Properties

Degree 72
Conductor $ 2^{72} \cdot 3^{108} $
Sign $1$
Motivic weight 2
Primitive no
Self-dual yes
Analytic rank 0

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Normalization:  

Dirichlet series

L(s)  = 1  − 9·5-s + 3·9-s + 36·11-s − 18·23-s + 36·25-s − 18·29-s + 45·31-s − 198·41-s + 90·43-s − 27·45-s − 243·47-s + 36·49-s − 324·55-s + 252·59-s − 144·61-s + 108·67-s + 324·71-s − 63·73-s + 36·79-s − 9·81-s − 27·83-s − 567·89-s − 216·97-s + 108·99-s − 441·101-s + 72·103-s + 810·113-s + ⋯
L(s)  = 1  − 9/5·5-s + 1/3·9-s + 3.27·11-s − 0.782·23-s + 1.43·25-s − 0.620·29-s + 1.45·31-s − 4.82·41-s + 2.09·43-s − 3/5·45-s − 5.17·47-s + 0.734·49-s − 5.89·55-s + 4.27·59-s − 2.36·61-s + 1.61·67-s + 4.56·71-s − 0.863·73-s + 0.455·79-s − 1/9·81-s − 0.325·83-s − 6.37·89-s − 2.22·97-s + 1.09·99-s − 4.36·101-s + 0.699·103-s + 7.16·113-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{72} \cdot 3^{108}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{36} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(3-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{72} \cdot 3^{108}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1)^{36} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]

Invariants

\( d \)  =  \(72\)
\( N \)  =  \(2^{72} \cdot 3^{108}\)
\( \varepsilon \)  =  $1$
motivic weight  =  \(2\)
character  :  induced by $\chi_{108} (1, \cdot )$
primitive  :  no
self-dual  :  yes
analytic rank  =  \(0\)
Selberg data  =  \((72,\ 2^{72} \cdot 3^{108} ,\ ( \ : [1]^{36} ),\ 1 )\)
\(L(\frac{3}{2})\)  \(\approx\)  \(0.0660552\)
\(L(\frac12)\)  \(\approx\)  \(0.0660552\)
\(L(2)\)   not available
\(L(1)\)   not available

Euler product

\[L(s) = \prod_{p \text{ prime}} F_p(p^{-s})^{-1} \]where, for $p \notin \{2,\;3\}$,\(F_p(T)\) is a polynomial of degree 72. If $p \in \{2,\;3\}$, then $F_p(T)$ is a polynomial of degree at most 71.
$p$$F_p(T)$
bad2 \( 1 \)
3 \( 1 - p T^{2} + 2 p^{2} T^{4} + 31 p^{2} T^{5} - 188 p T^{6} - 79 p^{3} T^{7} + 5 p^{6} T^{8} + 212 p^{3} T^{9} + 94 p^{5} T^{10} - 643 p^{5} T^{11} - 4040 p^{4} T^{12} + 2731 p^{6} T^{13} - 197 p^{7} T^{14} - 514 p^{8} T^{15} - 3250 p^{8} T^{16} - 86 p^{12} T^{17} + 19252 p^{9} T^{18} - 86 p^{14} T^{19} - 3250 p^{12} T^{20} - 514 p^{14} T^{21} - 197 p^{15} T^{22} + 2731 p^{16} T^{23} - 4040 p^{16} T^{24} - 643 p^{19} T^{25} + 94 p^{21} T^{26} + 212 p^{21} T^{27} + 5 p^{26} T^{28} - 79 p^{25} T^{29} - 188 p^{25} T^{30} + 31 p^{28} T^{31} + 2 p^{30} T^{32} - p^{33} T^{34} + p^{36} T^{36} \)
good5 \( 1 + 9 T + 9 p T^{2} - 189 T^{3} - 1611 T^{4} - 2853 p T^{5} - 29802 T^{6} - 182268 T^{7} + 463032 p T^{8} + 1916217 p T^{9} + 84343797 T^{10} - 121161753 T^{11} + 157699218 T^{12} - 15380876907 T^{13} - 17938368252 T^{14} - 270252182106 T^{15} + 1974731290983 T^{16} + 482876704926 T^{17} + 56056091685269 T^{18} - 155785217242572 T^{19} + 120695114619018 p T^{20} - 386387686503738 p^{2} T^{21} + 12589554738115827 T^{22} - 29927547775888587 p T^{23} + 1183208852096928927 T^{24} - 2182115467609779033 T^{25} + 32888209016721956931 T^{26} - \)\(10\!\cdots\!02\)\( T^{27} + \)\(38\!\cdots\!42\)\( T^{28} - \)\(49\!\cdots\!97\)\( T^{29} + \)\(13\!\cdots\!99\)\( T^{30} - \)\(79\!\cdots\!46\)\( T^{31} + \)\(49\!\cdots\!04\)\( T^{32} - \)\(36\!\cdots\!11\)\( p T^{33} + \)\(13\!\cdots\!44\)\( T^{34} - \)\(23\!\cdots\!06\)\( p^{2} T^{35} + \)\(22\!\cdots\!84\)\( T^{36} - \)\(23\!\cdots\!06\)\( p^{4} T^{37} + \)\(13\!\cdots\!44\)\( p^{4} T^{38} - \)\(36\!\cdots\!11\)\( p^{7} T^{39} + \)\(49\!\cdots\!04\)\( p^{8} T^{40} - \)\(79\!\cdots\!46\)\( p^{10} T^{41} + \)\(13\!\cdots\!99\)\( p^{12} T^{42} - \)\(49\!\cdots\!97\)\( p^{14} T^{43} + \)\(38\!\cdots\!42\)\( p^{16} T^{44} - \)\(10\!\cdots\!02\)\( p^{18} T^{45} + 32888209016721956931 p^{20} T^{46} - 2182115467609779033 p^{22} T^{47} + 1183208852096928927 p^{24} T^{48} - 29927547775888587 p^{27} T^{49} + 12589554738115827 p^{28} T^{50} - 386387686503738 p^{32} T^{51} + 120695114619018 p^{33} T^{52} - 155785217242572 p^{34} T^{53} + 56056091685269 p^{36} T^{54} + 482876704926 p^{38} T^{55} + 1974731290983 p^{40} T^{56} - 270252182106 p^{42} T^{57} - 17938368252 p^{44} T^{58} - 15380876907 p^{46} T^{59} + 157699218 p^{48} T^{60} - 121161753 p^{50} T^{61} + 84343797 p^{52} T^{62} + 1916217 p^{55} T^{63} + 463032 p^{57} T^{64} - 182268 p^{58} T^{65} - 29802 p^{60} T^{66} - 2853 p^{63} T^{67} - 1611 p^{64} T^{68} - 189 p^{66} T^{69} + 9 p^{69} T^{70} + 9 p^{70} T^{71} + p^{72} T^{72} \)
7 \( 1 - 36 T^{2} + 120 T^{3} + 7281 T^{4} - 1152 p T^{5} - 269517 T^{6} - 304281 T^{7} + 3279987 p T^{8} + 4234708 T^{9} - 624361068 T^{10} - 5277792267 T^{11} + 26552323374 T^{12} + 314089728363 T^{13} + 1013731667658 T^{14} - 26120670738819 T^{15} - 85508050975632 T^{16} + 1165240443649743 T^{17} + 10257045338755108 T^{18} - 46198889207190495 T^{19} - 551169827134814988 T^{20} + 720618360823634445 T^{21} + 35853467263495563942 T^{22} + 47000089042961608629 T^{23} - \)\(15\!\cdots\!56\)\( T^{24} - \)\(83\!\cdots\!85\)\( T^{25} + \)\(58\!\cdots\!60\)\( T^{26} + \)\(42\!\cdots\!16\)\( T^{27} - \)\(12\!\cdots\!85\)\( T^{28} - \)\(31\!\cdots\!31\)\( T^{29} - \)\(55\!\cdots\!43\)\( p T^{30} + \)\(94\!\cdots\!28\)\( T^{31} + \)\(84\!\cdots\!15\)\( T^{32} - \)\(48\!\cdots\!10\)\( T^{33} - \)\(51\!\cdots\!04\)\( T^{34} + \)\(20\!\cdots\!04\)\( T^{35} + \)\(34\!\cdots\!26\)\( T^{36} + \)\(20\!\cdots\!04\)\( p^{2} T^{37} - \)\(51\!\cdots\!04\)\( p^{4} T^{38} - \)\(48\!\cdots\!10\)\( p^{6} T^{39} + \)\(84\!\cdots\!15\)\( p^{8} T^{40} + \)\(94\!\cdots\!28\)\( p^{10} T^{41} - \)\(55\!\cdots\!43\)\( p^{13} T^{42} - \)\(31\!\cdots\!31\)\( p^{14} T^{43} - \)\(12\!\cdots\!85\)\( p^{16} T^{44} + \)\(42\!\cdots\!16\)\( p^{18} T^{45} + \)\(58\!\cdots\!60\)\( p^{20} T^{46} - \)\(83\!\cdots\!85\)\( p^{22} T^{47} - \)\(15\!\cdots\!56\)\( p^{24} T^{48} + 47000089042961608629 p^{26} T^{49} + 35853467263495563942 p^{28} T^{50} + 720618360823634445 p^{30} T^{51} - 551169827134814988 p^{32} T^{52} - 46198889207190495 p^{34} T^{53} + 10257045338755108 p^{36} T^{54} + 1165240443649743 p^{38} T^{55} - 85508050975632 p^{40} T^{56} - 26120670738819 p^{42} T^{57} + 1013731667658 p^{44} T^{58} + 314089728363 p^{46} T^{59} + 26552323374 p^{48} T^{60} - 5277792267 p^{50} T^{61} - 624361068 p^{52} T^{62} + 4234708 p^{54} T^{63} + 3279987 p^{57} T^{64} - 304281 p^{58} T^{65} - 269517 p^{60} T^{66} - 1152 p^{63} T^{67} + 7281 p^{64} T^{68} + 120 p^{66} T^{69} - 36 p^{68} T^{70} + p^{72} T^{72} \)
11 \( 1 - 36 T + 828 T^{2} - 12042 T^{3} + 127395 T^{4} - 884889 T^{5} + 3094368 T^{6} + 33980112 T^{7} - 860439384 T^{8} + 12028952385 T^{9} - 71429536467 T^{10} - 626725979523 T^{11} + 22860031230066 T^{12} - 225124859349 p^{3} T^{13} + 192603315816243 p T^{14} - 6223933646267220 T^{15} - 67455524379915000 T^{16} + 1184100180986861505 T^{17} - 15814028936542017865 T^{18} + \)\(16\!\cdots\!67\)\( T^{19} - \)\(95\!\cdots\!68\)\( T^{20} - \)\(11\!\cdots\!61\)\( p T^{21} + \)\(35\!\cdots\!32\)\( T^{22} - \)\(60\!\cdots\!09\)\( T^{23} + \)\(78\!\cdots\!50\)\( T^{24} - \)\(11\!\cdots\!38\)\( T^{25} + \)\(15\!\cdots\!37\)\( T^{26} - \)\(17\!\cdots\!39\)\( T^{27} + \)\(13\!\cdots\!12\)\( T^{28} - \)\(37\!\cdots\!01\)\( T^{29} - \)\(68\!\cdots\!50\)\( T^{30} + \)\(13\!\cdots\!85\)\( T^{31} - \)\(12\!\cdots\!00\)\( T^{32} + \)\(31\!\cdots\!23\)\( T^{33} + \)\(13\!\cdots\!78\)\( T^{34} - \)\(31\!\cdots\!30\)\( T^{35} + \)\(43\!\cdots\!12\)\( T^{36} - \)\(31\!\cdots\!30\)\( p^{2} T^{37} + \)\(13\!\cdots\!78\)\( p^{4} T^{38} + \)\(31\!\cdots\!23\)\( p^{6} T^{39} - \)\(12\!\cdots\!00\)\( p^{8} T^{40} + \)\(13\!\cdots\!85\)\( p^{10} T^{41} - \)\(68\!\cdots\!50\)\( p^{12} T^{42} - \)\(37\!\cdots\!01\)\( p^{14} T^{43} + \)\(13\!\cdots\!12\)\( p^{16} T^{44} - \)\(17\!\cdots\!39\)\( p^{18} T^{45} + \)\(15\!\cdots\!37\)\( p^{20} T^{46} - \)\(11\!\cdots\!38\)\( p^{22} T^{47} + \)\(78\!\cdots\!50\)\( p^{24} T^{48} - \)\(60\!\cdots\!09\)\( p^{26} T^{49} + \)\(35\!\cdots\!32\)\( p^{28} T^{50} - \)\(11\!\cdots\!61\)\( p^{31} T^{51} - \)\(95\!\cdots\!68\)\( p^{32} T^{52} + \)\(16\!\cdots\!67\)\( p^{34} T^{53} - 15814028936542017865 p^{36} T^{54} + 1184100180986861505 p^{38} T^{55} - 67455524379915000 p^{40} T^{56} - 6223933646267220 p^{42} T^{57} + 192603315816243 p^{45} T^{58} - 225124859349 p^{49} T^{59} + 22860031230066 p^{48} T^{60} - 626725979523 p^{50} T^{61} - 71429536467 p^{52} T^{62} + 12028952385 p^{54} T^{63} - 860439384 p^{56} T^{64} + 33980112 p^{58} T^{65} + 3094368 p^{60} T^{66} - 884889 p^{62} T^{67} + 127395 p^{64} T^{68} - 12042 p^{66} T^{69} + 828 p^{68} T^{70} - 36 p^{70} T^{71} + p^{72} T^{72} \)
13 \( 1 - 9 p T^{2} - 123 T^{3} - 23607 T^{4} + 239013 T^{5} + 7444680 T^{6} + 136722744 T^{7} - 59887674 p T^{8} - 9424541132 T^{9} + 10197594306 T^{10} - 2741453733087 T^{11} + 55358667958128 T^{12} + 761094566245071 T^{13} + 9912519842633667 T^{14} - 88011399615903708 T^{15} + 464524114419535581 T^{16} + 1791730558886494833 T^{17} - \)\(21\!\cdots\!48\)\( T^{18} + \)\(63\!\cdots\!00\)\( T^{19} + \)\(35\!\cdots\!23\)\( T^{20} + \)\(51\!\cdots\!25\)\( T^{21} - \)\(12\!\cdots\!29\)\( T^{22} + \)\(18\!\cdots\!63\)\( T^{23} - \)\(40\!\cdots\!84\)\( T^{24} - \)\(11\!\cdots\!23\)\( T^{25} + \)\(31\!\cdots\!80\)\( p T^{26} - \)\(13\!\cdots\!99\)\( T^{27} + \)\(47\!\cdots\!66\)\( T^{28} + \)\(66\!\cdots\!25\)\( T^{29} + \)\(18\!\cdots\!84\)\( T^{30} - \)\(82\!\cdots\!12\)\( T^{31} + \)\(59\!\cdots\!71\)\( T^{32} + \)\(13\!\cdots\!72\)\( T^{33} - \)\(24\!\cdots\!13\)\( T^{34} + \)\(56\!\cdots\!66\)\( T^{35} + \)\(66\!\cdots\!62\)\( T^{36} + \)\(56\!\cdots\!66\)\( p^{2} T^{37} - \)\(24\!\cdots\!13\)\( p^{4} T^{38} + \)\(13\!\cdots\!72\)\( p^{6} T^{39} + \)\(59\!\cdots\!71\)\( p^{8} T^{40} - \)\(82\!\cdots\!12\)\( p^{10} T^{41} + \)\(18\!\cdots\!84\)\( p^{12} T^{42} + \)\(66\!\cdots\!25\)\( p^{14} T^{43} + \)\(47\!\cdots\!66\)\( p^{16} T^{44} - \)\(13\!\cdots\!99\)\( p^{18} T^{45} + \)\(31\!\cdots\!80\)\( p^{21} T^{46} - \)\(11\!\cdots\!23\)\( p^{22} T^{47} - \)\(40\!\cdots\!84\)\( p^{24} T^{48} + \)\(18\!\cdots\!63\)\( p^{26} T^{49} - \)\(12\!\cdots\!29\)\( p^{28} T^{50} + \)\(51\!\cdots\!25\)\( p^{30} T^{51} + \)\(35\!\cdots\!23\)\( p^{32} T^{52} + \)\(63\!\cdots\!00\)\( p^{34} T^{53} - \)\(21\!\cdots\!48\)\( p^{36} T^{54} + 1791730558886494833 p^{38} T^{55} + 464524114419535581 p^{40} T^{56} - 88011399615903708 p^{42} T^{57} + 9912519842633667 p^{44} T^{58} + 761094566245071 p^{46} T^{59} + 55358667958128 p^{48} T^{60} - 2741453733087 p^{50} T^{61} + 10197594306 p^{52} T^{62} - 9424541132 p^{54} T^{63} - 59887674 p^{57} T^{64} + 136722744 p^{58} T^{65} + 7444680 p^{60} T^{66} + 239013 p^{62} T^{67} - 23607 p^{64} T^{68} - 123 p^{66} T^{69} - 9 p^{69} T^{70} + p^{72} T^{72} \)
17 \( 1 + 144 p T^{2} + 2887173 T^{4} - 5184 p^{2} T^{5} + 2172762780 T^{6} - 2488497228 T^{7} + 68718267198 p T^{8} - 84659364864 p T^{9} + 28173531458340 p T^{10} + 180677242526184 T^{11} + 157032946781972985 T^{12} + 890524092410925183 T^{13} + 43003698513828535368 T^{14} + \)\(75\!\cdots\!60\)\( T^{15} + \)\(10\!\cdots\!63\)\( T^{16} + \)\(40\!\cdots\!45\)\( T^{17} + \)\(28\!\cdots\!57\)\( T^{18} + \)\(15\!\cdots\!22\)\( T^{19} + \)\(11\!\cdots\!28\)\( T^{20} + \)\(49\!\cdots\!12\)\( T^{21} + \)\(56\!\cdots\!45\)\( T^{22} + \)\(12\!\cdots\!42\)\( T^{23} + \)\(26\!\cdots\!17\)\( T^{24} + \)\(29\!\cdots\!09\)\( T^{25} + \)\(10\!\cdots\!53\)\( T^{26} + \)\(78\!\cdots\!68\)\( T^{27} + \)\(35\!\cdots\!57\)\( T^{28} + \)\(28\!\cdots\!95\)\( T^{29} + \)\(97\!\cdots\!06\)\( T^{30} + \)\(12\!\cdots\!39\)\( T^{31} + \)\(22\!\cdots\!18\)\( T^{32} + \)\(28\!\cdots\!28\)\( p T^{33} + \)\(17\!\cdots\!13\)\( p^{2} T^{34} + \)\(34\!\cdots\!85\)\( p^{3} T^{35} + \)\(15\!\cdots\!12\)\( p^{4} T^{36} + \)\(34\!\cdots\!85\)\( p^{5} T^{37} + \)\(17\!\cdots\!13\)\( p^{6} T^{38} + \)\(28\!\cdots\!28\)\( p^{7} T^{39} + \)\(22\!\cdots\!18\)\( p^{8} T^{40} + \)\(12\!\cdots\!39\)\( p^{10} T^{41} + \)\(97\!\cdots\!06\)\( p^{12} T^{42} + \)\(28\!\cdots\!95\)\( p^{14} T^{43} + \)\(35\!\cdots\!57\)\( p^{16} T^{44} + \)\(78\!\cdots\!68\)\( p^{18} T^{45} + \)\(10\!\cdots\!53\)\( p^{20} T^{46} + \)\(29\!\cdots\!09\)\( p^{22} T^{47} + \)\(26\!\cdots\!17\)\( p^{24} T^{48} + \)\(12\!\cdots\!42\)\( p^{26} T^{49} + \)\(56\!\cdots\!45\)\( p^{28} T^{50} + \)\(49\!\cdots\!12\)\( p^{30} T^{51} + \)\(11\!\cdots\!28\)\( p^{32} T^{52} + \)\(15\!\cdots\!22\)\( p^{34} T^{53} + \)\(28\!\cdots\!57\)\( p^{36} T^{54} + \)\(40\!\cdots\!45\)\( p^{38} T^{55} + \)\(10\!\cdots\!63\)\( p^{40} T^{56} + \)\(75\!\cdots\!60\)\( p^{42} T^{57} + 43003698513828535368 p^{44} T^{58} + 890524092410925183 p^{46} T^{59} + 157032946781972985 p^{48} T^{60} + 180677242526184 p^{50} T^{61} + 28173531458340 p^{53} T^{62} - 84659364864 p^{55} T^{63} + 68718267198 p^{57} T^{64} - 2488497228 p^{58} T^{65} + 2172762780 p^{60} T^{66} - 5184 p^{64} T^{67} + 2887173 p^{64} T^{68} + 144 p^{69} T^{70} + p^{72} T^{72} \)
19 \( 1 - 162 p T^{2} - 25458 T^{3} + 4631337 T^{4} + 73952946 T^{5} - 4153245213 T^{6} - 103964509395 T^{7} + 2205104051394 T^{8} + 89559936881398 T^{9} - 456201089207127 T^{10} - 49904834811929307 T^{11} - 245905923503181873 T^{12} + 16999747986533099589 T^{13} + \)\(21\!\cdots\!45\)\( T^{14} - \)\(13\!\cdots\!24\)\( p T^{15} - \)\(46\!\cdots\!03\)\( T^{16} + \)\(11\!\cdots\!75\)\( T^{17} - \)\(21\!\cdots\!61\)\( T^{18} - \)\(59\!\cdots\!03\)\( T^{19} + \)\(13\!\cdots\!27\)\( T^{20} + \)\(63\!\cdots\!20\)\( T^{21} + \)\(13\!\cdots\!28\)\( T^{22} - \)\(27\!\cdots\!35\)\( T^{23} - \)\(42\!\cdots\!23\)\( T^{24} + \)\(42\!\cdots\!82\)\( T^{25} + \)\(18\!\cdots\!19\)\( T^{26} + \)\(13\!\cdots\!34\)\( T^{27} - \)\(16\!\cdots\!88\)\( T^{28} - \)\(48\!\cdots\!06\)\( T^{29} - \)\(12\!\cdots\!71\)\( T^{30} - \)\(23\!\cdots\!32\)\( T^{31} + \)\(22\!\cdots\!14\)\( T^{32} + \)\(19\!\cdots\!06\)\( T^{33} + \)\(27\!\cdots\!84\)\( T^{34} - \)\(20\!\cdots\!94\)\( p T^{35} - \)\(25\!\cdots\!76\)\( p^{3} T^{36} - \)\(20\!\cdots\!94\)\( p^{3} T^{37} + \)\(27\!\cdots\!84\)\( p^{4} T^{38} + \)\(19\!\cdots\!06\)\( p^{6} T^{39} + \)\(22\!\cdots\!14\)\( p^{8} T^{40} - \)\(23\!\cdots\!32\)\( p^{10} T^{41} - \)\(12\!\cdots\!71\)\( p^{12} T^{42} - \)\(48\!\cdots\!06\)\( p^{14} T^{43} - \)\(16\!\cdots\!88\)\( p^{16} T^{44} + \)\(13\!\cdots\!34\)\( p^{18} T^{45} + \)\(18\!\cdots\!19\)\( p^{20} T^{46} + \)\(42\!\cdots\!82\)\( p^{22} T^{47} - \)\(42\!\cdots\!23\)\( p^{24} T^{48} - \)\(27\!\cdots\!35\)\( p^{26} T^{49} + \)\(13\!\cdots\!28\)\( p^{28} T^{50} + \)\(63\!\cdots\!20\)\( p^{30} T^{51} + \)\(13\!\cdots\!27\)\( p^{32} T^{52} - \)\(59\!\cdots\!03\)\( p^{34} T^{53} - \)\(21\!\cdots\!61\)\( p^{36} T^{54} + \)\(11\!\cdots\!75\)\( p^{38} T^{55} - \)\(46\!\cdots\!03\)\( p^{40} T^{56} - \)\(13\!\cdots\!24\)\( p^{43} T^{57} + \)\(21\!\cdots\!45\)\( p^{44} T^{58} + 16999747986533099589 p^{46} T^{59} - 245905923503181873 p^{48} T^{60} - 49904834811929307 p^{50} T^{61} - 456201089207127 p^{52} T^{62} + 89559936881398 p^{54} T^{63} + 2205104051394 p^{56} T^{64} - 103964509395 p^{58} T^{65} - 4153245213 p^{60} T^{66} + 73952946 p^{62} T^{67} + 4631337 p^{64} T^{68} - 25458 p^{66} T^{69} - 162 p^{69} T^{70} + p^{72} T^{72} \)
23 \( 1 + 18 T - 2115 T^{2} - 39096 T^{3} + 2933721 T^{4} + 40981068 T^{5} - 3559438020 T^{6} - 29128843278 T^{7} + 3795197480973 T^{8} + 11493748091142 T^{9} - 3527515213800417 T^{10} + 7272373837068342 T^{11} + 2940058537517042139 T^{12} - 20410434166936941504 T^{13} - \)\(22\!\cdots\!36\)\( T^{14} + \)\(26\!\cdots\!47\)\( T^{15} + \)\(14\!\cdots\!66\)\( T^{16} - \)\(26\!\cdots\!01\)\( T^{17} - \)\(88\!\cdots\!57\)\( T^{18} + \)\(22\!\cdots\!23\)\( T^{19} + \)\(46\!\cdots\!51\)\( T^{20} - \)\(16\!\cdots\!08\)\( T^{21} - \)\(20\!\cdots\!13\)\( T^{22} + \)\(11\!\cdots\!75\)\( T^{23} + \)\(57\!\cdots\!83\)\( T^{24} - \)\(69\!\cdots\!55\)\( T^{25} + \)\(71\!\cdots\!52\)\( T^{26} + \)\(38\!\cdots\!73\)\( T^{27} - \)\(27\!\cdots\!28\)\( T^{28} - \)\(19\!\cdots\!00\)\( T^{29} + \)\(28\!\cdots\!82\)\( T^{30} + \)\(85\!\cdots\!18\)\( T^{31} - \)\(20\!\cdots\!08\)\( T^{32} - \)\(29\!\cdots\!89\)\( T^{33} + \)\(13\!\cdots\!78\)\( T^{34} + \)\(55\!\cdots\!41\)\( T^{35} - \)\(74\!\cdots\!88\)\( T^{36} + \)\(55\!\cdots\!41\)\( p^{2} T^{37} + \)\(13\!\cdots\!78\)\( p^{4} T^{38} - \)\(29\!\cdots\!89\)\( p^{6} T^{39} - \)\(20\!\cdots\!08\)\( p^{8} T^{40} + \)\(85\!\cdots\!18\)\( p^{10} T^{41} + \)\(28\!\cdots\!82\)\( p^{12} T^{42} - \)\(19\!\cdots\!00\)\( p^{14} T^{43} - \)\(27\!\cdots\!28\)\( p^{16} T^{44} + \)\(38\!\cdots\!73\)\( p^{18} T^{45} + \)\(71\!\cdots\!52\)\( p^{20} T^{46} - \)\(69\!\cdots\!55\)\( p^{22} T^{47} + \)\(57\!\cdots\!83\)\( p^{24} T^{48} + \)\(11\!\cdots\!75\)\( p^{26} T^{49} - \)\(20\!\cdots\!13\)\( p^{28} T^{50} - \)\(16\!\cdots\!08\)\( p^{30} T^{51} + \)\(46\!\cdots\!51\)\( p^{32} T^{52} + \)\(22\!\cdots\!23\)\( p^{34} T^{53} - \)\(88\!\cdots\!57\)\( p^{36} T^{54} - \)\(26\!\cdots\!01\)\( p^{38} T^{55} + \)\(14\!\cdots\!66\)\( p^{40} T^{56} + \)\(26\!\cdots\!47\)\( p^{42} T^{57} - \)\(22\!\cdots\!36\)\( p^{44} T^{58} - 20410434166936941504 p^{46} T^{59} + 2940058537517042139 p^{48} T^{60} + 7272373837068342 p^{50} T^{61} - 3527515213800417 p^{52} T^{62} + 11493748091142 p^{54} T^{63} + 3795197480973 p^{56} T^{64} - 29128843278 p^{58} T^{65} - 3559438020 p^{60} T^{66} + 40981068 p^{62} T^{67} + 2933721 p^{64} T^{68} - 39096 p^{66} T^{69} - 2115 p^{68} T^{70} + 18 p^{70} T^{71} + p^{72} T^{72} \)
29 \( 1 + 18 T - 3843 T^{2} + 48465 T^{3} + 10962684 T^{4} - 352435905 T^{5} - 17197385286 T^{6} + 1124338521924 T^{7} + 9344152756674 T^{8} - 2246797049860179 T^{9} + 30972045151146096 T^{10} + 2997102683076161391 T^{11} - \)\(10\!\cdots\!52\)\( T^{12} - \)\(22\!\cdots\!72\)\( T^{13} + \)\(19\!\cdots\!96\)\( T^{14} - \)\(88\!\cdots\!91\)\( T^{15} - \)\(24\!\cdots\!07\)\( T^{16} + \)\(58\!\cdots\!95\)\( T^{17} + \)\(18\!\cdots\!02\)\( T^{18} - \)\(10\!\cdots\!49\)\( T^{19} - \)\(20\!\cdots\!91\)\( T^{20} + \)\(12\!\cdots\!49\)\( T^{21} - \)\(20\!\cdots\!74\)\( T^{22} - \)\(32\!\cdots\!38\)\( p T^{23} + \)\(38\!\cdots\!53\)\( T^{24} + \)\(25\!\cdots\!51\)\( T^{25} - \)\(42\!\cdots\!29\)\( T^{26} + \)\(53\!\cdots\!82\)\( T^{27} + \)\(31\!\cdots\!29\)\( T^{28} - \)\(10\!\cdots\!09\)\( T^{29} - \)\(10\!\cdots\!97\)\( T^{30} + \)\(11\!\cdots\!16\)\( T^{31} - \)\(11\!\cdots\!94\)\( T^{32} - \)\(82\!\cdots\!99\)\( T^{33} + \)\(25\!\cdots\!89\)\( T^{34} + \)\(27\!\cdots\!67\)\( T^{35} - \)\(26\!\cdots\!42\)\( T^{36} + \)\(27\!\cdots\!67\)\( p^{2} T^{37} + \)\(25\!\cdots\!89\)\( p^{4} T^{38} - \)\(82\!\cdots\!99\)\( p^{6} T^{39} - \)\(11\!\cdots\!94\)\( p^{8} T^{40} + \)\(11\!\cdots\!16\)\( p^{10} T^{41} - \)\(10\!\cdots\!97\)\( p^{12} T^{42} - \)\(10\!\cdots\!09\)\( p^{14} T^{43} + \)\(31\!\cdots\!29\)\( p^{16} T^{44} + \)\(53\!\cdots\!82\)\( p^{18} T^{45} - \)\(42\!\cdots\!29\)\( p^{20} T^{46} + \)\(25\!\cdots\!51\)\( p^{22} T^{47} + \)\(38\!\cdots\!53\)\( p^{24} T^{48} - \)\(32\!\cdots\!38\)\( p^{27} T^{49} - \)\(20\!\cdots\!74\)\( p^{28} T^{50} + \)\(12\!\cdots\!49\)\( p^{30} T^{51} - \)\(20\!\cdots\!91\)\( p^{32} T^{52} - \)\(10\!\cdots\!49\)\( p^{34} T^{53} + \)\(18\!\cdots\!02\)\( p^{36} T^{54} + \)\(58\!\cdots\!95\)\( p^{38} T^{55} - \)\(24\!\cdots\!07\)\( p^{40} T^{56} - \)\(88\!\cdots\!91\)\( p^{42} T^{57} + \)\(19\!\cdots\!96\)\( p^{44} T^{58} - \)\(22\!\cdots\!72\)\( p^{46} T^{59} - \)\(10\!\cdots\!52\)\( p^{48} T^{60} + 2997102683076161391 p^{50} T^{61} + 30972045151146096 p^{52} T^{62} - 2246797049860179 p^{54} T^{63} + 9344152756674 p^{56} T^{64} + 1124338521924 p^{58} T^{65} - 17197385286 p^{60} T^{66} - 352435905 p^{62} T^{67} + 10962684 p^{64} T^{68} + 48465 p^{66} T^{69} - 3843 p^{68} T^{70} + 18 p^{70} T^{71} + p^{72} T^{72} \)
31 \( 1 - 45 T + 2961 T^{2} - 161934 T^{3} + 4602510 T^{4} - 199162188 T^{5} + 5295706530 T^{6} - 49215383559 T^{7} + 1824753317634 T^{8} + 21437058811348 T^{9} - 2573751505556430 T^{10} - 77234086448093511 T^{11} + 3803532601775738118 T^{12} - \)\(16\!\cdots\!10\)\( T^{13} + \)\(13\!\cdots\!97\)\( T^{14} - \)\(32\!\cdots\!73\)\( T^{15} + \)\(75\!\cdots\!91\)\( T^{16} - \)\(32\!\cdots\!06\)\( T^{17} + \)\(16\!\cdots\!39\)\( T^{18} + \)\(94\!\cdots\!48\)\( T^{19} + \)\(11\!\cdots\!39\)\( T^{20} + \)\(14\!\cdots\!35\)\( T^{21} + \)\(26\!\cdots\!96\)\( T^{22} - \)\(34\!\cdots\!54\)\( T^{23} + \)\(73\!\cdots\!18\)\( T^{24} - \)\(40\!\cdots\!17\)\( T^{25} + \)\(18\!\cdots\!35\)\( T^{26} - \)\(17\!\cdots\!54\)\( T^{27} + \)\(57\!\cdots\!28\)\( T^{28} - \)\(15\!\cdots\!27\)\( T^{29} - \)\(83\!\cdots\!80\)\( T^{30} + \)\(81\!\cdots\!58\)\( T^{31} + \)\(23\!\cdots\!56\)\( T^{32} + \)\(88\!\cdots\!60\)\( T^{33} + \)\(98\!\cdots\!24\)\( T^{34} - \)\(45\!\cdots\!59\)\( T^{35} + \)\(69\!\cdots\!26\)\( T^{36} - \)\(45\!\cdots\!59\)\( p^{2} T^{37} + \)\(98\!\cdots\!24\)\( p^{4} T^{38} + \)\(88\!\cdots\!60\)\( p^{6} T^{39} + \)\(23\!\cdots\!56\)\( p^{8} T^{40} + \)\(81\!\cdots\!58\)\( p^{10} T^{41} - \)\(83\!\cdots\!80\)\( p^{12} T^{42} - \)\(15\!\cdots\!27\)\( p^{14} T^{43} + \)\(57\!\cdots\!28\)\( p^{16} T^{44} - \)\(17\!\cdots\!54\)\( p^{18} T^{45} + \)\(18\!\cdots\!35\)\( p^{20} T^{46} - \)\(40\!\cdots\!17\)\( p^{22} T^{47} + \)\(73\!\cdots\!18\)\( p^{24} T^{48} - \)\(34\!\cdots\!54\)\( p^{26} T^{49} + \)\(26\!\cdots\!96\)\( p^{28} T^{50} + \)\(14\!\cdots\!35\)\( p^{30} T^{51} + \)\(11\!\cdots\!39\)\( p^{32} T^{52} + \)\(94\!\cdots\!48\)\( p^{34} T^{53} + \)\(16\!\cdots\!39\)\( p^{36} T^{54} - \)\(32\!\cdots\!06\)\( p^{38} T^{55} + \)\(75\!\cdots\!91\)\( p^{40} T^{56} - \)\(32\!\cdots\!73\)\( p^{42} T^{57} + \)\(13\!\cdots\!97\)\( p^{44} T^{58} - \)\(16\!\cdots\!10\)\( p^{46} T^{59} + 3803532601775738118 p^{48} T^{60} - 77234086448093511 p^{50} T^{61} - 2573751505556430 p^{52} T^{62} + 21437058811348 p^{54} T^{63} + 1824753317634 p^{56} T^{64} - 49215383559 p^{58} T^{65} + 5295706530 p^{60} T^{66} - 199162188 p^{62} T^{67} + 4602510 p^{64} T^{68} - 161934 p^{66} T^{69} + 2961 p^{68} T^{70} - 45 p^{70} T^{71} + p^{72} T^{72} \)
37 \( 1 - 324 p T^{2} + 302430 T^{3} + 73954944 T^{4} - 3465944748 T^{5} - 266847067353 T^{6} + 20332381077756 T^{7} + 513706888750842 T^{8} - 76768032861483776 T^{9} + 103668017589897372 T^{10} + \)\(20\!\cdots\!62\)\( T^{11} - \)\(41\!\cdots\!45\)\( T^{12} - \)\(36\!\cdots\!55\)\( T^{13} + \)\(15\!\cdots\!37\)\( T^{14} + \)\(42\!\cdots\!66\)\( T^{15} - \)\(34\!\cdots\!46\)\( T^{16} - \)\(14\!\cdots\!66\)\( T^{17} + \)\(55\!\cdots\!85\)\( T^{18} - \)\(61\!\cdots\!29\)\( T^{19} - \)\(69\!\cdots\!99\)\( T^{20} + \)\(17\!\cdots\!66\)\( T^{21} + \)\(74\!\cdots\!76\)\( T^{22} - \)\(33\!\cdots\!40\)\( T^{23} - \)\(68\!\cdots\!90\)\( T^{24} + \)\(57\!\cdots\!51\)\( T^{25} + \)\(30\!\cdots\!90\)\( T^{26} - \)\(91\!\cdots\!07\)\( T^{27} + \)\(88\!\cdots\!87\)\( T^{28} + \)\(12\!\cdots\!04\)\( T^{29} - \)\(30\!\cdots\!38\)\( T^{30} - \)\(11\!\cdots\!25\)\( T^{31} + \)\(56\!\cdots\!20\)\( T^{32} + \)\(79\!\cdots\!05\)\( T^{33} - \)\(78\!\cdots\!39\)\( T^{34} - \)\(27\!\cdots\!42\)\( T^{35} + \)\(10\!\cdots\!60\)\( T^{36} - \)\(27\!\cdots\!42\)\( p^{2} T^{37} - \)\(78\!\cdots\!39\)\( p^{4} T^{38} + \)\(79\!\cdots\!05\)\( p^{6} T^{39} + \)\(56\!\cdots\!20\)\( p^{8} T^{40} - \)\(11\!\cdots\!25\)\( p^{10} T^{41} - \)\(30\!\cdots\!38\)\( p^{12} T^{42} + \)\(12\!\cdots\!04\)\( p^{14} T^{43} + \)\(88\!\cdots\!87\)\( p^{16} T^{44} - \)\(91\!\cdots\!07\)\( p^{18} T^{45} + \)\(30\!\cdots\!90\)\( p^{20} T^{46} + \)\(57\!\cdots\!51\)\( p^{22} T^{47} - \)\(68\!\cdots\!90\)\( p^{24} T^{48} - \)\(33\!\cdots\!40\)\( p^{26} T^{49} + \)\(74\!\cdots\!76\)\( p^{28} T^{50} + \)\(17\!\cdots\!66\)\( p^{30} T^{51} - \)\(69\!\cdots\!99\)\( p^{32} T^{52} - \)\(61\!\cdots\!29\)\( p^{34} T^{53} + \)\(55\!\cdots\!85\)\( p^{36} T^{54} - \)\(14\!\cdots\!66\)\( p^{38} T^{55} - \)\(34\!\cdots\!46\)\( p^{40} T^{56} + \)\(42\!\cdots\!66\)\( p^{42} T^{57} + \)\(15\!\cdots\!37\)\( p^{44} T^{58} - \)\(36\!\cdots\!55\)\( p^{46} T^{59} - \)\(41\!\cdots\!45\)\( p^{48} T^{60} + \)\(20\!\cdots\!62\)\( p^{50} T^{61} + 103668017589897372 p^{52} T^{62} - 76768032861483776 p^{54} T^{63} + 513706888750842 p^{56} T^{64} + 20332381077756 p^{58} T^{65} - 266847067353 p^{60} T^{66} - 3465944748 p^{62} T^{67} + 73954944 p^{64} T^{68} + 302430 p^{66} T^{69} - 324 p^{69} T^{70} + p^{72} T^{72} \)
41 \( 1 + 198T + 1.75e4T^{2} + 5.81e5T^{3} - 3.71e7T^{4} - 5.38e9T^{5} - 2.45e11T^{6} + 1.19e12T^{7} + 7.59e14T^{8} + 3.86e16T^{9} + 2.62e17T^{10} - 6.55e19T^{11} - 3.37e21T^{12} - 3.47e22T^{13} + 3.22e24T^{14} + 1.40e26T^{15} + 1.28e27T^{16} - 2.26e27T^{17} + 4.14e30T^{18} + 1.28e32T^{19} - 1.13e34T^{20} - 9.14e35T^{21} - 1.87e37T^{22} + 6.20e38T^{23} + 4.54e40T^{24} + 1.11e42T^{25} + 1.70e43T^{26} + 4.02e43T^{27} - 5.72e46T^{28} - 4.30e48T^{29} - 7.81e49T^{30} + 4.53e51T^{31} + 2.05e53T^{32} - 3.71e54T^{33} - 3.43e56T^{34} + 4.29e57T^{35}+O(T^{36}) \)
43 \( 1 - 90T - 5.09e3T^{2} + 6.65e5T^{3} + 1.55e7T^{4} - 2.94e9T^{5} - 2.84e10T^{6} + 9.76e12T^{7} - 3.74e11T^{8} - 2.61e16T^{9} + 2.31e17T^{10} + 5.89e19T^{11} - 1.06e21T^{12} - 1.15e23T^{13} + 3.26e24T^{14} + 2.02e26T^{15} - 8.30e27T^{16} - 3.25e29T^{17} + 1.88e31T^{18} + 4.80e32T^{19} - 3.99e34T^{20} - 6.19e35T^{21} + 8.08e37T^{22} + 5.66e38T^{23} - 1.57e41T^{24} + 1.28e41T^{25} + 2.89e44T^{26} - 2.26e45T^{27} - 4.92e47T^{28} + 6.59e48T^{29} + 7.77e50T^{30} - 1.29e52T^{31} - 1.15e54T^{32} + 1.81e55T^{33} + 1.72e57T^{34} - 1.24e58T^{35}+O(T^{36}) \)
47 \( 1 + 243T + 3.71e4T^{2} + 4.42e6T^{3} + 4.21e8T^{4} + 3.40e10T^{5} + 2.38e12T^{6} + 1.44e14T^{7} + 7.92e15T^{8} + 3.94e17T^{9} + 1.87e19T^{10} + 9.02e20T^{11} + 4.55e22T^{12} + 2.40e24T^{13} + 1.25e26T^{14} + 6.07e27T^{15} + 2.68e29T^{16} + 1.07e31T^{17} + 4.20e32T^{18} + 1.82e34T^{19} + 9.22e35T^{20} + 5.00e37T^{21} + 2.56e39T^{22} + 1.14e41T^{23} + 4.44e42T^{24} + 1.60e44T^{25} + 6.18e45T^{26} + 2.95e47T^{27} + 1.55e49T^{28} + 7.14e50T^{29} + 2.49e52T^{30} + 4.79e53T^{31} - 9.71e54T^{32} - 1.08e57T^{33} - 4.11e58T^{34}+O(T^{35}) \)
53 \( 1 - 4.62e4T^{2} + 1.11e9T^{4} - 1.83e13T^{6} + 2.32e17T^{8} - 2.41e21T^{10} + 2.11e25T^{12} - 1.61e29T^{14} + 1.08e33T^{16} - 6.53e36T^{18} + 3.56e40T^{20} - 1.77e44T^{22} + 8.08e47T^{24} - 3.39e51T^{26} + 1.32e55T^{28} - 4.76e58T^{30} + 1.59e62T^{32}+O(T^{34}) \)
59 \( 1 - 252T + 2.05e4T^{2} - 4.39e5T^{3} + 2.08e7T^{4} - 4.42e9T^{5} - 3.01e10T^{6} + 2.17e13T^{7} + 4.93e14T^{8} - 5.06e16T^{9} - 6.29e18T^{10} + 1.60e20T^{11} + 9.75e21T^{12} + 2.15e24T^{13} - 1.21e26T^{14} - 3.81e27T^{15} - 2.89e29T^{16} + 3.62e31T^{17} + 1.41e33T^{18} - 4.84e34T^{19} - 7.11e36T^{20} - 3.25e38T^{21} + 3.69e40T^{22} + 6.96e41T^{23} + 4.39e43T^{24} - 9.17e45T^{25} - 1.08e47T^{26} + 8.34e47T^{27} + 2.05e51T^{28} + 9.70e51T^{29} - 3.72e54T^{30} - 2.75e56T^{31} - 3.29e57T^{32}+O(T^{33}) \)
61 \( 1 + 144T + 1.04e4T^{2} + 6.91e5T^{3} + 8.44e7T^{4} + 8.29e9T^{5} + 5.74e11T^{6} + 4.19e13T^{7} + 3.52e15T^{8} + 2.88e17T^{9} + 2.09e19T^{10} + 1.45e21T^{11} + 9.93e22T^{12} + 7.25e24T^{13} + 5.14e26T^{14} + 3.17e28T^{15} + 2.00e30T^{16} + 1.35e32T^{17} + 8.64e33T^{18} + 4.94e35T^{19} + 2.92e37T^{20} + 1.70e39T^{21} + 9.32e40T^{22} + 4.95e42T^{23} + 2.26e44T^{24} + 8.91e45T^{25} + 3.11e47T^{26} - 1.61e47T^{27} - 1.62e51T^{28} - 1.58e53T^{29} - 1.29e55T^{30} - 1.12e57T^{31} - 8.15e58T^{32}+O(T^{33}) \)
67 \( 1 - 108T - 3.78e3T^{2} + 4.84e5T^{3} - 6.95e7T^{4} + 9.19e9T^{5} + 2.82e11T^{6} - 4.12e13T^{7} + 4.85e14T^{8} - 3.27e17T^{9} + 1.87e18T^{10} + 1.35e21T^{11} + 7.83e22T^{12} + 5.48e24T^{13} - 7.52e26T^{14} - 1.66e28T^{15} - 2.62e30T^{16} + 3.96e31T^{17} + 2.77e34T^{18} - 2.75e35T^{19} + 2.47e37T^{20} - 5.15e39T^{21} - 3.30e41T^{22} + 1.57e43T^{23} + 3.15e44T^{24} + 1.32e47T^{25} - 5.78e48T^{26} - 2.03e50T^{27} - 9.10e51T^{28} - 1.01e54T^{29} + 2.66e56T^{30} - 4.55e57T^{31}+O(T^{32}) \)
71 \( 1 - 324T + 9.11e4T^{2} - 1.82e7T^{3} + 3.17e9T^{4} - 4.77e11T^{5} + 6.48e13T^{6} - 8.07e15T^{7} + 9.36e17T^{8} - 1.02e20T^{9} + 1.07e22T^{10} - 1.07e24T^{11} + 1.04e26T^{12} - 9.92e27T^{13} + 9.15e29T^{14} - 8.26e31T^{15} + 7.31e33T^{16} - 6.35e35T^{17} + 5.43e37T^{18} - 4.58e39T^{19} + 3.81e41T^{20} - 3.13e43T^{21} + 2.54e45T^{22} - 2.04e47T^{23} + 1.62e49T^{24} - 1.27e51T^{25} + 9.90e52T^{26} - 7.62e54T^{27} + 5.82e56T^{28} - 4.40e58T^{29} + 3.29e60T^{30} - 2.45e62T^{31}+O(T^{32}) \)
73 \( 1 + 63T - 4.05e4T^{2} - 1.28e6T^{3} + 9.37e8T^{4} + 4.01e9T^{5} - 1.47e13T^{6} + 2.97e14T^{7} + 1.71e17T^{8} - 7.57e18T^{9} - 1.50e21T^{10} + 1.08e23T^{11} + 9.79e24T^{12} - 1.11e27T^{13} - 4.13e28T^{14} + 8.87e30T^{15} + 2.52e31T^{16} - 5.54e34T^{17} + 1.33e36T^{18} + 2.71e38T^{19} - 1.34e40T^{20} - 1.01e42T^{21} + 8.00e43T^{22} + 3.04e45T^{23} - 3.25e47T^{24} - 1.22e49T^{25} + 9.81e50T^{26} + 1.08e53T^{27} - 4.31e54T^{28} - 9.85e56T^{29} + 4.81e58T^{30}+O(T^{31}) \)
79 \( 1 - 36T + 9.42e3T^{2} - 5.36e5T^{3} + 6.16e6T^{4} - 1.76e9T^{5} - 6.92e10T^{6} + 8.62e12T^{7} + 1.26e15T^{8} + 1.44e17T^{9} + 4.55e17T^{10} + 1.02e21T^{11} - 1.45e23T^{12} + 4.61e24T^{13} - 8.31e26T^{14} + 3.34e28T^{15} + 1.15e30T^{16} + 3.07e32T^{17} + 9.09e33T^{18} + 2.38e35T^{19} - 1.16e38T^{20} - 1.30e40T^{21} + 2.39e41T^{22} - 8.94e43T^{23} + 1.27e46T^{24} - 4.19e47T^{25} + 6.53e49T^{26} - 2.43e51T^{27} - 2.99e52T^{28} - 1.06e55T^{29} - 7.00e56T^{30}+O(T^{31}) \)
83 \( 1 + 27T + 1.60e4T^{2} + 1.65e6T^{3} + 2.68e8T^{4} + 2.72e10T^{5} + 4.10e12T^{6} + 3.81e14T^{7} + 5.20e16T^{8} + 4.84e18T^{9} + 5.66e20T^{10} + 5.43e22T^{11} + 5.93e24T^{12} + 5.28e26T^{13} + 5.76e28T^{14} + 4.95e30T^{15} + 5.08e32T^{16} + 4.40e34T^{17} + 4.35e36T^{18} + 3.64e38T^{19} + 3.62e40T^{20} + 2.94e42T^{21} + 2.87e44T^{22} + 2.35e46T^{23} + 2.24e48T^{24} + 1.83e50T^{25} + 1.74e52T^{26} + 1.39e54T^{27} + 1.32e56T^{28} + 1.07e58T^{29} + 9.92e59T^{30}+O(T^{31}) \)
89 \( 1 + 567T + 2.17e5T^{2} + 6.25e7T^{3} + 1.49e10T^{4} + 3.07e12T^{5} + 5.63e14T^{6} + 9.36e16T^{7} + 1.43e19T^{8} + 2.06e21T^{9} + 2.81e23T^{10} + 3.67e25T^{11} + 4.65e27T^{12} + 5.74e29T^{13} + 6.92e31T^{14} + 8.17e33T^{15} + 9.46e35T^{16} + 1.07e38T^{17} + 1.19e40T^{18} + 1.31e42T^{19} + 1.41e44T^{20} + 1.50e46T^{21} + 1.57e48T^{22} + 1.62e50T^{23} + 1.66e52T^{24} + 1.67e54T^{25} + 1.67e56T^{26} + 1.64e58T^{27} + 1.59e60T^{28} + 1.53e62T^{29}+O(T^{30}) \)
97 \( 1 + 216T + 3.39e4T^{2} + 3.96e6T^{3} + 1.51e8T^{4} - 9.22e9T^{5} - 3.75e12T^{6} - 3.80e14T^{7} + 2.38e15T^{8} + 3.50e18T^{9} + 7.27e20T^{10} + 5.66e22T^{11} + 1.09e24T^{12} - 1.79e26T^{13} - 4.36e28T^{14} - 3.70e29T^{15} + 3.18e32T^{16} + 4.93e34T^{17} + 5.25e36T^{18} + 2.56e37T^{19} - 9.49e39T^{20} - 1.80e42T^{21} - 1.20e44T^{22} + 1.12e46T^{23} - 9.93e47T^{24} - 1.15e50T^{25} - 1.50e52T^{26} + 1.15e53T^{27} + 4.09e56T^{28} + 4.29e58T^{29}+O(T^{30}) \)
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\[\begin{aligned}L(s) = \prod_p \ \prod_{j=1}^{72} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\end{aligned}\]

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−2.22913986770602028501236805863, −2.21356536669881047307042176458, −2.17777231796777701186422145520, −2.06816420905515874500524229693, −1.91753381216973833803724942828, −1.84102769588108979564286071308, −1.83845446873197523476360659664, −1.83006607846911033783963968937, −1.79153527413412053236722385613, −1.72299145083349154812555333483, −1.67043085076627236462164931177, −1.58170561685035816215127035065, −1.39038270311144851517775324006, −1.37142095806791880079061842747, −1.23948316889773200032853019057, −1.23150171543428480990526725699, −1.00108318410008881433943335566, −0.916257868536647717022641158336, −0.912429131105942198564637914739, −0.844588128641054475906723176594, −0.813815529805682718239646765904, −0.57485318002860518000879171722, −0.25727940899772211125846840888, −0.07407348898484596878082526836, −0.06024137009470937252543005866, 0.06024137009470937252543005866, 0.07407348898484596878082526836, 0.25727940899772211125846840888, 0.57485318002860518000879171722, 0.813815529805682718239646765904, 0.844588128641054475906723176594, 0.912429131105942198564637914739, 0.916257868536647717022641158336, 1.00108318410008881433943335566, 1.23150171543428480990526725699, 1.23948316889773200032853019057, 1.37142095806791880079061842747, 1.39038270311144851517775324006, 1.58170561685035816215127035065, 1.67043085076627236462164931177, 1.72299145083349154812555333483, 1.79153527413412053236722385613, 1.83006607846911033783963968937, 1.83845446873197523476360659664, 1.84102769588108979564286071308, 1.91753381216973833803724942828, 2.06816420905515874500524229693, 2.17777231796777701186422145520, 2.21356536669881047307042176458, 2.22913986770602028501236805863

Graph of the $Z$-function along the critical line

Plot not available for L-functions of degree greater than 10.