LMFDB - L-function 16-10e8-1.1-c16e8-0-0

Dirichlet series

L(s) = 1

− 1.02e3·2^-s − 5.38e3·3^-s + 5.24e5·4^-s + 1.84e5·5^-s + 5.51e6·6^-s − 1.58e6·7^-s − 1.67e8·8^-s + 1.44e7·9^-s − 1.89e8·10^-s + 3.07e8·11^-s − 2.82e9·12^-s + 2.02e8·13^-s + 1.62e9·14^-s − 9.94e8·15^-s + 3.22e10·16^-s − 1.08e10·17^-s − 1.48e10·18^-s + 9.69e10·20^-s + 8.53e9·21^-s − 3.15e11·22^-s − 5.81e10·23^-s + 9.02e11·24^-s + 4.14e10·25^-s − 2.06e11·26^-s − 2.47e11·27^-s − 8.31e11·28^-s + 1.01e12·30^-s + ⋯

L(s) = 1

− 4·2^-s − 0.820·3^-s + 8·4^-s + 0.473·5^-s + 3.28·6^-s − 0.275·7^-s − 10·8^-s + 0.336·9^-s − 1.89·10^-s + 1.43·11^-s − 6.56·12^-s + 0.247·13^-s + 1.10·14^-s − 0.388·15^-s + 15/2·16^-s − 1.55·17^-s − 1.34·18^-s + 3.78·20^-s + 0.225·21^-s − 5.74·22^-s − 0.742·23^-s + 8.20·24^-s + 0.271·25^-s − 0.990·26^-s − 0.877·27^-s − 2.20·28^-s + 1.55·30^-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{8} \cdot 5^{8}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{8} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(17-s)\end{aligned}\]

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{8} \cdot 5^{8}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+8)^{8} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]

Invariants

Degree:	$16$
Conductor:	$2^{8} \cdot 5^{8}$
Sign:	$1$
Analytic conductor:	$4.82029\times 10^{9}$
Root analytic conductor:	$4.02895$
Motivic weight:	$16$
Rational:	yes
Arithmetic:	yes
Character:	Trivial
Primitive:	no
Self-dual:	yes
Analytic rank:	$0$
Selberg data:	$(16,\ 2^{8} \cdot 5^{8} ,\ ( \ : [8]^{8} ),\ 1 )$

Particular Values

$L(\frac{17}{2})$	$\approx$	$0.5707156604$
$L(\frac12)$	$\approx$	$0.5707156604$
$L(9)$		not available
$L(1)$		not available

Euler product

$L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} $

	$p$	$F_p(T)$
bad	2	$ ( 1 + p^{8} T + p^{15} T^{2} )^{4} $
	5	$ 1 - 36966 p T - 2336608 p^{5} T^{2} + 1256170374 p^{9} T^{3} - 778790521482 p^{15} T^{4} + 1256170374 p^{25} T^{5} - 2336608 p^{37} T^{6} - 36966 p^{49} T^{7} + p^{64} T^{8} $
good	3	$ 1 + 598 p^{2} T + 178802 p^{4} T^{2} + 3059290382 p^{4} T^{3} + 22110072141568 p^{4} T^{4} - 1305214369446874 p^{7} T^{5} - 179472319682831170 p^{10} T^{6} - $$40\!\cdots\!90$$ p^{12} T^{7} - $$87\!\cdots\!06$$ p^{14} T^{8} - $$40\!\cdots\!90$$ p^{28} T^{9} - 179472319682831170 p^{42} T^{10} - 1305214369446874 p^{55} T^{11} + 22110072141568 p^{68} T^{12} + 3059290382 p^{84} T^{13} + 178802 p^{100} T^{14} + 598 p^{114} T^{15} + p^{128} T^{16} $
	7	$ 1 + 1586702 T + 1258811618402 T^{2} + 42987008861201651146 p T^{3} + $$21\!\cdots\!12$$ p^{2} T^{4} + $$16\!\cdots\!94$$ p^{3} T^{5} + $$18\!\cdots\!50$$ p^{4} T^{6} + $$23\!\cdots\!70$$ p^{6} T^{7} + $$51\!\cdots\!26$$ p^{8} T^{8} + $$23\!\cdots\!70$$ p^{22} T^{9} + $$18\!\cdots\!50$$ p^{36} T^{10} + $$16\!\cdots\!94$$ p^{51} T^{11} + $$21\!\cdots\!12$$ p^{66} T^{12} + 42987008861201651146 p^{81} T^{13} + 1258811618402 p^{96} T^{14} + 1586702 p^{112} T^{15} + p^{128} T^{16} $
	11	$ ( 1 - 13998058 p T + 150796147434775648 T^{2} - $$16\!\cdots\!86$$ p T^{3} + $$79\!\cdots\!70$$ p^{2} T^{4} - $$16\!\cdots\!86$$ p^{17} T^{5} + 150796147434775648 p^{32} T^{6} - 13998058 p^{49} T^{7} + p^{64} T^{8} )^{2} $
	13	$ 1 - 202095228 T + 20421240590185992 T^{2} - $$24\!\cdots\!56$$ p T^{3} + $$28\!\cdots\!12$$ p^{2} T^{4} + $$11\!\cdots\!16$$ p^{3} T^{5} - $$27\!\cdots\!40$$ p^{4} T^{6} + $$21\!\cdots\!40$$ p^{5} T^{7} + $$64\!\cdots\!14$$ p^{6} T^{8} + $$21\!\cdots\!40$$ p^{21} T^{9} - $$27\!\cdots\!40$$ p^{36} T^{10} + $$11\!\cdots\!16$$ p^{51} T^{11} + $$28\!\cdots\!12$$ p^{66} T^{12} - $$24\!\cdots\!56$$ p^{81} T^{13} + 20421240590185992 p^{96} T^{14} - 202095228 p^{112} T^{15} + p^{128} T^{16} $
	17	$ 1 + 10825054172 T + 58590898913367302792 T^{2} + $$42\!\cdots\!52$$ T^{3} + $$93\!\cdots\!68$$ T^{4} - $$12\!\cdots\!28$$ T^{5} - $$10\!\cdots\!20$$ T^{6} - $$75\!\cdots\!00$$ T^{7} - $$52\!\cdots\!34$$ T^{8} - $$75\!\cdots\!00$$ p^{16} T^{9} - $$10\!\cdots\!20$$ p^{32} T^{10} - $$12\!\cdots\!28$$ p^{48} T^{11} + $$93\!\cdots\!68$$ p^{64} T^{12} + $$42\!\cdots\!52$$ p^{80} T^{13} + 58590898913367302792 p^{96} T^{14} + 10825054172 p^{112} T^{15} + p^{128} T^{16} $
	19	$ 1 + $$12\!\cdots\!52$$ T^{2} + $$11\!\cdots\!32$$ p T^{4} + $$19\!\cdots\!04$$ T^{6} + $$25\!\cdots\!70$$ T^{8} + $$19\!\cdots\!04$$ p^{32} T^{10} + $$11\!\cdots\!32$$ p^{65} T^{12} + $$12\!\cdots\!52$$ p^{96} T^{14} + p^{128} T^{16} $
	23	$ 1 + 58166716742 T + $$16\!\cdots\!82$$ T^{2} - $$66\!\cdots\!18$$ T^{3} + $$39\!\cdots\!48$$ T^{4} + $$54\!\cdots\!02$$ T^{5} + $$53\!\cdots\!10$$ T^{6} - $$79\!\cdots\!30$$ T^{7} - $$29\!\cdots\!94$$ T^{8} - $$79\!\cdots\!30$$ p^{16} T^{9} + $$53\!\cdots\!10$$ p^{32} T^{10} + $$54\!\cdots\!02$$ p^{48} T^{11} + $$39\!\cdots\!48$$ p^{64} T^{12} - $$66\!\cdots\!18$$ p^{80} T^{13} + $$16\!\cdots\!82$$ p^{96} T^{14} + 58166716742 p^{112} T^{15} + p^{128} T^{16} $
	29	$ 1 - $$16\!\cdots\!68$$ T^{2} + $$12\!\cdots\!48$$ T^{4} - $$56\!\cdots\!16$$ T^{6} + $$17\!\cdots\!70$$ T^{8} - $$56\!\cdots\!16$$ p^{32} T^{10} + $$12\!\cdots\!48$$ p^{64} T^{12} - $$16\!\cdots\!68$$ p^{96} T^{14} + p^{128} T^{16} $
	31	$ ( 1 + 751878907742 T + $$23\!\cdots\!48$$ T^{2} + $$15\!\cdots\!74$$ T^{3} + $$23\!\cdots\!70$$ T^{4} + $$15\!\cdots\!74$$ p^{16} T^{5} + $$23\!\cdots\!48$$ p^{32} T^{6} + 751878907742 p^{48} T^{7} + p^{64} T^{8} )^{2} $
	37	$ 1 - 5719558248048 T + $$16\!\cdots\!52$$ T^{2} - $$84\!\cdots\!48$$ T^{3} + $$40\!\cdots\!44$$ p T^{4} + $$57\!\cdots\!12$$ T^{5} - $$22\!\cdots\!80$$ T^{6} + $$13\!\cdots\!60$$ T^{7} - $$79\!\cdots\!34$$ T^{8} + $$13\!\cdots\!60$$ p^{16} T^{9} - $$22\!\cdots\!80$$ p^{32} T^{10} + $$57\!\cdots\!12$$ p^{48} T^{11} + $$40\!\cdots\!44$$ p^{65} T^{12} - $$84\!\cdots\!48$$ p^{80} T^{13} + $$16\!\cdots\!52$$ p^{96} T^{14} - 5719558248048 p^{112} T^{15} + p^{128} T^{16} $
	41	$ ( 1 + 10812330713362 T + $$93\!\cdots\!68$$ T^{2} + $$88\!\cdots\!34$$ T^{3} + $$56\!\cdots\!70$$ T^{4} + $$88\!\cdots\!34$$ p^{16} T^{5} + $$93\!\cdots\!68$$ p^{32} T^{6} + 10812330713362 p^{48} T^{7} + p^{64} T^{8} )^{2} $
	43	$ 1 - 694778360778 T + $$24\!\cdots\!42$$ T^{2} + $$27\!\cdots\!42$$ T^{3} + $$98\!\cdots\!88$$ T^{4} - $$48\!\cdots\!18$$ T^{5} + $$41\!\cdots\!90$$ T^{6} + $$56\!\cdots\!90$$ T^{7} - $$10\!\cdots\!14$$ T^{8} + $$56\!\cdots\!90$$ p^{16} T^{9} + $$41\!\cdots\!90$$ p^{32} T^{10} - $$48\!\cdots\!18$$ p^{48} T^{11} + $$98\!\cdots\!88$$ p^{64} T^{12} + $$27\!\cdots\!42$$ p^{80} T^{13} + $$24\!\cdots\!42$$ p^{96} T^{14} - 694778360778 p^{112} T^{15} + p^{128} T^{16} $
	47	$ 1 - 17454156046938 T + $$15\!\cdots\!22$$ T^{2} + $$10\!\cdots\!22$$ T^{3} + $$18\!\cdots\!08$$ T^{4} - $$17\!\cdots\!78$$ T^{5} + $$33\!\cdots\!30$$ T^{6} - $$29\!\cdots\!50$$ T^{7} - $$11\!\cdots\!74$$ T^{8} - $$29\!\cdots\!50$$ p^{16} T^{9} + $$33\!\cdots\!30$$ p^{32} T^{10} - $$17\!\cdots\!78$$ p^{48} T^{11} + $$18\!\cdots\!08$$ p^{64} T^{12} + $$10\!\cdots\!22$$ p^{80} T^{13} + $$15\!\cdots\!22$$ p^{96} T^{14} - 17454156046938 p^{112} T^{15} + p^{128} T^{16} $
	53	$ 1 - 315933715243808 T + $$49\!\cdots\!32$$ T^{2} - $$59\!\cdots\!48$$ T^{3} + $$63\!\cdots\!08$$ T^{4} - $$57\!\cdots\!68$$ T^{5} + $$45\!\cdots\!40$$ T^{6} - $$33\!\cdots\!60$$ T^{7} + $$21\!\cdots\!66$$ T^{8} - $$33\!\cdots\!60$$ p^{16} T^{9} + $$45\!\cdots\!40$$ p^{32} T^{10} - $$57\!\cdots\!68$$ p^{48} T^{11} + $$63\!\cdots\!08$$ p^{64} T^{12} - $$59\!\cdots\!48$$ p^{80} T^{13} + $$49\!\cdots\!32$$ p^{96} T^{14} - 315933715243808 p^{112} T^{15} + p^{128} T^{16} $
	59	$ 1 - $$97\!\cdots\!28$$ T^{2} + $$43\!\cdots\!68$$ T^{4} - $$12\!\cdots\!76$$ T^{6} + $$27\!\cdots\!70$$ T^{8} - $$12\!\cdots\!76$$ p^{32} T^{10} + $$43\!\cdots\!68$$ p^{64} T^{12} - $$97\!\cdots\!28$$ p^{96} T^{14} + p^{128} T^{16} $
	61	$ ( 1 + 130335916024242 T + $$10\!\cdots\!68$$ T^{2} + $$98\!\cdots\!54$$ T^{3} + $$52\!\cdots\!70$$ T^{4} + $$98\!\cdots\!54$$ p^{16} T^{5} + $$10\!\cdots\!68$$ p^{32} T^{6} + 130335916024242 p^{48} T^{7} + p^{64} T^{8} )^{2} $
	67	$ 1 - 635885550643738 T + $$20\!\cdots\!22$$ T^{2} - $$12\!\cdots\!58$$ T^{3} + $$92\!\cdots\!68$$ T^{4} - $$33\!\cdots\!98$$ T^{5} + $$97\!\cdots\!10$$ T^{6} - $$54\!\cdots\!30$$ T^{7} + $$30\!\cdots\!86$$ T^{8} - $$54\!\cdots\!30$$ p^{16} T^{9} + $$97\!\cdots\!10$$ p^{32} T^{10} - $$33\!\cdots\!98$$ p^{48} T^{11} + $$92\!\cdots\!68$$ p^{64} T^{12} - $$12\!\cdots\!58$$ p^{80} T^{13} + $$20\!\cdots\!22$$ p^{96} T^{14} - 635885550643738 p^{112} T^{15} + p^{128} T^{16} $
	71	$ ( 1 + 574994655631502 T + $$12\!\cdots\!48$$ T^{2} + $$61\!\cdots\!14$$ T^{3} + $$71\!\cdots\!70$$ T^{4} + $$61\!\cdots\!14$$ p^{16} T^{5} + $$12\!\cdots\!48$$ p^{32} T^{6} + 574994655631502 p^{48} T^{7} + p^{64} T^{8} )^{2} $
	73	$ 1 - 256748998181048 T + $$32\!\cdots\!52$$ T^{2} - $$14\!\cdots\!08$$ T^{3} + $$10\!\cdots\!48$$ T^{4} - $$20\!\cdots\!28$$ T^{5} + $$27\!\cdots\!80$$ T^{6} - $$12\!\cdots\!00$$ T^{7} + $$56\!\cdots\!86$$ T^{8} - $$12\!\cdots\!00$$ p^{16} T^{9} + $$27\!\cdots\!80$$ p^{32} T^{10} - $$20\!\cdots\!28$$ p^{48} T^{11} + $$10\!\cdots\!48$$ p^{64} T^{12} - $$14\!\cdots\!08$$ p^{80} T^{13} + $$32\!\cdots\!52$$ p^{96} T^{14} - 256748998181048 p^{112} T^{15} + p^{128} T^{16} $
	79	$ 1 - $$63\!\cdots\!68$$ T^{2} + $$16\!\cdots\!48$$ T^{4} - $$33\!\cdots\!16$$ T^{6} + $$79\!\cdots\!70$$ T^{8} - $$33\!\cdots\!16$$ p^{32} T^{10} + $$16\!\cdots\!48$$ p^{64} T^{12} - $$63\!\cdots\!68$$ p^{96} T^{14} + p^{128} T^{16} $
	83	$ 1 + 4115160605935662 T + $$84\!\cdots\!22$$ T^{2} + $$21\!\cdots\!42$$ T^{3} + $$10\!\cdots\!68$$ T^{4} + $$30\!\cdots\!02$$ T^{5} + $$61\!\cdots\!10$$ T^{6} + $$15\!\cdots\!70$$ T^{7} + $$40\!\cdots\!86$$ T^{8} + $$15\!\cdots\!70$$ p^{16} T^{9} + $$61\!\cdots\!10$$ p^{32} T^{10} + $$30\!\cdots\!02$$ p^{48} T^{11} + $$10\!\cdots\!68$$ p^{64} T^{12} + $$21\!\cdots\!42$$ p^{80} T^{13} + $$84\!\cdots\!22$$ p^{96} T^{14} + 4115160605935662 p^{112} T^{15} + p^{128} T^{16} $
	89	$ 1 - $$76\!\cdots\!88$$ T^{2} + $$28\!\cdots\!88$$ T^{4} - $$66\!\cdots\!36$$ T^{6} + $$11\!\cdots\!70$$ T^{8} - $$66\!\cdots\!36$$ p^{32} T^{10} + $$28\!\cdots\!88$$ p^{64} T^{12} - $$76\!\cdots\!88$$ p^{96} T^{14} + p^{128} T^{16} $
	97	$ 1 + 17859102248834952 T + $$15\!\cdots\!52$$ T^{2} + $$17\!\cdots\!12$$ T^{3} + $$18\!\cdots\!08$$ T^{4} + $$12\!\cdots\!52$$ T^{5} + $$78\!\cdots\!60$$ T^{6} + $$60\!\cdots\!20$$ T^{7} + $$47\!\cdots\!46$$ T^{8} + $$60\!\cdots\!20$$ p^{16} T^{9} + $$78\!\cdots\!60$$ p^{32} T^{10} + $$12\!\cdots\!52$$ p^{48} T^{11} + $$18\!\cdots\!08$$ p^{64} T^{12} + $$17\!\cdots\!12$$ p^{80} T^{13} + $$15\!\cdots\!52$$ p^{96} T^{14} + 17859102248834952 p^{112} T^{15} + p^{128} T^{16} $
show more
show less

$L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{16} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}$

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−6.65006197101604722301927509618, −6.64052323735598630523681164876, −6.16236011962404935244098319134, −5.81140364160380694586820198316, −5.61847117575609099031805028210, −5.55731199295705145750690911427, −5.24305236095037133899356050027, −4.59295647140129265805009030447, −4.53683573714926280731186391389, −4.12126404774772825132285769712, −3.98554475440762464818319114606, −3.73641263402614545479111852557, −3.45457050596958245127554399182, −2.72494373198104791124867427940, −2.57039400077011907266071325933, −2.56412987221504285960909543186, −1.90657723590282010577090065013, −1.68664110248150064709349436687, −1.67866513111496229610955226798, −1.50718583547730275253680605230, −1.12609991174402523715159833705, −0.70336882450104222968389289000, −0.44584724890944152811742597143, −0.44416921524991227150799225485, −0.33418997876644255069945674140, 0.33418997876644255069945674140, 0.44416921524991227150799225485, 0.44584724890944152811742597143, 0.70336882450104222968389289000, 1.12609991174402523715159833705, 1.50718583547730275253680605230, 1.67866513111496229610955226798, 1.68664110248150064709349436687, 1.90657723590282010577090065013, 2.56412987221504285960909543186, 2.57039400077011907266071325933, 2.72494373198104791124867427940, 3.45457050596958245127554399182, 3.73641263402614545479111852557, 3.98554475440762464818319114606, 4.12126404774772825132285769712, 4.53683573714926280731186391389, 4.59295647140129265805009030447, 5.24305236095037133899356050027, 5.55731199295705145750690911427, 5.61847117575609099031805028210, 5.81140364160380694586820198316, 6.16236011962404935244098319134, 6.64052323735598630523681164876, 6.65006197101604722301927509618

Graph of the $Z$-function along the critical line

Plot not available for L-functions of degree greater than 10.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

\(L(\frac{17}{2})\)	\(\approx\)	\(0.5707156604\)
\(L(\frac12)\)	\(\approx\)	\(0.5707156604\)
\(L(9)\)		not available
\(L(1)\)		not available

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Origins

Origins of factors

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