Properties

Label 16-1-1.1-c95e8-0-0
Degree $16$
Conductor $1$
Sign $1$
Analytic cond. $1.13853\times 10^{14}$
Root an. cond. $7.55999$
Motivic weight $95$
Arithmetic yes
Rational yes
Primitive no
Self-dual yes
Analytic rank $0$

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Normalization:  

Dirichlet series

L(s)  = 1  − 5.83e12·2-s − 9.56e21·3-s − 5.39e28·4-s + 1.94e33·5-s + 5.58e34·6-s + 3.12e40·7-s − 4.52e42·8-s − 3.80e45·9-s − 1.13e46·10-s + 5.30e49·11-s + 5.16e50·12-s + 1.17e53·13-s − 1.82e53·14-s − 1.85e55·15-s + 1.79e57·16-s − 1.36e58·17-s + 2.21e58·18-s − 5.23e60·19-s − 1.04e62·20-s − 2.98e62·21-s − 3.09e62·22-s − 7.12e63·23-s + 4.33e64·24-s − 4.12e66·25-s − 6.84e65·26-s + 6.47e67·27-s − 1.68e69·28-s + ⋯
L(s)  = 1  − 0.0293·2-s − 0.207·3-s − 1.36·4-s + 1.22·5-s + 0.00609·6-s + 2.25·7-s − 0.574·8-s − 1.79·9-s − 0.0358·10-s + 1.81·11-s + 0.282·12-s + 1.43·13-s − 0.0660·14-s − 0.253·15-s + 1.14·16-s − 0.488·17-s + 0.0525·18-s − 0.950·19-s − 1.66·20-s − 0.467·21-s − 0.0532·22-s − 0.148·23-s + 0.119·24-s − 1.63·25-s − 0.0420·26-s + 0.663·27-s − 3.06·28-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\Gamma_{\C}(s)^{8} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(96-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\Gamma_{\C}(s+95/2)^{8} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]

Invariants

Degree: \(16\)
Conductor: \(1\)
Sign: $1$
Analytic conductor: \(1.13853\times 10^{14}\)
Root analytic conductor: \(7.55999\)
Motivic weight: \(95\)
Rational: yes
Arithmetic: yes
Character: Trivial
Primitive: no
Self-dual: yes
Analytic rank: \(0\)
Selberg data: \((16,\ 1,\ (\ :[95/2]^{8}),\ 1)\)

Particular Values

\(L(48)\) \(\approx\) \(7.833791706\)
\(L(\frac12)\) \(\approx\) \(7.833791706\)
\(L(\frac{97}{2})\) not available
\(L(1)\) not available

Euler product

   \(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
$p$$F_p(T)$
good2 \( 1 + 729457392285 p^{3} T + \)\(52\!\cdots\!45\)\( p^{10} T^{2} + \)\(30\!\cdots\!65\)\( p^{24} T^{3} + \)\(21\!\cdots\!17\)\( p^{39} T^{4} - \)\(86\!\cdots\!05\)\( p^{55} T^{5} + \)\(26\!\cdots\!45\)\( p^{79} T^{6} - \)\(12\!\cdots\!65\)\( p^{107} T^{7} + \)\(21\!\cdots\!49\)\( p^{138} T^{8} - \)\(12\!\cdots\!65\)\( p^{202} T^{9} + \)\(26\!\cdots\!45\)\( p^{269} T^{10} - \)\(86\!\cdots\!05\)\( p^{340} T^{11} + \)\(21\!\cdots\!17\)\( p^{419} T^{12} + \)\(30\!\cdots\!65\)\( p^{499} T^{13} + \)\(52\!\cdots\!45\)\( p^{580} T^{14} + 729457392285 p^{668} T^{15} + p^{760} T^{16} \)
3 \( 1 + \)\(10\!\cdots\!20\)\( p^{2} T + \)\(17\!\cdots\!80\)\( p^{7} T^{2} + \)\(20\!\cdots\!60\)\( p^{16} T^{3} + \)\(39\!\cdots\!36\)\( p^{28} T^{4} - \)\(25\!\cdots\!60\)\( p^{42} T^{5} + \)\(17\!\cdots\!40\)\( p^{61} T^{6} - \)\(14\!\cdots\!60\)\( p^{81} T^{7} + \)\(98\!\cdots\!34\)\( p^{102} T^{8} - \)\(14\!\cdots\!60\)\( p^{176} T^{9} + \)\(17\!\cdots\!40\)\( p^{251} T^{10} - \)\(25\!\cdots\!60\)\( p^{327} T^{11} + \)\(39\!\cdots\!36\)\( p^{408} T^{12} + \)\(20\!\cdots\!60\)\( p^{491} T^{13} + \)\(17\!\cdots\!80\)\( p^{577} T^{14} + \)\(10\!\cdots\!20\)\( p^{667} T^{15} + p^{760} T^{16} \)
5 \( 1 - \)\(38\!\cdots\!92\)\( p T + \)\(25\!\cdots\!72\)\( p^{5} T^{2} - \)\(15\!\cdots\!64\)\( p^{10} T^{3} + \)\(52\!\cdots\!92\)\( p^{17} T^{4} - \)\(43\!\cdots\!72\)\( p^{26} T^{5} + \)\(95\!\cdots\!44\)\( p^{36} T^{6} - \)\(22\!\cdots\!68\)\( p^{50} T^{7} + \)\(14\!\cdots\!02\)\( p^{65} T^{8} - \)\(22\!\cdots\!68\)\( p^{145} T^{9} + \)\(95\!\cdots\!44\)\( p^{226} T^{10} - \)\(43\!\cdots\!72\)\( p^{311} T^{11} + \)\(52\!\cdots\!92\)\( p^{397} T^{12} - \)\(15\!\cdots\!64\)\( p^{485} T^{13} + \)\(25\!\cdots\!72\)\( p^{575} T^{14} - \)\(38\!\cdots\!92\)\( p^{666} T^{15} + p^{760} T^{16} \)
7 \( 1 - \)\(44\!\cdots\!00\)\( p T + \)\(46\!\cdots\!00\)\( p^{4} T^{2} - \)\(38\!\cdots\!00\)\( p^{8} T^{3} + \)\(51\!\cdots\!28\)\( p^{13} T^{4} - \)\(66\!\cdots\!00\)\( p^{19} T^{5} + \)\(14\!\cdots\!00\)\( p^{26} T^{6} - \)\(70\!\cdots\!00\)\( p^{36} T^{7} + \)\(57\!\cdots\!42\)\( p^{47} T^{8} - \)\(70\!\cdots\!00\)\( p^{131} T^{9} + \)\(14\!\cdots\!00\)\( p^{216} T^{10} - \)\(66\!\cdots\!00\)\( p^{304} T^{11} + \)\(51\!\cdots\!28\)\( p^{393} T^{12} - \)\(38\!\cdots\!00\)\( p^{483} T^{13} + \)\(46\!\cdots\!00\)\( p^{574} T^{14} - \)\(44\!\cdots\!00\)\( p^{666} T^{15} + p^{760} T^{16} \)
11 \( 1 - \)\(48\!\cdots\!56\)\( p T + \)\(44\!\cdots\!20\)\( p^{3} T^{2} - \)\(15\!\cdots\!60\)\( p^{5} T^{3} + \)\(72\!\cdots\!20\)\( p^{8} T^{4} - \)\(15\!\cdots\!28\)\( p^{13} T^{5} + \)\(39\!\cdots\!88\)\( p^{19} T^{6} - \)\(58\!\cdots\!40\)\( p^{26} T^{7} + \)\(10\!\cdots\!70\)\( p^{33} T^{8} - \)\(58\!\cdots\!40\)\( p^{121} T^{9} + \)\(39\!\cdots\!88\)\( p^{209} T^{10} - \)\(15\!\cdots\!28\)\( p^{298} T^{11} + \)\(72\!\cdots\!20\)\( p^{388} T^{12} - \)\(15\!\cdots\!60\)\( p^{480} T^{13} + \)\(44\!\cdots\!20\)\( p^{573} T^{14} - \)\(48\!\cdots\!56\)\( p^{666} T^{15} + p^{760} T^{16} \)
13 \( 1 - \)\(11\!\cdots\!40\)\( T + \)\(29\!\cdots\!40\)\( p T^{2} - \)\(16\!\cdots\!40\)\( p^{3} T^{3} + \)\(14\!\cdots\!44\)\( p^{6} T^{4} - \)\(40\!\cdots\!20\)\( p^{10} T^{5} + \)\(15\!\cdots\!20\)\( p^{15} T^{6} - \)\(28\!\cdots\!60\)\( p^{20} T^{7} + \)\(90\!\cdots\!42\)\( p^{25} T^{8} - \)\(28\!\cdots\!60\)\( p^{115} T^{9} + \)\(15\!\cdots\!20\)\( p^{205} T^{10} - \)\(40\!\cdots\!20\)\( p^{295} T^{11} + \)\(14\!\cdots\!44\)\( p^{386} T^{12} - \)\(16\!\cdots\!40\)\( p^{478} T^{13} + \)\(29\!\cdots\!40\)\( p^{571} T^{14} - \)\(11\!\cdots\!40\)\( p^{665} T^{15} + p^{760} T^{16} \)
17 \( 1 + \)\(13\!\cdots\!40\)\( T + \)\(29\!\cdots\!20\)\( p T^{2} + \)\(10\!\cdots\!40\)\( p^{3} T^{3} + \)\(81\!\cdots\!28\)\( p^{5} T^{4} + \)\(13\!\cdots\!80\)\( p^{8} T^{5} + \)\(28\!\cdots\!80\)\( p^{12} T^{6} + \)\(13\!\cdots\!20\)\( p^{17} T^{7} + \)\(13\!\cdots\!54\)\( p^{22} T^{8} + \)\(13\!\cdots\!20\)\( p^{112} T^{9} + \)\(28\!\cdots\!80\)\( p^{202} T^{10} + \)\(13\!\cdots\!80\)\( p^{293} T^{11} + \)\(81\!\cdots\!28\)\( p^{385} T^{12} + \)\(10\!\cdots\!40\)\( p^{478} T^{13} + \)\(29\!\cdots\!20\)\( p^{571} T^{14} + \)\(13\!\cdots\!40\)\( p^{665} T^{15} + p^{760} T^{16} \)
19 \( 1 + \)\(27\!\cdots\!60\)\( p T + \)\(38\!\cdots\!72\)\( p^{2} T^{2} + \)\(53\!\cdots\!20\)\( p^{4} T^{3} + \)\(18\!\cdots\!88\)\( p^{6} T^{4} + \)\(27\!\cdots\!40\)\( p^{8} T^{5} + \)\(57\!\cdots\!44\)\( p^{10} T^{6} + \)\(49\!\cdots\!00\)\( p^{13} T^{7} + \)\(39\!\cdots\!70\)\( p^{16} T^{8} + \)\(49\!\cdots\!00\)\( p^{108} T^{9} + \)\(57\!\cdots\!44\)\( p^{200} T^{10} + \)\(27\!\cdots\!40\)\( p^{293} T^{11} + \)\(18\!\cdots\!88\)\( p^{386} T^{12} + \)\(53\!\cdots\!20\)\( p^{479} T^{13} + \)\(38\!\cdots\!72\)\( p^{572} T^{14} + \)\(27\!\cdots\!60\)\( p^{666} T^{15} + p^{760} T^{16} \)
23 \( 1 + \)\(30\!\cdots\!80\)\( p T + \)\(21\!\cdots\!20\)\( p^{2} T^{2} + \)\(38\!\cdots\!80\)\( p^{4} T^{3} + \)\(41\!\cdots\!64\)\( p^{6} T^{4} + \)\(36\!\cdots\!60\)\( p^{9} T^{5} + \)\(99\!\cdots\!60\)\( p^{12} T^{6} + \)\(84\!\cdots\!80\)\( p^{15} T^{7} + \)\(17\!\cdots\!74\)\( p^{18} T^{8} + \)\(84\!\cdots\!80\)\( p^{110} T^{9} + \)\(99\!\cdots\!60\)\( p^{202} T^{10} + \)\(36\!\cdots\!60\)\( p^{294} T^{11} + \)\(41\!\cdots\!64\)\( p^{386} T^{12} + \)\(38\!\cdots\!80\)\( p^{479} T^{13} + \)\(21\!\cdots\!20\)\( p^{572} T^{14} + \)\(30\!\cdots\!80\)\( p^{666} T^{15} + p^{760} T^{16} \)
29 \( 1 - \)\(77\!\cdots\!40\)\( T + \)\(22\!\cdots\!48\)\( p T^{2} - \)\(33\!\cdots\!20\)\( p^{2} T^{3} + \)\(19\!\cdots\!88\)\( p^{4} T^{4} - \)\(77\!\cdots\!40\)\( p^{6} T^{5} + \)\(12\!\cdots\!76\)\( p^{9} T^{6} - \)\(15\!\cdots\!00\)\( p^{12} T^{7} + \)\(22\!\cdots\!30\)\( p^{15} T^{8} - \)\(15\!\cdots\!00\)\( p^{107} T^{9} + \)\(12\!\cdots\!76\)\( p^{199} T^{10} - \)\(77\!\cdots\!40\)\( p^{291} T^{11} + \)\(19\!\cdots\!88\)\( p^{384} T^{12} - \)\(33\!\cdots\!20\)\( p^{477} T^{13} + \)\(22\!\cdots\!48\)\( p^{571} T^{14} - \)\(77\!\cdots\!40\)\( p^{665} T^{15} + p^{760} T^{16} \)
31 \( 1 - \)\(15\!\cdots\!36\)\( p T + \)\(23\!\cdots\!20\)\( p^{2} T^{2} - \)\(37\!\cdots\!60\)\( p^{3} T^{3} + \)\(30\!\cdots\!20\)\( p^{6} T^{4} - \)\(45\!\cdots\!88\)\( p^{7} T^{5} + \)\(82\!\cdots\!48\)\( p^{9} T^{6} - \)\(34\!\cdots\!40\)\( p^{11} T^{7} + \)\(49\!\cdots\!70\)\( p^{13} T^{8} - \)\(34\!\cdots\!40\)\( p^{106} T^{9} + \)\(82\!\cdots\!48\)\( p^{199} T^{10} - \)\(45\!\cdots\!88\)\( p^{292} T^{11} + \)\(30\!\cdots\!20\)\( p^{386} T^{12} - \)\(37\!\cdots\!60\)\( p^{478} T^{13} + \)\(23\!\cdots\!20\)\( p^{572} T^{14} - \)\(15\!\cdots\!36\)\( p^{666} T^{15} + p^{760} T^{16} \)
37 \( 1 + \)\(18\!\cdots\!20\)\( T + \)\(42\!\cdots\!20\)\( T^{2} + \)\(21\!\cdots\!80\)\( p T^{3} + \)\(68\!\cdots\!84\)\( p^{2} T^{4} + \)\(36\!\cdots\!80\)\( p^{3} T^{5} + \)\(19\!\cdots\!20\)\( p^{5} T^{6} + \)\(27\!\cdots\!40\)\( p^{7} T^{7} + \)\(11\!\cdots\!78\)\( p^{9} T^{8} + \)\(27\!\cdots\!40\)\( p^{102} T^{9} + \)\(19\!\cdots\!20\)\( p^{195} T^{10} + \)\(36\!\cdots\!80\)\( p^{288} T^{11} + \)\(68\!\cdots\!84\)\( p^{382} T^{12} + \)\(21\!\cdots\!80\)\( p^{476} T^{13} + \)\(42\!\cdots\!20\)\( p^{570} T^{14} + \)\(18\!\cdots\!20\)\( p^{665} T^{15} + p^{760} T^{16} \)
41 \( 1 + \)\(87\!\cdots\!84\)\( T + \)\(53\!\cdots\!20\)\( p^{2} T^{2} + \)\(27\!\cdots\!40\)\( p^{2} T^{3} + \)\(37\!\cdots\!20\)\( p^{3} T^{4} + \)\(70\!\cdots\!32\)\( p^{5} T^{5} + \)\(16\!\cdots\!68\)\( p^{7} T^{6} + \)\(22\!\cdots\!60\)\( p^{9} T^{7} + \)\(63\!\cdots\!70\)\( p^{11} T^{8} + \)\(22\!\cdots\!60\)\( p^{104} T^{9} + \)\(16\!\cdots\!68\)\( p^{197} T^{10} + \)\(70\!\cdots\!32\)\( p^{290} T^{11} + \)\(37\!\cdots\!20\)\( p^{383} T^{12} + \)\(27\!\cdots\!40\)\( p^{477} T^{13} + \)\(53\!\cdots\!20\)\( p^{572} T^{14} + \)\(87\!\cdots\!84\)\( p^{665} T^{15} + p^{760} T^{16} \)
43 \( 1 - \)\(36\!\cdots\!00\)\( T + \)\(22\!\cdots\!00\)\( p T^{2} - \)\(15\!\cdots\!00\)\( p^{2} T^{3} + \)\(53\!\cdots\!28\)\( p^{3} T^{4} - \)\(65\!\cdots\!00\)\( p^{5} T^{5} + \)\(40\!\cdots\!00\)\( p^{7} T^{6} - \)\(40\!\cdots\!00\)\( p^{9} T^{7} + \)\(20\!\cdots\!58\)\( p^{11} T^{8} - \)\(40\!\cdots\!00\)\( p^{104} T^{9} + \)\(40\!\cdots\!00\)\( p^{197} T^{10} - \)\(65\!\cdots\!00\)\( p^{290} T^{11} + \)\(53\!\cdots\!28\)\( p^{383} T^{12} - \)\(15\!\cdots\!00\)\( p^{477} T^{13} + \)\(22\!\cdots\!00\)\( p^{571} T^{14} - \)\(36\!\cdots\!00\)\( p^{665} T^{15} + p^{760} T^{16} \)
47 \( 1 - \)\(82\!\cdots\!20\)\( p T + \)\(20\!\cdots\!40\)\( p^{2} T^{2} - \)\(15\!\cdots\!40\)\( p^{3} T^{3} + \)\(18\!\cdots\!16\)\( p^{4} T^{4} - \)\(12\!\cdots\!40\)\( p^{5} T^{5} + \)\(10\!\cdots\!80\)\( p^{6} T^{6} - \)\(65\!\cdots\!80\)\( p^{7} T^{7} + \)\(42\!\cdots\!46\)\( p^{8} T^{8} - \)\(65\!\cdots\!80\)\( p^{102} T^{9} + \)\(10\!\cdots\!80\)\( p^{196} T^{10} - \)\(12\!\cdots\!40\)\( p^{290} T^{11} + \)\(18\!\cdots\!16\)\( p^{384} T^{12} - \)\(15\!\cdots\!40\)\( p^{478} T^{13} + \)\(20\!\cdots\!40\)\( p^{572} T^{14} - \)\(82\!\cdots\!20\)\( p^{666} T^{15} + p^{760} T^{16} \)
53 \( 1 + \)\(29\!\cdots\!80\)\( T + \)\(35\!\cdots\!60\)\( T^{2} + \)\(14\!\cdots\!60\)\( T^{3} + \)\(10\!\cdots\!32\)\( p T^{4} + \)\(10\!\cdots\!40\)\( p^{2} T^{5} + \)\(38\!\cdots\!60\)\( p^{3} T^{6} + \)\(42\!\cdots\!20\)\( p^{4} T^{7} + \)\(98\!\cdots\!42\)\( p^{5} T^{8} + \)\(42\!\cdots\!20\)\( p^{99} T^{9} + \)\(38\!\cdots\!60\)\( p^{193} T^{10} + \)\(10\!\cdots\!40\)\( p^{287} T^{11} + \)\(10\!\cdots\!32\)\( p^{381} T^{12} + \)\(14\!\cdots\!60\)\( p^{475} T^{13} + \)\(35\!\cdots\!60\)\( p^{570} T^{14} + \)\(29\!\cdots\!80\)\( p^{665} T^{15} + p^{760} T^{16} \)
59 \( 1 - \)\(24\!\cdots\!80\)\( T + \)\(73\!\cdots\!92\)\( T^{2} - \)\(19\!\cdots\!60\)\( p T^{3} + \)\(74\!\cdots\!88\)\( p^{2} T^{4} - \)\(30\!\cdots\!80\)\( p^{4} T^{5} + \)\(56\!\cdots\!04\)\( p^{4} T^{6} - \)\(11\!\cdots\!00\)\( p^{5} T^{7} + \)\(30\!\cdots\!70\)\( p^{6} T^{8} - \)\(11\!\cdots\!00\)\( p^{100} T^{9} + \)\(56\!\cdots\!04\)\( p^{194} T^{10} - \)\(30\!\cdots\!80\)\( p^{289} T^{11} + \)\(74\!\cdots\!88\)\( p^{382} T^{12} - \)\(19\!\cdots\!60\)\( p^{476} T^{13} + \)\(73\!\cdots\!92\)\( p^{570} T^{14} - \)\(24\!\cdots\!80\)\( p^{665} T^{15} + p^{760} T^{16} \)
61 \( 1 - \)\(26\!\cdots\!16\)\( T + \)\(48\!\cdots\!20\)\( T^{2} - \)\(64\!\cdots\!60\)\( T^{3} + \)\(11\!\cdots\!20\)\( p T^{4} - \)\(18\!\cdots\!08\)\( p^{2} T^{5} + \)\(25\!\cdots\!68\)\( p^{3} T^{6} - \)\(30\!\cdots\!40\)\( p^{4} T^{7} + \)\(33\!\cdots\!70\)\( p^{5} T^{8} - \)\(30\!\cdots\!40\)\( p^{99} T^{9} + \)\(25\!\cdots\!68\)\( p^{193} T^{10} - \)\(18\!\cdots\!08\)\( p^{287} T^{11} + \)\(11\!\cdots\!20\)\( p^{381} T^{12} - \)\(64\!\cdots\!60\)\( p^{475} T^{13} + \)\(48\!\cdots\!20\)\( p^{570} T^{14} - \)\(26\!\cdots\!16\)\( p^{665} T^{15} + p^{760} T^{16} \)
67 \( 1 + \)\(64\!\cdots\!40\)\( T + \)\(84\!\cdots\!40\)\( T^{2} + \)\(33\!\cdots\!60\)\( p T^{3} + \)\(59\!\cdots\!64\)\( p^{2} T^{4} - \)\(76\!\cdots\!40\)\( p^{3} T^{5} + \)\(16\!\cdots\!80\)\( p^{4} T^{6} - \)\(30\!\cdots\!80\)\( p^{5} T^{7} + \)\(23\!\cdots\!74\)\( p^{6} T^{8} - \)\(30\!\cdots\!80\)\( p^{100} T^{9} + \)\(16\!\cdots\!80\)\( p^{194} T^{10} - \)\(76\!\cdots\!40\)\( p^{288} T^{11} + \)\(59\!\cdots\!64\)\( p^{382} T^{12} + \)\(33\!\cdots\!60\)\( p^{476} T^{13} + \)\(84\!\cdots\!40\)\( p^{570} T^{14} + \)\(64\!\cdots\!40\)\( p^{665} T^{15} + p^{760} T^{16} \)
71 \( 1 + \)\(14\!\cdots\!84\)\( T + \)\(10\!\cdots\!20\)\( p^{2} T^{2} + \)\(13\!\cdots\!40\)\( p^{2} T^{3} + \)\(37\!\cdots\!20\)\( p^{3} T^{4} + \)\(53\!\cdots\!72\)\( p^{4} T^{5} + \)\(10\!\cdots\!08\)\( p^{5} T^{6} + \)\(12\!\cdots\!60\)\( p^{6} T^{7} + \)\(19\!\cdots\!70\)\( p^{7} T^{8} + \)\(12\!\cdots\!60\)\( p^{101} T^{9} + \)\(10\!\cdots\!08\)\( p^{195} T^{10} + \)\(53\!\cdots\!72\)\( p^{289} T^{11} + \)\(37\!\cdots\!20\)\( p^{383} T^{12} + \)\(13\!\cdots\!40\)\( p^{477} T^{13} + \)\(10\!\cdots\!20\)\( p^{572} T^{14} + \)\(14\!\cdots\!84\)\( p^{665} T^{15} + p^{760} T^{16} \)
73 \( 1 + \)\(16\!\cdots\!40\)\( T + \)\(17\!\cdots\!80\)\( T^{2} + \)\(18\!\cdots\!60\)\( p T^{3} + \)\(15\!\cdots\!24\)\( p^{2} T^{4} + \)\(10\!\cdots\!40\)\( p^{3} T^{5} + \)\(64\!\cdots\!60\)\( p^{4} T^{6} + \)\(34\!\cdots\!20\)\( p^{5} T^{7} + \)\(16\!\cdots\!54\)\( p^{6} T^{8} + \)\(34\!\cdots\!20\)\( p^{100} T^{9} + \)\(64\!\cdots\!60\)\( p^{194} T^{10} + \)\(10\!\cdots\!40\)\( p^{288} T^{11} + \)\(15\!\cdots\!24\)\( p^{382} T^{12} + \)\(18\!\cdots\!60\)\( p^{476} T^{13} + \)\(17\!\cdots\!80\)\( p^{570} T^{14} + \)\(16\!\cdots\!40\)\( p^{665} T^{15} + p^{760} T^{16} \)
79 \( 1 - \)\(46\!\cdots\!40\)\( T + \)\(25\!\cdots\!48\)\( p T^{2} - \)\(94\!\cdots\!20\)\( p^{2} T^{3} + \)\(30\!\cdots\!52\)\( p^{3} T^{4} - \)\(82\!\cdots\!40\)\( p^{4} T^{5} + \)\(19\!\cdots\!56\)\( p^{5} T^{6} - \)\(40\!\cdots\!00\)\( p^{6} T^{7} + \)\(74\!\cdots\!30\)\( p^{7} T^{8} - \)\(40\!\cdots\!00\)\( p^{101} T^{9} + \)\(19\!\cdots\!56\)\( p^{195} T^{10} - \)\(82\!\cdots\!40\)\( p^{289} T^{11} + \)\(30\!\cdots\!52\)\( p^{383} T^{12} - \)\(94\!\cdots\!20\)\( p^{477} T^{13} + \)\(25\!\cdots\!48\)\( p^{571} T^{14} - \)\(46\!\cdots\!40\)\( p^{665} T^{15} + p^{760} T^{16} \)
83 \( 1 - \)\(41\!\cdots\!60\)\( p T + \)\(21\!\cdots\!60\)\( p^{2} T^{2} - \)\(55\!\cdots\!80\)\( p^{3} T^{3} + \)\(17\!\cdots\!76\)\( p^{4} T^{4} - \)\(36\!\cdots\!20\)\( p^{5} T^{5} + \)\(87\!\cdots\!20\)\( p^{6} T^{6} - \)\(15\!\cdots\!60\)\( p^{7} T^{7} + \)\(30\!\cdots\!66\)\( p^{8} T^{8} - \)\(15\!\cdots\!60\)\( p^{102} T^{9} + \)\(87\!\cdots\!20\)\( p^{196} T^{10} - \)\(36\!\cdots\!20\)\( p^{290} T^{11} + \)\(17\!\cdots\!76\)\( p^{384} T^{12} - \)\(55\!\cdots\!80\)\( p^{478} T^{13} + \)\(21\!\cdots\!60\)\( p^{572} T^{14} - \)\(41\!\cdots\!60\)\( p^{666} T^{15} + p^{760} T^{16} \)
89 \( 1 + \)\(38\!\cdots\!20\)\( p T + \)\(78\!\cdots\!52\)\( p^{2} T^{2} + \)\(26\!\cdots\!60\)\( p^{3} T^{3} + \)\(35\!\cdots\!08\)\( p^{4} T^{4} + \)\(10\!\cdots\!20\)\( p^{5} T^{5} + \)\(11\!\cdots\!04\)\( p^{6} T^{6} + \)\(29\!\cdots\!00\)\( p^{7} T^{7} + \)\(24\!\cdots\!70\)\( p^{8} T^{8} + \)\(29\!\cdots\!00\)\( p^{102} T^{9} + \)\(11\!\cdots\!04\)\( p^{196} T^{10} + \)\(10\!\cdots\!20\)\( p^{290} T^{11} + \)\(35\!\cdots\!08\)\( p^{384} T^{12} + \)\(26\!\cdots\!60\)\( p^{478} T^{13} + \)\(78\!\cdots\!52\)\( p^{572} T^{14} + \)\(38\!\cdots\!20\)\( p^{666} T^{15} + p^{760} T^{16} \)
97 \( 1 - \)\(10\!\cdots\!40\)\( T + \)\(13\!\cdots\!60\)\( T^{2} - \)\(22\!\cdots\!20\)\( T^{3} + \)\(16\!\cdots\!96\)\( T^{4} - \)\(25\!\cdots\!80\)\( T^{5} + \)\(12\!\cdots\!20\)\( T^{6} - \)\(19\!\cdots\!40\)\( T^{7} + \)\(84\!\cdots\!06\)\( T^{8} - \)\(19\!\cdots\!40\)\( p^{95} T^{9} + \)\(12\!\cdots\!20\)\( p^{190} T^{10} - \)\(25\!\cdots\!80\)\( p^{285} T^{11} + \)\(16\!\cdots\!96\)\( p^{380} T^{12} - \)\(22\!\cdots\!20\)\( p^{475} T^{13} + \)\(13\!\cdots\!60\)\( p^{570} T^{14} - \)\(10\!\cdots\!40\)\( p^{665} T^{15} + p^{760} T^{16} \)
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   \(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{16} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−4.74810634005191650756778103560, −4.63491644229438769425006526118, −4.43825486666419652326591175600, −4.07591210979967327433256067865, −3.90257631357927310604650880200, −3.81623778990508469786985003955, −3.77985058902174262790835553550, −3.69397197032653277173058035153, −3.03512424519530726223045049450, −2.87561420806360304425743749642, −2.81807133490234266071961439540, −2.69063185476504745146116031101, −2.47078888065588674882906026744, −2.15346389113113468143481976285, −1.85034580017060386234762884960, −1.83601962144676027419697295306, −1.64723936603496794651549783888, −1.38233507850864689515384922457, −1.25140968538733896372477535420, −1.18103627470192005905805839381, −0.871584909220155590541556923755, −0.77616404857505558687246745598, −0.35341403051051151834852279376, −0.35156161241683098745572636613, −0.19972503428601819353330564652, 0.19972503428601819353330564652, 0.35156161241683098745572636613, 0.35341403051051151834852279376, 0.77616404857505558687246745598, 0.871584909220155590541556923755, 1.18103627470192005905805839381, 1.25140968538733896372477535420, 1.38233507850864689515384922457, 1.64723936603496794651549783888, 1.83601962144676027419697295306, 1.85034580017060386234762884960, 2.15346389113113468143481976285, 2.47078888065588674882906026744, 2.69063185476504745146116031101, 2.81807133490234266071961439540, 2.87561420806360304425743749642, 3.03512424519530726223045049450, 3.69397197032653277173058035153, 3.77985058902174262790835553550, 3.81623778990508469786985003955, 3.90257631357927310604650880200, 4.07591210979967327433256067865, 4.43825486666419652326591175600, 4.63491644229438769425006526118, 4.74810634005191650756778103560

Graph of the $Z$-function along the critical line

Plot not available for L-functions of degree greater than 10.