LMFDB - L-function 20-1-1.1-c123e10-0-0

Dirichlet series

L(s) = 1

+ 2.20e18·2^-s + 1.34e29·3^-s − 2.22e37·4^-s + 1.13e41·5^-s + 2.95e47·6^-s − 5.88e50·7^-s − 4.97e55·8^-s − 1.78e59·9^-s + 2.49e59·10^-s + 2.02e64·11^-s − 2.97e66·12^-s − 2.91e68·13^-s − 1.29e69·14^-s + 1.51e70·15^-s + 1.41e74·16^-s + 1.22e76·17^-s − 3.92e77·18^-s + 1.66e78·19^-s − 2.51e78·20^-s − 7.89e79·21^-s + 4.46e82·22^-s + 6.08e83·23^-s − 6.67e84·24^-s − 2.27e86·25^-s − 6.42e86·26^-s − 2.43e88·27^-s + 1.30e88·28^-s + ⋯

L(s) = 1

+ 0.675·2^-s + 0.608·3^-s − 2.08·4^-s + 0.0116·5^-s + 0.411·6^-s − 0.0625·7^-s − 1.43·8^-s − 3.67·9^-s + 0.00789·10^-s + 1.82·11^-s − 1.27·12^-s − 0.906·13^-s − 0.0422·14^-s + 0.00711·15^-s + 1.24·16^-s + 2.60·17^-s − 2.48·18^-s + 0.378·19^-s − 0.0243·20^-s − 0.0380·21^-s + 1.23·22^-s + 1.09·23^-s − 0.873·24^-s − 2.41·25^-s − 0.612·26^-s − 2.27·27^-s + 0.130·28^-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\Gamma_{\C}(s)^{10} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(124-s)\end{aligned}\]

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\Gamma_{\C}(s+61.5)^{10} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]

Invariants

Degree:	$20$
Conductor:	$1$
Sign:	$1$
Analytic conductor:	$6.51629\times 10^{19}$
Root analytic conductor:	$9.78813$
Motivic weight:	$123$
Rational:	yes
Arithmetic:	yes
Character:	Trivial
Primitive:	no
Self-dual:	yes
Analytic rank:	$0$
Selberg data:	$(20,\ 1,\ (\ :[123/2]^{10}),\ 1)$

Particular Values

$L(62)$	$\approx$	$39.21881903$
$L(\frac12)$	$\approx$	$39.21881903$
$L(\frac{125}{2})$		not available
$L(1)$		not available

Euler product

$L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} $

	$p$	$F_p(T)$
good	2	$ 1 - 275295536466704325 p^{3} T + $$13\!\cdots\!75$$ p^{11} T^{2} - $$69\!\cdots\!25$$ p^{23} T^{3} + $$34\!\cdots\!35$$ p^{37} T^{4} - $$18\!\cdots\!75$$ p^{56} T^{5} + $$29\!\cdots\!75$$ p^{81} T^{6} - $$34\!\cdots\!25$$ p^{109} T^{7} + $$13\!\cdots\!95$$ p^{139} T^{8} - $$47\!\cdots\!75$$ p^{172} T^{9} + $$15\!\cdots\!25$$ p^{212} T^{10} - $$47\!\cdots\!75$$ p^{295} T^{11} + $$13\!\cdots\!95$$ p^{385} T^{12} - $$34\!\cdots\!25$$ p^{478} T^{13} + $$29\!\cdots\!75$$ p^{573} T^{14} - $$18\!\cdots\!75$$ p^{671} T^{15} + $$34\!\cdots\!35$$ p^{775} T^{16} - $$69\!\cdots\!25$$ p^{884} T^{17} + $$13\!\cdots\!75$$ p^{995} T^{18} - 275295536466704325 p^{1110} T^{19} + p^{1230} T^{20} $
	3	$ 1 - $$49\!\cdots\!00$$ p^{3} T + $$33\!\cdots\!50$$ p^{10} T^{2} - $$20\!\cdots\!00$$ p^{17} T^{3} + $$31\!\cdots\!15$$ p^{29} T^{4} - $$24\!\cdots\!00$$ p^{44} T^{5} + $$44\!\cdots\!00$$ p^{62} T^{6} - $$37\!\cdots\!00$$ p^{83} T^{7} + $$91\!\cdots\!30$$ p^{107} T^{8} - $$87\!\cdots\!00$$ p^{134} T^{9} + $$30\!\cdots\!00$$ p^{164} T^{10} - $$87\!\cdots\!00$$ p^{257} T^{11} + $$91\!\cdots\!30$$ p^{353} T^{12} - $$37\!\cdots\!00$$ p^{452} T^{13} + $$44\!\cdots\!00$$ p^{554} T^{14} - $$24\!\cdots\!00$$ p^{659} T^{15} + $$31\!\cdots\!15$$ p^{767} T^{16} - $$20\!\cdots\!00$$ p^{878} T^{17} + $$33\!\cdots\!50$$ p^{994} T^{18} - $$49\!\cdots\!00$$ p^{1110} T^{19} + p^{1230} T^{20} $
	5	$ 1 - $$22\!\cdots\!04$$ p T + $$36\!\cdots\!74$$ p^{4} T^{2} - $$43\!\cdots\!76$$ p^{10} T^{3} + $$17\!\cdots\!69$$ p^{19} T^{4} + $$16\!\cdots\!96$$ p^{30} T^{5} + $$88\!\cdots\!48$$ p^{41} T^{6} + $$56\!\cdots\!36$$ p^{52} T^{7} + $$14\!\cdots\!54$$ p^{65} T^{8} + $$40\!\cdots\!96$$ p^{81} T^{9} + $$90\!\cdots\!84$$ p^{101} T^{10} + $$40\!\cdots\!96$$ p^{204} T^{11} + $$14\!\cdots\!54$$ p^{311} T^{12} + $$56\!\cdots\!36$$ p^{421} T^{13} + $$88\!\cdots\!48$$ p^{533} T^{14} + $$16\!\cdots\!96$$ p^{645} T^{15} + $$17\!\cdots\!69$$ p^{757} T^{16} - $$43\!\cdots\!76$$ p^{871} T^{17} + $$36\!\cdots\!74$$ p^{988} T^{18} - $$22\!\cdots\!04$$ p^{1108} T^{19} + p^{1230} T^{20} $
	7	$ 1 + $$84\!\cdots\!00$$ p T + $$18\!\cdots\!50$$ p^{4} T^{2} + $$10\!\cdots\!00$$ p^{8} T^{3} + $$14\!\cdots\!05$$ p^{14} T^{4} + $$29\!\cdots\!00$$ p^{21} T^{5} + $$65\!\cdots\!00$$ p^{30} T^{6} + $$54\!\cdots\!00$$ p^{41} T^{7} + $$28\!\cdots\!30$$ p^{53} T^{8} + $$59\!\cdots\!00$$ p^{67} T^{9} + $$85\!\cdots\!00$$ p^{82} T^{10} + $$59\!\cdots\!00$$ p^{190} T^{11} + $$28\!\cdots\!30$$ p^{299} T^{12} + $$54\!\cdots\!00$$ p^{410} T^{13} + $$65\!\cdots\!00$$ p^{522} T^{14} + $$29\!\cdots\!00$$ p^{636} T^{15} + $$14\!\cdots\!05$$ p^{752} T^{16} + $$10\!\cdots\!00$$ p^{869} T^{17} + $$18\!\cdots\!50$$ p^{988} T^{18} + $$84\!\cdots\!00$$ p^{1108} T^{19} + p^{1230} T^{20} $
	11	$ 1 - $$16\!\cdots\!20$$ p^{2} T + $$70\!\cdots\!90$$ p^{4} T^{2} - $$84\!\cdots\!40$$ p^{8} T^{3} + $$14\!\cdots\!95$$ p^{13} T^{4} - $$11\!\cdots\!04$$ p^{20} T^{5} + $$14\!\cdots\!60$$ p^{25} T^{6} - $$10\!\cdots\!20$$ p^{31} T^{7} + $$92\!\cdots\!70$$ p^{37} T^{8} - $$52\!\cdots\!60$$ p^{44} T^{9} + $$32\!\cdots\!36$$ p^{52} T^{10} - $$52\!\cdots\!60$$ p^{167} T^{11} + $$92\!\cdots\!70$$ p^{283} T^{12} - $$10\!\cdots\!20$$ p^{400} T^{13} + $$14\!\cdots\!60$$ p^{517} T^{14} - $$11\!\cdots\!04$$ p^{635} T^{15} + $$14\!\cdots\!95$$ p^{751} T^{16} - $$84\!\cdots\!40$$ p^{869} T^{17} + $$70\!\cdots\!90$$ p^{988} T^{18} - $$16\!\cdots\!20$$ p^{1109} T^{19} + p^{1230} T^{20} $
	13	$ 1 + $$22\!\cdots\!00$$ p T + $$21\!\cdots\!50$$ p^{2} T^{2} + $$24\!\cdots\!00$$ p^{3} T^{3} + $$16\!\cdots\!05$$ p^{6} T^{4} + $$89\!\cdots\!00$$ p^{10} T^{5} + $$29\!\cdots\!00$$ p^{15} T^{6} + $$75\!\cdots\!00$$ p^{21} T^{7} + $$13\!\cdots\!10$$ p^{28} T^{8} + $$23\!\cdots\!00$$ p^{35} T^{9} + $$38\!\cdots\!00$$ p^{42} T^{10} + $$23\!\cdots\!00$$ p^{158} T^{11} + $$13\!\cdots\!10$$ p^{274} T^{12} + $$75\!\cdots\!00$$ p^{390} T^{13} + $$29\!\cdots\!00$$ p^{507} T^{14} + $$89\!\cdots\!00$$ p^{625} T^{15} + $$16\!\cdots\!05$$ p^{744} T^{16} + $$24\!\cdots\!00$$ p^{864} T^{17} + $$21\!\cdots\!50$$ p^{986} T^{18} + $$22\!\cdots\!00$$ p^{1108} T^{19} + p^{1230} T^{20} $
	17	$ 1 - $$12\!\cdots\!00$$ T + $$87\!\cdots\!50$$ p T^{2} - $$23\!\cdots\!00$$ p^{3} T^{3} + $$37\!\cdots\!05$$ p^{6} T^{4} - $$46\!\cdots\!00$$ p^{9} T^{5} + $$34\!\cdots\!00$$ p^{13} T^{6} - $$12\!\cdots\!00$$ p^{18} T^{7} + $$48\!\cdots\!70$$ p^{23} T^{8} - $$16\!\cdots\!00$$ p^{28} T^{9} + $$57\!\cdots\!00$$ p^{33} T^{10} - $$16\!\cdots\!00$$ p^{151} T^{11} + $$48\!\cdots\!70$$ p^{269} T^{12} - $$12\!\cdots\!00$$ p^{387} T^{13} + $$34\!\cdots\!00$$ p^{505} T^{14} - $$46\!\cdots\!00$$ p^{624} T^{15} + $$37\!\cdots\!05$$ p^{744} T^{16} - $$23\!\cdots\!00$$ p^{864} T^{17} + $$87\!\cdots\!50$$ p^{985} T^{18} - $$12\!\cdots\!00$$ p^{1107} T^{19} + p^{1230} T^{20} $
	19	$ 1 - $$16\!\cdots\!00$$ T + $$43\!\cdots\!10$$ p T^{2} - $$11\!\cdots\!00$$ p^{3} T^{3} + $$14\!\cdots\!55$$ p^{5} T^{4} - $$64\!\cdots\!00$$ p^{8} T^{5} + $$51\!\cdots\!80$$ p^{12} T^{6} + $$69\!\cdots\!00$$ p^{16} T^{7} + $$38\!\cdots\!90$$ p^{21} T^{8} + $$36\!\cdots\!00$$ p^{27} T^{9} + $$36\!\cdots\!72$$ p^{33} T^{10} + $$36\!\cdots\!00$$ p^{150} T^{11} + $$38\!\cdots\!90$$ p^{267} T^{12} + $$69\!\cdots\!00$$ p^{385} T^{13} + $$51\!\cdots\!80$$ p^{504} T^{14} - $$64\!\cdots\!00$$ p^{623} T^{15} + $$14\!\cdots\!55$$ p^{743} T^{16} - $$11\!\cdots\!00$$ p^{864} T^{17} + $$43\!\cdots\!10$$ p^{985} T^{18} - $$16\!\cdots\!00$$ p^{1107} T^{19} + p^{1230} T^{20} $
	23	$ 1 - $$26\!\cdots\!00$$ p T + $$29\!\cdots\!50$$ p^{2} T^{2} - $$73\!\cdots\!00$$ p^{3} T^{3} + $$19\!\cdots\!15$$ p^{5} T^{4} - $$87\!\cdots\!00$$ p^{8} T^{5} + $$75\!\cdots\!00$$ p^{11} T^{6} - $$13\!\cdots\!00$$ p^{15} T^{7} + $$40\!\cdots\!30$$ p^{19} T^{8} - $$28\!\cdots\!00$$ p^{24} T^{9} + $$33\!\cdots\!00$$ p^{29} T^{10} - $$28\!\cdots\!00$$ p^{147} T^{11} + $$40\!\cdots\!30$$ p^{265} T^{12} - $$13\!\cdots\!00$$ p^{384} T^{13} + $$75\!\cdots\!00$$ p^{503} T^{14} - $$87\!\cdots\!00$$ p^{623} T^{15} + $$19\!\cdots\!15$$ p^{743} T^{16} - $$73\!\cdots\!00$$ p^{864} T^{17} + $$29\!\cdots\!50$$ p^{986} T^{18} - $$26\!\cdots\!00$$ p^{1108} T^{19} + p^{1230} T^{20} $
	29	$ 1 + $$28\!\cdots\!00$$ T + $$30\!\cdots\!10$$ p T^{2} + $$19\!\cdots\!00$$ p^{2} T^{3} + $$42\!\cdots\!45$$ p^{4} T^{4} + $$73\!\cdots\!00$$ p^{6} T^{5} + $$40\!\cdots\!20$$ p^{9} T^{6} + $$19\!\cdots\!00$$ p^{12} T^{7} + $$88\!\cdots\!90$$ p^{15} T^{8} + $$12\!\cdots\!00$$ p^{19} T^{9} + $$15\!\cdots\!32$$ p^{23} T^{10} + $$12\!\cdots\!00$$ p^{142} T^{11} + $$88\!\cdots\!90$$ p^{261} T^{12} + $$19\!\cdots\!00$$ p^{381} T^{13} + $$40\!\cdots\!20$$ p^{501} T^{14} + $$73\!\cdots\!00$$ p^{621} T^{15} + $$42\!\cdots\!45$$ p^{742} T^{16} + $$19\!\cdots\!00$$ p^{863} T^{17} + $$30\!\cdots\!10$$ p^{985} T^{18} + $$28\!\cdots\!00$$ p^{1107} T^{19} + p^{1230} T^{20} $
	31	$ 1 - $$28\!\cdots\!20$$ p T + $$19\!\cdots\!90$$ p^{2} T^{2} - $$27\!\cdots\!40$$ p^{3} T^{3} + $$18\!\cdots\!45$$ p^{4} T^{4} - $$47\!\cdots\!04$$ p^{5} T^{5} + $$11\!\cdots\!60$$ p^{6} T^{6} + $$52\!\cdots\!80$$ p^{7} T^{7} + $$49\!\cdots\!70$$ p^{10} T^{8} + $$39\!\cdots\!40$$ p^{13} T^{9} + $$17\!\cdots\!76$$ p^{16} T^{10} + $$39\!\cdots\!40$$ p^{136} T^{11} + $$49\!\cdots\!70$$ p^{256} T^{12} + $$52\!\cdots\!80$$ p^{376} T^{13} + $$11\!\cdots\!60$$ p^{498} T^{14} - $$47\!\cdots\!04$$ p^{620} T^{15} + $$18\!\cdots\!45$$ p^{742} T^{16} - $$27\!\cdots\!40$$ p^{864} T^{17} + $$19\!\cdots\!90$$ p^{986} T^{18} - $$28\!\cdots\!20$$ p^{1108} T^{19} + p^{1230} T^{20} $
	37	$ 1 - $$62\!\cdots\!00$$ T + $$19\!\cdots\!50$$ p T^{2} - $$24\!\cdots\!00$$ p^{2} T^{3} + $$45\!\cdots\!65$$ p^{3} T^{4} - $$12\!\cdots\!00$$ p^{5} T^{5} + $$46\!\cdots\!00$$ p^{7} T^{6} - $$10\!\cdots\!00$$ p^{9} T^{7} + $$85\!\cdots\!10$$ p^{12} T^{8} - $$46\!\cdots\!00$$ p^{15} T^{9} + $$30\!\cdots\!00$$ p^{18} T^{10} - $$46\!\cdots\!00$$ p^{138} T^{11} + $$85\!\cdots\!10$$ p^{258} T^{12} - $$10\!\cdots\!00$$ p^{378} T^{13} + $$46\!\cdots\!00$$ p^{499} T^{14} - $$12\!\cdots\!00$$ p^{620} T^{15} + $$45\!\cdots\!65$$ p^{741} T^{16} - $$24\!\cdots\!00$$ p^{863} T^{17} + $$19\!\cdots\!50$$ p^{985} T^{18} - $$62\!\cdots\!00$$ p^{1107} T^{19} + p^{1230} T^{20} $
	41	$ 1 + $$26\!\cdots\!80$$ p T + $$93\!\cdots\!90$$ p^{2} T^{2} + $$27\!\cdots\!60$$ p^{3} T^{3} + $$43\!\cdots\!45$$ p^{4} T^{4} + $$13\!\cdots\!96$$ p^{5} T^{5} + $$13\!\cdots\!60$$ p^{6} T^{6} + $$37\!\cdots\!80$$ p^{7} T^{7} + $$28\!\cdots\!70$$ p^{8} T^{8} + $$73\!\cdots\!40$$ p^{9} T^{9} + $$46\!\cdots\!56$$ p^{10} T^{10} + $$73\!\cdots\!40$$ p^{132} T^{11} + $$28\!\cdots\!70$$ p^{254} T^{12} + $$37\!\cdots\!80$$ p^{376} T^{13} + $$13\!\cdots\!60$$ p^{498} T^{14} + $$13\!\cdots\!96$$ p^{620} T^{15} + $$43\!\cdots\!45$$ p^{742} T^{16} + $$27\!\cdots\!60$$ p^{864} T^{17} + $$93\!\cdots\!90$$ p^{986} T^{18} + $$26\!\cdots\!80$$ p^{1108} T^{19} + p^{1230} T^{20} $
	43	$ 1 - $$46\!\cdots\!00$$ T + $$48\!\cdots\!50$$ T^{2} - $$18\!\cdots\!00$$ T^{3} + $$27\!\cdots\!15$$ p T^{4} - $$20\!\cdots\!00$$ p^{2} T^{5} + $$23\!\cdots\!00$$ p^{3} T^{6} - $$35\!\cdots\!00$$ p^{5} T^{7} + $$79\!\cdots\!30$$ p^{7} T^{8} - $$10\!\cdots\!00$$ p^{9} T^{9} + $$21\!\cdots\!00$$ p^{11} T^{10} - $$10\!\cdots\!00$$ p^{132} T^{11} + $$79\!\cdots\!30$$ p^{253} T^{12} - $$35\!\cdots\!00$$ p^{374} T^{13} + $$23\!\cdots\!00$$ p^{495} T^{14} - $$20\!\cdots\!00$$ p^{617} T^{15} + $$27\!\cdots\!15$$ p^{739} T^{16} - $$18\!\cdots\!00$$ p^{861} T^{17} + $$48\!\cdots\!50$$ p^{984} T^{18} - $$46\!\cdots\!00$$ p^{1107} T^{19} + p^{1230} T^{20} $
	47	$ 1 - $$17\!\cdots\!00$$ T + $$30\!\cdots\!50$$ T^{2} - $$13\!\cdots\!00$$ p^{2} T^{3} + $$13\!\cdots\!05$$ p^{2} T^{4} - $$21\!\cdots\!00$$ p^{3} T^{5} + $$38\!\cdots\!00$$ p^{4} T^{6} - $$11\!\cdots\!00$$ p^{6} T^{7} + $$38\!\cdots\!10$$ p^{8} T^{8} - $$96\!\cdots\!00$$ p^{10} T^{9} + $$33\!\cdots\!00$$ p^{12} T^{10} - $$96\!\cdots\!00$$ p^{133} T^{11} + $$38\!\cdots\!10$$ p^{254} T^{12} - $$11\!\cdots\!00$$ p^{375} T^{13} + $$38\!\cdots\!00$$ p^{496} T^{14} - $$21\!\cdots\!00$$ p^{618} T^{15} + $$13\!\cdots\!05$$ p^{740} T^{16} - $$13\!\cdots\!00$$ p^{863} T^{17} + $$30\!\cdots\!50$$ p^{984} T^{18} - $$17\!\cdots\!00$$ p^{1107} T^{19} + p^{1230} T^{20} $
	53	$ 1 - $$98\!\cdots\!00$$ T + $$89\!\cdots\!50$$ p T^{2} - $$23\!\cdots\!00$$ p^{2} T^{3} + $$88\!\cdots\!85$$ p^{3} T^{4} - $$20\!\cdots\!00$$ p^{4} T^{5} + $$65\!\cdots\!00$$ p^{5} T^{6} - $$23\!\cdots\!00$$ p^{7} T^{7} + $$12\!\cdots\!70$$ p^{9} T^{8} - $$43\!\cdots\!00$$ p^{11} T^{9} + $$20\!\cdots\!00$$ p^{13} T^{10} - $$43\!\cdots\!00$$ p^{134} T^{11} + $$12\!\cdots\!70$$ p^{255} T^{12} - $$23\!\cdots\!00$$ p^{376} T^{13} + $$65\!\cdots\!00$$ p^{497} T^{14} - $$20\!\cdots\!00$$ p^{619} T^{15} + $$88\!\cdots\!85$$ p^{741} T^{16} - $$23\!\cdots\!00$$ p^{863} T^{17} + $$89\!\cdots\!50$$ p^{985} T^{18} - $$98\!\cdots\!00$$ p^{1107} T^{19} + p^{1230} T^{20} $
	59	$ 1 + $$87\!\cdots\!00$$ p T + $$10\!\cdots\!90$$ p^{2} T^{2} + $$95\!\cdots\!00$$ p^{3} T^{3} + $$59\!\cdots\!45$$ p^{4} T^{4} + $$50\!\cdots\!00$$ p^{5} T^{5} + $$38\!\cdots\!20$$ p^{7} T^{6} + $$51\!\cdots\!00$$ p^{9} T^{7} + $$31\!\cdots\!90$$ p^{11} T^{8} + $$37\!\cdots\!00$$ p^{13} T^{9} + $$19\!\cdots\!52$$ p^{15} T^{10} + $$37\!\cdots\!00$$ p^{136} T^{11} + $$31\!\cdots\!90$$ p^{257} T^{12} + $$51\!\cdots\!00$$ p^{378} T^{13} + $$38\!\cdots\!20$$ p^{499} T^{14} + $$50\!\cdots\!00$$ p^{620} T^{15} + $$59\!\cdots\!45$$ p^{742} T^{16} + $$95\!\cdots\!00$$ p^{864} T^{17} + $$10\!\cdots\!90$$ p^{986} T^{18} + $$87\!\cdots\!00$$ p^{1108} T^{19} + p^{1230} T^{20} $
	61	$ 1 + $$16\!\cdots\!80$$ p T + $$77\!\cdots\!90$$ p^{2} T^{2} + $$10\!\cdots\!60$$ p^{3} T^{3} + $$28\!\cdots\!45$$ p^{4} T^{4} + $$32\!\cdots\!96$$ p^{5} T^{5} + $$65\!\cdots\!60$$ p^{6} T^{6} + $$64\!\cdots\!80$$ p^{7} T^{7} + $$10\!\cdots\!70$$ p^{8} T^{8} + $$92\!\cdots\!40$$ p^{9} T^{9} + $$13\!\cdots\!56$$ p^{10} T^{10} + $$92\!\cdots\!40$$ p^{132} T^{11} + $$10\!\cdots\!70$$ p^{254} T^{12} + $$64\!\cdots\!80$$ p^{376} T^{13} + $$65\!\cdots\!60$$ p^{498} T^{14} + $$32\!\cdots\!96$$ p^{620} T^{15} + $$28\!\cdots\!45$$ p^{742} T^{16} + $$10\!\cdots\!60$$ p^{864} T^{17} + $$77\!\cdots\!90$$ p^{986} T^{18} + $$16\!\cdots\!80$$ p^{1108} T^{19} + p^{1230} T^{20} $
	67	$ 1 - $$39\!\cdots\!00$$ T + $$34\!\cdots\!50$$ T^{2} - $$11\!\cdots\!00$$ T^{3} + $$56\!\cdots\!45$$ T^{4} - $$23\!\cdots\!00$$ p T^{5} + $$12\!\cdots\!00$$ p^{2} T^{6} - $$44\!\cdots\!00$$ p^{3} T^{7} + $$18\!\cdots\!10$$ p^{4} T^{8} - $$57\!\cdots\!00$$ p^{5} T^{9} + $$20\!\cdots\!00$$ p^{6} T^{10} - $$57\!\cdots\!00$$ p^{128} T^{11} + $$18\!\cdots\!10$$ p^{250} T^{12} - $$44\!\cdots\!00$$ p^{372} T^{13} + $$12\!\cdots\!00$$ p^{494} T^{14} - $$23\!\cdots\!00$$ p^{616} T^{15} + $$56\!\cdots\!45$$ p^{738} T^{16} - $$11\!\cdots\!00$$ p^{861} T^{17} + $$34\!\cdots\!50$$ p^{984} T^{18} - $$39\!\cdots\!00$$ p^{1107} T^{19} + p^{1230} T^{20} $
	71	$ 1 + $$14\!\cdots\!80$$ T + $$39\!\cdots\!90$$ T^{2} + $$46\!\cdots\!60$$ T^{3} + $$71\!\cdots\!45$$ T^{4} + $$95\!\cdots\!76$$ p T^{5} + $$15\!\cdots\!60$$ p^{2} T^{6} + $$17\!\cdots\!80$$ p^{3} T^{7} + $$24\!\cdots\!70$$ p^{4} T^{8} + $$23\!\cdots\!40$$ p^{5} T^{9} + $$27\!\cdots\!36$$ p^{6} T^{10} + $$23\!\cdots\!40$$ p^{128} T^{11} + $$24\!\cdots\!70$$ p^{250} T^{12} + $$17\!\cdots\!80$$ p^{372} T^{13} + $$15\!\cdots\!60$$ p^{494} T^{14} + $$95\!\cdots\!76$$ p^{616} T^{15} + $$71\!\cdots\!45$$ p^{738} T^{16} + $$46\!\cdots\!60$$ p^{861} T^{17} + $$39\!\cdots\!90$$ p^{984} T^{18} + $$14\!\cdots\!80$$ p^{1107} T^{19} + p^{1230} T^{20} $
	73	$ 1 - $$21\!\cdots\!00$$ T + $$10\!\cdots\!50$$ T^{2} - $$25\!\cdots\!00$$ T^{3} + $$55\!\cdots\!45$$ T^{4} - $$17\!\cdots\!00$$ p T^{5} + $$35\!\cdots\!00$$ p^{2} T^{6} - $$10\!\cdots\!00$$ p^{3} T^{7} + $$15\!\cdots\!10$$ p^{4} T^{8} - $$43\!\cdots\!00$$ p^{5} T^{9} + $$53\!\cdots\!00$$ p^{6} T^{10} - $$43\!\cdots\!00$$ p^{128} T^{11} + $$15\!\cdots\!10$$ p^{250} T^{12} - $$10\!\cdots\!00$$ p^{372} T^{13} + $$35\!\cdots\!00$$ p^{494} T^{14} - $$17\!\cdots\!00$$ p^{616} T^{15} + $$55\!\cdots\!45$$ p^{738} T^{16} - $$25\!\cdots\!00$$ p^{861} T^{17} + $$10\!\cdots\!50$$ p^{984} T^{18} - $$21\!\cdots\!00$$ p^{1107} T^{19} + p^{1230} T^{20} $
	79	$ 1 - $$79\!\cdots\!00$$ T + $$16\!\cdots\!90$$ T^{2} - $$11\!\cdots\!00$$ T^{3} + $$16\!\cdots\!55$$ p T^{4} - $$11\!\cdots\!00$$ p^{2} T^{5} + $$13\!\cdots\!20$$ p^{3} T^{6} - $$82\!\cdots\!00$$ p^{4} T^{7} + $$77\!\cdots\!90$$ p^{5} T^{8} - $$42\!\cdots\!00$$ p^{6} T^{9} + $$45\!\cdots\!68$$ p^{8} T^{10} - $$42\!\cdots\!00$$ p^{129} T^{11} + $$77\!\cdots\!90$$ p^{251} T^{12} - $$82\!\cdots\!00$$ p^{373} T^{13} + $$13\!\cdots\!20$$ p^{495} T^{14} - $$11\!\cdots\!00$$ p^{617} T^{15} + $$16\!\cdots\!55$$ p^{739} T^{16} - $$11\!\cdots\!00$$ p^{861} T^{17} + $$16\!\cdots\!90$$ p^{984} T^{18} - $$79\!\cdots\!00$$ p^{1107} T^{19} + p^{1230} T^{20} $
	83	$ 1 - $$25\!\cdots\!00$$ T + $$10\!\cdots\!50$$ T^{2} - $$21\!\cdots\!00$$ T^{3} + $$63\!\cdots\!15$$ p T^{4} - $$11\!\cdots\!00$$ p^{2} T^{5} + $$25\!\cdots\!00$$ p^{3} T^{6} - $$40\!\cdots\!00$$ p^{4} T^{7} + $$70\!\cdots\!70$$ p^{5} T^{8} - $$92\!\cdots\!00$$ p^{6} T^{9} + $$13\!\cdots\!00$$ p^{7} T^{10} - $$92\!\cdots\!00$$ p^{129} T^{11} + $$70\!\cdots\!70$$ p^{251} T^{12} - $$40\!\cdots\!00$$ p^{373} T^{13} + $$25\!\cdots\!00$$ p^{495} T^{14} - $$11\!\cdots\!00$$ p^{617} T^{15} + $$63\!\cdots\!15$$ p^{739} T^{16} - $$21\!\cdots\!00$$ p^{861} T^{17} + $$10\!\cdots\!50$$ p^{984} T^{18} - $$25\!\cdots\!00$$ p^{1107} T^{19} + p^{1230} T^{20} $
	89	$ 1 - $$14\!\cdots\!00$$ T + $$30\!\cdots\!90$$ T^{2} - $$40\!\cdots\!00$$ T^{3} + $$60\!\cdots\!05$$ p T^{4} - $$78\!\cdots\!00$$ p^{2} T^{5} + $$92\!\cdots\!20$$ p^{3} T^{6} - $$10\!\cdots\!00$$ p^{4} T^{7} + $$10\!\cdots\!90$$ p^{5} T^{8} - $$10\!\cdots\!00$$ p^{6} T^{9} + $$90\!\cdots\!12$$ p^{7} T^{10} - $$10\!\cdots\!00$$ p^{129} T^{11} + $$10\!\cdots\!90$$ p^{251} T^{12} - $$10\!\cdots\!00$$ p^{373} T^{13} + $$92\!\cdots\!20$$ p^{495} T^{14} - $$78\!\cdots\!00$$ p^{617} T^{15} + $$60\!\cdots\!05$$ p^{739} T^{16} - $$40\!\cdots\!00$$ p^{861} T^{17} + $$30\!\cdots\!90$$ p^{984} T^{18} - $$14\!\cdots\!00$$ p^{1107} T^{19} + p^{1230} T^{20} $
	97	$ 1 - $$15\!\cdots\!00$$ T + $$85\!\cdots\!50$$ T^{2} - $$16\!\cdots\!00$$ p T^{3} + $$45\!\cdots\!05$$ p^{2} T^{4} - $$86\!\cdots\!00$$ p^{3} T^{5} + $$18\!\cdots\!00$$ p^{4} T^{6} - $$31\!\cdots\!00$$ p^{5} T^{7} + $$62\!\cdots\!90$$ p^{6} T^{8} - $$95\!\cdots\!00$$ p^{7} T^{9} + $$16\!\cdots\!00$$ p^{8} T^{10} - $$95\!\cdots\!00$$ p^{130} T^{11} + $$62\!\cdots\!90$$ p^{252} T^{12} - $$31\!\cdots\!00$$ p^{374} T^{13} + $$18\!\cdots\!00$$ p^{496} T^{14} - $$86\!\cdots\!00$$ p^{618} T^{15} + $$45\!\cdots\!05$$ p^{740} T^{16} - $$16\!\cdots\!00$$ p^{862} T^{17} + $$85\!\cdots\!50$$ p^{984} T^{18} - $$15\!\cdots\!00$$ p^{1107} T^{19} + p^{1230} T^{20} $
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$L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{20} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}$

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−3.41163438908971921320288218823, −3.35396501599866560819956972278, −3.35082466068756628458043957915, −3.18350616118608101374486682061, −2.75709493847348251333491655227, −2.71212792918267050983723314463, −2.62761259719608712359574318274, −2.47964953247030964190744890002, −2.27359824150941237667937627751, −2.18758970086827677848956539183, −2.05996054156733412136733808247, −1.88936278664046827968676652517, −1.87776249789926123512925351803, −1.43178416755699381070385352359, −1.40682781344571314179243847597, −1.37802706940567308644698138791, −1.24237823812398586002638859057, −0.897347732890851809812421280352, −0.78627351932960170150896407996, −0.52661381397703575839138679374, −0.52393524992424443509180332017, −0.39906114676884876786877319926, −0.39607521241551971218488887288, −0.37958861836758352226613872682, −0.30675764478338878148400228484, 0.30675764478338878148400228484, 0.37958861836758352226613872682, 0.39607521241551971218488887288, 0.39906114676884876786877319926, 0.52393524992424443509180332017, 0.52661381397703575839138679374, 0.78627351932960170150896407996, 0.897347732890851809812421280352, 1.24237823812398586002638859057, 1.37802706940567308644698138791, 1.40682781344571314179243847597, 1.43178416755699381070385352359, 1.87776249789926123512925351803, 1.88936278664046827968676652517, 2.05996054156733412136733808247, 2.18758970086827677848956539183, 2.27359824150941237667937627751, 2.47964953247030964190744890002, 2.62761259719608712359574318274, 2.71212792918267050983723314463, 2.75709493847348251333491655227, 3.18350616118608101374486682061, 3.35082466068756628458043957915, 3.35396501599866560819956972278, 3.41163438908971921320288218823

Graph of the $Z$-function along the critical line

Plot not available for L-functions of degree greater than 10.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

\(L(62)\)	\(\approx\)	\(39.21881903\)
\(L(\frac12)\)	\(\approx\)	\(39.21881903\)
\(L(\frac{125}{2})\)		not available
\(L(1)\)		not available

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Origins

Origins of factors

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