# Properties

 Degree $12$ Conductor $1.049\times 10^{18}$ Sign $1$ Motivic weight $1$ Primitive no Self-dual yes Analytic rank $0$

# Origins of factors

## Dirichlet series

 L(s)  = 1 + 2·3-s − 5-s − 3·7-s + 6·9-s + 2·11-s − 3·13-s − 2·15-s + 4·17-s − 6·19-s − 6·21-s + 14·23-s + 11·25-s + 7·27-s − 29-s − 3·31-s + 4·33-s + 3·35-s − 6·37-s − 6·39-s + 3·43-s − 6·45-s + 21·47-s + 3·49-s + 8·51-s + 12·53-s − 2·55-s − 12·57-s + ⋯
 L(s)  = 1 + 1.15·3-s − 0.447·5-s − 1.13·7-s + 2·9-s + 0.603·11-s − 0.832·13-s − 0.516·15-s + 0.970·17-s − 1.37·19-s − 1.30·21-s + 2.91·23-s + 11/5·25-s + 1.34·27-s − 0.185·29-s − 0.538·31-s + 0.696·33-s + 0.507·35-s − 0.986·37-s − 0.960·39-s + 0.457·43-s − 0.894·45-s + 3.06·47-s + 3/7·49-s + 1.12·51-s + 1.64·53-s − 0.269·55-s − 1.58·57-s + ⋯

## Functional equation

\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{24} \cdot 3^{12} \cdot 7^{6}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{6} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}
\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{24} \cdot 3^{12} \cdot 7^{6}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{6} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}

## Invariants

 Degree: $$12$$ Conductor: $$2^{24} \cdot 3^{12} \cdot 7^{6}$$ Sign: $1$ Motivic weight: $$1$$ Character: induced by $\chi_{1008} (1, \cdot )$ Primitive: no Self-dual: yes Analytic rank: $$0$$ Selberg data: $$(12,\ 2^{24} \cdot 3^{12} \cdot 7^{6} ,\ ( \ : [1/2]^{6} ),\ 1 )$$

## Particular Values

 $$L(1)$$ $$\approx$$ $$7.765707005$$ $$L(\frac12)$$ $$\approx$$ $$7.765707005$$ $$L(\frac{3}{2})$$ not available $$L(1)$$ not available

## Euler product

$$L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1}$$
$p$$F_p(T)$
bad2 $$1$$
3 $$1 - 2 T - 2 T^{2} + p^{2} T^{3} - 2 p T^{4} - 2 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6}$$
7 $$( 1 + T + T^{2} )^{3}$$
good5 $$1 + T - 2 p T^{2} - 7 T^{3} + 57 T^{4} + 14 T^{5} - 299 T^{6} + 14 p T^{7} + 57 p^{2} T^{8} - 7 p^{3} T^{9} - 2 p^{5} T^{10} + p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
11 $$1 - 2 T - 4 T^{2} - 46 T^{3} + 6 T^{4} + 230 T^{5} + 1699 T^{6} + 230 p T^{7} + 6 p^{2} T^{8} - 46 p^{3} T^{9} - 4 p^{4} T^{10} - 2 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
13 $$1 + 3 T + 3 T^{2} - 84 T^{3} - 15 p T^{4} + 345 T^{5} + 5006 T^{6} + 345 p T^{7} - 15 p^{3} T^{8} - 84 p^{3} T^{9} + 3 p^{4} T^{10} + 3 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
17 $$( 1 - 2 T + 32 T^{2} - 21 T^{3} + 32 p T^{4} - 2 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6} )^{2}$$
19 $$( 1 + 3 T + 33 T^{2} + 35 T^{3} + 33 p T^{4} + 3 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6} )^{2}$$
23 $$1 - 14 T + 74 T^{2} - 358 T^{3} + 2628 T^{4} - 11188 T^{5} + 33943 T^{6} - 11188 p T^{7} + 2628 p^{2} T^{8} - 358 p^{3} T^{9} + 74 p^{4} T^{10} - 14 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
29 $$1 + T - 46 T^{2} + 149 T^{3} + 897 T^{4} - 4282 T^{5} - 13523 T^{6} - 4282 p T^{7} + 897 p^{2} T^{8} + 149 p^{3} T^{9} - 46 p^{4} T^{10} + p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
31 $$1 + 3 T - 48 T^{2} - 147 T^{3} + 1005 T^{4} + 1344 T^{5} - 24505 T^{6} + 1344 p T^{7} + 1005 p^{2} T^{8} - 147 p^{3} T^{9} - 48 p^{4} T^{10} + 3 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
37 $$( 1 + 3 T + 81 T^{2} + 199 T^{3} + 81 p T^{4} + 3 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6} )^{2}$$
41 $$1 - 90 T^{2} + 18 T^{3} + 4410 T^{4} - 810 T^{5} - 194177 T^{6} - 810 p T^{7} + 4410 p^{2} T^{8} + 18 p^{3} T^{9} - 90 p^{4} T^{10} + p^{6} T^{12}$$
43 $$1 - 3 T - 24 T^{2} + 979 T^{3} - 1947 T^{4} - 14820 T^{5} + 386067 T^{6} - 14820 p T^{7} - 1947 p^{2} T^{8} + 979 p^{3} T^{9} - 24 p^{4} T^{10} - 3 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
47 $$1 - 21 T + 180 T^{2} - 1119 T^{3} + 10053 T^{4} - 100416 T^{5} + 788551 T^{6} - 100416 p T^{7} + 10053 p^{2} T^{8} - 1119 p^{3} T^{9} + 180 p^{4} T^{10} - 21 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
53 $$( 1 - 6 T + 162 T^{2} - 627 T^{3} + 162 p T^{4} - 6 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6} )^{2}$$
59 $$1 - 31 T + 476 T^{2} - 5741 T^{3} + 62553 T^{4} - 587576 T^{5} + 4781851 T^{6} - 587576 p T^{7} + 62553 p^{2} T^{8} - 5741 p^{3} T^{9} + 476 p^{4} T^{10} - 31 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
61 $$1 + 6 T + 48 T^{2} + 642 T^{3} + 3018 T^{4} + 35394 T^{5} + 438671 T^{6} + 35394 p T^{7} + 3018 p^{2} T^{8} + 642 p^{3} T^{9} + 48 p^{4} T^{10} + 6 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
67 $$1 - 6 T - 150 T^{2} + 506 T^{3} + 17268 T^{4} - 28236 T^{5} - 1220289 T^{6} - 28236 p T^{7} + 17268 p^{2} T^{8} + 506 p^{3} T^{9} - 150 p^{4} T^{10} - 6 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
71 $$( 1 + 17 T + 119 T^{2} + 507 T^{3} + 119 p T^{4} + 17 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6} )^{2}$$
73 $$( 1 + 3 T + 195 T^{2} + 359 T^{3} + 195 p T^{4} + 3 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6} )^{2}$$
79 $$1 + 9 T - 114 T^{2} - 351 T^{3} + 13143 T^{4} - 15786 T^{5} - 1414609 T^{6} - 15786 p T^{7} + 13143 p^{2} T^{8} - 351 p^{3} T^{9} - 114 p^{4} T^{10} + 9 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
83 $$1 - 20 T + 38 T^{2} - 346 T^{3} + 32058 T^{4} - 183754 T^{5} - 606869 T^{6} - 183754 p T^{7} + 32058 p^{2} T^{8} - 346 p^{3} T^{9} + 38 p^{4} T^{10} - 20 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
89 $$( 1 - 12 T + 216 T^{2} - 1425 T^{3} + 216 p T^{4} - 12 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6} )^{2}$$
97 $$1 - 9 T - 66 T^{2} + 2023 T^{3} - 7707 T^{4} - 73950 T^{5} + 1766073 T^{6} - 73950 p T^{7} - 7707 p^{2} T^{8} + 2023 p^{3} T^{9} - 66 p^{4} T^{10} - 9 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
$$L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{12} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}$$