# Properties

 Degree 10 Conductor $1$ Sign $1$ Motivic weight 67 Primitive no Self-dual yes Analytic rank 0

# Origins of factors

## Dirichlet series

 L(s)  = 1 + 5.55e9·2-s + 3.44e15·3-s − 1.78e20·4-s + 3.30e23·5-s + 1.91e25·6-s + 3.36e28·7-s − 2.33e29·8-s − 2.11e32·9-s + 1.83e33·10-s + 2.03e35·11-s − 6.13e35·12-s + 1.77e35·13-s + 1.86e38·14-s + 1.13e39·15-s + 1.19e40·16-s + 7.52e40·17-s − 1.17e42·18-s + 3.99e42·19-s − 5.89e43·20-s + 1.15e44·21-s + 1.12e45·22-s − 4.19e44·23-s − 8.03e44·24-s − 2.70e46·25-s + 9.87e44·26-s − 2.20e47·27-s − 5.99e48·28-s + ⋯
 L(s)  = 1 + 0.457·2-s + 0.357·3-s − 1.20·4-s + 1.27·5-s + 0.163·6-s + 1.64·7-s − 0.130·8-s − 2.28·9-s + 0.580·10-s + 2.63·11-s − 0.432·12-s + 0.00856·13-s + 0.751·14-s + 0.454·15-s + 0.549·16-s + 0.453·17-s − 1.04·18-s + 0.580·19-s − 1.53·20-s + 0.588·21-s + 1.20·22-s − 0.101·23-s − 0.0465·24-s − 0.399·25-s + 0.00391·26-s − 0.247·27-s − 1.98·28-s + ⋯

## Functional equation

\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\Gamma_{\C}(s)^{5} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(68-s)\end{aligned}
\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\Gamma_{\C}(s+67/2)^{5} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}

## Invariants

 $$d$$ = $$10$$ $$N$$ = $$1$$ $$\varepsilon$$ = $1$ motivic weight = $$67$$ character : $\chi_{1} (1, \cdot )$ primitive : no self-dual : yes analytic rank = $$0$$ Selberg data = $$(10,\ 1,\ (\ :67/2, 67/2, 67/2, 67/2, 67/2),\ 1)$$ $$L(34)$$ $$\approx$$ $$16.87265373$$ $$L(\frac12)$$ $$\approx$$ $$16.87265373$$ $$L(\frac{69}{2})$$ not available $$L(1)$$ not available

## Euler product

$L(s) = \prod_{p \text{ prime}} F_p(p^{-s})^{-1}$where,$$F_p(T)$$ is a polynomial of degree 10.
$p$$\Gal(F_p)$$F_p(T)$
good2$C_2 \wr S_5$ $$1 - 694362657 p^{3} T + 51056480289306133 p^{12} T^{2} -$$$$91\!\cdots\!45$$$$p^{21} T^{3} +$$$$12\!\cdots\!27$$$$p^{38} T^{4} -$$$$15\!\cdots\!81$$$$p^{55} T^{5} +$$$$12\!\cdots\!27$$$$p^{105} T^{6} -$$$$91\!\cdots\!45$$$$p^{155} T^{7} + 51056480289306133 p^{213} T^{8} - 694362657 p^{271} T^{9} + p^{335} T^{10}$$
3$C_2 \wr S_5$ $$1 - 14170206868804 p^{5} T +$$$$12\!\cdots\!61$$$$p^{11} T^{2} -$$$$33\!\cdots\!40$$$$p^{18} T^{3} +$$$$49\!\cdots\!34$$$$p^{31} T^{4} -$$$$18\!\cdots\!84$$$$p^{46} T^{5} +$$$$49\!\cdots\!34$$$$p^{98} T^{6} -$$$$33\!\cdots\!40$$$$p^{152} T^{7} +$$$$12\!\cdots\!61$$$$p^{212} T^{8} - 14170206868804 p^{273} T^{9} + p^{335} T^{10}$$
5$C_2 \wr S_5$ $$1 -$$$$13\!\cdots\!58$$$$p^{2} T +$$$$43\!\cdots\!17$$$$p^{5} T^{2} -$$$$30\!\cdots\!28$$$$p^{9} T^{3} +$$$$11\!\cdots\!94$$$$p^{16} T^{4} -$$$$27\!\cdots\!68$$$$p^{26} T^{5} +$$$$11\!\cdots\!94$$$$p^{83} T^{6} -$$$$30\!\cdots\!28$$$$p^{143} T^{7} +$$$$43\!\cdots\!17$$$$p^{206} T^{8} -$$$$13\!\cdots\!58$$$$p^{270} T^{9} + p^{335} T^{10}$$
7$C_2 \wr S_5$ $$1 -$$$$68\!\cdots\!44$$$$p^{2} T +$$$$16\!\cdots\!07$$$$p^{6} T^{2} -$$$$25\!\cdots\!00$$$$p^{11} T^{3} +$$$$10\!\cdots\!02$$$$p^{18} T^{4} -$$$$32\!\cdots\!12$$$$p^{26} T^{5} +$$$$10\!\cdots\!02$$$$p^{85} T^{6} -$$$$25\!\cdots\!00$$$$p^{145} T^{7} +$$$$16\!\cdots\!07$$$$p^{207} T^{8} -$$$$68\!\cdots\!44$$$$p^{270} T^{9} + p^{335} T^{10}$$
11$C_2 \wr S_5$ $$1 -$$$$18\!\cdots\!60$$$$p T +$$$$20\!\cdots\!45$$$$p^{3} T^{2} -$$$$14\!\cdots\!20$$$$p^{6} T^{3} +$$$$83\!\cdots\!10$$$$p^{9} T^{4} -$$$$41\!\cdots\!92$$$$p^{13} T^{5} +$$$$83\!\cdots\!10$$$$p^{76} T^{6} -$$$$14\!\cdots\!20$$$$p^{140} T^{7} +$$$$20\!\cdots\!45$$$$p^{204} T^{8} -$$$$18\!\cdots\!60$$$$p^{269} T^{9} + p^{335} T^{10}$$
13$C_2 \wr S_5$ $$1 -$$$$13\!\cdots\!54$$$$p T +$$$$57\!\cdots\!41$$$$p^{3} T^{2} +$$$$92\!\cdots\!20$$$$p^{6} T^{3} +$$$$74\!\cdots\!26$$$$p^{9} T^{4} +$$$$17\!\cdots\!24$$$$p^{12} T^{5} +$$$$74\!\cdots\!26$$$$p^{76} T^{6} +$$$$92\!\cdots\!20$$$$p^{140} T^{7} +$$$$57\!\cdots\!41$$$$p^{204} T^{8} -$$$$13\!\cdots\!54$$$$p^{269} T^{9} + p^{335} T^{10}$$
17$C_2 \wr S_5$ $$1 -$$$$44\!\cdots\!18$$$$p T +$$$$30\!\cdots\!37$$$$p^{2} T^{2} -$$$$17\!\cdots\!40$$$$p^{3} T^{3} +$$$$46\!\cdots\!58$$$$p^{4} T^{4} -$$$$84\!\cdots\!76$$$$p^{7} T^{5} +$$$$46\!\cdots\!58$$$$p^{71} T^{6} -$$$$17\!\cdots\!40$$$$p^{137} T^{7} +$$$$30\!\cdots\!37$$$$p^{203} T^{8} -$$$$44\!\cdots\!18$$$$p^{269} T^{9} + p^{335} T^{10}$$
19$C_2 \wr S_5$ $$1 -$$$$21\!\cdots\!00$$$$p T +$$$$40\!\cdots\!95$$$$p^{2} T^{2} -$$$$52\!\cdots\!00$$$$p^{4} T^{3} +$$$$12\!\cdots\!90$$$$p^{7} T^{4} -$$$$74\!\cdots\!00$$$$p^{10} T^{5} +$$$$12\!\cdots\!90$$$$p^{74} T^{6} -$$$$52\!\cdots\!00$$$$p^{138} T^{7} +$$$$40\!\cdots\!95$$$$p^{203} T^{8} -$$$$21\!\cdots\!00$$$$p^{269} T^{9} + p^{335} T^{10}$$
23$C_2 \wr S_5$ $$1 +$$$$41\!\cdots\!68$$$$T +$$$$73\!\cdots\!87$$$$T^{2} +$$$$13\!\cdots\!40$$$$p T^{3} +$$$$19\!\cdots\!94$$$$p^{3} T^{4} +$$$$12\!\cdots\!68$$$$p^{5} T^{5} +$$$$19\!\cdots\!94$$$$p^{70} T^{6} +$$$$13\!\cdots\!40$$$$p^{135} T^{7} +$$$$73\!\cdots\!87$$$$p^{201} T^{8} +$$$$41\!\cdots\!68$$$$p^{268} T^{9} + p^{335} T^{10}$$
29$C_2 \wr S_5$ $$1 -$$$$18\!\cdots\!50$$$$T +$$$$10\!\cdots\!05$$$$p T^{2} -$$$$39\!\cdots\!00$$$$p^{2} T^{3} +$$$$68\!\cdots\!10$$$$p^{4} T^{4} -$$$$81\!\cdots\!00$$$$p^{6} T^{5} +$$$$68\!\cdots\!10$$$$p^{71} T^{6} -$$$$39\!\cdots\!00$$$$p^{136} T^{7} +$$$$10\!\cdots\!05$$$$p^{202} T^{8} -$$$$18\!\cdots\!50$$$$p^{268} T^{9} + p^{335} T^{10}$$
31$C_2 \wr S_5$ $$1 -$$$$11\!\cdots\!60$$$$p T +$$$$84\!\cdots\!95$$$$p^{2} T^{2} -$$$$13\!\cdots\!20$$$$p^{4} T^{3} +$$$$16\!\cdots\!10$$$$p^{6} T^{4} -$$$$17\!\cdots\!72$$$$p^{8} T^{5} +$$$$16\!\cdots\!10$$$$p^{73} T^{6} -$$$$13\!\cdots\!20$$$$p^{138} T^{7} +$$$$84\!\cdots\!95$$$$p^{203} T^{8} -$$$$11\!\cdots\!60$$$$p^{269} T^{9} + p^{335} T^{10}$$
37$C_2 \wr S_5$ $$1 +$$$$56\!\cdots\!94$$$$T +$$$$47\!\cdots\!93$$$$T^{2} +$$$$57\!\cdots\!20$$$$p T^{3} +$$$$78\!\cdots\!82$$$$p^{2} T^{4} +$$$$67\!\cdots\!44$$$$p^{3} T^{5} +$$$$78\!\cdots\!82$$$$p^{69} T^{6} +$$$$57\!\cdots\!20$$$$p^{135} T^{7} +$$$$47\!\cdots\!93$$$$p^{201} T^{8} +$$$$56\!\cdots\!94$$$$p^{268} T^{9} + p^{335} T^{10}$$
41$C_2 \wr S_5$ $$1 -$$$$11\!\cdots\!10$$$$T +$$$$30\!\cdots\!45$$$$T^{2} +$$$$23\!\cdots\!80$$$$p T^{3} +$$$$25\!\cdots\!10$$$$p^{2} T^{4} +$$$$70\!\cdots\!88$$$$p^{3} T^{5} +$$$$25\!\cdots\!10$$$$p^{69} T^{6} +$$$$23\!\cdots\!80$$$$p^{135} T^{7} +$$$$30\!\cdots\!45$$$$p^{201} T^{8} -$$$$11\!\cdots\!10$$$$p^{268} T^{9} + p^{335} T^{10}$$
43$C_2 \wr S_5$ $$1 -$$$$65\!\cdots\!92$$$$T +$$$$25\!\cdots\!49$$$$p T^{2} -$$$$30\!\cdots\!00$$$$p^{2} T^{3} +$$$$70\!\cdots\!14$$$$p^{3} T^{4} -$$$$63\!\cdots\!16$$$$p^{4} T^{5} +$$$$70\!\cdots\!14$$$$p^{70} T^{6} -$$$$30\!\cdots\!00$$$$p^{136} T^{7} +$$$$25\!\cdots\!49$$$$p^{202} T^{8} -$$$$65\!\cdots\!92$$$$p^{268} T^{9} + p^{335} T^{10}$$
47$C_2 \wr S_5$ $$1 +$$$$12\!\cdots\!44$$$$T +$$$$90\!\cdots\!69$$$$p T^{2} +$$$$19\!\cdots\!80$$$$p^{2} T^{3} +$$$$79\!\cdots\!86$$$$p^{3} T^{4} +$$$$12\!\cdots\!12$$$$p^{4} T^{5} +$$$$79\!\cdots\!86$$$$p^{70} T^{6} +$$$$19\!\cdots\!80$$$$p^{136} T^{7} +$$$$90\!\cdots\!69$$$$p^{202} T^{8} +$$$$12\!\cdots\!44$$$$p^{268} T^{9} + p^{335} T^{10}$$
53$C_2 \wr S_5$ $$1 -$$$$10\!\cdots\!22$$$$T +$$$$14\!\cdots\!89$$$$p T^{2} +$$$$39\!\cdots\!60$$$$p^{2} T^{3} +$$$$20\!\cdots\!74$$$$p^{3} T^{4} +$$$$80\!\cdots\!44$$$$p^{4} T^{5} +$$$$20\!\cdots\!74$$$$p^{70} T^{6} +$$$$39\!\cdots\!60$$$$p^{136} T^{7} +$$$$14\!\cdots\!89$$$$p^{202} T^{8} -$$$$10\!\cdots\!22$$$$p^{268} T^{9} + p^{335} T^{10}$$
59$C_2 \wr S_5$ $$1 +$$$$51\!\cdots\!00$$$$p T +$$$$39\!\cdots\!95$$$$p^{2} T^{2} +$$$$14\!\cdots\!00$$$$p^{3} T^{3} +$$$$72\!\cdots\!10$$$$p^{4} T^{4} +$$$$20\!\cdots\!00$$$$p^{5} T^{5} +$$$$72\!\cdots\!10$$$$p^{71} T^{6} +$$$$14\!\cdots\!00$$$$p^{137} T^{7} +$$$$39\!\cdots\!95$$$$p^{203} T^{8} +$$$$51\!\cdots\!00$$$$p^{269} T^{9} + p^{335} T^{10}$$
61$C_2 \wr S_5$ $$1 +$$$$18\!\cdots\!90$$$$p T +$$$$57\!\cdots\!45$$$$p^{2} T^{2} +$$$$70\!\cdots\!80$$$$p^{3} T^{3} +$$$$12\!\cdots\!10$$$$p^{4} T^{4} +$$$$11\!\cdots\!48$$$$p^{5} T^{5} +$$$$12\!\cdots\!10$$$$p^{71} T^{6} +$$$$70\!\cdots\!80$$$$p^{137} T^{7} +$$$$57\!\cdots\!45$$$$p^{203} T^{8} +$$$$18\!\cdots\!90$$$$p^{269} T^{9} + p^{335} T^{10}$$
67$C_2 \wr S_5$ $$1 +$$$$11\!\cdots\!44$$$$T +$$$$30\!\cdots\!43$$$$T^{2} +$$$$16\!\cdots\!80$$$$T^{3} +$$$$58\!\cdots\!18$$$$T^{4} -$$$$37\!\cdots\!48$$$$T^{5} +$$$$58\!\cdots\!18$$$$p^{67} T^{6} +$$$$16\!\cdots\!80$$$$p^{134} T^{7} +$$$$30\!\cdots\!43$$$$p^{201} T^{8} +$$$$11\!\cdots\!44$$$$p^{268} T^{9} + p^{335} T^{10}$$
71$C_2 \wr S_5$ $$1 +$$$$11\!\cdots\!40$$$$T +$$$$43\!\cdots\!95$$$$T^{2} +$$$$37\!\cdots\!80$$$$T^{3} +$$$$80\!\cdots\!10$$$$T^{4} +$$$$54\!\cdots\!48$$$$T^{5} +$$$$80\!\cdots\!10$$$$p^{67} T^{6} +$$$$37\!\cdots\!80$$$$p^{134} T^{7} +$$$$43\!\cdots\!95$$$$p^{201} T^{8} +$$$$11\!\cdots\!40$$$$p^{268} T^{9} + p^{335} T^{10}$$
73$C_2 \wr S_5$ $$1 +$$$$30\!\cdots\!18$$$$T +$$$$36\!\cdots\!37$$$$T^{2} +$$$$83\!\cdots\!20$$$$T^{3} +$$$$52\!\cdots\!98$$$$T^{4} +$$$$86\!\cdots\!24$$$$T^{5} +$$$$52\!\cdots\!98$$$$p^{67} T^{6} +$$$$83\!\cdots\!20$$$$p^{134} T^{7} +$$$$36\!\cdots\!37$$$$p^{201} T^{8} +$$$$30\!\cdots\!18$$$$p^{268} T^{9} + p^{335} T^{10}$$
79$C_2 \wr S_5$ $$1 -$$$$29\!\cdots\!00$$$$T +$$$$51\!\cdots\!95$$$$T^{2} -$$$$13\!\cdots\!00$$$$T^{3} +$$$$12\!\cdots\!10$$$$T^{4} -$$$$26\!\cdots\!00$$$$T^{5} +$$$$12\!\cdots\!10$$$$p^{67} T^{6} -$$$$13\!\cdots\!00$$$$p^{134} T^{7} +$$$$51\!\cdots\!95$$$$p^{201} T^{8} -$$$$29\!\cdots\!00$$$$p^{268} T^{9} + p^{335} T^{10}$$
83$C_2 \wr S_5$ $$1 +$$$$47\!\cdots\!88$$$$T +$$$$21\!\cdots\!47$$$$T^{2} +$$$$64\!\cdots\!60$$$$T^{3} +$$$$20\!\cdots\!06$$$$p T^{4} +$$$$35\!\cdots\!04$$$$T^{5} +$$$$20\!\cdots\!06$$$$p^{68} T^{6} +$$$$64\!\cdots\!60$$$$p^{134} T^{7} +$$$$21\!\cdots\!47$$$$p^{201} T^{8} +$$$$47\!\cdots\!88$$$$p^{268} T^{9} + p^{335} T^{10}$$
89$C_2 \wr S_5$ $$1 +$$$$11\!\cdots\!50$$$$T +$$$$98\!\cdots\!45$$$$T^{2} +$$$$38\!\cdots\!00$$$$T^{3} +$$$$39\!\cdots\!10$$$$T^{4} +$$$$27\!\cdots\!00$$$$T^{5} +$$$$39\!\cdots\!10$$$$p^{67} T^{6} +$$$$38\!\cdots\!00$$$$p^{134} T^{7} +$$$$98\!\cdots\!45$$$$p^{201} T^{8} +$$$$11\!\cdots\!50$$$$p^{268} T^{9} + p^{335} T^{10}$$
97$C_2 \wr S_5$ $$1 -$$$$28\!\cdots\!06$$$$T +$$$$36\!\cdots\!93$$$$T^{2} -$$$$13\!\cdots\!80$$$$T^{3} +$$$$66\!\cdots\!78$$$$T^{4} -$$$$24\!\cdots\!28$$$$T^{5} +$$$$66\!\cdots\!78$$$$p^{67} T^{6} -$$$$13\!\cdots\!80$$$$p^{134} T^{7} +$$$$36\!\cdots\!93$$$$p^{201} T^{8} -$$$$28\!\cdots\!06$$$$p^{268} T^{9} + p^{335} T^{10}$$
\begin{aligned}L(s) = \prod_p \ \prod_{j=1}^{10} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\end{aligned}