| L(s) = 1 | + 34·3-s − 6·4-s + 24·5-s + 84·7-s − 188·8-s + 210·9-s + 363·11-s − 204·12-s + 486·13-s + 816·15-s − 156·16-s + 1.08e3·17-s + 1.38e3·19-s − 144·20-s + 2.85e3·21-s − 3.06e3·23-s − 6.39e3·24-s − 4.42e3·25-s − 9.71e3·27-s − 504·28-s − 3.42e3·29-s − 4.09e3·31-s + 2.25e3·32-s + 1.23e4·33-s + 2.01e3·35-s − 1.26e3·36-s + 1.77e4·37-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | + 2.18·3-s − 0.187·4-s + 0.429·5-s + 0.647·7-s − 1.03·8-s + 0.864·9-s + 0.904·11-s − 0.408·12-s + 0.797·13-s + 0.936·15-s − 0.152·16-s + 0.911·17-s + 0.876·19-s − 0.0804·20-s + 1.41·21-s − 1.20·23-s − 2.26·24-s − 1.41·25-s − 2.56·27-s − 0.121·28-s − 0.756·29-s − 0.765·31-s + 0.389·32-s + 1.97·33-s + 0.278·35-s − 0.162·36-s + 2.12·37-s + ⋯ |
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut & 1331 ^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{3} \, L(s)\cr =\mathstrut & \, \Lambda(6-s) \end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut & 1331 ^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{3} \, L(s)\cr =\mathstrut & \, \Lambda(1-s) \end{aligned}\]
Particular Values
| \(L(3)\) |
\(\approx\) |
\(2.808091717\) |
| \(L(\frac12)\) |
\(\approx\) |
\(2.808091717\) |
| \(L(\frac{7}{2})\) |
|
not available |
| \(L(1)\) |
|
not available |
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $\Gal(F_p)$ | $F_p(T)$ |
|---|
| bad | 11 | $C_1$ | \( ( 1 - p^{2} T )^{3} \) |
| good | 2 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 3 p T^{2} + 47 p^{2} T^{3} + 3 p^{6} T^{4} + p^{15} T^{6} \) |
| 3 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 34 T + 946 T^{2} - 5104 p T^{3} + 946 p^{5} T^{4} - 34 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 5 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 24 T + 5004 T^{2} - 111046 T^{3} + 5004 p^{5} T^{4} - 24 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 7 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 12 p T + 639 p T^{2} + 2556872 T^{3} + 639 p^{6} T^{4} - 12 p^{11} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 13 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 486 T + 767415 T^{2} - 196760188 T^{3} + 767415 p^{5} T^{4} - 486 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 17 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 1086 T + 2690223 T^{2} - 2752177348 T^{3} + 2690223 p^{5} T^{4} - 1086 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 19 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 1380 T + 7644297 T^{2} - 6777009240 T^{3} + 7644297 p^{5} T^{4} - 1380 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 23 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 3066 T + 8993526 T^{2} + 22463329348 T^{3} + 8993526 p^{5} T^{4} + 3066 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 29 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 3426 T + 62121159 T^{2} + 136513203828 T^{3} + 62121159 p^{5} T^{4} + 3426 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 31 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 4098 T + 90136878 T^{2} + 235738865996 T^{3} + 90136878 p^{5} T^{4} + 4098 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 37 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 17724 T + 229846956 T^{2} - 1916316420702 T^{3} + 229846956 p^{5} T^{4} - 17724 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 41 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 5994 T + 174379803 T^{2} - 1186954316020 T^{3} + 174379803 p^{5} T^{4} - 5994 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 43 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 26208 T + 443706117 T^{2} + 5261719449744 T^{3} + 443706117 p^{5} T^{4} + 26208 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 47 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 17232 T + 689784333 T^{2} + 7833971382112 T^{3} + 689784333 p^{5} T^{4} + 17232 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 53 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 50586 T + 1969881291 T^{2} - 44160585727452 T^{3} + 1969881291 p^{5} T^{4} - 50586 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 59 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 3738 T + 1293303186 T^{2} + 13104411496384 T^{3} + 1293303186 p^{5} T^{4} + 3738 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 61 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 18486 T + 1754869767 T^{2} - 15992539689564 T^{3} + 1754869767 p^{5} T^{4} - 18486 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 67 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 47754 T + 997454514 T^{2} - 18340812610856 T^{3} + 997454514 p^{5} T^{4} + 47754 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 71 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 39282 T + 4433022990 T^{2} - 143037873283668 T^{3} + 4433022990 p^{5} T^{4} - 39282 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 73 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 15426 T + 2562304635 T^{2} - 98498106053188 T^{3} + 2562304635 p^{5} T^{4} - 15426 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 79 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 125148 T + 13122635793 T^{2} - 768895025227784 T^{3} + 13122635793 p^{5} T^{4} - 125148 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 83 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 143928 T + 12127124157 T^{2} + 722278658611584 T^{3} + 12127124157 p^{5} T^{4} + 143928 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 89 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 106824 T + 17674467768 T^{2} + 1102702152985302 T^{3} + 17674467768 p^{5} T^{4} + 106824 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 97 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 9684 T + 23649435576 T^{2} - 176541508624682 T^{3} + 23649435576 p^{5} T^{4} - 9684 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| show more | | |
| show less | | |
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{6} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−18.18120691900491688818059213142, −17.22343104291337690704786546439, −16.78119483762825834620605882746, −16.32063530331324033958351256576, −15.46760807784459608929348040494, −14.88796235274301749616242188507, −14.83242559757902066159747415911, −14.23740802217302320889279843020, −13.97911494013984950872619652115, −13.52417057545944201388601644620, −13.07491618127576319982311433708, −12.04382060762040155068358098121, −11.52665372202715867775674536269, −11.35783285082717437751042033488, −9.787141937630919361056743990519, −9.746999007057604474252975238105, −8.993526732987570460136666348473, −8.565526045186280179248112159778, −8.097847301882656318990005265289, −7.52056970875392553016543902856, −6.07389680191523228400090157786, −5.65524928452027946393136147035, −3.83700042132674970157589138222, −3.23172583586239099777043617004, −2.06717744522228783734671585055,
2.06717744522228783734671585055, 3.23172583586239099777043617004, 3.83700042132674970157589138222, 5.65524928452027946393136147035, 6.07389680191523228400090157786, 7.52056970875392553016543902856, 8.097847301882656318990005265289, 8.565526045186280179248112159778, 8.993526732987570460136666348473, 9.746999007057604474252975238105, 9.787141937630919361056743990519, 11.35783285082717437751042033488, 11.52665372202715867775674536269, 12.04382060762040155068358098121, 13.07491618127576319982311433708, 13.52417057545944201388601644620, 13.97911494013984950872619652115, 14.23740802217302320889279843020, 14.83242559757902066159747415911, 14.88796235274301749616242188507, 15.46760807784459608929348040494, 16.32063530331324033958351256576, 16.78119483762825834620605882746, 17.22343104291337690704786546439, 18.18120691900491688818059213142
