Dirichlet series
| L(s) = 1 | − 4·2-s + 3-s + 8·4-s + 2·5-s − 4·6-s − 4·7-s − 8·8-s − 5·9-s − 8·10-s − 8·11-s + 8·12-s + 10·13-s + 16·14-s + 2·15-s − 18·16-s − 9·17-s + 20·18-s + 24·19-s + 16·20-s − 4·21-s + 32·22-s + 11·23-s − 8·24-s + 25-s − 40·26-s + 3·27-s − 32·28-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | − 2.82·2-s + 0.577·3-s + 4·4-s + 0.894·5-s − 1.63·6-s − 1.51·7-s − 2.82·8-s − 5/3·9-s − 2.52·10-s − 2.41·11-s + 2.30·12-s + 2.77·13-s + 4.27·14-s + 0.516·15-s − 9/2·16-s − 2.18·17-s + 4.71·18-s + 5.50·19-s + 3.57·20-s − 0.872·21-s + 6.82·22-s + 2.29·23-s − 1.63·24-s + 1/5·25-s − 7.84·26-s + 0.577·27-s − 6.04·28-s + ⋯ |
Functional equation
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(5^{20} \cdot 23^{20}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{20} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(5^{20} \cdot 23^{20}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{20} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Invariants
| Degree: | \(40\) |
| Conductor: | \(5^{20} \cdot 23^{20}\) |
| Sign: | $1$ |
| Analytic conductor: | \(0.181760\) |
| Root analytic conductor: | \(0.958269\) |
| Motivic weight: | \(1\) |
| Rational: | yes |
| Arithmetic: | yes |
| Character: | Trivial |
| Primitive: | no |
| Self-dual: | yes |
| Analytic rank: | \(0\) |
| Selberg data: | \((40,\ 5^{20} \cdot 23^{20} ,\ ( \ : [1/2]^{20} ),\ 1 )\) |
Particular Values
| \(L(1)\) | \(\approx\) | \(0.2439213871\) |
| \(L(\frac12)\) | \(\approx\) | \(0.2439213871\) |
| \(L(\frac{3}{2})\) | not available | |
| \(L(1)\) | not available |
Euler product
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $F_p(T)$ | |
|---|---|---|
| bad | 5 | \( ( 1 - T + T^{2} - T^{3} + T^{4} - T^{5} + T^{6} - T^{7} + T^{8} - T^{9} + T^{10} )^{2} \) |
| 23 | \( 1 - 11 T + 12 T^{2} + 429 T^{3} - 1627 T^{4} - 7370 T^{5} + 59423 T^{6} - 30723 T^{7} - 510938 T^{8} + 37675 p T^{9} + 186605 p T^{10} + 37675 p^{2} T^{11} - 510938 p^{2} T^{12} - 30723 p^{3} T^{13} + 59423 p^{4} T^{14} - 7370 p^{5} T^{15} - 1627 p^{6} T^{16} + 429 p^{7} T^{17} + 12 p^{8} T^{18} - 11 p^{9} T^{19} + p^{10} T^{20} \) | |
| good | 2 | \( ( 1 + p T + p T^{2} + 7 T^{4} + 25 T^{5} + 9 p^{2} T^{6} + 11 p T^{7} + p^{4} T^{8} + 109 T^{9} + 219 T^{10} + 109 p T^{11} + p^{6} T^{12} + 11 p^{4} T^{13} + 9 p^{6} T^{14} + 25 p^{5} T^{15} + 7 p^{6} T^{16} + p^{9} T^{18} + p^{10} T^{19} + p^{10} T^{20} )^{2} \) |
| 3 | \( 1 - T + 2 p T^{2} - 14 T^{3} + p^{3} T^{4} - 40 T^{5} + 4 p^{3} T^{6} - 142 T^{7} + 185 T^{8} - 485 T^{9} + 1007 T^{10} - 1619 T^{11} + 1103 p T^{12} - 9356 T^{13} + 14699 T^{14} - 7769 p T^{15} + 16036 p T^{16} - 86905 T^{17} + 82057 T^{18} - 156475 T^{19} + 360997 T^{20} - 156475 p T^{21} + 82057 p^{2} T^{22} - 86905 p^{3} T^{23} + 16036 p^{5} T^{24} - 7769 p^{6} T^{25} + 14699 p^{6} T^{26} - 9356 p^{7} T^{27} + 1103 p^{9} T^{28} - 1619 p^{9} T^{29} + 1007 p^{10} T^{30} - 485 p^{11} T^{31} + 185 p^{12} T^{32} - 142 p^{13} T^{33} + 4 p^{17} T^{34} - 40 p^{15} T^{35} + p^{19} T^{36} - 14 p^{17} T^{37} + 2 p^{19} T^{38} - p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 7 | \( 1 + 4 T - T^{2} + 11 T^{3} + 5 p^{2} T^{4} + 349 T^{5} - 1301 T^{6} + 1861 T^{7} + 18638 T^{8} - 28841 T^{9} - 155478 T^{10} + 268498 T^{11} + 305619 T^{12} - 4521142 T^{13} - 282085 p T^{14} + 24747851 T^{15} - 38560597 T^{16} - 137651474 T^{17} + 81296046 p T^{18} + 697342953 T^{19} - 3108876707 T^{20} + 697342953 p T^{21} + 81296046 p^{3} T^{22} - 137651474 p^{3} T^{23} - 38560597 p^{4} T^{24} + 24747851 p^{5} T^{25} - 282085 p^{7} T^{26} - 4521142 p^{7} T^{27} + 305619 p^{8} T^{28} + 268498 p^{9} T^{29} - 155478 p^{10} T^{30} - 28841 p^{11} T^{31} + 18638 p^{12} T^{32} + 1861 p^{13} T^{33} - 1301 p^{14} T^{34} + 349 p^{15} T^{35} + 5 p^{18} T^{36} + 11 p^{17} T^{37} - p^{18} T^{38} + 4 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 11 | \( 1 + 8 T + 8 T^{2} - 120 T^{3} - 51 p T^{4} - 859 T^{5} + 2258 T^{6} + 21321 T^{7} + 77329 T^{8} + 10998 p T^{9} - 353594 T^{10} - 281601 p T^{11} - 8842197 T^{12} - 10206633 T^{13} + 28541538 T^{14} + 311515082 T^{15} + 103621835 p T^{16} + 880981278 T^{17} - 5235886142 T^{18} - 18114167536 T^{19} - 48380815625 T^{20} - 18114167536 p T^{21} - 5235886142 p^{2} T^{22} + 880981278 p^{3} T^{23} + 103621835 p^{5} T^{24} + 311515082 p^{5} T^{25} + 28541538 p^{6} T^{26} - 10206633 p^{7} T^{27} - 8842197 p^{8} T^{28} - 281601 p^{10} T^{29} - 353594 p^{10} T^{30} + 10998 p^{12} T^{31} + 77329 p^{12} T^{32} + 21321 p^{13} T^{33} + 2258 p^{14} T^{34} - 859 p^{15} T^{35} - 51 p^{17} T^{36} - 120 p^{17} T^{37} + 8 p^{18} T^{38} + 8 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 13 | \( 1 - 10 T + 58 T^{2} - 323 T^{3} + 1705 T^{4} - 8003 T^{5} + 37572 T^{6} - 172909 T^{7} + 767395 T^{8} - 3344202 T^{9} + 13988859 T^{10} - 56848352 T^{11} + 227655708 T^{12} - 894452242 T^{13} + 3496893949 T^{14} - 13511663886 T^{15} + 51241017455 T^{16} - 193291836963 T^{17} + 714868254694 T^{18} - 2598123737952 T^{19} + 9385591752033 T^{20} - 2598123737952 p T^{21} + 714868254694 p^{2} T^{22} - 193291836963 p^{3} T^{23} + 51241017455 p^{4} T^{24} - 13511663886 p^{5} T^{25} + 3496893949 p^{6} T^{26} - 894452242 p^{7} T^{27} + 227655708 p^{8} T^{28} - 56848352 p^{9} T^{29} + 13988859 p^{10} T^{30} - 3344202 p^{11} T^{31} + 767395 p^{12} T^{32} - 172909 p^{13} T^{33} + 37572 p^{14} T^{34} - 8003 p^{15} T^{35} + 1705 p^{16} T^{36} - 323 p^{17} T^{37} + 58 p^{18} T^{38} - 10 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 17 | \( 1 + 9 T + 40 T^{2} + 100 T^{3} - 246 T^{4} - 134 p T^{5} - 8909 T^{6} - 24479 T^{7} + 1113 T^{8} - 224535 T^{9} - 2290561 T^{10} - 16349752 T^{11} - 91534141 T^{12} - 16482742 p T^{13} - 628445950 T^{14} + 1744414036 T^{15} + 25418244278 T^{16} + 123431240367 T^{17} + 377484951692 T^{18} + 330981245066 T^{19} - 1445197923018 T^{20} + 330981245066 p T^{21} + 377484951692 p^{2} T^{22} + 123431240367 p^{3} T^{23} + 25418244278 p^{4} T^{24} + 1744414036 p^{5} T^{25} - 628445950 p^{6} T^{26} - 16482742 p^{8} T^{27} - 91534141 p^{8} T^{28} - 16349752 p^{9} T^{29} - 2290561 p^{10} T^{30} - 224535 p^{11} T^{31} + 1113 p^{12} T^{32} - 24479 p^{13} T^{33} - 8909 p^{14} T^{34} - 134 p^{16} T^{35} - 246 p^{16} T^{36} + 100 p^{17} T^{37} + 40 p^{18} T^{38} + 9 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 19 | \( 1 - 24 T + 252 T^{2} - 1489 T^{3} + 4733 T^{4} + 3733 T^{5} - 8703 p T^{6} + 1237434 T^{7} - 5578089 T^{8} + 16320194 T^{9} - 18257942 T^{10} - 187138908 T^{11} + 1933541143 T^{12} - 11304701304 T^{13} + 48272065375 T^{14} - 142867417584 T^{15} + 120166092742 T^{16} + 1544637215496 T^{17} - 11207167930805 T^{18} + 52159457753326 T^{19} - 225110036080269 T^{20} + 52159457753326 p T^{21} - 11207167930805 p^{2} T^{22} + 1544637215496 p^{3} T^{23} + 120166092742 p^{4} T^{24} - 142867417584 p^{5} T^{25} + 48272065375 p^{6} T^{26} - 11304701304 p^{7} T^{27} + 1933541143 p^{8} T^{28} - 187138908 p^{9} T^{29} - 18257942 p^{10} T^{30} + 16320194 p^{11} T^{31} - 5578089 p^{12} T^{32} + 1237434 p^{13} T^{33} - 8703 p^{15} T^{34} + 3733 p^{15} T^{35} + 4733 p^{16} T^{36} - 1489 p^{17} T^{37} + 252 p^{18} T^{38} - 24 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 29 | \( 1 - 12 T - 67 T^{2} + 1195 T^{3} + 1042 T^{4} - 48597 T^{5} + 5197 T^{6} + 1150766 T^{7} + 1427500 T^{8} - 23690871 T^{9} - 186659295 T^{10} + 749599372 T^{11} + 10720023417 T^{12} - 31499319861 T^{13} - 376737927236 T^{14} + 1065343656837 T^{15} + 10045093559315 T^{16} - 25490540704614 T^{17} - 266261175986743 T^{18} + 297289837349525 T^{19} + 7599931488502746 T^{20} + 297289837349525 p T^{21} - 266261175986743 p^{2} T^{22} - 25490540704614 p^{3} T^{23} + 10045093559315 p^{4} T^{24} + 1065343656837 p^{5} T^{25} - 376737927236 p^{6} T^{26} - 31499319861 p^{7} T^{27} + 10720023417 p^{8} T^{28} + 749599372 p^{9} T^{29} - 186659295 p^{10} T^{30} - 23690871 p^{11} T^{31} + 1427500 p^{12} T^{32} + 1150766 p^{13} T^{33} + 5197 p^{14} T^{34} - 48597 p^{15} T^{35} + 1042 p^{16} T^{36} + 1195 p^{17} T^{37} - 67 p^{18} T^{38} - 12 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 31 | \( 1 - 10 T + 134 T^{2} - 758 T^{3} + 7675 T^{4} - 42437 T^{5} + 404282 T^{6} - 1932071 T^{7} + 15085785 T^{8} - 64870146 T^{9} + 524687482 T^{10} - 2365711093 T^{11} + 16855502897 T^{12} - 79312877915 T^{13} + 567068279230 T^{14} - 3353689420274 T^{15} + 21041878154409 T^{16} - 125443438747332 T^{17} + 716718317074566 T^{18} - 4602431108233134 T^{19} + 24926288490663857 T^{20} - 4602431108233134 p T^{21} + 716718317074566 p^{2} T^{22} - 125443438747332 p^{3} T^{23} + 21041878154409 p^{4} T^{24} - 3353689420274 p^{5} T^{25} + 567068279230 p^{6} T^{26} - 79312877915 p^{7} T^{27} + 16855502897 p^{8} T^{28} - 2365711093 p^{9} T^{29} + 524687482 p^{10} T^{30} - 64870146 p^{11} T^{31} + 15085785 p^{12} T^{32} - 1932071 p^{13} T^{33} + 404282 p^{14} T^{34} - 42437 p^{15} T^{35} + 7675 p^{16} T^{36} - 758 p^{17} T^{37} + 134 p^{18} T^{38} - 10 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 37 | \( 1 + 18 T + 85 T^{2} - 390 T^{3} - 6629 T^{4} - 30356 T^{5} + 95098 T^{6} + 1788792 T^{7} + 4202378 T^{8} - 48185338 T^{9} - 404071013 T^{10} - 1298535796 T^{11} + 380299965 T^{12} + 51711042538 T^{13} + 458631920536 T^{14} + 1459019174670 T^{15} - 10051521013052 T^{16} - 164054790080866 T^{17} - 618726163001666 T^{18} + 4578533633789962 T^{19} + 57065299869074243 T^{20} + 4578533633789962 p T^{21} - 618726163001666 p^{2} T^{22} - 164054790080866 p^{3} T^{23} - 10051521013052 p^{4} T^{24} + 1459019174670 p^{5} T^{25} + 458631920536 p^{6} T^{26} + 51711042538 p^{7} T^{27} + 380299965 p^{8} T^{28} - 1298535796 p^{9} T^{29} - 404071013 p^{10} T^{30} - 48185338 p^{11} T^{31} + 4202378 p^{12} T^{32} + 1788792 p^{13} T^{33} + 95098 p^{14} T^{34} - 30356 p^{15} T^{35} - 6629 p^{16} T^{36} - 390 p^{17} T^{37} + 85 p^{18} T^{38} + 18 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 41 | \( 1 - 10 T - 114 T^{2} + 1506 T^{3} + 2757 T^{4} - 2249 p T^{5} + 243933 T^{6} + 2920729 T^{7} - 26804829 T^{8} - 21977155 T^{9} + 1492380725 T^{10} - 4237439576 T^{11} - 52174293824 T^{12} + 353017933581 T^{13} + 774069433040 T^{14} - 16950354155947 T^{15} + 38704074299184 T^{16} + 551121880563897 T^{17} - 4002933543559192 T^{18} - 8577951456589504 T^{19} + 203910150115021758 T^{20} - 8577951456589504 p T^{21} - 4002933543559192 p^{2} T^{22} + 551121880563897 p^{3} T^{23} + 38704074299184 p^{4} T^{24} - 16950354155947 p^{5} T^{25} + 774069433040 p^{6} T^{26} + 353017933581 p^{7} T^{27} - 52174293824 p^{8} T^{28} - 4237439576 p^{9} T^{29} + 1492380725 p^{10} T^{30} - 21977155 p^{11} T^{31} - 26804829 p^{12} T^{32} + 2920729 p^{13} T^{33} + 243933 p^{14} T^{34} - 2249 p^{16} T^{35} + 2757 p^{16} T^{36} + 1506 p^{17} T^{37} - 114 p^{18} T^{38} - 10 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 43 | \( 1 - 35 T + 567 T^{2} - 6482 T^{3} + 66662 T^{4} - 645520 T^{5} + 5810987 T^{6} - 48597733 T^{7} + 371510041 T^{8} - 2643204420 T^{9} + 17674945398 T^{10} - 105727723373 T^{11} + 540972251826 T^{12} - 2059075592526 T^{13} + 649816071717 T^{14} + 88212600828558 T^{15} - 1205960437326518 T^{16} + 11953353936135423 T^{17} - 98903689285419458 T^{18} + 732724305899372468 T^{19} - 5012641069620623889 T^{20} + 732724305899372468 p T^{21} - 98903689285419458 p^{2} T^{22} + 11953353936135423 p^{3} T^{23} - 1205960437326518 p^{4} T^{24} + 88212600828558 p^{5} T^{25} + 649816071717 p^{6} T^{26} - 2059075592526 p^{7} T^{27} + 540972251826 p^{8} T^{28} - 105727723373 p^{9} T^{29} + 17674945398 p^{10} T^{30} - 2643204420 p^{11} T^{31} + 371510041 p^{12} T^{32} - 48597733 p^{13} T^{33} + 5810987 p^{14} T^{34} - 645520 p^{15} T^{35} + 66662 p^{16} T^{36} - 6482 p^{17} T^{37} + 567 p^{18} T^{38} - 35 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 47 | \( ( 1 + T + 158 T^{2} + 8 p T^{3} + 13303 T^{4} + 53535 T^{5} + 946350 T^{6} + 4112977 T^{7} + 59396726 T^{8} + 219980016 T^{9} + 3078120533 T^{10} + 219980016 p T^{11} + 59396726 p^{2} T^{12} + 4112977 p^{3} T^{13} + 946350 p^{4} T^{14} + 53535 p^{5} T^{15} + 13303 p^{6} T^{16} + 8 p^{8} T^{17} + 158 p^{8} T^{18} + p^{9} T^{19} + p^{10} T^{20} )^{2} \) | |
| 53 | \( 1 + 5 T + 51 T^{2} + 595 T^{3} + 2839 T^{4} + 26462 T^{5} + 145564 T^{6} + 743850 T^{7} + 5187559 T^{8} - 9941890 T^{9} - 35840051 T^{10} - 4581262764 T^{11} - 19433102310 T^{12} - 98940938897 T^{13} - 1096107884097 T^{14} + 4668708827649 T^{15} + 43678935628705 T^{16} + 633329500748410 T^{17} + 8062327369739114 T^{18} + 51635096968093848 T^{19} + 472566844582501503 T^{20} + 51635096968093848 p T^{21} + 8062327369739114 p^{2} T^{22} + 633329500748410 p^{3} T^{23} + 43678935628705 p^{4} T^{24} + 4668708827649 p^{5} T^{25} - 1096107884097 p^{6} T^{26} - 98940938897 p^{7} T^{27} - 19433102310 p^{8} T^{28} - 4581262764 p^{9} T^{29} - 35840051 p^{10} T^{30} - 9941890 p^{11} T^{31} + 5187559 p^{12} T^{32} + 743850 p^{13} T^{33} + 145564 p^{14} T^{34} + 26462 p^{15} T^{35} + 2839 p^{16} T^{36} + 595 p^{17} T^{37} + 51 p^{18} T^{38} + 5 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 59 | \( 1 - 41 T + 913 T^{2} - 14997 T^{3} + 203431 T^{4} - 2350391 T^{5} + 23374344 T^{6} - 203007532 T^{7} + 1564347264 T^{8} - 10971437923 T^{9} + 75041826526 T^{10} - 567907579491 T^{11} + 5167877252932 T^{12} - 52599927939636 T^{13} + 526749214679551 T^{14} - 4821318377051737 T^{15} + 39545367549341390 T^{16} - 292455010641582662 T^{17} + 1999568112398060742 T^{18} - 13406494422249449930 T^{19} + 96691071763912858131 T^{20} - 13406494422249449930 p T^{21} + 1999568112398060742 p^{2} T^{22} - 292455010641582662 p^{3} T^{23} + 39545367549341390 p^{4} T^{24} - 4821318377051737 p^{5} T^{25} + 526749214679551 p^{6} T^{26} - 52599927939636 p^{7} T^{27} + 5167877252932 p^{8} T^{28} - 567907579491 p^{9} T^{29} + 75041826526 p^{10} T^{30} - 10971437923 p^{11} T^{31} + 1564347264 p^{12} T^{32} - 203007532 p^{13} T^{33} + 23374344 p^{14} T^{34} - 2350391 p^{15} T^{35} + 203431 p^{16} T^{36} - 14997 p^{17} T^{37} + 913 p^{18} T^{38} - 41 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 61 | \( 1 + 13 T - 60 T^{2} - 2612 T^{3} - 15003 T^{4} + 100279 T^{5} + 1903557 T^{6} + 10954221 T^{7} + 12672790 T^{8} - 800102006 T^{9} - 12112961179 T^{10} - 59157771400 T^{11} + 479177951078 T^{12} + 7550071333662 T^{13} + 31890998032060 T^{14} - 103532444522825 T^{15} - 2309029969616480 T^{16} - 22681070722503046 T^{17} - 90474577182005101 T^{18} + 916305827480323236 T^{19} + 15097916789735610599 T^{20} + 916305827480323236 p T^{21} - 90474577182005101 p^{2} T^{22} - 22681070722503046 p^{3} T^{23} - 2309029969616480 p^{4} T^{24} - 103532444522825 p^{5} T^{25} + 31890998032060 p^{6} T^{26} + 7550071333662 p^{7} T^{27} + 479177951078 p^{8} T^{28} - 59157771400 p^{9} T^{29} - 12112961179 p^{10} T^{30} - 800102006 p^{11} T^{31} + 12672790 p^{12} T^{32} + 10954221 p^{13} T^{33} + 1903557 p^{14} T^{34} + 100279 p^{15} T^{35} - 15003 p^{16} T^{36} - 2612 p^{17} T^{37} - 60 p^{18} T^{38} + 13 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 67 | \( 1 + 9 T - 337 T^{2} - 4839 T^{3} + 44298 T^{4} + 1132981 T^{5} - 440595 T^{6} - 154086318 T^{7} - 773767208 T^{8} + 12301905801 T^{9} + 141655410926 T^{10} - 326567723604 T^{11} - 13755036511502 T^{12} - 54542970952515 T^{13} + 727217719747252 T^{14} + 8656605590327801 T^{15} + 1622077958659168 T^{16} - 623781141371941467 T^{17} - 4122992200747057095 T^{18} + 18074669471187244023 T^{19} + \)\(39\!\cdots\!75\)\( T^{20} + 18074669471187244023 p T^{21} - 4122992200747057095 p^{2} T^{22} - 623781141371941467 p^{3} T^{23} + 1622077958659168 p^{4} T^{24} + 8656605590327801 p^{5} T^{25} + 727217719747252 p^{6} T^{26} - 54542970952515 p^{7} T^{27} - 13755036511502 p^{8} T^{28} - 326567723604 p^{9} T^{29} + 141655410926 p^{10} T^{30} + 12301905801 p^{11} T^{31} - 773767208 p^{12} T^{32} - 154086318 p^{13} T^{33} - 440595 p^{14} T^{34} + 1132981 p^{15} T^{35} + 44298 p^{16} T^{36} - 4839 p^{17} T^{37} - 337 p^{18} T^{38} + 9 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 71 | \( 1 + 19 T + 83 T^{2} - 816 T^{3} - 6625 T^{4} + 14575 T^{5} + 69541 T^{6} - 1592636 T^{7} - 12108235 T^{8} - 196163533 T^{9} - 3746523573 T^{10} - 48113457043 T^{11} - 279634239359 T^{12} + 1030580907940 T^{13} + 17532711356992 T^{14} - 64779962713440 T^{15} - 898237358003269 T^{16} + 4646236140350778 T^{17} + 86466675434941796 T^{18} + 900300579683224304 T^{19} + 9271746160980739561 T^{20} + 900300579683224304 p T^{21} + 86466675434941796 p^{2} T^{22} + 4646236140350778 p^{3} T^{23} - 898237358003269 p^{4} T^{24} - 64779962713440 p^{5} T^{25} + 17532711356992 p^{6} T^{26} + 1030580907940 p^{7} T^{27} - 279634239359 p^{8} T^{28} - 48113457043 p^{9} T^{29} - 3746523573 p^{10} T^{30} - 196163533 p^{11} T^{31} - 12108235 p^{12} T^{32} - 1592636 p^{13} T^{33} + 69541 p^{14} T^{34} + 14575 p^{15} T^{35} - 6625 p^{16} T^{36} - 816 p^{17} T^{37} + 83 p^{18} T^{38} + 19 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 73 | \( 1 + 27 T - 49 T^{2} - 8346 T^{3} - 56095 T^{4} + 14567 p T^{5} + 14512055 T^{6} - 49029069 T^{7} - 1832046917 T^{8} - 4811768775 T^{9} + 142698735069 T^{10} + 1167290774645 T^{11} - 6314222788672 T^{12} - 130217378630554 T^{13} - 71752041870944 T^{14} + 10325321569056809 T^{15} + 48322092625455436 T^{16} - 592140752562355010 T^{17} - 6063599567403657515 T^{18} + 16569795153193735530 T^{19} + \)\(51\!\cdots\!14\)\( T^{20} + 16569795153193735530 p T^{21} - 6063599567403657515 p^{2} T^{22} - 592140752562355010 p^{3} T^{23} + 48322092625455436 p^{4} T^{24} + 10325321569056809 p^{5} T^{25} - 71752041870944 p^{6} T^{26} - 130217378630554 p^{7} T^{27} - 6314222788672 p^{8} T^{28} + 1167290774645 p^{9} T^{29} + 142698735069 p^{10} T^{30} - 4811768775 p^{11} T^{31} - 1832046917 p^{12} T^{32} - 49029069 p^{13} T^{33} + 14512055 p^{14} T^{34} + 14567 p^{16} T^{35} - 56095 p^{16} T^{36} - 8346 p^{17} T^{37} - 49 p^{18} T^{38} + 27 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 79 | \( 1 + 83 T + 3229 T^{2} + 78771 T^{3} + 1360907 T^{4} + 17747029 T^{5} + 178442571 T^{6} + 1318577173 T^{7} + 5245494785 T^{8} - 26916412207 T^{9} - 688944277333 T^{10} - 5280206060532 T^{11} + 11833858144127 T^{12} + 923189234494892 T^{13} + 193203242168129 p T^{14} + 169446648447312438 T^{15} + 1393749417833100974 T^{16} + 7898356705887080574 T^{17} + 15891588591444807484 T^{18} - \)\(26\!\cdots\!23\)\( T^{19} - \)\(36\!\cdots\!29\)\( T^{20} - \)\(26\!\cdots\!23\)\( p T^{21} + 15891588591444807484 p^{2} T^{22} + 7898356705887080574 p^{3} T^{23} + 1393749417833100974 p^{4} T^{24} + 169446648447312438 p^{5} T^{25} + 193203242168129 p^{7} T^{26} + 923189234494892 p^{7} T^{27} + 11833858144127 p^{8} T^{28} - 5280206060532 p^{9} T^{29} - 688944277333 p^{10} T^{30} - 26916412207 p^{11} T^{31} + 5245494785 p^{12} T^{32} + 1318577173 p^{13} T^{33} + 178442571 p^{14} T^{34} + 17747029 p^{15} T^{35} + 1360907 p^{16} T^{36} + 78771 p^{17} T^{37} + 3229 p^{18} T^{38} + 83 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 83 | \( 1 - 67 T + 2213 T^{2} - 49993 T^{3} + 896668 T^{4} - 13779193 T^{5} + 188412483 T^{6} - 2340658030 T^{7} + 26777861702 T^{8} - 285062809625 T^{9} + 2847595768468 T^{10} - 26869752855934 T^{11} + 241233089991778 T^{12} - 2079971489872049 T^{13} + 17436911144135816 T^{14} - 144599134630260603 T^{15} + 1208646255676931134 T^{16} - 10315114326872771811 T^{17} + 90233346610071163341 T^{18} - \)\(80\!\cdots\!31\)\( T^{19} + \)\(72\!\cdots\!67\)\( T^{20} - \)\(80\!\cdots\!31\)\( p T^{21} + 90233346610071163341 p^{2} T^{22} - 10315114326872771811 p^{3} T^{23} + 1208646255676931134 p^{4} T^{24} - 144599134630260603 p^{5} T^{25} + 17436911144135816 p^{6} T^{26} - 2079971489872049 p^{7} T^{27} + 241233089991778 p^{8} T^{28} - 26869752855934 p^{9} T^{29} + 2847595768468 p^{10} T^{30} - 285062809625 p^{11} T^{31} + 26777861702 p^{12} T^{32} - 2340658030 p^{13} T^{33} + 188412483 p^{14} T^{34} - 13779193 p^{15} T^{35} + 896668 p^{16} T^{36} - 49993 p^{17} T^{37} + 2213 p^{18} T^{38} - 67 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 89 | \( 1 + 5 T - 25 T^{2} - 1096 T^{3} - 8331 T^{4} - 8721 T^{5} + 899098 T^{6} + 2262003 T^{7} - 53415589 T^{8} - 1115445180 T^{9} + 273194454 T^{10} + 154552038615 T^{11} + 1491838219341 T^{12} - 1199327424269 T^{13} - 125456650170894 T^{14} - 1124099813937917 T^{15} + 622354984158761 T^{16} + 119069351123803568 T^{17} + 721825449679471296 T^{18} - 4533691496925569566 T^{19} - \)\(11\!\cdots\!23\)\( T^{20} - 4533691496925569566 p T^{21} + 721825449679471296 p^{2} T^{22} + 119069351123803568 p^{3} T^{23} + 622354984158761 p^{4} T^{24} - 1124099813937917 p^{5} T^{25} - 125456650170894 p^{6} T^{26} - 1199327424269 p^{7} T^{27} + 1491838219341 p^{8} T^{28} + 154552038615 p^{9} T^{29} + 273194454 p^{10} T^{30} - 1115445180 p^{11} T^{31} - 53415589 p^{12} T^{32} + 2262003 p^{13} T^{33} + 899098 p^{14} T^{34} - 8721 p^{15} T^{35} - 8331 p^{16} T^{36} - 1096 p^{17} T^{37} - 25 p^{18} T^{38} + 5 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 97 | \( 1 - 18 T + 217 T^{2} - 459 T^{3} - 165 T^{4} - 58184 T^{5} + 2022945 T^{6} - 8627114 T^{7} - 72720422 T^{8} + 1290108908 T^{9} + 5885657778 T^{10} - 93480419036 T^{11} - 259130726070 T^{12} + 13697917648969 T^{13} - 218945380462 T^{14} - 1990820824616916 T^{15} + 15584041952796128 T^{16} - 15011258222155937 T^{17} - 70947882815197672 T^{18} - 20273662042860585271 T^{19} + \)\(30\!\cdots\!33\)\( T^{20} - 20273662042860585271 p T^{21} - 70947882815197672 p^{2} T^{22} - 15011258222155937 p^{3} T^{23} + 15584041952796128 p^{4} T^{24} - 1990820824616916 p^{5} T^{25} - 218945380462 p^{6} T^{26} + 13697917648969 p^{7} T^{27} - 259130726070 p^{8} T^{28} - 93480419036 p^{9} T^{29} + 5885657778 p^{10} T^{30} + 1290108908 p^{11} T^{31} - 72720422 p^{12} T^{32} - 8627114 p^{13} T^{33} + 2022945 p^{14} T^{34} - 58184 p^{15} T^{35} - 165 p^{16} T^{36} - 459 p^{17} T^{37} + 217 p^{18} T^{38} - 18 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| show more | ||
| show less | ||
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{40} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−3.64366035660275821600007855062, −3.45647756125161459986461741455, −3.34413516324959046072083850938, −3.30797630554615500040109613916, −3.20999085756290931290778988023, −3.04311605327226575506925067881, −3.01390074293742003065565366322, −2.99899989313015257435659562236, −2.91368371658756808482495610525, −2.91093235687971562855458889058, −2.82861441054998136032988717781, −2.53265768285240510002412189925, −2.47082449458151080584000275221, −2.38149058812684588018471157631, −2.37342495972559384238638693814, −2.29389387159195127676132067673, −2.14663739130881768059446064570, −1.92057895864577741253382987939, −1.83701948751529661838306187330, −1.70020396120515672489780080241, −1.50696570994404408520774412602, −1.17512109069779873016989300480, −1.03161850595498093140844299065, −0.78348238737044849138315587848, −0.77841955954852869248940946531, 0.77841955954852869248940946531, 0.78348238737044849138315587848, 1.03161850595498093140844299065, 1.17512109069779873016989300480, 1.50696570994404408520774412602, 1.70020396120515672489780080241, 1.83701948751529661838306187330, 1.92057895864577741253382987939, 2.14663739130881768059446064570, 2.29389387159195127676132067673, 2.37342495972559384238638693814, 2.38149058812684588018471157631, 2.47082449458151080584000275221, 2.53265768285240510002412189925, 2.82861441054998136032988717781, 2.91093235687971562855458889058, 2.91368371658756808482495610525, 2.99899989313015257435659562236, 3.01390074293742003065565366322, 3.04311605327226575506925067881, 3.20999085756290931290778988023, 3.30797630554615500040109613916, 3.34413516324959046072083850938, 3.45647756125161459986461741455, 3.64366035660275821600007855062
Graph of the $Z$-function along the critical line
Plot not available for L-functions of degree greater than 10.