| L(s) = 1 | + 75·5-s + 140·7-s − 163·11-s + 51·13-s − 605·17-s − 1.62e3·19-s + 1.64e3·23-s + 3.75e3·25-s − 557·29-s − 2.80e3·31-s + 1.05e4·35-s − 6.14e3·37-s − 1.37e4·41-s − 2.36e3·43-s − 1.49e4·47-s − 3.24e4·49-s + 964·53-s − 1.22e4·55-s − 4.82e4·59-s + 6.29e3·61-s + 3.82e3·65-s + 4.82e3·67-s − 2.79e4·71-s − 3.63e4·73-s − 2.28e4·77-s + 2.52e4·79-s − 4.82e4·83-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | + 1.34·5-s + 1.07·7-s − 0.406·11-s + 0.0836·13-s − 0.507·17-s − 1.03·19-s + 0.648·23-s + 6/5·25-s − 0.122·29-s − 0.524·31-s + 1.44·35-s − 0.737·37-s − 1.27·41-s − 0.195·43-s − 0.984·47-s − 1.92·49-s + 0.0471·53-s − 0.544·55-s − 1.80·59-s + 0.216·61-s + 0.112·65-s + 0.131·67-s − 0.658·71-s − 0.797·73-s − 0.438·77-s + 0.455·79-s − 0.768·83-s + ⋯ |
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{9} \cdot 3^{9} \cdot 5^{3}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{3} \, L(s)\cr=\mathstrut & -\,\Lambda(6-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{9} \cdot 3^{9} \cdot 5^{3}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{3} \, L(s)\cr=\mathstrut & -\,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Particular Values
| \(L(3)\) |
\(=\) |
\(0\) |
| \(L(\frac12)\) |
\(=\) |
\(0\) |
| \(L(\frac{7}{2})\) |
|
not available |
| \(L(1)\) |
|
not available |
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $\Gal(F_p)$ | $F_p(T)$ |
|---|
| bad | 2 | | \( 1 \) |
| 3 | | \( 1 \) |
| 5 | $C_1$ | \( ( 1 - p^{2} T )^{3} \) |
| good | 7 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 20 p T + 52018 T^{2} - 4463338 T^{3} + 52018 p^{5} T^{4} - 20 p^{11} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 11 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 163 T + 353841 T^{2} + 34196302 T^{3} + 353841 p^{5} T^{4} + 163 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 13 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 51 T + 791238 T^{2} - 96926475 T^{3} + 791238 p^{5} T^{4} - 51 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 17 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 605 T + 2991559 T^{2} + 820487594 T^{3} + 2991559 p^{5} T^{4} + 605 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 19 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 1622 T + 6388742 T^{2} + 8175203840 T^{3} + 6388742 p^{5} T^{4} + 1622 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 23 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 1645 T + 19762357 T^{2} - 21016182154 T^{3} + 19762357 p^{5} T^{4} - 1645 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 29 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 557 T - 571437 T^{2} - 151165065394 T^{3} - 571437 p^{5} T^{4} + 557 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 31 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 2807 T + 39961101 T^{2} + 168020501458 T^{3} + 39961101 p^{5} T^{4} + 2807 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 37 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 6140 T + 171093744 T^{2} + 762750660154 T^{3} + 171093744 p^{5} T^{4} + 6140 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 41 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 13760 T + 193902343 T^{2} + 1082748115520 T^{3} + 193902343 p^{5} T^{4} + 13760 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 43 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 2369 T + 340386049 T^{2} + 796353903526 T^{3} + 340386049 p^{5} T^{4} + 2369 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 47 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 14909 T + 653109713 T^{2} + 5981453336598 T^{3} + 653109713 p^{5} T^{4} + 14909 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 53 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 964 T + 1186313851 T^{2} - 578673196696 T^{3} + 1186313851 p^{5} T^{4} - 964 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 59 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 48240 T + 2652783585 T^{2} + 68064012213984 T^{3} + 2652783585 p^{5} T^{4} + 48240 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 61 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 6296 T + 242541252 T^{2} + 21503703836678 T^{3} + 242541252 p^{5} T^{4} - 6296 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 67 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 4826 T + 2757962210 T^{2} + 4441451687752 T^{3} + 2757962210 p^{5} T^{4} - 4826 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 71 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 27988 T + 2898269889 T^{2} + 32376442559944 T^{3} + 2898269889 p^{5} T^{4} + 27988 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 73 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 36328 T + 4089978292 T^{2} + 89883134286194 T^{3} + 4089978292 p^{5} T^{4} + 36328 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 79 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 25293 T + 8621623788 T^{2} - 142977990118489 T^{3} + 8621623788 p^{5} T^{4} - 25293 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 83 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 48246 T + 2452543989 T^{2} + 75657201756684 T^{3} + 2452543989 p^{5} T^{4} + 48246 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 89 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 41208 T + 15675362763 T^{2} - 420976343250352 T^{3} + 15675362763 p^{5} T^{4} - 41208 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 97 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 49164 T - 2392080900 T^{2} - 1344988473301514 T^{3} - 2392080900 p^{5} T^{4} + 49164 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| show more | | |
| show less | | |
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{6} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−8.665283990390308726057694466862, −8.062642313002520131683410809044, −8.026056635776396311177441382609, −7.77604711793657610338807703202, −7.32665200463068951560539358136, −6.91458202245764088277708492148, −6.83596545044430436454000020832, −6.39315399513127543367608379827, −6.25568657618134882481590072179, −6.01036640797103981253828954633, −5.36398453223717531940422412348, −5.30305351935533750835968894792, −5.18956978029216200526922975670, −4.56750394621856169310124165835, −4.55425117733215234143888042924, −4.29429332996710359612037347596, −3.53071153279303598346107680404, −3.26374607725803957656055880919, −3.20838920354322821996047174187, −2.41415708012923262405815595388, −2.27855750996644739347962331952, −2.05886271694925613412805051500, −1.43653965839442008590258580055, −1.31158620239993245865347300358, −1.21216488252169566402675192787, 0, 0, 0,
1.21216488252169566402675192787, 1.31158620239993245865347300358, 1.43653965839442008590258580055, 2.05886271694925613412805051500, 2.27855750996644739347962331952, 2.41415708012923262405815595388, 3.20838920354322821996047174187, 3.26374607725803957656055880919, 3.53071153279303598346107680404, 4.29429332996710359612037347596, 4.55425117733215234143888042924, 4.56750394621856169310124165835, 5.18956978029216200526922975670, 5.30305351935533750835968894792, 5.36398453223717531940422412348, 6.01036640797103981253828954633, 6.25568657618134882481590072179, 6.39315399513127543367608379827, 6.83596545044430436454000020832, 6.91458202245764088277708492148, 7.32665200463068951560539358136, 7.77604711793657610338807703202, 8.026056635776396311177441382609, 8.062642313002520131683410809044, 8.665283990390308726057694466862
