LMFDB - L-function 10-1-1.1-c59e5-0-0

Dirichlet series

L(s) = 1

− 4.49e8·2^-s + 8.40e13·3^-s − 4.70e17·4^-s + 1.79e20·5^-s − 3.77e22·6^-s + 1.49e24·7^-s + 2.13e26·8^-s − 1.54e28·9^-s − 8.09e28·10^-s + 4.25e30·11^-s − 3.95e31·12^-s − 8.45e32·13^-s − 6.73e32·14^-s + 1.51e34·15^-s + 4.33e34·16^-s − 3.40e36·17^-s + 6.95e36·18^-s + 6.46e37·19^-s − 8.46e37·20^-s + 1.25e38·21^-s − 1.91e39·22^-s + 2.67e40·23^-s + 1.79e40·24^-s − 1.04e41·25^-s + 3.80e41·26^-s − 4.87e41·27^-s − 7.05e41·28^-s + ⋯

L(s) = 1

− 0.592·2^-s + 0.706·3^-s − 0.816·4^-s + 0.432·5^-s − 0.418·6^-s + 0.175·7^-s + 0.487·8^-s − 1.09·9^-s − 0.255·10^-s + 0.809·11^-s − 0.577·12^-s − 1.16·13^-s − 0.104·14^-s + 0.305·15^-s + 0.130·16^-s − 1.71·17^-s + 0.648·18^-s + 1.22·19^-s − 0.352·20^-s + 0.124·21^-s − 0.479·22^-s + 1.80·23^-s + 0.344·24^-s − 0.601·25^-s + 0.689·26^-s − 0.290·27^-s − 0.143·28^-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\Gamma_{\C}(s)^{5} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(60-s)\end{aligned}\]

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\Gamma_{\C}(s+59/2)^{5} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]

Invariants

Degree:	$10$
Conductor:	$1$
Sign:	$1$
Analytic conductor:	$5.20750\times 10^{6}$
Root analytic conductor:	$4.69529$
Motivic weight:	$59$
Rational:	yes
Arithmetic:	yes
Character:	Trivial
Primitive:	no
Self-dual:	yes
Analytic rank:	$0$
Selberg data:	$(10,\ 1,\ (\ :59/2, 59/2, 59/2, 59/2, 59/2),\ 1)$

Particular Values

$L(30)$	$\approx$	$0.2475692340$
$L(\frac12)$	$\approx$	$0.2475692340$
$L(\frac{61}{2})$		not available
$L(1)$		not available

Euler product

$L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} $

	$p$	$\Gal(F_p)$	$F_p(T)$
good	2	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + 56211483 p^{3} T + 328541785870451 p^{11} T^{2} + 35871121944327534405 p^{23} T^{3} + $$22\!\cdots\!19$$ p^{37} T^{4} + $$43\!\cdots\!37$$ p^{56} T^{5} + $$22\!\cdots\!19$$ p^{96} T^{6} + 35871121944327534405 p^{141} T^{7} + 328541785870451 p^{188} T^{8} + 56211483 p^{239} T^{9} + p^{295} T^{10} $
	3	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - 9335181305548 p^{2} T + $$10\!\cdots\!01$$ p^{7} T^{2} - $$62\!\cdots\!40$$ p^{16} T^{3} + $$67\!\cdots\!14$$ p^{27} T^{4} - $$31\!\cdots\!96$$ p^{40} T^{5} + $$67\!\cdots\!14$$ p^{86} T^{6} - $$62\!\cdots\!40$$ p^{134} T^{7} + $$10\!\cdots\!01$$ p^{184} T^{8} - 9335181305548 p^{238} T^{9} + p^{295} T^{10} $
	5	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - 35992322430017211678 p T + $$43\!\cdots\!37$$ p^{5} T^{2} + $$34\!\cdots\!52$$ p^{10} T^{3} + $$32\!\cdots\!66$$ p^{18} T^{4} + $$11\!\cdots\!84$$ p^{27} T^{5} + $$32\!\cdots\!66$$ p^{77} T^{6} + $$34\!\cdots\!52$$ p^{128} T^{7} + $$43\!\cdots\!37$$ p^{182} T^{8} - 35992322430017211678 p^{237} T^{9} + p^{295} T^{10} $
	7	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$21\!\cdots\!08$$ p T + $$11\!\cdots\!43$$ p^{4} T^{2} - $$10\!\cdots\!00$$ p^{8} T^{3} + $$48\!\cdots\!02$$ p^{14} T^{4} - $$12\!\cdots\!84$$ p^{21} T^{5} + $$48\!\cdots\!02$$ p^{73} T^{6} - $$10\!\cdots\!00$$ p^{126} T^{7} + $$11\!\cdots\!43$$ p^{181} T^{8} - $$21\!\cdots\!08$$ p^{237} T^{9} + p^{295} T^{10} $
	11	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$38\!\cdots\!60$$ p T + $$66\!\cdots\!45$$ p^{3} T^{2} - $$20\!\cdots\!20$$ p^{6} T^{3} + $$15\!\cdots\!10$$ p^{10} T^{4} - $$35\!\cdots\!72$$ p^{14} T^{5} + $$15\!\cdots\!10$$ p^{69} T^{6} - $$20\!\cdots\!20$$ p^{124} T^{7} + $$66\!\cdots\!45$$ p^{180} T^{8} - $$38\!\cdots\!60$$ p^{237} T^{9} + p^{295} T^{10} $
	13	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$84\!\cdots\!78$$ T + $$13\!\cdots\!09$$ p T^{2} + $$37\!\cdots\!60$$ p^{3} T^{3} + $$25\!\cdots\!82$$ p^{6} T^{4} + $$32\!\cdots\!76$$ p^{10} T^{5} + $$25\!\cdots\!82$$ p^{65} T^{6} + $$37\!\cdots\!60$$ p^{121} T^{7} + $$13\!\cdots\!09$$ p^{178} T^{8} + $$84\!\cdots\!78$$ p^{236} T^{9} + p^{295} T^{10} $
	17	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$34\!\cdots\!54$$ T + $$90\!\cdots\!49$$ p T^{2} + $$66\!\cdots\!40$$ p^{3} T^{3} + $$38\!\cdots\!82$$ p^{6} T^{4} + $$12\!\cdots\!76$$ p^{9} T^{5} + $$38\!\cdots\!82$$ p^{65} T^{6} + $$66\!\cdots\!40$$ p^{121} T^{7} + $$90\!\cdots\!49$$ p^{178} T^{8} + $$34\!\cdots\!54$$ p^{236} T^{9} + p^{295} T^{10} $
	19	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$34\!\cdots\!00$$ p T + $$36\!\cdots\!95$$ p^{2} T^{2} - $$47\!\cdots\!00$$ p^{4} T^{3} + $$14\!\cdots\!10$$ p^{6} T^{4} - $$14\!\cdots\!00$$ p^{8} T^{5} + $$14\!\cdots\!10$$ p^{65} T^{6} - $$47\!\cdots\!00$$ p^{122} T^{7} + $$36\!\cdots\!95$$ p^{179} T^{8} - $$34\!\cdots\!00$$ p^{237} T^{9} + p^{295} T^{10} $
	23	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$26\!\cdots\!12$$ T + $$29\!\cdots\!89$$ p T^{2} - $$11\!\cdots\!60$$ p^{3} T^{3} + $$40\!\cdots\!06$$ p^{5} T^{4} - $$10\!\cdots\!48$$ p^{7} T^{5} + $$40\!\cdots\!06$$ p^{64} T^{6} - $$11\!\cdots\!60$$ p^{121} T^{7} + $$29\!\cdots\!89$$ p^{178} T^{8} - $$26\!\cdots\!12$$ p^{236} T^{9} + p^{295} T^{10} $
	29	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$60\!\cdots\!50$$ p T + $$95\!\cdots\!45$$ p^{2} T^{2} + $$39\!\cdots\!00$$ p^{3} T^{3} + $$37\!\cdots\!10$$ p^{4} T^{4} + $$11\!\cdots\!00$$ p^{5} T^{5} + $$37\!\cdots\!10$$ p^{63} T^{6} + $$39\!\cdots\!00$$ p^{121} T^{7} + $$95\!\cdots\!45$$ p^{179} T^{8} + $$60\!\cdots\!50$$ p^{237} T^{9} + p^{295} T^{10} $
	31	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$35\!\cdots\!40$$ T + $$91\!\cdots\!95$$ T^{2} + $$50\!\cdots\!80$$ p T^{3} + $$23\!\cdots\!10$$ p^{2} T^{4} + $$80\!\cdots\!28$$ p^{3} T^{5} + $$23\!\cdots\!10$$ p^{61} T^{6} + $$50\!\cdots\!80$$ p^{119} T^{7} + $$91\!\cdots\!95$$ p^{177} T^{8} + $$35\!\cdots\!40$$ p^{236} T^{9} + p^{295} T^{10} $
	37	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$12\!\cdots\!26$$ T + $$96\!\cdots\!13$$ T^{2} - $$35\!\cdots\!20$$ p T^{3} + $$36\!\cdots\!62$$ p^{2} T^{4} - $$11\!\cdots\!36$$ p^{3} T^{5} + $$36\!\cdots\!62$$ p^{61} T^{6} - $$35\!\cdots\!20$$ p^{119} T^{7} + $$96\!\cdots\!13$$ p^{177} T^{8} - $$12\!\cdots\!26$$ p^{236} T^{9} + p^{295} T^{10} $
	41	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$12\!\cdots\!90$$ T + $$24\!\cdots\!45$$ p T^{2} + $$37\!\cdots\!80$$ p^{2} T^{3} + $$45\!\cdots\!10$$ p^{3} T^{4} + $$44\!\cdots\!68$$ p^{4} T^{5} + $$45\!\cdots\!10$$ p^{62} T^{6} + $$37\!\cdots\!80$$ p^{120} T^{7} + $$24\!\cdots\!45$$ p^{178} T^{8} + $$12\!\cdots\!90$$ p^{236} T^{9} + p^{295} T^{10} $
	43	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$13\!\cdots\!92$$ T + $$19\!\cdots\!49$$ p T^{2} - $$41\!\cdots\!00$$ p^{2} T^{3} + $$41\!\cdots\!14$$ p^{3} T^{4} - $$67\!\cdots\!16$$ p^{4} T^{5} + $$41\!\cdots\!14$$ p^{62} T^{6} - $$41\!\cdots\!00$$ p^{120} T^{7} + $$19\!\cdots\!49$$ p^{178} T^{8} - $$13\!\cdots\!92$$ p^{236} T^{9} + p^{295} T^{10} $
	47	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$12\!\cdots\!28$$ p T + $$13\!\cdots\!67$$ p^{2} T^{2} - $$89\!\cdots\!40$$ p^{3} T^{3} + $$55\!\cdots\!98$$ p^{4} T^{4} - $$25\!\cdots\!64$$ p^{5} T^{5} + $$55\!\cdots\!98$$ p^{63} T^{6} - $$89\!\cdots\!40$$ p^{121} T^{7} + $$13\!\cdots\!67$$ p^{179} T^{8} - $$12\!\cdots\!28$$ p^{237} T^{9} + p^{295} T^{10} $
	53	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$42\!\cdots\!94$$ p T + $$14\!\cdots\!93$$ p^{2} T^{2} - $$32\!\cdots\!20$$ p^{3} T^{3} + $$61\!\cdots\!78$$ p^{4} T^{4} - $$91\!\cdots\!72$$ p^{5} T^{5} + $$61\!\cdots\!78$$ p^{63} T^{6} - $$32\!\cdots\!20$$ p^{121} T^{7} + $$14\!\cdots\!93$$ p^{179} T^{8} - $$42\!\cdots\!94$$ p^{237} T^{9} + p^{295} T^{10} $
	59	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$21\!\cdots\!00$$ T + $$79\!\cdots\!95$$ T^{2} + $$13\!\cdots\!00$$ T^{3} + $$32\!\cdots\!10$$ T^{4} + $$40\!\cdots\!00$$ T^{5} + $$32\!\cdots\!10$$ p^{59} T^{6} + $$13\!\cdots\!00$$ p^{118} T^{7} + $$79\!\cdots\!95$$ p^{177} T^{8} + $$21\!\cdots\!00$$ p^{236} T^{9} + p^{295} T^{10} $
	61	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$55\!\cdots\!90$$ T + $$84\!\cdots\!45$$ T^{2} + $$33\!\cdots\!80$$ T^{3} + $$29\!\cdots\!10$$ T^{4} + $$92\!\cdots\!48$$ T^{5} + $$29\!\cdots\!10$$ p^{59} T^{6} + $$33\!\cdots\!80$$ p^{118} T^{7} + $$84\!\cdots\!45$$ p^{177} T^{8} + $$55\!\cdots\!90$$ p^{236} T^{9} + p^{295} T^{10} $
	67	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$25\!\cdots\!96$$ T + $$20\!\cdots\!83$$ T^{2} - $$32\!\cdots\!80$$ T^{3} + $$19\!\cdots\!58$$ T^{4} - $$22\!\cdots\!28$$ T^{5} + $$19\!\cdots\!58$$ p^{59} T^{6} - $$32\!\cdots\!80$$ p^{118} T^{7} + $$20\!\cdots\!83$$ p^{177} T^{8} - $$25\!\cdots\!96$$ p^{236} T^{9} + p^{295} T^{10} $
	71	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$63\!\cdots\!40$$ T + $$82\!\cdots\!95$$ T^{2} + $$37\!\cdots\!80$$ T^{3} + $$26\!\cdots\!10$$ T^{4} + $$89\!\cdots\!48$$ T^{5} + $$26\!\cdots\!10$$ p^{59} T^{6} + $$37\!\cdots\!80$$ p^{118} T^{7} + $$82\!\cdots\!95$$ p^{177} T^{8} + $$63\!\cdots\!40$$ p^{236} T^{9} + p^{295} T^{10} $
	73	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$12\!\cdots\!62$$ T + $$31\!\cdots\!97$$ T^{2} - $$37\!\cdots\!20$$ T^{3} + $$48\!\cdots\!58$$ T^{4} - $$45\!\cdots\!56$$ T^{5} + $$48\!\cdots\!58$$ p^{59} T^{6} - $$37\!\cdots\!20$$ p^{118} T^{7} + $$31\!\cdots\!97$$ p^{177} T^{8} - $$12\!\cdots\!62$$ p^{236} T^{9} + p^{295} T^{10} $
	79	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$19\!\cdots\!00$$ T + $$33\!\cdots\!95$$ T^{2} + $$34\!\cdots\!00$$ T^{3} + $$36\!\cdots\!10$$ T^{4} + $$30\!\cdots\!00$$ T^{5} + $$36\!\cdots\!10$$ p^{59} T^{6} + $$34\!\cdots\!00$$ p^{118} T^{7} + $$33\!\cdots\!95$$ p^{177} T^{8} + $$19\!\cdots\!00$$ p^{236} T^{9} + p^{295} T^{10} $
	83	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$13\!\cdots\!52$$ T + $$14\!\cdots\!27$$ T^{2} - $$10\!\cdots\!60$$ T^{3} + $$59\!\cdots\!78$$ T^{4} - $$26\!\cdots\!36$$ T^{5} + $$59\!\cdots\!78$$ p^{59} T^{6} - $$10\!\cdots\!60$$ p^{118} T^{7} + $$14\!\cdots\!27$$ p^{177} T^{8} - $$13\!\cdots\!52$$ p^{236} T^{9} + p^{295} T^{10} $
	89	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$41\!\cdots\!50$$ T + $$38\!\cdots\!45$$ T^{2} - $$10\!\cdots\!00$$ T^{3} + $$63\!\cdots\!10$$ T^{4} - $$13\!\cdots\!00$$ T^{5} + $$63\!\cdots\!10$$ p^{59} T^{6} - $$10\!\cdots\!00$$ p^{118} T^{7} + $$38\!\cdots\!45$$ p^{177} T^{8} - $$41\!\cdots\!50$$ p^{236} T^{9} + p^{295} T^{10} $
	97	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$11\!\cdots\!66$$ T + $$92\!\cdots\!53$$ T^{2} - $$60\!\cdots\!20$$ T^{3} + $$32\!\cdots\!38$$ T^{4} - $$13\!\cdots\!48$$ T^{5} + $$32\!\cdots\!38$$ p^{59} T^{6} - $$60\!\cdots\!20$$ p^{118} T^{7} + $$92\!\cdots\!53$$ p^{177} T^{8} - $$11\!\cdots\!66$$ p^{236} T^{9} + p^{295} T^{10} $
show more
show less

$L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{10} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}$

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−9.423065804145231908188850616699, −9.245452262231743604694207948846, −9.060582200406625685943185371625, −8.802134135045037918398201960027, −8.698606407186667715640325704438, −7.80551940878668052863160991095, −7.53689042800403740235672257470, −7.14358773262112345305516870612, −6.93945325990773163531099102392, −6.19121117951191906941621640811, −5.85938177333788607586037303447, −5.32663091084914999311716507641, −5.03166302061618668622875081168, −4.82438506927423381864202585868, −4.26781622403418384419977402297, −3.55585079515958630395106621156, −3.42616382507351596843680429771, −3.25519075822932993127530371829, −2.43010475932392204575042668200, −2.11862684631809459824583932265, −2.02539191838660150640447250153, −1.39111825076257501596238050121, −1.03375234070354278860348613847, −0.38173724720063210159473700199, −0.11548805786913623004689854185, 0.11548805786913623004689854185, 0.38173724720063210159473700199, 1.03375234070354278860348613847, 1.39111825076257501596238050121, 2.02539191838660150640447250153, 2.11862684631809459824583932265, 2.43010475932392204575042668200, 3.25519075822932993127530371829, 3.42616382507351596843680429771, 3.55585079515958630395106621156, 4.26781622403418384419977402297, 4.82438506927423381864202585868, 5.03166302061618668622875081168, 5.32663091084914999311716507641, 5.85938177333788607586037303447, 6.19121117951191906941621640811, 6.93945325990773163531099102392, 7.14358773262112345305516870612, 7.53689042800403740235672257470, 7.80551940878668052863160991095, 8.698606407186667715640325704438, 8.802134135045037918398201960027, 9.060582200406625685943185371625, 9.245452262231743604694207948846, 9.423065804145231908188850616699

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

\(L(30)\)	\(\approx\)	\(0.2475692340\)
\(L(\frac12)\)	\(\approx\)	\(0.2475692340\)
\(L(\frac{61}{2})\)		not available
\(L(1)\)		not available

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Origins

Origins of factors

Downloads

Learn more