# Properties

 Degree 10 Conductor $1$ Sign $-1$ Motivic weight 73 Primitive no Self-dual yes Analytic rank 5

# Origins of factors

## Dirichlet series

 L(s)  = 1 − 9.20e10·2-s − 1.29e17·3-s − 1.89e22·4-s + 2.30e25·5-s + 1.18e28·6-s − 4.35e30·7-s + 2.16e33·8-s − 1.44e35·9-s − 2.12e36·10-s + 5.00e37·11-s + 2.44e39·12-s + 4.75e39·13-s + 4.01e41·14-s − 2.98e42·15-s + 1.70e44·16-s + 6.63e44·17-s + 1.33e46·18-s + 3.13e46·19-s − 4.37e47·20-s + 5.62e47·21-s − 4.61e48·22-s − 4.11e49·23-s − 2.79e50·24-s − 2.21e51·25-s − 4.37e50·26-s + 1.81e52·27-s + 8.24e52·28-s + ⋯
 L(s)  = 1 − 0.947·2-s − 0.496·3-s − 2.00·4-s + 0.709·5-s + 0.470·6-s − 0.620·7-s + 2.35·8-s − 2.13·9-s − 0.672·10-s + 0.488·11-s + 0.995·12-s + 0.104·13-s + 0.588·14-s − 0.352·15-s + 1.91·16-s + 0.813·17-s + 2.02·18-s + 0.664·19-s − 1.42·20-s + 0.308·21-s − 0.462·22-s − 0.815·23-s − 1.17·24-s − 2.09·25-s − 0.0987·26-s + 1.03·27-s + 1.24·28-s + ⋯

## Functional equation

\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\Gamma_{\C}(s)^{5} \, L(s)\cr=\mathstrut & -\,\Lambda(74-s)\end{aligned}
\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\Gamma_{\C}(s+73/2)^{5} \, L(s)\cr=\mathstrut & -\,\Lambda(1-s)\end{aligned}

## Invariants

 $$d$$ = $$10$$ $$N$$ = $$1$$ $$\varepsilon$$ = $-1$ motivic weight = $$73$$ character : $\chi_{1} (1, \cdot )$ primitive : no self-dual : yes analytic rank = $$5$$ Selberg data = $$(10,\ 1,\ (\ :73/2, 73/2, 73/2, 73/2, 73/2),\ -1)$$ $$L(37)$$ $$=$$ $$0$$ $$L(\frac12)$$ $$=$$ $$0$$ $$L(\frac{75}{2})$$ not available $$L(1)$$ not available

## Euler product

$L(s) = \prod_{p \text{ prime}} F_p(p^{-s})^{-1}$where,$$F_p(T)$$ is a polynomial of degree 10.
$p$$\Gal(F_p)$$F_p(T)$
good2$C_2 \wr S_5$ $$1 + 5755583343 p^{4} T + 3345520000714170341 p^{13} T^{2} +$$$$62\!\cdots\!45$$$$p^{25} T^{3} +$$$$15\!\cdots\!69$$$$p^{41} T^{4} +$$$$10\!\cdots\!57$$$$p^{61} T^{5} +$$$$15\!\cdots\!69$$$$p^{114} T^{6} +$$$$62\!\cdots\!45$$$$p^{171} T^{7} + 3345520000714170341 p^{232} T^{8} + 5755583343 p^{296} T^{9} + p^{365} T^{10}$$
3$C_2 \wr S_5$ $$1 + 4785029563937252 p^{3} T +$$$$90\!\cdots\!89$$$$p^{11} T^{2} +$$$$61\!\cdots\!40$$$$p^{20} T^{3} +$$$$50\!\cdots\!62$$$$p^{30} T^{4} +$$$$19\!\cdots\!08$$$$p^{46} T^{5} +$$$$50\!\cdots\!62$$$$p^{103} T^{6} +$$$$61\!\cdots\!40$$$$p^{166} T^{7} +$$$$90\!\cdots\!89$$$$p^{230} T^{8} + 4785029563937252 p^{295} T^{9} + p^{365} T^{10}$$
5$C_2 \wr S_5$ $$1 -$$$$18\!\cdots\!14$$$$p^{3} T +$$$$70\!\cdots\!57$$$$p^{8} T^{2} -$$$$22\!\cdots\!16$$$$p^{14} T^{3} +$$$$61\!\cdots\!74$$$$p^{21} T^{4} +$$$$16\!\cdots\!96$$$$p^{30} T^{5} +$$$$61\!\cdots\!74$$$$p^{94} T^{6} -$$$$22\!\cdots\!16$$$$p^{160} T^{7} +$$$$70\!\cdots\!57$$$$p^{227} T^{8} -$$$$18\!\cdots\!14$$$$p^{295} T^{9} + p^{365} T^{10}$$
7$C_2 \wr S_5$ $$1 +$$$$88\!\cdots\!92$$$$p^{2} T +$$$$93\!\cdots\!01$$$$p^{5} T^{2} +$$$$97\!\cdots\!00$$$$p^{10} T^{3} +$$$$45\!\cdots\!14$$$$p^{17} T^{4} +$$$$52\!\cdots\!12$$$$p^{25} T^{5} +$$$$45\!\cdots\!14$$$$p^{90} T^{6} +$$$$97\!\cdots\!00$$$$p^{156} T^{7} +$$$$93\!\cdots\!01$$$$p^{224} T^{8} +$$$$88\!\cdots\!92$$$$p^{294} T^{9} + p^{365} T^{10}$$
11$C_2 \wr S_5$ $$1 -$$$$45\!\cdots\!60$$$$p T +$$$$25\!\cdots\!95$$$$p^{2} T^{2} -$$$$47\!\cdots\!20$$$$p^{5} T^{3} +$$$$18\!\cdots\!10$$$$p^{9} T^{4} -$$$$19\!\cdots\!72$$$$p^{14} T^{5} +$$$$18\!\cdots\!10$$$$p^{82} T^{6} -$$$$47\!\cdots\!20$$$$p^{151} T^{7} +$$$$25\!\cdots\!95$$$$p^{221} T^{8} -$$$$45\!\cdots\!60$$$$p^{293} T^{9} + p^{365} T^{10}$$
13$C_2 \wr S_5$ $$1 -$$$$36\!\cdots\!22$$$$p T +$$$$15\!\cdots\!09$$$$p^{3} T^{2} -$$$$15\!\cdots\!80$$$$p^{6} T^{3} +$$$$76\!\cdots\!22$$$$p^{10} T^{4} -$$$$13\!\cdots\!64$$$$p^{15} T^{5} +$$$$76\!\cdots\!22$$$$p^{83} T^{6} -$$$$15\!\cdots\!80$$$$p^{152} T^{7} +$$$$15\!\cdots\!09$$$$p^{222} T^{8} -$$$$36\!\cdots\!22$$$$p^{293} T^{9} + p^{365} T^{10}$$
17$C_2 \wr S_5$ $$1 -$$$$39\!\cdots\!06$$$$p T +$$$$24\!\cdots\!29$$$$p^{3} T^{2} -$$$$34\!\cdots\!40$$$$p^{5} T^{3} +$$$$10\!\cdots\!98$$$$p^{8} T^{4} -$$$$25\!\cdots\!16$$$$p^{12} T^{5} +$$$$10\!\cdots\!98$$$$p^{81} T^{6} -$$$$34\!\cdots\!40$$$$p^{151} T^{7} +$$$$24\!\cdots\!29$$$$p^{222} T^{8} -$$$$39\!\cdots\!06$$$$p^{293} T^{9} + p^{365} T^{10}$$
19$C_2 \wr S_5$ $$1 -$$$$31\!\cdots\!00$$$$T +$$$$21\!\cdots\!05$$$$p T^{2} -$$$$61\!\cdots\!00$$$$p^{3} T^{3} +$$$$33\!\cdots\!90$$$$p^{5} T^{4} -$$$$86\!\cdots\!00$$$$p^{8} T^{5} +$$$$33\!\cdots\!90$$$$p^{78} T^{6} -$$$$61\!\cdots\!00$$$$p^{149} T^{7} +$$$$21\!\cdots\!05$$$$p^{220} T^{8} -$$$$31\!\cdots\!00$$$$p^{292} T^{9} + p^{365} T^{10}$$
23$C_2 \wr S_5$ $$1 +$$$$17\!\cdots\!88$$$$p T +$$$$14\!\cdots\!47$$$$p^{2} T^{2} +$$$$81\!\cdots\!20$$$$p^{4} T^{3} +$$$$19\!\cdots\!62$$$$p^{6} T^{4} +$$$$36\!\cdots\!44$$$$p^{9} T^{5} +$$$$19\!\cdots\!62$$$$p^{79} T^{6} +$$$$81\!\cdots\!20$$$$p^{150} T^{7} +$$$$14\!\cdots\!47$$$$p^{221} T^{8} +$$$$17\!\cdots\!88$$$$p^{293} T^{9} + p^{365} T^{10}$$
29$C_2 \wr S_5$ $$1 +$$$$21\!\cdots\!50$$$$T +$$$$71\!\cdots\!05$$$$p T^{2} +$$$$43\!\cdots\!00$$$$p^{2} T^{3} +$$$$27\!\cdots\!10$$$$p^{4} T^{4} +$$$$47\!\cdots\!00$$$$p^{6} T^{5} +$$$$27\!\cdots\!10$$$$p^{77} T^{6} +$$$$43\!\cdots\!00$$$$p^{148} T^{7} +$$$$71\!\cdots\!05$$$$p^{220} T^{8} +$$$$21\!\cdots\!50$$$$p^{292} T^{9} + p^{365} T^{10}$$
31$C_2 \wr S_5$ $$1 +$$$$12\!\cdots\!40$$$$p T +$$$$32\!\cdots\!95$$$$p^{2} T^{2} +$$$$31\!\cdots\!80$$$$p^{3} T^{3} +$$$$15\!\cdots\!10$$$$p^{5} T^{4} +$$$$35\!\cdots\!68$$$$p^{7} T^{5} +$$$$15\!\cdots\!10$$$$p^{78} T^{6} +$$$$31\!\cdots\!80$$$$p^{149} T^{7} +$$$$32\!\cdots\!95$$$$p^{221} T^{8} +$$$$12\!\cdots\!40$$$$p^{293} T^{9} + p^{365} T^{10}$$
37$C_2 \wr S_5$ $$1 +$$$$18\!\cdots\!94$$$$p T +$$$$24\!\cdots\!17$$$$T^{2} +$$$$17\!\cdots\!80$$$$p T^{3} +$$$$10\!\cdots\!82$$$$p^{2} T^{4} +$$$$52\!\cdots\!68$$$$p^{3} T^{5} +$$$$10\!\cdots\!82$$$$p^{75} T^{6} +$$$$17\!\cdots\!80$$$$p^{147} T^{7} +$$$$24\!\cdots\!17$$$$p^{219} T^{8} +$$$$18\!\cdots\!94$$$$p^{293} T^{9} + p^{365} T^{10}$$
41$C_2 \wr S_5$ $$1 +$$$$89\!\cdots\!90$$$$T +$$$$21\!\cdots\!45$$$$T^{2} +$$$$38\!\cdots\!80$$$$p T^{3} +$$$$11\!\cdots\!10$$$$p^{2} T^{4} +$$$$17\!\cdots\!88$$$$p^{3} T^{5} +$$$$11\!\cdots\!10$$$$p^{75} T^{6} +$$$$38\!\cdots\!80$$$$p^{147} T^{7} +$$$$21\!\cdots\!45$$$$p^{219} T^{8} +$$$$89\!\cdots\!90$$$$p^{292} T^{9} + p^{365} T^{10}$$
43$C_2 \wr S_5$ $$1 -$$$$11\!\cdots\!56$$$$T +$$$$12\!\cdots\!43$$$$T^{2} -$$$$19\!\cdots\!00$$$$p T^{3} +$$$$27\!\cdots\!02$$$$p^{2} T^{4} -$$$$28\!\cdots\!84$$$$p^{3} T^{5} +$$$$27\!\cdots\!02$$$$p^{75} T^{6} -$$$$19\!\cdots\!00$$$$p^{147} T^{7} +$$$$12\!\cdots\!43$$$$p^{219} T^{8} -$$$$11\!\cdots\!56$$$$p^{292} T^{9} + p^{365} T^{10}$$
47$C_2 \wr S_5$ $$1 -$$$$26\!\cdots\!32$$$$T +$$$$64\!\cdots\!87$$$$T^{2} -$$$$21\!\cdots\!60$$$$p T^{3} +$$$$66\!\cdots\!42$$$$p^{2} T^{4} -$$$$16\!\cdots\!72$$$$p^{3} T^{5} +$$$$66\!\cdots\!42$$$$p^{75} T^{6} -$$$$21\!\cdots\!60$$$$p^{147} T^{7} +$$$$64\!\cdots\!87$$$$p^{219} T^{8} -$$$$26\!\cdots\!32$$$$p^{292} T^{9} + p^{365} T^{10}$$
53$C_2 \wr S_5$ $$1 +$$$$22\!\cdots\!54$$$$T +$$$$10\!\cdots\!61$$$$p T^{2} +$$$$25\!\cdots\!60$$$$p^{2} T^{3} +$$$$61\!\cdots\!94$$$$p^{3} T^{4} +$$$$10\!\cdots\!72$$$$p^{4} T^{5} +$$$$61\!\cdots\!94$$$$p^{76} T^{6} +$$$$25\!\cdots\!60$$$$p^{148} T^{7} +$$$$10\!\cdots\!61$$$$p^{220} T^{8} +$$$$22\!\cdots\!54$$$$p^{292} T^{9} + p^{365} T^{10}$$
59$C_2 \wr S_5$ $$1 -$$$$84\!\cdots\!00$$$$p T +$$$$13\!\cdots\!05$$$$p T^{2} -$$$$93\!\cdots\!00$$$$p^{2} T^{3} +$$$$13\!\cdots\!90$$$$p^{3} T^{4} -$$$$72\!\cdots\!00$$$$p^{4} T^{5} +$$$$13\!\cdots\!90$$$$p^{76} T^{6} -$$$$93\!\cdots\!00$$$$p^{148} T^{7} +$$$$13\!\cdots\!05$$$$p^{220} T^{8} -$$$$84\!\cdots\!00$$$$p^{293} T^{9} + p^{365} T^{10}$$
61$C_2 \wr S_5$ $$1 +$$$$32\!\cdots\!90$$$$p T +$$$$29\!\cdots\!45$$$$p^{2} T^{2} +$$$$70\!\cdots\!80$$$$p^{3} T^{3} +$$$$33\!\cdots\!10$$$$p^{4} T^{4} +$$$$58\!\cdots\!48$$$$p^{5} T^{5} +$$$$33\!\cdots\!10$$$$p^{77} T^{6} +$$$$70\!\cdots\!80$$$$p^{149} T^{7} +$$$$29\!\cdots\!45$$$$p^{221} T^{8} +$$$$32\!\cdots\!90$$$$p^{293} T^{9} + p^{365} T^{10}$$
67$C_2 \wr S_5$ $$1 -$$$$25\!\cdots\!56$$$$p T +$$$$10\!\cdots\!43$$$$p^{2} T^{2} -$$$$43\!\cdots\!60$$$$p^{3} T^{3} +$$$$71\!\cdots\!58$$$$p^{4} T^{4} -$$$$20\!\cdots\!68$$$$p^{5} T^{5} +$$$$71\!\cdots\!58$$$$p^{77} T^{6} -$$$$43\!\cdots\!60$$$$p^{149} T^{7} +$$$$10\!\cdots\!43$$$$p^{221} T^{8} -$$$$25\!\cdots\!56$$$$p^{293} T^{9} + p^{365} T^{10}$$
71$C_2 \wr S_5$ $$1 -$$$$41\!\cdots\!60$$$$p T +$$$$87\!\cdots\!95$$$$p^{2} T^{2} -$$$$23\!\cdots\!20$$$$p^{3} T^{3} +$$$$36\!\cdots\!10$$$$p^{4} T^{4} -$$$$73\!\cdots\!52$$$$p^{5} T^{5} +$$$$36\!\cdots\!10$$$$p^{77} T^{6} -$$$$23\!\cdots\!20$$$$p^{149} T^{7} +$$$$87\!\cdots\!95$$$$p^{221} T^{8} -$$$$41\!\cdots\!60$$$$p^{293} T^{9} + p^{365} T^{10}$$
73$C_2 \wr S_5$ $$1 +$$$$23\!\cdots\!74$$$$T +$$$$55\!\cdots\!13$$$$T^{2} +$$$$77\!\cdots\!20$$$$T^{3} +$$$$10\!\cdots\!18$$$$T^{4} +$$$$11\!\cdots\!72$$$$T^{5} +$$$$10\!\cdots\!18$$$$p^{73} T^{6} +$$$$77\!\cdots\!20$$$$p^{146} T^{7} +$$$$55\!\cdots\!13$$$$p^{219} T^{8} +$$$$23\!\cdots\!74$$$$p^{292} T^{9} + p^{365} T^{10}$$
79$C_2 \wr S_5$ $$1 -$$$$12\!\cdots\!00$$$$T +$$$$10\!\cdots\!95$$$$T^{2} -$$$$10\!\cdots\!00$$$$T^{3} +$$$$55\!\cdots\!10$$$$T^{4} -$$$$42\!\cdots\!00$$$$T^{5} +$$$$55\!\cdots\!10$$$$p^{73} T^{6} -$$$$10\!\cdots\!00$$$$p^{146} T^{7} +$$$$10\!\cdots\!95$$$$p^{219} T^{8} -$$$$12\!\cdots\!00$$$$p^{292} T^{9} + p^{365} T^{10}$$
83$C_2 \wr S_5$ $$1 -$$$$10\!\cdots\!16$$$$T +$$$$23\!\cdots\!03$$$$T^{2} -$$$$14\!\cdots\!40$$$$T^{3} +$$$$46\!\cdots\!58$$$$T^{4} -$$$$38\!\cdots\!08$$$$T^{5} +$$$$46\!\cdots\!58$$$$p^{73} T^{6} -$$$$14\!\cdots\!40$$$$p^{146} T^{7} +$$$$23\!\cdots\!03$$$$p^{219} T^{8} -$$$$10\!\cdots\!16$$$$p^{292} T^{9} + p^{365} T^{10}$$
89$C_2 \wr S_5$ $$1 +$$$$44\!\cdots\!50$$$$T +$$$$62\!\cdots\!45$$$$T^{2} +$$$$39\!\cdots\!00$$$$T^{3} +$$$$17\!\cdots\!10$$$$T^{4} +$$$$12\!\cdots\!00$$$$T^{5} +$$$$17\!\cdots\!10$$$$p^{73} T^{6} +$$$$39\!\cdots\!00$$$$p^{146} T^{7} +$$$$62\!\cdots\!45$$$$p^{219} T^{8} +$$$$44\!\cdots\!50$$$$p^{292} T^{9} + p^{365} T^{10}$$
97$C_2 \wr S_5$ $$1 +$$$$47\!\cdots\!18$$$$T +$$$$59\!\cdots\!37$$$$T^{2} +$$$$20\!\cdots\!80$$$$T^{3} +$$$$13\!\cdots\!78$$$$T^{4} +$$$$32\!\cdots\!44$$$$T^{5} +$$$$13\!\cdots\!78$$$$p^{73} T^{6} +$$$$20\!\cdots\!80$$$$p^{146} T^{7} +$$$$59\!\cdots\!37$$$$p^{219} T^{8} +$$$$47\!\cdots\!18$$$$p^{292} T^{9} + p^{365} T^{10}$$
\begin{aligned}L(s) = \prod_p \ \prod_{j=1}^{10} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\end{aligned}