} + \)\(31\!\cdots\!64\)\( T^{14} - \)\(41\!\cdots\!40\)\( p^{2} T^{15} + \)\(30\!\cdots\!19\)\( p^{4} T^{16} - \)\(32\!\cdots\!56\)\( p^{6} T^{17} + \)\(24\!\cdots\!38\)\( p^{8} T^{18} - 17354013974432109428 p^{10} T^{19} + 1601504954000400553 p^{12} T^{20} - 594744065858344 p^{14} T^{21} + 82085510621700 p^{16} T^{22} - 9513593064 p^{18} T^{23} + 3115261595 p^{20} T^{24} + 78868 p^{22} T^{25} + 78474 p^{24} T^{26} + 4 p^{26} T^{27} + p^{28} T^{28} )^{2} \)
show more
show less
   \(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{56} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−2.64474418849821778702647610323, −2.53040949784029341184739263967, −2.32426672031508758389409091186, −2.29293047667956964396802553026, −2.25698061221226958139956072131, −2.13719076209485208375755958102, −2.13479170008386890469948063222, −2.03346270234726910274027633146, −1.97258790392094639975171797338, −1.96403188754745299606385152216, −1.90617077908109698050909520928, −1.66089339828569808951378051597, −1.61491796097820291919692198053, −1.57739520964253332128572253784, −1.51196201679853341688148725425, −1.17047685750899364341789108524, −1.16537450589595833840438153490, −1.11453346237306161341418279583, −0.951323385517723561394941380470, −0.925553276069034001248060961164, −0.78385676052385988870316334500, −0.70776378552767054851160259511, −0.57616260069519140758037916225, −0.11265602983737843590851207695, −0.093822894798920977570877457110, 0.093822894798920977570877457110, 0.11265602983737843590851207695, 0.57616260069519140758037916225, 0.70776378552767054851160259511, 0.78385676052385988870316334500, 0.925553276069034001248060961164, 0.951323385517723561394941380470, 1.11453346237306161341418279583, 1.16537450589595833840438153490, 1.17047685750899364341789108524, 1.51196201679853341688148725425, 1.57739520964253332128572253784, 1.61491796097820291919692198053, 1.66089339828569808951378051597, 1.90617077908109698050909520928, 1.96403188754745299606385152216, 1.97258790392094639975171797338, 2.03346270234726910274027633146, 2.13479170008386890469948063222, 2.13719076209485208375755958102, 2.25698061221226958139956072131, 2.29293047667956964396802553026, 2.32426672031508758389409091186, 2.53040949784029341184739263967, 2.64474418849821778702647610323

Graph of the $Z$-function along the critical line

Plot not available for L-functions of degree greater than 10.