Dirichlet series
| L(s) = 1 | + 5·2-s + 3-s + 5·4-s + 21·5-s + 5·6-s − 7-s − 17·8-s − 18·9-s + 105·10-s + 6·11-s + 5·12-s + 12·13-s − 5·14-s + 21·15-s − 47·16-s + 18·17-s − 90·18-s − 14·19-s + 105·20-s − 21-s + 30·22-s + 7·23-s − 17·24-s + 193·25-s + 60·26-s − 15·27-s − 5·28-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | + 3.53·2-s + 0.577·3-s + 5/2·4-s + 9.39·5-s + 2.04·6-s − 0.377·7-s − 6.01·8-s − 6·9-s + 33.2·10-s + 1.80·11-s + 1.44·12-s + 3.32·13-s − 1.33·14-s + 5.42·15-s − 11.7·16-s + 4.36·17-s − 21.2·18-s − 3.21·19-s + 23.4·20-s − 0.218·21-s + 6.39·22-s + 1.45·23-s − 3.47·24-s + 38.5·25-s + 11.7·26-s − 2.88·27-s − 0.944·28-s + ⋯ |
Functional equation
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(17^{18} \cdot 59^{18}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{18} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(17^{18} \cdot 59^{18}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{18} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Invariants
| Degree: | \(36\) |
| Conductor: | \(17^{18} \cdot 59^{18}\) |
| Sign: | $1$ |
| Analytic conductor: | \(1.83825\times 10^{16}\) |
| Root analytic conductor: | \(2.83001\) |
| Motivic weight: | \(1\) |
| Rational: | yes |
| Arithmetic: | yes |
| Character: | Trivial |
| Primitive: | no |
| Self-dual: | yes |
| Analytic rank: | \(0\) |
| Selberg data: | \((36,\ 17^{18} \cdot 59^{18} ,\ ( \ : [1/2]^{18} ),\ 1 )\) |
Particular Values
| \(L(1)\) | \(\approx\) | \(4779.057301\) |
| \(L(\frac12)\) | \(\approx\) | \(4779.057301\) |
| \(L(\frac{3}{2})\) | not available | |
| \(L(1)\) | not available |
Euler product
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $F_p(T)$ | |
|---|---|---|
| bad | 17 | \( ( 1 - T )^{18} \) |
| 59 | \( ( 1 + T )^{18} \) | |
| good | 2 | \( 1 - 5 T + 5 p^{2} T^{2} - 29 p T^{3} + 19 p^{3} T^{4} - 43 p^{3} T^{5} + 735 T^{6} - 45 p^{5} T^{7} + 2727 T^{8} - 2433 p T^{9} + 8497 T^{10} - 7099 p T^{11} + 23403 T^{12} - 291 p^{7} T^{13} + 58661 T^{14} - 89451 T^{15} + 33699 p^{2} T^{16} - 98251 p T^{17} + 70653 p^{2} T^{18} - 98251 p^{2} T^{19} + 33699 p^{4} T^{20} - 89451 p^{3} T^{21} + 58661 p^{4} T^{22} - 291 p^{12} T^{23} + 23403 p^{6} T^{24} - 7099 p^{8} T^{25} + 8497 p^{8} T^{26} - 2433 p^{10} T^{27} + 2727 p^{10} T^{28} - 45 p^{16} T^{29} + 735 p^{12} T^{30} - 43 p^{16} T^{31} + 19 p^{17} T^{32} - 29 p^{16} T^{33} + 5 p^{18} T^{34} - 5 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) |
| 3 | \( 1 - T + 19 T^{2} - 22 T^{3} + 67 p T^{4} - 250 T^{5} + 1538 T^{6} - 1963 T^{7} + 3133 p T^{8} - 3976 p T^{9} + 48218 T^{10} - 19954 p T^{11} + 213988 T^{12} - 85849 p T^{13} + 838124 T^{14} - 971758 T^{15} + 2935787 T^{16} - 3258875 T^{17} + 9267386 T^{18} - 3258875 p T^{19} + 2935787 p^{2} T^{20} - 971758 p^{3} T^{21} + 838124 p^{4} T^{22} - 85849 p^{6} T^{23} + 213988 p^{6} T^{24} - 19954 p^{8} T^{25} + 48218 p^{8} T^{26} - 3976 p^{10} T^{27} + 3133 p^{11} T^{28} - 1963 p^{11} T^{29} + 1538 p^{12} T^{30} - 250 p^{13} T^{31} + 67 p^{15} T^{32} - 22 p^{15} T^{33} + 19 p^{16} T^{34} - p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 5 | \( 1 - 21 T + 248 T^{2} - 2112 T^{3} + 2878 p T^{4} - 3314 p^{2} T^{5} + 417181 T^{6} - 1880214 T^{7} + 7712027 T^{8} - 29143104 T^{9} + 102409048 T^{10} - 337007088 T^{11} + 1044205383 T^{12} - 3058958706 T^{13} + 8499119894 T^{14} - 22450225214 T^{15} + 11295461471 p T^{16} - 135473844787 T^{17} + 310079023954 T^{18} - 135473844787 p T^{19} + 11295461471 p^{3} T^{20} - 22450225214 p^{3} T^{21} + 8499119894 p^{4} T^{22} - 3058958706 p^{5} T^{23} + 1044205383 p^{6} T^{24} - 337007088 p^{7} T^{25} + 102409048 p^{8} T^{26} - 29143104 p^{9} T^{27} + 7712027 p^{10} T^{28} - 1880214 p^{11} T^{29} + 417181 p^{12} T^{30} - 3314 p^{15} T^{31} + 2878 p^{15} T^{32} - 2112 p^{15} T^{33} + 248 p^{16} T^{34} - 21 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 7 | \( 1 + T + 8 p T^{2} + 34 T^{3} + 1518 T^{4} + 485 T^{5} + 26882 T^{6} + 3211 T^{7} + 350122 T^{8} - 1782 T^{9} + 3562855 T^{10} - 221519 T^{11} + 29467805 T^{12} - 1805704 T^{13} + 206767815 T^{14} - 540472 p T^{15} + 1329201842 T^{16} + 43203918 T^{17} + 8830674752 T^{18} + 43203918 p T^{19} + 1329201842 p^{2} T^{20} - 540472 p^{4} T^{21} + 206767815 p^{4} T^{22} - 1805704 p^{5} T^{23} + 29467805 p^{6} T^{24} - 221519 p^{7} T^{25} + 3562855 p^{8} T^{26} - 1782 p^{9} T^{27} + 350122 p^{10} T^{28} + 3211 p^{11} T^{29} + 26882 p^{12} T^{30} + 485 p^{13} T^{31} + 1518 p^{14} T^{32} + 34 p^{15} T^{33} + 8 p^{17} T^{34} + p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 11 | \( 1 - 6 T + 127 T^{2} - 689 T^{3} + 7708 T^{4} - 38227 T^{5} + 298469 T^{6} - 1369387 T^{7} + 8327943 T^{8} - 35790520 T^{9} + 179869059 T^{10} - 732797929 T^{11} + 3164067020 T^{12} - 12337375884 T^{13} + 47169541671 T^{14} - 176813586395 T^{15} + 614445550848 T^{16} - 2207242164895 T^{17} + 7134211635492 T^{18} - 2207242164895 p T^{19} + 614445550848 p^{2} T^{20} - 176813586395 p^{3} T^{21} + 47169541671 p^{4} T^{22} - 12337375884 p^{5} T^{23} + 3164067020 p^{6} T^{24} - 732797929 p^{7} T^{25} + 179869059 p^{8} T^{26} - 35790520 p^{9} T^{27} + 8327943 p^{10} T^{28} - 1369387 p^{11} T^{29} + 298469 p^{12} T^{30} - 38227 p^{13} T^{31} + 7708 p^{14} T^{32} - 689 p^{15} T^{33} + 127 p^{16} T^{34} - 6 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 13 | \( 1 - 12 T + 15 p T^{2} - 1722 T^{3} + 16570 T^{4} - 117747 T^{5} + 854099 T^{6} - 5136447 T^{7} + 30754314 T^{8} - 161864038 T^{9} + 64591916 p T^{10} - 3965488172 T^{11} + 18391231959 T^{12} - 79463553929 T^{13} + 336854135767 T^{14} - 1350987506629 T^{15} + 5315299094844 T^{16} - 118132532832 p^{2} T^{17} + 73562236154478 T^{18} - 118132532832 p^{3} T^{19} + 5315299094844 p^{2} T^{20} - 1350987506629 p^{3} T^{21} + 336854135767 p^{4} T^{22} - 79463553929 p^{5} T^{23} + 18391231959 p^{6} T^{24} - 3965488172 p^{7} T^{25} + 64591916 p^{9} T^{26} - 161864038 p^{9} T^{27} + 30754314 p^{10} T^{28} - 5136447 p^{11} T^{29} + 854099 p^{12} T^{30} - 117747 p^{13} T^{31} + 16570 p^{14} T^{32} - 1722 p^{15} T^{33} + 15 p^{17} T^{34} - 12 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 19 | \( 1 + 14 T + 290 T^{2} + 3029 T^{3} + 36817 T^{4} + 314426 T^{5} + 2870012 T^{6} + 21074543 T^{7} + 158491227 T^{8} + 1032221026 T^{9} + 6708312133 T^{10} + 39543233724 T^{11} + 228501358352 T^{12} + 1235145267619 T^{13} + 6463358843799 T^{14} + 32283670501184 T^{15} + 154818187749602 T^{16} + 716919841360198 T^{17} + 167058406257286 p T^{18} + 716919841360198 p T^{19} + 154818187749602 p^{2} T^{20} + 32283670501184 p^{3} T^{21} + 6463358843799 p^{4} T^{22} + 1235145267619 p^{5} T^{23} + 228501358352 p^{6} T^{24} + 39543233724 p^{7} T^{25} + 6708312133 p^{8} T^{26} + 1032221026 p^{9} T^{27} + 158491227 p^{10} T^{28} + 21074543 p^{11} T^{29} + 2870012 p^{12} T^{30} + 314426 p^{13} T^{31} + 36817 p^{14} T^{32} + 3029 p^{15} T^{33} + 290 p^{16} T^{34} + 14 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 23 | \( 1 - 7 T + 239 T^{2} - 1576 T^{3} + 28588 T^{4} - 179050 T^{5} + 2269277 T^{6} - 13561935 T^{7} + 133919327 T^{8} - 766089347 T^{9} + 6252142135 T^{10} - 34292124369 T^{11} + 240295781412 T^{12} - 1263196000211 T^{13} + 7818397648251 T^{14} - 39255760559581 T^{15} + 219632672936210 T^{16} - 1045456603448794 T^{17} + 5392265405260800 T^{18} - 1045456603448794 p T^{19} + 219632672936210 p^{2} T^{20} - 39255760559581 p^{3} T^{21} + 7818397648251 p^{4} T^{22} - 1263196000211 p^{5} T^{23} + 240295781412 p^{6} T^{24} - 34292124369 p^{7} T^{25} + 6252142135 p^{8} T^{26} - 766089347 p^{9} T^{27} + 133919327 p^{10} T^{28} - 13561935 p^{11} T^{29} + 2269277 p^{12} T^{30} - 179050 p^{13} T^{31} + 28588 p^{14} T^{32} - 1576 p^{15} T^{33} + 239 p^{16} T^{34} - 7 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 29 | \( 1 - 23 T + 563 T^{2} - 8615 T^{3} + 128432 T^{4} - 1522980 T^{5} + 17354219 T^{6} - 171102877 T^{7} + 1620106476 T^{8} - 13815187483 T^{9} + 113412360674 T^{10} - 857384208124 T^{11} + 6258622685406 T^{12} - 42644913205081 T^{13} + 281339577465084 T^{14} - 1747023215055564 T^{15} + 10525426577055857 T^{16} - 59964845786916469 T^{17} + 331827567818956736 T^{18} - 59964845786916469 p T^{19} + 10525426577055857 p^{2} T^{20} - 1747023215055564 p^{3} T^{21} + 281339577465084 p^{4} T^{22} - 42644913205081 p^{5} T^{23} + 6258622685406 p^{6} T^{24} - 857384208124 p^{7} T^{25} + 113412360674 p^{8} T^{26} - 13815187483 p^{9} T^{27} + 1620106476 p^{10} T^{28} - 171102877 p^{11} T^{29} + 17354219 p^{12} T^{30} - 1522980 p^{13} T^{31} + 128432 p^{14} T^{32} - 8615 p^{15} T^{33} + 563 p^{16} T^{34} - 23 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 31 | \( 1 + T + 371 T^{2} + 375 T^{3} + 66747 T^{4} + 74684 T^{5} + 7774251 T^{6} + 10103299 T^{7} + 660259304 T^{8} + 1004583593 T^{9} + 43677801352 T^{10} + 76298900803 T^{11} + 2348382550731 T^{12} + 4538784174677 T^{13} + 105697196910147 T^{14} + 215218702414202 T^{15} + 4064525040452553 T^{16} + 8228165505228620 T^{17} + 135195912490404158 T^{18} + 8228165505228620 p T^{19} + 4064525040452553 p^{2} T^{20} + 215218702414202 p^{3} T^{21} + 105697196910147 p^{4} T^{22} + 4538784174677 p^{5} T^{23} + 2348382550731 p^{6} T^{24} + 76298900803 p^{7} T^{25} + 43677801352 p^{8} T^{26} + 1004583593 p^{9} T^{27} + 660259304 p^{10} T^{28} + 10103299 p^{11} T^{29} + 7774251 p^{12} T^{30} + 74684 p^{13} T^{31} + 66747 p^{14} T^{32} + 375 p^{15} T^{33} + 371 p^{16} T^{34} + p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 37 | \( 1 - 36 T + 1035 T^{2} - 21370 T^{3} + 381842 T^{4} - 5803940 T^{5} + 79432215 T^{6} - 976875470 T^{7} + 11061829355 T^{8} - 115471197904 T^{9} + 1125156678811 T^{10} - 10250379469620 T^{11} + 87935059995072 T^{12} - 711273924784364 T^{13} + 5448065421722451 T^{14} - 39546158667594450 T^{15} + 272747091667535146 T^{16} - 1787574464717241302 T^{17} + 11149407736420495504 T^{18} - 1787574464717241302 p T^{19} + 272747091667535146 p^{2} T^{20} - 39546158667594450 p^{3} T^{21} + 5448065421722451 p^{4} T^{22} - 711273924784364 p^{5} T^{23} + 87935059995072 p^{6} T^{24} - 10250379469620 p^{7} T^{25} + 1125156678811 p^{8} T^{26} - 115471197904 p^{9} T^{27} + 11061829355 p^{10} T^{28} - 976875470 p^{11} T^{29} + 79432215 p^{12} T^{30} - 5803940 p^{13} T^{31} + 381842 p^{14} T^{32} - 21370 p^{15} T^{33} + 1035 p^{16} T^{34} - 36 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 41 | \( 1 - 37 T + 1162 T^{2} - 25639 T^{3} + 497024 T^{4} - 8108783 T^{5} + 119638831 T^{6} - 1574467807 T^{7} + 19095573312 T^{8} - 212257240486 T^{9} + 2201959688464 T^{10} - 21259177815952 T^{11} + 193234881336991 T^{12} - 1650317886320321 T^{13} + 13349672392428094 T^{14} - 102082179475824511 T^{15} + 742232061628877504 T^{16} - 5119197873181398524 T^{17} + 33636669577737855514 T^{18} - 5119197873181398524 p T^{19} + 742232061628877504 p^{2} T^{20} - 102082179475824511 p^{3} T^{21} + 13349672392428094 p^{4} T^{22} - 1650317886320321 p^{5} T^{23} + 193234881336991 p^{6} T^{24} - 21259177815952 p^{7} T^{25} + 2201959688464 p^{8} T^{26} - 212257240486 p^{9} T^{27} + 19095573312 p^{10} T^{28} - 1574467807 p^{11} T^{29} + 119638831 p^{12} T^{30} - 8108783 p^{13} T^{31} + 497024 p^{14} T^{32} - 25639 p^{15} T^{33} + 1162 p^{16} T^{34} - 37 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 43 | \( 1 + 15 T + 649 T^{2} + 7805 T^{3} + 190599 T^{4} + 1912780 T^{5} + 801125 p T^{6} + 295984148 T^{7} + 4370757901 T^{8} + 32739693264 T^{9} + 419942836228 T^{10} + 2782160636183 T^{11} + 32141059408382 T^{12} + 190837001390527 T^{13} + 2032298526457431 T^{14} + 10960026906223203 T^{15} + 108958866784162301 T^{16} + 540878278891610325 T^{17} + 5033504906601400058 T^{18} + 540878278891610325 p T^{19} + 108958866784162301 p^{2} T^{20} + 10960026906223203 p^{3} T^{21} + 2032298526457431 p^{4} T^{22} + 190837001390527 p^{5} T^{23} + 32141059408382 p^{6} T^{24} + 2782160636183 p^{7} T^{25} + 419942836228 p^{8} T^{26} + 32739693264 p^{9} T^{27} + 4370757901 p^{10} T^{28} + 295984148 p^{11} T^{29} + 801125 p^{13} T^{30} + 1912780 p^{13} T^{31} + 190599 p^{14} T^{32} + 7805 p^{15} T^{33} + 649 p^{16} T^{34} + 15 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 47 | \( 1 - 23 T + 769 T^{2} - 13551 T^{3} + 269949 T^{4} - 3915438 T^{5} + 59208414 T^{6} - 735695639 T^{7} + 9217604329 T^{8} - 100563658366 T^{9} + 1089466533153 T^{10} - 10604131770061 T^{11} + 101737531943472 T^{12} - 892746822726844 T^{13} + 7694162352201876 T^{14} - 61273031451667859 T^{15} + 478443586728967441 T^{16} - 3470319267236089527 T^{17} + 24664505296042832200 T^{18} - 3470319267236089527 p T^{19} + 478443586728967441 p^{2} T^{20} - 61273031451667859 p^{3} T^{21} + 7694162352201876 p^{4} T^{22} - 892746822726844 p^{5} T^{23} + 101737531943472 p^{6} T^{24} - 10604131770061 p^{7} T^{25} + 1089466533153 p^{8} T^{26} - 100563658366 p^{9} T^{27} + 9217604329 p^{10} T^{28} - 735695639 p^{11} T^{29} + 59208414 p^{12} T^{30} - 3915438 p^{13} T^{31} + 269949 p^{14} T^{32} - 13551 p^{15} T^{33} + 769 p^{16} T^{34} - 23 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 53 | \( 1 - 35 T + 1083 T^{2} - 22489 T^{3} + 425053 T^{4} - 6567248 T^{5} + 94678506 T^{6} - 1195535428 T^{7} + 14340016873 T^{8} - 155936505747 T^{9} + 1632034394994 T^{10} - 15801546478878 T^{11} + 148677841270600 T^{12} - 1310514992350566 T^{13} + 11302408728124255 T^{14} - 92025015377152967 T^{15} + 736342587091688232 T^{16} - 5586084118835796339 T^{17} + 41736989702520768260 T^{18} - 5586084118835796339 p T^{19} + 736342587091688232 p^{2} T^{20} - 92025015377152967 p^{3} T^{21} + 11302408728124255 p^{4} T^{22} - 1310514992350566 p^{5} T^{23} + 148677841270600 p^{6} T^{24} - 15801546478878 p^{7} T^{25} + 1632034394994 p^{8} T^{26} - 155936505747 p^{9} T^{27} + 14340016873 p^{10} T^{28} - 1195535428 p^{11} T^{29} + 94678506 p^{12} T^{30} - 6567248 p^{13} T^{31} + 425053 p^{14} T^{32} - 22489 p^{15} T^{33} + 1083 p^{16} T^{34} - 35 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 61 | \( 1 - 39 T + 1471 T^{2} - 35818 T^{3} + 817118 T^{4} - 14960561 T^{5} + 258108425 T^{6} - 3854122514 T^{7} + 54695318545 T^{8} - 696771547696 T^{9} + 8499221240849 T^{10} - 95019195234761 T^{11} + 1023357880808331 T^{12} - 10232780871009974 T^{13} + 99036704888231764 T^{14} - 897188364949677630 T^{15} + 7893182830860804533 T^{16} - 65299249552356104475 T^{17} + \)\(52\!\cdots\!42\)\( T^{18} - 65299249552356104475 p T^{19} + 7893182830860804533 p^{2} T^{20} - 897188364949677630 p^{3} T^{21} + 99036704888231764 p^{4} T^{22} - 10232780871009974 p^{5} T^{23} + 1023357880808331 p^{6} T^{24} - 95019195234761 p^{7} T^{25} + 8499221240849 p^{8} T^{26} - 696771547696 p^{9} T^{27} + 54695318545 p^{10} T^{28} - 3854122514 p^{11} T^{29} + 258108425 p^{12} T^{30} - 14960561 p^{13} T^{31} + 817118 p^{14} T^{32} - 35818 p^{15} T^{33} + 1471 p^{16} T^{34} - 39 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 67 | \( 1 - 14 T + 584 T^{2} - 7402 T^{3} + 175998 T^{4} - 2019958 T^{5} + 35736509 T^{6} - 377347957 T^{7} + 5499794378 T^{8} - 54163644568 T^{9} + 685649961037 T^{10} - 6367484198644 T^{11} + 72217104791589 T^{12} - 636332394978799 T^{13} + 6595772574396989 T^{14} - 55209996682386672 T^{15} + 529915485627492618 T^{16} - 4201344704663207028 T^{17} + 37698537055203245858 T^{18} - 4201344704663207028 p T^{19} + 529915485627492618 p^{2} T^{20} - 55209996682386672 p^{3} T^{21} + 6595772574396989 p^{4} T^{22} - 636332394978799 p^{5} T^{23} + 72217104791589 p^{6} T^{24} - 6367484198644 p^{7} T^{25} + 685649961037 p^{8} T^{26} - 54163644568 p^{9} T^{27} + 5499794378 p^{10} T^{28} - 377347957 p^{11} T^{29} + 35736509 p^{12} T^{30} - 2019958 p^{13} T^{31} + 175998 p^{14} T^{32} - 7402 p^{15} T^{33} + 584 p^{16} T^{34} - 14 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 71 | \( 1 - 3 T + 537 T^{2} - 2435 T^{3} + 153205 T^{4} - 910500 T^{5} + 30959641 T^{6} - 215783078 T^{7} + 4973264314 T^{8} - 37289791104 T^{9} + 668654362394 T^{10} - 5085523989212 T^{11} + 76904950958463 T^{12} - 573811536150510 T^{13} + 7644694616954221 T^{14} - 54976086436920544 T^{15} + 661642485133273521 T^{16} - 4525499790997505672 T^{17} + 50144246014068624782 T^{18} - 4525499790997505672 p T^{19} + 661642485133273521 p^{2} T^{20} - 54976086436920544 p^{3} T^{21} + 7644694616954221 p^{4} T^{22} - 573811536150510 p^{5} T^{23} + 76904950958463 p^{6} T^{24} - 5085523989212 p^{7} T^{25} + 668654362394 p^{8} T^{26} - 37289791104 p^{9} T^{27} + 4973264314 p^{10} T^{28} - 215783078 p^{11} T^{29} + 30959641 p^{12} T^{30} - 910500 p^{13} T^{31} + 153205 p^{14} T^{32} - 2435 p^{15} T^{33} + 537 p^{16} T^{34} - 3 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 73 | \( 1 - 56 T + 2109 T^{2} - 58148 T^{3} + 1323233 T^{4} - 25545917 T^{5} + 434491514 T^{6} - 6603368704 T^{7} + 91350560633 T^{8} - 1160627321124 T^{9} + 13701049378596 T^{10} - 151273983137480 T^{11} + 1576247493655595 T^{12} - 15595164176234720 T^{13} + 147797237362272105 T^{14} - 1351002409324893588 T^{15} + 12022419854601633312 T^{16} - \)\(10\!\cdots\!47\)\( T^{17} + \)\(90\!\cdots\!48\)\( T^{18} - \)\(10\!\cdots\!47\)\( p T^{19} + 12022419854601633312 p^{2} T^{20} - 1351002409324893588 p^{3} T^{21} + 147797237362272105 p^{4} T^{22} - 15595164176234720 p^{5} T^{23} + 1576247493655595 p^{6} T^{24} - 151273983137480 p^{7} T^{25} + 13701049378596 p^{8} T^{26} - 1160627321124 p^{9} T^{27} + 91350560633 p^{10} T^{28} - 6603368704 p^{11} T^{29} + 434491514 p^{12} T^{30} - 25545917 p^{13} T^{31} + 1323233 p^{14} T^{32} - 58148 p^{15} T^{33} + 2109 p^{16} T^{34} - 56 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 79 | \( 1 + 22 T + 851 T^{2} + 14013 T^{3} + 321543 T^{4} + 4352824 T^{5} + 76480555 T^{6} + 899721359 T^{7} + 13400472097 T^{8} + 142374191076 T^{9} + 1896300817314 T^{10} + 18668917836386 T^{11} + 228746023792580 T^{12} + 2115817543963722 T^{13} + 24174321193637272 T^{14} + 211220187895134527 T^{15} + 2265598352861749407 T^{16} + 18723917741583607029 T^{17} + \)\(18\!\cdots\!20\)\( T^{18} + 18723917741583607029 p T^{19} + 2265598352861749407 p^{2} T^{20} + 211220187895134527 p^{3} T^{21} + 24174321193637272 p^{4} T^{22} + 2115817543963722 p^{5} T^{23} + 228746023792580 p^{6} T^{24} + 18668917836386 p^{7} T^{25} + 1896300817314 p^{8} T^{26} + 142374191076 p^{9} T^{27} + 13400472097 p^{10} T^{28} + 899721359 p^{11} T^{29} + 76480555 p^{12} T^{30} + 4352824 p^{13} T^{31} + 321543 p^{14} T^{32} + 14013 p^{15} T^{33} + 851 p^{16} T^{34} + 22 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 83 | \( 1 - 12 T + 1042 T^{2} - 10723 T^{3} + 506124 T^{4} - 4414628 T^{5} + 152289937 T^{6} - 13211762 p T^{7} + 31815480079 T^{8} - 179334069678 T^{9} + 4910741731628 T^{10} - 19368015579723 T^{11} + 585423077938040 T^{12} - 1209725488576827 T^{13} + 56585014808837265 T^{14} - 6058433211885189 T^{15} + 4782661356230931324 T^{16} + 6581721606983553308 T^{17} + \)\(39\!\cdots\!52\)\( T^{18} + 6581721606983553308 p T^{19} + 4782661356230931324 p^{2} T^{20} - 6058433211885189 p^{3} T^{21} + 56585014808837265 p^{4} T^{22} - 1209725488576827 p^{5} T^{23} + 585423077938040 p^{6} T^{24} - 19368015579723 p^{7} T^{25} + 4910741731628 p^{8} T^{26} - 179334069678 p^{9} T^{27} + 31815480079 p^{10} T^{28} - 13211762 p^{12} T^{29} + 152289937 p^{12} T^{30} - 4414628 p^{13} T^{31} + 506124 p^{14} T^{32} - 10723 p^{15} T^{33} + 1042 p^{16} T^{34} - 12 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 89 | \( 1 - 34 T + 1437 T^{2} - 34838 T^{3} + 879809 T^{4} - 16884543 T^{5} + 322190914 T^{6} - 5167587423 T^{7} + 81202210588 T^{8} - 1125560659095 T^{9} + 15233128252595 T^{10} - 186980501670944 T^{11} + 2245952507904067 T^{12} - 24938842702007338 T^{13} + 272651064040594252 T^{14} - 2797664833595998600 T^{15} + 28496596163061382239 T^{16} - \)\(27\!\cdots\!65\)\( T^{17} + \)\(26\!\cdots\!56\)\( T^{18} - \)\(27\!\cdots\!65\)\( p T^{19} + 28496596163061382239 p^{2} T^{20} - 2797664833595998600 p^{3} T^{21} + 272651064040594252 p^{4} T^{22} - 24938842702007338 p^{5} T^{23} + 2245952507904067 p^{6} T^{24} - 186980501670944 p^{7} T^{25} + 15233128252595 p^{8} T^{26} - 1125560659095 p^{9} T^{27} + 81202210588 p^{10} T^{28} - 5167587423 p^{11} T^{29} + 322190914 p^{12} T^{30} - 16884543 p^{13} T^{31} + 879809 p^{14} T^{32} - 34838 p^{15} T^{33} + 1437 p^{16} T^{34} - 34 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 97 | \( 1 - 31 T + 1150 T^{2} - 26640 T^{3} + 621033 T^{4} - 11795524 T^{5} + 217725486 T^{6} - 3569006410 T^{7} + 56489564240 T^{8} - 823771297356 T^{9} + 11600188070637 T^{10} - 153302569826193 T^{11} + 1959177410228710 T^{12} - 23739268881468945 T^{13} + 278562721657343088 T^{14} - 3117371594141937398 T^{15} + 33818200304155728284 T^{16} - \)\(35\!\cdots\!87\)\( T^{17} + \)\(35\!\cdots\!66\)\( T^{18} - \)\(35\!\cdots\!87\)\( p T^{19} + 33818200304155728284 p^{2} T^{20} - 3117371594141937398 p^{3} T^{21} + 278562721657343088 p^{4} T^{22} - 23739268881468945 p^{5} T^{23} + 1959177410228710 p^{6} T^{24} - 153302569826193 p^{7} T^{25} + 11600188070637 p^{8} T^{26} - 823771297356 p^{9} T^{27} + 56489564240 p^{10} T^{28} - 3569006410 p^{11} T^{29} + 217725486 p^{12} T^{30} - 11795524 p^{13} T^{31} + 621033 p^{14} T^{32} - 26640 p^{15} T^{33} + 1150 p^{16} T^{34} - 31 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| show more | ||
| show less | ||
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{36} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−2.41708711644822619429154504920, −2.32573706352645706917236043963, −2.23651546709291763649843602633, −2.19826368715215087528851670713, −2.06522921530377426840386140215, −2.00086914081341565974211820572, −1.96886384709548809447543443827, −1.95951859466030437542398096135, −1.95346433778844280456983943666, −1.93905378778895301173935821180, −1.81484878643404107043076828721, −1.81051413299496618952460941267, −1.50965200141838347296684505289, −1.32551172003723575470570603034, −1.29202833063694870607148297538, −1.17969855166627381769326767105, −1.17813631382959646944300285176, −1.08751478301170214561588927189, −0.953669533088607496726163206147, −0.72164581606979712081702071594, −0.65167608643623471218396945276, −0.64829671702544017661164546831, −0.61347257187322866516083345342, −0.58486674700265822320542789462, −0.46867134377170437727166491262, 0.46867134377170437727166491262, 0.58486674700265822320542789462, 0.61347257187322866516083345342, 0.64829671702544017661164546831, 0.65167608643623471218396945276, 0.72164581606979712081702071594, 0.953669533088607496726163206147, 1.08751478301170214561588927189, 1.17813631382959646944300285176, 1.17969855166627381769326767105, 1.29202833063694870607148297538, 1.32551172003723575470570603034, 1.50965200141838347296684505289, 1.81051413299496618952460941267, 1.81484878643404107043076828721, 1.93905378778895301173935821180, 1.95346433778844280456983943666, 1.95951859466030437542398096135, 1.96886384709548809447543443827, 2.00086914081341565974211820572, 2.06522921530377426840386140215, 2.19826368715215087528851670713, 2.23651546709291763649843602633, 2.32573706352645706917236043963, 2.41708711644822619429154504920
Graph of the $Z$-function along the critical line
Plot not available for L-functions of degree greater than 10.