# Properties

 Degree 10 Conductor $1$ Sign $-1$ Motivic weight 69 Primitive no Self-dual yes Analytic rank 5

# Origins of factors

## Dirichlet series

 L(s)  = 1 − 1.80e10·2-s − 4.85e15·3-s − 6.84e20·4-s − 1.86e24·5-s + 8.74e25·6-s + 7.67e28·7-s + 2.51e30·8-s − 2.23e33·9-s + 3.35e34·10-s − 6.06e34·11-s + 3.32e36·12-s + 2.41e38·13-s − 1.38e39·14-s + 9.05e39·15-s + 4.91e41·16-s − 3.40e42·17-s + 4.02e43·18-s + 5.04e43·19-s + 1.27e45·20-s − 3.73e44·21-s + 1.09e45·22-s + 4.95e46·23-s − 1.22e46·24-s − 2.26e48·25-s − 4.35e48·26-s + 1.06e49·27-s − 5.25e49·28-s + ⋯
 L(s)  = 1 − 0.741·2-s − 0.168·3-s − 1.15·4-s − 1.43·5-s + 0.124·6-s + 0.536·7-s + 0.175·8-s − 2.67·9-s + 1.06·10-s − 0.0715·11-s + 0.195·12-s + 0.896·13-s − 0.397·14-s + 0.240·15-s + 1.41·16-s − 1.20·17-s + 1.98·18-s + 0.385·19-s + 1.66·20-s − 0.0902·21-s + 0.0530·22-s + 0.519·23-s − 0.0294·24-s − 1.33·25-s − 0.664·26-s + 0.443·27-s − 0.622·28-s + ⋯

## Functional equation

\begin{aligned} \Lambda(s)=\mathstrut &\Gamma_{\C}(s)^{5} \, L(s)\cr =\mathstrut & -\,\Lambda(70-s) \end{aligned}
\begin{aligned} \Lambda(s)=\mathstrut &\Gamma_{\C}(s+69/2)^{5} \, L(s)\cr =\mathstrut & -\,\Lambda(1-s) \end{aligned}

## Invariants

 $$d$$ = $$10$$ $$N$$ = $$1$$ $$\varepsilon$$ = $-1$ motivic weight = $$69$$ character : $\chi_{1} (1, \cdot )$ primitive : no self-dual : yes analytic rank = 5 Selberg data = $(10,\ 1,\ (\ :69/2, 69/2, 69/2, 69/2, 69/2),\ -1)$ $L(35)$ $=$ $0$ $L(\frac12)$ $=$ $0$ $L(\frac{71}{2})$ not available $L(1)$ not available

## Euler product

$L(s) = \prod_{p \text{ prime}} F_p(p^{-s})^{-1}$ where, $$F_p$$ is a polynomial of degree 10.
$p$$\Gal(F_p)$$F_p$
good2$C_2 \wr S_5$ $$1 + 562679199 p^{5} T + 123136181005504961 p^{13} T^{2} +$$$$41\!\cdots\!75$$$$p^{26} T^{3} +$$$$74\!\cdots\!61$$$$p^{43} T^{4} +$$$$53\!\cdots\!71$$$$p^{62} T^{5} +$$$$74\!\cdots\!61$$$$p^{112} T^{6} +$$$$41\!\cdots\!75$$$$p^{164} T^{7} + 123136181005504961 p^{220} T^{8} + 562679199 p^{281} T^{9} + p^{345} T^{10}$$
3$C_2 \wr S_5$ $$1 + 179928975067252 p^{3} T +$$$$38\!\cdots\!67$$$$p^{10} T^{2} +$$$$86\!\cdots\!00$$$$p^{17} T^{3} +$$$$40\!\cdots\!66$$$$p^{29} T^{4} +$$$$16\!\cdots\!52$$$$p^{44} T^{5} +$$$$40\!\cdots\!66$$$$p^{98} T^{6} +$$$$86\!\cdots\!00$$$$p^{155} T^{7} +$$$$38\!\cdots\!67$$$$p^{217} T^{8} + 179928975067252 p^{279} T^{9} + p^{345} T^{10}$$
5$C_2 \wr S_5$ $$1 +$$$$14\!\cdots\!94$$$$p^{3} T +$$$$73\!\cdots\!61$$$$p^{7} T^{2} +$$$$33\!\cdots\!68$$$$p^{12} T^{3} +$$$$35\!\cdots\!42$$$$p^{21} T^{4} +$$$$41\!\cdots\!28$$$$p^{31} T^{5} +$$$$35\!\cdots\!42$$$$p^{90} T^{6} +$$$$33\!\cdots\!68$$$$p^{150} T^{7} +$$$$73\!\cdots\!61$$$$p^{214} T^{8} +$$$$14\!\cdots\!94$$$$p^{279} T^{9} + p^{345} T^{10}$$
7$C_2 \wr S_5$ $$1 -$$$$10\!\cdots\!56$$$$p T +$$$$26\!\cdots\!07$$$$p^{4} T^{2} -$$$$12\!\cdots\!00$$$$p^{9} T^{3} +$$$$44\!\cdots\!86$$$$p^{15} T^{4} -$$$$37\!\cdots\!84$$$$p^{22} T^{5} +$$$$44\!\cdots\!86$$$$p^{84} T^{6} -$$$$12\!\cdots\!00$$$$p^{147} T^{7} +$$$$26\!\cdots\!07$$$$p^{211} T^{8} -$$$$10\!\cdots\!56$$$$p^{277} T^{9} + p^{345} T^{10}$$
11$C_2 \wr S_5$ $$1 +$$$$55\!\cdots\!40$$$$p T +$$$$13\!\cdots\!45$$$$p^{3} T^{2} -$$$$11\!\cdots\!20$$$$p^{6} T^{3} +$$$$66\!\cdots\!10$$$$p^{10} T^{4} -$$$$97\!\cdots\!72$$$$p^{14} T^{5} +$$$$66\!\cdots\!10$$$$p^{79} T^{6} -$$$$11\!\cdots\!20$$$$p^{144} T^{7} +$$$$13\!\cdots\!45$$$$p^{210} T^{8} +$$$$55\!\cdots\!40$$$$p^{277} T^{9} + p^{345} T^{10}$$
13$C_2 \wr S_5$ $$1 -$$$$18\!\cdots\!22$$$$p T +$$$$92\!\cdots\!09$$$$p^{3} T^{2} -$$$$59\!\cdots\!00$$$$p^{6} T^{3} +$$$$11\!\cdots\!42$$$$p^{10} T^{4} -$$$$43\!\cdots\!92$$$$p^{14} T^{5} +$$$$11\!\cdots\!42$$$$p^{79} T^{6} -$$$$59\!\cdots\!00$$$$p^{144} T^{7} +$$$$92\!\cdots\!09$$$$p^{210} T^{8} -$$$$18\!\cdots\!22$$$$p^{277} T^{9} + p^{345} T^{10}$$
17$C_2 \wr S_5$ $$1 +$$$$20\!\cdots\!14$$$$p T +$$$$37\!\cdots\!69$$$$p^{3} T^{2} +$$$$10\!\cdots\!00$$$$p^{5} T^{3} +$$$$67\!\cdots\!66$$$$p^{7} T^{4} -$$$$19\!\cdots\!28$$$$p^{9} T^{5} +$$$$67\!\cdots\!66$$$$p^{76} T^{6} +$$$$10\!\cdots\!00$$$$p^{143} T^{7} +$$$$37\!\cdots\!69$$$$p^{210} T^{8} +$$$$20\!\cdots\!14$$$$p^{277} T^{9} + p^{345} T^{10}$$
19$C_2 \wr S_5$ $$1 -$$$$50\!\cdots\!00$$$$T +$$$$34\!\cdots\!05$$$$p T^{2} -$$$$38\!\cdots\!00$$$$p^{3} T^{3} +$$$$81\!\cdots\!90$$$$p^{5} T^{4} -$$$$38\!\cdots\!00$$$$p^{8} T^{5} +$$$$81\!\cdots\!90$$$$p^{74} T^{6} -$$$$38\!\cdots\!00$$$$p^{141} T^{7} +$$$$34\!\cdots\!05$$$$p^{208} T^{8} -$$$$50\!\cdots\!00$$$$p^{276} T^{9} + p^{345} T^{10}$$
23$C_2 \wr S_5$ $$1 -$$$$21\!\cdots\!12$$$$p T +$$$$27\!\cdots\!47$$$$p^{2} T^{2} -$$$$50\!\cdots\!00$$$$p^{3} T^{3} +$$$$30\!\cdots\!18$$$$p^{4} T^{4} -$$$$36\!\cdots\!16$$$$p^{5} T^{5} +$$$$30\!\cdots\!18$$$$p^{73} T^{6} -$$$$50\!\cdots\!00$$$$p^{141} T^{7} +$$$$27\!\cdots\!47$$$$p^{209} T^{8} -$$$$21\!\cdots\!12$$$$p^{277} T^{9} + p^{345} T^{10}$$
29$C_2 \wr S_5$ $$1 +$$$$21\!\cdots\!50$$$$p T +$$$$52\!\cdots\!45$$$$p^{2} T^{2} +$$$$79\!\cdots\!00$$$$p^{3} T^{3} +$$$$35\!\cdots\!90$$$$p^{5} T^{4} +$$$$13\!\cdots\!00$$$$p^{7} T^{5} +$$$$35\!\cdots\!90$$$$p^{74} T^{6} +$$$$79\!\cdots\!00$$$$p^{141} T^{7} +$$$$52\!\cdots\!45$$$$p^{209} T^{8} +$$$$21\!\cdots\!50$$$$p^{277} T^{9} + p^{345} T^{10}$$
31$C_2 \wr S_5$ $$1 +$$$$25\!\cdots\!40$$$$p T +$$$$50\!\cdots\!95$$$$p^{2} T^{2} +$$$$73\!\cdots\!80$$$$p^{3} T^{3} +$$$$28\!\cdots\!10$$$$p^{5} T^{4} +$$$$93\!\cdots\!68$$$$p^{7} T^{5} +$$$$28\!\cdots\!10$$$$p^{74} T^{6} +$$$$73\!\cdots\!80$$$$p^{141} T^{7} +$$$$50\!\cdots\!95$$$$p^{209} T^{8} +$$$$25\!\cdots\!40$$$$p^{277} T^{9} + p^{345} T^{10}$$
37$C_2 \wr S_5$ $$1 -$$$$11\!\cdots\!02$$$$T +$$$$41\!\cdots\!77$$$$T^{2} -$$$$11\!\cdots\!00$$$$p T^{3} +$$$$71\!\cdots\!82$$$$p^{2} T^{4} -$$$$16\!\cdots\!72$$$$p^{3} T^{5} +$$$$71\!\cdots\!82$$$$p^{71} T^{6} -$$$$11\!\cdots\!00$$$$p^{139} T^{7} +$$$$41\!\cdots\!77$$$$p^{207} T^{8} -$$$$11\!\cdots\!02$$$$p^{276} T^{9} + p^{345} T^{10}$$
41$C_2 \wr S_5$ $$1 -$$$$12\!\cdots\!10$$$$T +$$$$13\!\cdots\!45$$$$T^{2} -$$$$23\!\cdots\!20$$$$p T^{3} +$$$$87\!\cdots\!10$$$$p^{3} T^{4} -$$$$40\!\cdots\!12$$$$p^{3} T^{5} +$$$$87\!\cdots\!10$$$$p^{72} T^{6} -$$$$23\!\cdots\!20$$$$p^{139} T^{7} +$$$$13\!\cdots\!45$$$$p^{207} T^{8} -$$$$12\!\cdots\!10$$$$p^{276} T^{9} + p^{345} T^{10}$$
43$C_2 \wr S_5$ $$1 -$$$$18\!\cdots\!56$$$$T +$$$$11\!\cdots\!43$$$$T^{2} -$$$$69\!\cdots\!00$$$$p T^{3} +$$$$49\!\cdots\!02$$$$p^{2} T^{4} -$$$$25\!\cdots\!84$$$$p^{3} T^{5} +$$$$49\!\cdots\!02$$$$p^{71} T^{6} -$$$$69\!\cdots\!00$$$$p^{139} T^{7} +$$$$11\!\cdots\!43$$$$p^{207} T^{8} -$$$$18\!\cdots\!56$$$$p^{276} T^{9} + p^{345} T^{10}$$
47$C_2 \wr S_5$ $$1 +$$$$10\!\cdots\!28$$$$T +$$$$95\!\cdots\!67$$$$T^{2} +$$$$13\!\cdots\!00$$$$p T^{3} +$$$$18\!\cdots\!42$$$$p^{2} T^{4} +$$$$18\!\cdots\!08$$$$p^{3} T^{5} +$$$$18\!\cdots\!42$$$$p^{71} T^{6} +$$$$13\!\cdots\!00$$$$p^{139} T^{7} +$$$$95\!\cdots\!67$$$$p^{207} T^{8} +$$$$10\!\cdots\!28$$$$p^{276} T^{9} + p^{345} T^{10}$$
53$C_2 \wr S_5$ $$1 -$$$$63\!\cdots\!46$$$$T +$$$$87\!\cdots\!61$$$$p T^{2} -$$$$68\!\cdots\!00$$$$p^{2} T^{3} +$$$$56\!\cdots\!14$$$$p^{3} T^{4} -$$$$32\!\cdots\!48$$$$p^{4} T^{5} +$$$$56\!\cdots\!14$$$$p^{72} T^{6} -$$$$68\!\cdots\!00$$$$p^{140} T^{7} +$$$$87\!\cdots\!61$$$$p^{208} T^{8} -$$$$63\!\cdots\!46$$$$p^{276} T^{9} + p^{345} T^{10}$$
59$C_2 \wr S_5$ $$1 +$$$$33\!\cdots\!00$$$$T +$$$$17\!\cdots\!05$$$$p T^{2} +$$$$56\!\cdots\!00$$$$p^{2} T^{3} +$$$$16\!\cdots\!90$$$$p^{3} T^{4} +$$$$37\!\cdots\!00$$$$p^{4} T^{5} +$$$$16\!\cdots\!90$$$$p^{72} T^{6} +$$$$56\!\cdots\!00$$$$p^{140} T^{7} +$$$$17\!\cdots\!05$$$$p^{208} T^{8} +$$$$33\!\cdots\!00$$$$p^{276} T^{9} + p^{345} T^{10}$$
61$C_2 \wr S_5$ $$1 -$$$$43\!\cdots\!10$$$$p T +$$$$78\!\cdots\!45$$$$p^{2} T^{2} -$$$$13\!\cdots\!20$$$$p^{3} T^{3} +$$$$85\!\cdots\!10$$$$p^{5} T^{4} -$$$$15\!\cdots\!52$$$$p^{5} T^{5} +$$$$85\!\cdots\!10$$$$p^{74} T^{6} -$$$$13\!\cdots\!20$$$$p^{141} T^{7} +$$$$78\!\cdots\!45$$$$p^{209} T^{8} -$$$$43\!\cdots\!10$$$$p^{277} T^{9} + p^{345} T^{10}$$
67$C_2 \wr S_5$ $$1 +$$$$18\!\cdots\!64$$$$p T +$$$$75\!\cdots\!23$$$$p^{2} T^{2} +$$$$10\!\cdots\!00$$$$p^{3} T^{3} +$$$$27\!\cdots\!58$$$$p^{4} T^{4} +$$$$31\!\cdots\!12$$$$p^{5} T^{5} +$$$$27\!\cdots\!58$$$$p^{73} T^{6} +$$$$10\!\cdots\!00$$$$p^{141} T^{7} +$$$$75\!\cdots\!23$$$$p^{209} T^{8} +$$$$18\!\cdots\!64$$$$p^{277} T^{9} + p^{345} T^{10}$$
71$C_2 \wr S_5$ $$1 +$$$$11\!\cdots\!40$$$$T +$$$$17\!\cdots\!95$$$$T^{2} +$$$$15\!\cdots\!80$$$$T^{3} +$$$$17\!\cdots\!10$$$$T^{4} +$$$$11\!\cdots\!48$$$$T^{5} +$$$$17\!\cdots\!10$$$$p^{69} T^{6} +$$$$15\!\cdots\!80$$$$p^{138} T^{7} +$$$$17\!\cdots\!95$$$$p^{207} T^{8} +$$$$11\!\cdots\!40$$$$p^{276} T^{9} + p^{345} T^{10}$$
73$C_2 \wr S_5$ $$1 -$$$$33\!\cdots\!26$$$$T +$$$$16\!\cdots\!13$$$$T^{2} -$$$$45\!\cdots\!00$$$$T^{3} +$$$$12\!\cdots\!38$$$$T^{4} -$$$$24\!\cdots\!88$$$$T^{5} +$$$$12\!\cdots\!38$$$$p^{69} T^{6} -$$$$45\!\cdots\!00$$$$p^{138} T^{7} +$$$$16\!\cdots\!13$$$$p^{207} T^{8} -$$$$33\!\cdots\!26$$$$p^{276} T^{9} + p^{345} T^{10}$$
79$C_2 \wr S_5$ $$1 +$$$$36\!\cdots\!00$$$$T +$$$$35\!\cdots\!95$$$$T^{2} +$$$$80\!\cdots\!00$$$$T^{3} +$$$$47\!\cdots\!10$$$$T^{4} +$$$$80\!\cdots\!00$$$$T^{5} +$$$$47\!\cdots\!10$$$$p^{69} T^{6} +$$$$80\!\cdots\!00$$$$p^{138} T^{7} +$$$$35\!\cdots\!95$$$$p^{207} T^{8} +$$$$36\!\cdots\!00$$$$p^{276} T^{9} + p^{345} T^{10}$$
83$C_2 \wr S_5$ $$1 -$$$$11\!\cdots\!16$$$$T +$$$$11\!\cdots\!03$$$$T^{2} -$$$$95\!\cdots\!00$$$$T^{3} +$$$$55\!\cdots\!18$$$$T^{4} -$$$$34\!\cdots\!88$$$$T^{5} +$$$$55\!\cdots\!18$$$$p^{69} T^{6} -$$$$95\!\cdots\!00$$$$p^{138} T^{7} +$$$$11\!\cdots\!03$$$$p^{207} T^{8} -$$$$11\!\cdots\!16$$$$p^{276} T^{9} + p^{345} T^{10}$$
89$C_2 \wr S_5$ $$1 +$$$$18\!\cdots\!50$$$$T +$$$$14\!\cdots\!45$$$$T^{2} +$$$$18\!\cdots\!00$$$$T^{3} +$$$$81\!\cdots\!10$$$$T^{4} +$$$$76\!\cdots\!00$$$$T^{5} +$$$$81\!\cdots\!10$$$$p^{69} T^{6} +$$$$18\!\cdots\!00$$$$p^{138} T^{7} +$$$$14\!\cdots\!45$$$$p^{207} T^{8} +$$$$18\!\cdots\!50$$$$p^{276} T^{9} + p^{345} T^{10}$$
97$C_2 \wr S_5$ $$1 -$$$$36\!\cdots\!22$$$$T +$$$$28\!\cdots\!17$$$$T^{2} -$$$$62\!\cdots\!00$$$$T^{3} +$$$$55\!\cdots\!78$$$$T^{4} -$$$$13\!\cdots\!16$$$$T^{5} +$$$$55\!\cdots\!78$$$$p^{69} T^{6} -$$$$62\!\cdots\!00$$$$p^{138} T^{7} +$$$$28\!\cdots\!17$$$$p^{207} T^{8} -$$$$36\!\cdots\!22$$$$p^{276} T^{9} + p^{345} T^{10}$$
\begin{aligned} L(s) = \prod_p \ \prod_{j=1}^{10} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1} \end{aligned}