# Properties

 Degree 16 Conductor $2^{32} \cdot 3^{16} \cdot 7^{8}$ Sign $1$ Motivic weight 1 Primitive no Self-dual yes Analytic rank 0

# Origins of factors

## Dirichlet series

 L(s)  = 1 + 4·3-s + 4·5-s + 4·7-s + 13·9-s + 6·11-s − 3·13-s + 16·15-s − 16·17-s + 4·19-s + 16·21-s + 5·23-s + 11·25-s + 29·27-s + 29-s − 11·31-s + 24·33-s + 16·35-s + 54·37-s − 12·39-s + 2·41-s + 11·43-s + 52·45-s − 7·47-s + 6·49-s − 64·51-s − 8·53-s + 24·55-s + ⋯
 L(s)  = 1 + 2.30·3-s + 1.78·5-s + 1.51·7-s + 13/3·9-s + 1.80·11-s − 0.832·13-s + 4.13·15-s − 3.88·17-s + 0.917·19-s + 3.49·21-s + 1.04·23-s + 11/5·25-s + 5.58·27-s + 0.185·29-s − 1.97·31-s + 4.17·33-s + 2.70·35-s + 8.87·37-s − 1.92·39-s + 0.312·41-s + 1.67·43-s + 7.75·45-s − 1.02·47-s + 6/7·49-s − 8.96·51-s − 1.09·53-s + 3.23·55-s + ⋯

## Functional equation

\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{32} \cdot 3^{16} \cdot 7^{8}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{8} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}
\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{32} \cdot 3^{16} \cdot 7^{8}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{8} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}

## Invariants

 $$d$$ = $$16$$ $$N$$ = $$2^{32} \cdot 3^{16} \cdot 7^{8}$$ $$\varepsilon$$ = $1$ motivic weight = $$1$$ character : induced by $\chi_{1008} (1, \cdot )$ primitive : no self-dual : yes analytic rank = $$0$$ Selberg data = $$(16,\ 2^{32} \cdot 3^{16} \cdot 7^{8} ,\ ( \ : [1/2]^{8} ),\ 1 )$$ $$L(1)$$ $$\approx$$ $$62.97632890$$ $$L(\frac12)$$ $$\approx$$ $$62.97632890$$ $$L(\frac{3}{2})$$ not available $$L(1)$$ not available

## Euler product

$L(s) = \prod_{p \text{ prime}} F_p(p^{-s})^{-1}$where, for $p \notin \{2,\;3,\;7\}$,$$F_p(T)$$ is a polynomial of degree 16. If $p \in \{2,\;3,\;7\}$, then $F_p(T)$ is a polynomial of degree at most 15.
$p$$F_p(T)$
bad2 $$1$$
3 $$1 - 4 T + p T^{2} + 11 T^{3} - 32 T^{4} + 11 p T^{5} + p^{3} T^{6} - 4 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
7 $$( 1 - T + T^{2} )^{4}$$
good5 $$1 - 4 T + p T^{2} + 18 T^{3} - 94 T^{4} + 232 T^{5} - 22 p T^{6} - 1011 T^{7} + 3826 T^{8} - 1011 p T^{9} - 22 p^{3} T^{10} + 232 p^{3} T^{11} - 94 p^{4} T^{12} + 18 p^{5} T^{13} + p^{7} T^{14} - 4 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
11 $$1 - 6 T + T^{2} + 24 T^{3} + 49 T^{4} + 306 T^{5} - 2153 T^{6} + 1236 T^{7} + 7063 T^{8} + 1236 p T^{9} - 2153 p^{2} T^{10} + 306 p^{3} T^{11} + 49 p^{4} T^{12} + 24 p^{5} T^{13} + p^{6} T^{14} - 6 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
13 $$1 + 3 T - 16 T^{2} + 3 p T^{3} + 337 T^{4} - 720 T^{5} + 2222 T^{6} + 906 p T^{7} - 3392 p T^{8} + 906 p^{2} T^{9} + 2222 p^{2} T^{10} - 720 p^{3} T^{11} + 337 p^{4} T^{12} + 3 p^{6} T^{13} - 16 p^{6} T^{14} + 3 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
17 $$( 1 + 8 T + 35 T^{2} + 167 T^{3} + 886 T^{4} + 167 p T^{5} + 35 p^{2} T^{6} + 8 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8} )^{2}$$
19 $$( 1 - 2 T + 55 T^{2} - 41 T^{3} + 1309 T^{4} - 41 p T^{5} + 55 p^{2} T^{6} - 2 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8} )^{2}$$
23 $$1 - 5 T - 28 T^{2} + 177 T^{3} - 25 T^{4} + 494 T^{5} - 12137 T^{6} - 44331 T^{7} + 708646 T^{8} - 44331 p T^{9} - 12137 p^{2} T^{10} + 494 p^{3} T^{11} - 25 p^{4} T^{12} + 177 p^{5} T^{13} - 28 p^{6} T^{14} - 5 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
29 $$1 - T - 49 T^{2} + 294 T^{3} + 1136 T^{4} - 11204 T^{5} + 49096 T^{6} + 227337 T^{7} - 2198075 T^{8} + 227337 p T^{9} + 49096 p^{2} T^{10} - 11204 p^{3} T^{11} + 1136 p^{4} T^{12} + 294 p^{5} T^{13} - 49 p^{6} T^{14} - p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
31 $$1 + 11 T - 39 T^{2} - 356 T^{3} + 5954 T^{4} + 25902 T^{5} - 215174 T^{6} - 3835 T^{7} + 11112081 T^{8} - 3835 p T^{9} - 215174 p^{2} T^{10} + 25902 p^{3} T^{11} + 5954 p^{4} T^{12} - 356 p^{5} T^{13} - 39 p^{6} T^{14} + 11 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
37 $$( 1 - 27 T + 412 T^{2} - 4104 T^{3} + 29436 T^{4} - 4104 p T^{5} + 412 p^{2} T^{6} - 27 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8} )^{2}$$
41 $$1 - 2 T - 37 T^{2} + 432 T^{3} - 841 T^{4} - 13042 T^{5} + 100489 T^{6} + 72294 T^{7} - 3776099 T^{8} + 72294 p T^{9} + 100489 p^{2} T^{10} - 13042 p^{3} T^{11} - 841 p^{4} T^{12} + 432 p^{5} T^{13} - 37 p^{6} T^{14} - 2 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
43 $$1 - 11 T - 27 T^{2} + 596 T^{3} + 140 T^{4} - 2688 T^{5} - 152864 T^{6} - 330797 T^{7} + 13009029 T^{8} - 330797 p T^{9} - 152864 p^{2} T^{10} - 2688 p^{3} T^{11} + 140 p^{4} T^{12} + 596 p^{5} T^{13} - 27 p^{6} T^{14} - 11 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
47 $$1 + 7 T - 61 T^{2} + 174 T^{3} + 5108 T^{4} - 21898 T^{5} - 62918 T^{6} + 808359 T^{7} - 1538879 T^{8} + 808359 p T^{9} - 62918 p^{2} T^{10} - 21898 p^{3} T^{11} + 5108 p^{4} T^{12} + 174 p^{5} T^{13} - 61 p^{6} T^{14} + 7 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
53 $$( 1 + 4 T + 83 T^{2} - 197 T^{3} + 2722 T^{4} - 197 p T^{5} + 83 p^{2} T^{6} + 4 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8} )^{2}$$
59 $$1 + 9 T - 119 T^{2} - 1116 T^{3} + 10336 T^{4} + 79866 T^{5} - 564434 T^{6} - 2176353 T^{7} + 30131725 T^{8} - 2176353 p T^{9} - 564434 p^{2} T^{10} + 79866 p^{3} T^{11} + 10336 p^{4} T^{12} - 1116 p^{5} T^{13} - 119 p^{6} T^{14} + 9 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
61 $$1 + 7 T - 144 T^{2} - 1315 T^{3} + 11783 T^{4} + 112692 T^{5} - 470051 T^{6} - 3262925 T^{7} + 21742764 T^{8} - 3262925 p T^{9} - 470051 p^{2} T^{10} + 112692 p^{3} T^{11} + 11783 p^{4} T^{12} - 1315 p^{5} T^{13} - 144 p^{6} T^{14} + 7 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
67 $$1 - 12 T - 139 T^{2} + 1338 T^{3} + 22729 T^{4} - 133506 T^{5} - 1954153 T^{6} + 2368722 T^{7} + 170018875 T^{8} + 2368722 p T^{9} - 1954153 p^{2} T^{10} - 133506 p^{3} T^{11} + 22729 p^{4} T^{12} + 1338 p^{5} T^{13} - 139 p^{6} T^{14} - 12 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
71 $$( 1 - 12 T + 167 T^{2} - 591 T^{3} + 7587 T^{4} - 591 p T^{5} + 167 p^{2} T^{6} - 12 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8} )^{2}$$
73 $$( 1 - 13 T + 232 T^{2} - 1504 T^{3} + 18820 T^{4} - 1504 p T^{5} + 232 p^{2} T^{6} - 13 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8} )^{2}$$
79 $$1 - 22 T + 3 p T^{2} - 1616 T^{3} + 2882 T^{4} + 87342 T^{5} - 574370 T^{6} - 1050079 T^{7} + 29800944 T^{8} - 1050079 p T^{9} - 574370 p^{2} T^{10} + 87342 p^{3} T^{11} + 2882 p^{4} T^{12} - 1616 p^{5} T^{13} + 3 p^{7} T^{14} - 22 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
83 $$1 - 6 T - 113 T^{2} + 1704 T^{3} + 3151 T^{4} - 166296 T^{5} + 1416277 T^{6} + 7918434 T^{7} - 172589093 T^{8} + 7918434 p T^{9} + 1416277 p^{2} T^{10} - 166296 p^{3} T^{11} + 3151 p^{4} T^{12} + 1704 p^{5} T^{13} - 113 p^{6} T^{14} - 6 p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
89 $$( 1 + 14 T + 323 T^{2} + 2963 T^{3} + 41152 T^{4} + 2963 p T^{5} + 323 p^{2} T^{6} + 14 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8} )^{2}$$
97 $$1 + T - 123 T^{2} - 856 T^{3} - 4138 T^{4} + 70242 T^{5} + 167026 T^{6} - 386291 T^{7} + 107246157 T^{8} - 386291 p T^{9} + 167026 p^{2} T^{10} + 70242 p^{3} T^{11} - 4138 p^{4} T^{12} - 856 p^{5} T^{13} - 123 p^{6} T^{14} + p^{7} T^{15} + p^{8} T^{16}$$
\begin{aligned}L(s) = \prod_p \ \prod_{j=1}^{16} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\end{aligned}