LMFDB - L-function 10-1-1.1-c73e5-0-0

Dirichlet series

L(s) = 1

− 9.20e10·2^-s − 1.29e17·3^-s − 1.89e22·4^-s + 2.30e25·5^-s + 1.18e28·6^-s − 4.35e30·7^-s + 2.16e33·8^-s − 1.44e35·9^-s − 2.12e36·10^-s + 5.00e37·11^-s + 2.44e39·12^-s + 4.75e39·13^-s + 4.01e41·14^-s − 2.98e42·15^-s + 1.70e44·16^-s + 6.63e44·17^-s + 1.33e46·18^-s + 3.13e46·19^-s − 4.37e47·20^-s + 5.62e47·21^-s − 4.61e48·22^-s − 4.11e49·23^-s − 2.79e50·24^-s − 2.21e51·25^-s − 4.37e50·26^-s + 1.81e52·27^-s + 8.24e52·28^-s + ⋯

L(s) = 1

− 0.947·2^-s − 0.496·3^-s − 2.00·4^-s + 0.709·5^-s + 0.470·6^-s − 0.620·7^-s + 2.35·8^-s − 2.13·9^-s − 0.672·10^-s + 0.488·11^-s + 0.995·12^-s + 0.104·13^-s + 0.588·14^-s − 0.352·15^-s + 1.91·16^-s + 0.813·17^-s + 2.02·18^-s + 0.664·19^-s − 1.42·20^-s + 0.308·21^-s − 0.462·22^-s − 0.815·23^-s − 1.17·24^-s − 2.09·25^-s − 0.0987·26^-s + 1.03·27^-s + 1.24·28^-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\Gamma_{\C}(s)^{5} \, L(s)\cr=\mathstrut & -\,\Lambda(74-s)\end{aligned}\]

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\Gamma_{\C}(s+73/2)^{5} \, L(s)\cr=\mathstrut & -\,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]

Invariants

Degree:	$10$
Conductor:	$1$
Sign:	$-1$
Analytic conductor:	$4.37789\times 10^{7}$
Root analytic conductor:	$5.80933$
Motivic weight:	$73$
Rational:	yes
Arithmetic:	yes
Character:	Trivial
Primitive:	no
Self-dual:	yes
Analytic rank:	$5$
Selberg data:	$(10,\ 1,\ (\ :73/2, 73/2, 73/2, 73/2, 73/2),\ -1)$

Particular Values

$L(37)$	$=$	$0$
$L(\frac12)$	$=$	$0$
$L(\frac{75}{2})$		not available
$L(1)$		not available

Euler product

$L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} $

	$p$	$\Gal(F_p)$	$F_p(T)$
good	2	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + 5755583343 p^{4} T + 3345520000714170341 p^{13} T^{2} + $$62\!\cdots\!45$$ p^{25} T^{3} + $$15\!\cdots\!69$$ p^{41} T^{4} + $$10\!\cdots\!57$$ p^{61} T^{5} + $$15\!\cdots\!69$$ p^{114} T^{6} + $$62\!\cdots\!45$$ p^{171} T^{7} + 3345520000714170341 p^{232} T^{8} + 5755583343 p^{296} T^{9} + p^{365} T^{10} $
	3	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + 4785029563937252 p^{3} T + $$90\!\cdots\!89$$ p^{11} T^{2} + $$61\!\cdots\!40$$ p^{20} T^{3} + $$50\!\cdots\!62$$ p^{30} T^{4} + $$19\!\cdots\!08$$ p^{46} T^{5} + $$50\!\cdots\!62$$ p^{103} T^{6} + $$61\!\cdots\!40$$ p^{166} T^{7} + $$90\!\cdots\!89$$ p^{230} T^{8} + 4785029563937252 p^{295} T^{9} + p^{365} T^{10} $
	5	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$18\!\cdots\!14$$ p^{3} T + $$70\!\cdots\!57$$ p^{8} T^{2} - $$22\!\cdots\!16$$ p^{14} T^{3} + $$61\!\cdots\!74$$ p^{21} T^{4} + $$16\!\cdots\!96$$ p^{30} T^{5} + $$61\!\cdots\!74$$ p^{94} T^{6} - $$22\!\cdots\!16$$ p^{160} T^{7} + $$70\!\cdots\!57$$ p^{227} T^{8} - $$18\!\cdots\!14$$ p^{295} T^{9} + p^{365} T^{10} $
	7	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$88\!\cdots\!92$$ p^{2} T + $$93\!\cdots\!01$$ p^{5} T^{2} + $$97\!\cdots\!00$$ p^{10} T^{3} + $$45\!\cdots\!14$$ p^{17} T^{4} + $$52\!\cdots\!12$$ p^{25} T^{5} + $$45\!\cdots\!14$$ p^{90} T^{6} + $$97\!\cdots\!00$$ p^{156} T^{7} + $$93\!\cdots\!01$$ p^{224} T^{8} + $$88\!\cdots\!92$$ p^{294} T^{9} + p^{365} T^{10} $
	11	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$45\!\cdots\!60$$ p T + $$25\!\cdots\!95$$ p^{2} T^{2} - $$47\!\cdots\!20$$ p^{5} T^{3} + $$18\!\cdots\!10$$ p^{9} T^{4} - $$19\!\cdots\!72$$ p^{14} T^{5} + $$18\!\cdots\!10$$ p^{82} T^{6} - $$47\!\cdots\!20$$ p^{151} T^{7} + $$25\!\cdots\!95$$ p^{221} T^{8} - $$45\!\cdots\!60$$ p^{293} T^{9} + p^{365} T^{10} $
	13	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$36\!\cdots\!22$$ p T + $$15\!\cdots\!09$$ p^{3} T^{2} - $$15\!\cdots\!80$$ p^{6} T^{3} + $$76\!\cdots\!22$$ p^{10} T^{4} - $$13\!\cdots\!64$$ p^{15} T^{5} + $$76\!\cdots\!22$$ p^{83} T^{6} - $$15\!\cdots\!80$$ p^{152} T^{7} + $$15\!\cdots\!09$$ p^{222} T^{8} - $$36\!\cdots\!22$$ p^{293} T^{9} + p^{365} T^{10} $
	17	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$39\!\cdots\!06$$ p T + $$24\!\cdots\!29$$ p^{3} T^{2} - $$34\!\cdots\!40$$ p^{5} T^{3} + $$10\!\cdots\!98$$ p^{8} T^{4} - $$25\!\cdots\!16$$ p^{12} T^{5} + $$10\!\cdots\!98$$ p^{81} T^{6} - $$34\!\cdots\!40$$ p^{151} T^{7} + $$24\!\cdots\!29$$ p^{222} T^{8} - $$39\!\cdots\!06$$ p^{293} T^{9} + p^{365} T^{10} $
	19	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$31\!\cdots\!00$$ T + $$21\!\cdots\!05$$ p T^{2} - $$61\!\cdots\!00$$ p^{3} T^{3} + $$33\!\cdots\!90$$ p^{5} T^{4} - $$86\!\cdots\!00$$ p^{8} T^{5} + $$33\!\cdots\!90$$ p^{78} T^{6} - $$61\!\cdots\!00$$ p^{149} T^{7} + $$21\!\cdots\!05$$ p^{220} T^{8} - $$31\!\cdots\!00$$ p^{292} T^{9} + p^{365} T^{10} $
	23	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$17\!\cdots\!88$$ p T + $$14\!\cdots\!47$$ p^{2} T^{2} + $$81\!\cdots\!20$$ p^{4} T^{3} + $$19\!\cdots\!62$$ p^{6} T^{4} + $$36\!\cdots\!44$$ p^{9} T^{5} + $$19\!\cdots\!62$$ p^{79} T^{6} + $$81\!\cdots\!20$$ p^{150} T^{7} + $$14\!\cdots\!47$$ p^{221} T^{8} + $$17\!\cdots\!88$$ p^{293} T^{9} + p^{365} T^{10} $
	29	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$21\!\cdots\!50$$ T + $$71\!\cdots\!05$$ p T^{2} + $$43\!\cdots\!00$$ p^{2} T^{3} + $$27\!\cdots\!10$$ p^{4} T^{4} + $$47\!\cdots\!00$$ p^{6} T^{5} + $$27\!\cdots\!10$$ p^{77} T^{6} + $$43\!\cdots\!00$$ p^{148} T^{7} + $$71\!\cdots\!05$$ p^{220} T^{8} + $$21\!\cdots\!50$$ p^{292} T^{9} + p^{365} T^{10} $
	31	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$12\!\cdots\!40$$ p T + $$32\!\cdots\!95$$ p^{2} T^{2} + $$31\!\cdots\!80$$ p^{3} T^{3} + $$15\!\cdots\!10$$ p^{5} T^{4} + $$35\!\cdots\!68$$ p^{7} T^{5} + $$15\!\cdots\!10$$ p^{78} T^{6} + $$31\!\cdots\!80$$ p^{149} T^{7} + $$32\!\cdots\!95$$ p^{221} T^{8} + $$12\!\cdots\!40$$ p^{293} T^{9} + p^{365} T^{10} $
	37	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$18\!\cdots\!94$$ p T + $$24\!\cdots\!17$$ T^{2} + $$17\!\cdots\!80$$ p T^{3} + $$10\!\cdots\!82$$ p^{2} T^{4} + $$52\!\cdots\!68$$ p^{3} T^{5} + $$10\!\cdots\!82$$ p^{75} T^{6} + $$17\!\cdots\!80$$ p^{147} T^{7} + $$24\!\cdots\!17$$ p^{219} T^{8} + $$18\!\cdots\!94$$ p^{293} T^{9} + p^{365} T^{10} $
	41	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$89\!\cdots\!90$$ T + $$21\!\cdots\!45$$ T^{2} + $$38\!\cdots\!80$$ p T^{3} + $$11\!\cdots\!10$$ p^{2} T^{4} + $$17\!\cdots\!88$$ p^{3} T^{5} + $$11\!\cdots\!10$$ p^{75} T^{6} + $$38\!\cdots\!80$$ p^{147} T^{7} + $$21\!\cdots\!45$$ p^{219} T^{8} + $$89\!\cdots\!90$$ p^{292} T^{9} + p^{365} T^{10} $
	43	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$11\!\cdots\!56$$ T + $$12\!\cdots\!43$$ T^{2} - $$19\!\cdots\!00$$ p T^{3} + $$27\!\cdots\!02$$ p^{2} T^{4} - $$28\!\cdots\!84$$ p^{3} T^{5} + $$27\!\cdots\!02$$ p^{75} T^{6} - $$19\!\cdots\!00$$ p^{147} T^{7} + $$12\!\cdots\!43$$ p^{219} T^{8} - $$11\!\cdots\!56$$ p^{292} T^{9} + p^{365} T^{10} $
	47	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$26\!\cdots\!32$$ T + $$64\!\cdots\!87$$ T^{2} - $$21\!\cdots\!60$$ p T^{3} + $$66\!\cdots\!42$$ p^{2} T^{4} - $$16\!\cdots\!72$$ p^{3} T^{5} + $$66\!\cdots\!42$$ p^{75} T^{6} - $$21\!\cdots\!60$$ p^{147} T^{7} + $$64\!\cdots\!87$$ p^{219} T^{8} - $$26\!\cdots\!32$$ p^{292} T^{9} + p^{365} T^{10} $
	53	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$22\!\cdots\!54$$ T + $$10\!\cdots\!61$$ p T^{2} + $$25\!\cdots\!60$$ p^{2} T^{3} + $$61\!\cdots\!94$$ p^{3} T^{4} + $$10\!\cdots\!72$$ p^{4} T^{5} + $$61\!\cdots\!94$$ p^{76} T^{6} + $$25\!\cdots\!60$$ p^{148} T^{7} + $$10\!\cdots\!61$$ p^{220} T^{8} + $$22\!\cdots\!54$$ p^{292} T^{9} + p^{365} T^{10} $
	59	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$84\!\cdots\!00$$ p T + $$13\!\cdots\!05$$ p T^{2} - $$93\!\cdots\!00$$ p^{2} T^{3} + $$13\!\cdots\!90$$ p^{3} T^{4} - $$72\!\cdots\!00$$ p^{4} T^{5} + $$13\!\cdots\!90$$ p^{76} T^{6} - $$93\!\cdots\!00$$ p^{148} T^{7} + $$13\!\cdots\!05$$ p^{220} T^{8} - $$84\!\cdots\!00$$ p^{293} T^{9} + p^{365} T^{10} $
	61	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$32\!\cdots\!90$$ p T + $$29\!\cdots\!45$$ p^{2} T^{2} + $$70\!\cdots\!80$$ p^{3} T^{3} + $$33\!\cdots\!10$$ p^{4} T^{4} + $$58\!\cdots\!48$$ p^{5} T^{5} + $$33\!\cdots\!10$$ p^{77} T^{6} + $$70\!\cdots\!80$$ p^{149} T^{7} + $$29\!\cdots\!45$$ p^{221} T^{8} + $$32\!\cdots\!90$$ p^{293} T^{9} + p^{365} T^{10} $
	67	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$25\!\cdots\!56$$ p T + $$10\!\cdots\!43$$ p^{2} T^{2} - $$43\!\cdots\!60$$ p^{3} T^{3} + $$71\!\cdots\!58$$ p^{4} T^{4} - $$20\!\cdots\!68$$ p^{5} T^{5} + $$71\!\cdots\!58$$ p^{77} T^{6} - $$43\!\cdots\!60$$ p^{149} T^{7} + $$10\!\cdots\!43$$ p^{221} T^{8} - $$25\!\cdots\!56$$ p^{293} T^{9} + p^{365} T^{10} $
	71	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$41\!\cdots\!60$$ p T + $$87\!\cdots\!95$$ p^{2} T^{2} - $$23\!\cdots\!20$$ p^{3} T^{3} + $$36\!\cdots\!10$$ p^{4} T^{4} - $$73\!\cdots\!52$$ p^{5} T^{5} + $$36\!\cdots\!10$$ p^{77} T^{6} - $$23\!\cdots\!20$$ p^{149} T^{7} + $$87\!\cdots\!95$$ p^{221} T^{8} - $$41\!\cdots\!60$$ p^{293} T^{9} + p^{365} T^{10} $
	73	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$23\!\cdots\!74$$ T + $$55\!\cdots\!13$$ T^{2} + $$77\!\cdots\!20$$ T^{3} + $$10\!\cdots\!18$$ T^{4} + $$11\!\cdots\!72$$ T^{5} + $$10\!\cdots\!18$$ p^{73} T^{6} + $$77\!\cdots\!20$$ p^{146} T^{7} + $$55\!\cdots\!13$$ p^{219} T^{8} + $$23\!\cdots\!74$$ p^{292} T^{9} + p^{365} T^{10} $
	79	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$12\!\cdots\!00$$ T + $$10\!\cdots\!95$$ T^{2} - $$10\!\cdots\!00$$ T^{3} + $$55\!\cdots\!10$$ T^{4} - $$42\!\cdots\!00$$ T^{5} + $$55\!\cdots\!10$$ p^{73} T^{6} - $$10\!\cdots\!00$$ p^{146} T^{7} + $$10\!\cdots\!95$$ p^{219} T^{8} - $$12\!\cdots\!00$$ p^{292} T^{9} + p^{365} T^{10} $
	83	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$10\!\cdots\!16$$ T + $$23\!\cdots\!03$$ T^{2} - $$14\!\cdots\!40$$ T^{3} + $$46\!\cdots\!58$$ T^{4} - $$38\!\cdots\!08$$ T^{5} + $$46\!\cdots\!58$$ p^{73} T^{6} - $$14\!\cdots\!40$$ p^{146} T^{7} + $$23\!\cdots\!03$$ p^{219} T^{8} - $$10\!\cdots\!16$$ p^{292} T^{9} + p^{365} T^{10} $
	89	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$44\!\cdots\!50$$ T + $$62\!\cdots\!45$$ T^{2} + $$39\!\cdots\!00$$ T^{3} + $$17\!\cdots\!10$$ T^{4} + $$12\!\cdots\!00$$ T^{5} + $$17\!\cdots\!10$$ p^{73} T^{6} + $$39\!\cdots\!00$$ p^{146} T^{7} + $$62\!\cdots\!45$$ p^{219} T^{8} + $$44\!\cdots\!50$$ p^{292} T^{9} + p^{365} T^{10} $
	97	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$47\!\cdots\!18$$ T + $$59\!\cdots\!37$$ T^{2} + $$20\!\cdots\!80$$ T^{3} + $$13\!\cdots\!78$$ T^{4} + $$32\!\cdots\!44$$ T^{5} + $$13\!\cdots\!78$$ p^{73} T^{6} + $$20\!\cdots\!80$$ p^{146} T^{7} + $$59\!\cdots\!37$$ p^{219} T^{8} + $$47\!\cdots\!18$$ p^{292} T^{9} + p^{365} T^{10} $
show more
show less

$L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{10} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}$

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−9.336242290136873608398234029104, −9.268826832423104002057256829430, −8.962355286761724857259983449662, −8.763827905758262063495101613042, −8.391836326963413296838111280111, −7.85227310763809429256627856750, −7.60589516847797714562159159172, −7.47979629862534823040583339353, −6.58119676321529783002704159117, −6.24241685386205450248069218885, −5.92356223185394185889005904993, −5.73303297228531362946256654245, −5.16327254886260277742658361087, −5.12999744947285585775759446480, −5.06991403691409709398322010035, −4.01676214092327570276345851221, −3.79574254300370297129996634068, −3.78210053216481678964923402046, −3.36258067312358559770568212185, −2.90788868250565303219938558231, −2.37016929090892543548118267949, −2.11654228559532010207876022589, −1.41489081260714454570483608629, −1.28192350893123960744080206343, −1.16525561455138451385061388305, 0, 0, 0, 0, 0, 1.16525561455138451385061388305, 1.28192350893123960744080206343, 1.41489081260714454570483608629, 2.11654228559532010207876022589, 2.37016929090892543548118267949, 2.90788868250565303219938558231, 3.36258067312358559770568212185, 3.78210053216481678964923402046, 3.79574254300370297129996634068, 4.01676214092327570276345851221, 5.06991403691409709398322010035, 5.12999744947285585775759446480, 5.16327254886260277742658361087, 5.73303297228531362946256654245, 5.92356223185394185889005904993, 6.24241685386205450248069218885, 6.58119676321529783002704159117, 7.47979629862534823040583339353, 7.60589516847797714562159159172, 7.85227310763809429256627856750, 8.391836326963413296838111280111, 8.763827905758262063495101613042, 8.962355286761724857259983449662, 9.268826832423104002057256829430, 9.336242290136873608398234029104

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

\(L(37)\)	\(=\)	\(0\)
\(L(\frac12)\)	\(=\)	\(0\)
\(L(\frac{75}{2})\)		not available
\(L(1)\)		not available

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Origins

Origins of factors

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