LMFDB - L-function 20-1-1.1-c119e10-0-0

Dirichlet series

L(s) = 1

+ 9.19e17·2^-s − 9.57e27·3^-s − 7.63e35·4^-s + 6.06e41·5^-s − 8.80e45·6^-s − 2.19e50·7^-s − 1.35e54·8^-s − 2.03e57·9^-s + 5.57e59·10^-s + 1.01e62·11^-s + 7.30e63·12^-s − 1.18e66·13^-s − 2.01e68·14^-s − 5.80e69·15^-s − 4.15e71·16^-s − 7.86e72·17^-s − 1.86e75·18^-s + 6.93e75·19^-s − 4.62e77·20^-s + 2.09e78·21^-s + 9.35e79·22^-s + 2.89e81·23^-s + 1.29e82·24^-s − 3.49e83·25^-s − 1.09e84·26^-s + 6.46e84·27^-s + 1.67e86·28^-s + ⋯

L(s) = 1

+ 1.12·2^-s − 0.391·3^-s − 1.14·4^-s + 1.56·5^-s − 0.441·6^-s − 1.14·7^-s − 2.49·8^-s − 3.39·9^-s + 1.76·10^-s + 1.10·11^-s + 0.449·12^-s − 0.622·13^-s − 1.28·14^-s − 0.611·15^-s − 0.941·16^-s − 0.483·17^-s − 3.82·18^-s + 0.568·19^-s − 1.79·20^-s + 0.446·21^-s + 1.25·22^-s + 2.75·23^-s + 0.977·24^-s − 2.32·25^-s − 0.702·26^-s + 0.440·27^-s + 1.31·28^-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\Gamma_{\C}(s)^{10} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(120-s)\end{aligned}\]

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\Gamma_{\C}(s+59.5)^{10} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]

Invariants

Degree:	$20$
Conductor:	$1$
Sign:	$1$
Analytic conductor:	$3.36390\times 10^{19}$
Root analytic conductor:	$9.46983$
Motivic weight:	$119$
Rational:	yes
Arithmetic:	yes
Character:	Trivial
Primitive:	no
Self-dual:	yes
Analytic rank:	$0$
Selberg data:	$(20,\ 1,\ (\ :[119/2]^{10}),\ 1)$

Particular Values

$L(60)$	$\approx$	$3.354923560$
$L(\frac12)$	$\approx$	$3.354923560$
$L(\frac{121}{2})$		not available
$L(1)$		not available

Euler product

$L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} $

	$p$	$F_p(T)$
good	2	$ 1 - 114991590325721175 p^{3} T + $$15\!\cdots\!75$$ p^{10} T^{2} - $$39\!\cdots\!25$$ p^{21} T^{3} + $$84\!\cdots\!35$$ p^{37} T^{4} - $$12\!\cdots\!75$$ p^{58} T^{5} + $$11\!\cdots\!75$$ p^{82} T^{6} + $$10\!\cdots\!75$$ p^{109} T^{7} + $$59\!\cdots\!45$$ p^{139} T^{8} + $$52\!\cdots\!75$$ p^{172} T^{9} - $$29\!\cdots\!75$$ p^{211} T^{10} + $$52\!\cdots\!75$$ p^{291} T^{11} + $$59\!\cdots\!45$$ p^{377} T^{12} + $$10\!\cdots\!75$$ p^{466} T^{13} + $$11\!\cdots\!75$$ p^{558} T^{14} - $$12\!\cdots\!75$$ p^{653} T^{15} + $$84\!\cdots\!35$$ p^{751} T^{16} - $$39\!\cdots\!25$$ p^{854} T^{17} + $$15\!\cdots\!75$$ p^{962} T^{18} - 114991590325721175 p^{1074} T^{19} + p^{1190} T^{20} $
	3	$ 1 + $$10\!\cdots\!00$$ p^{2} T + $$97\!\cdots\!50$$ p^{7} T^{2} + $$77\!\cdots\!00$$ p^{16} T^{3} + $$32\!\cdots\!35$$ p^{27} T^{4} + $$13\!\cdots\!00$$ p^{41} T^{5} + $$16\!\cdots\!00$$ p^{59} T^{6} + $$92\!\cdots\!00$$ p^{79} T^{7} + $$12\!\cdots\!30$$ p^{103} T^{8} + $$31\!\cdots\!00$$ p^{130} T^{9} + $$15\!\cdots\!00$$ p^{159} T^{10} + $$31\!\cdots\!00$$ p^{249} T^{11} + $$12\!\cdots\!30$$ p^{341} T^{12} + $$92\!\cdots\!00$$ p^{436} T^{13} + $$16\!\cdots\!00$$ p^{535} T^{14} + $$13\!\cdots\!00$$ p^{636} T^{15} + $$32\!\cdots\!35$$ p^{741} T^{16} + $$77\!\cdots\!00$$ p^{849} T^{17} + $$97\!\cdots\!50$$ p^{959} T^{18} + $$10\!\cdots\!00$$ p^{1073} T^{19} + p^{1190} T^{20} $
	5	$ 1 - $$12\!\cdots\!68$$ p T + $$45\!\cdots\!46$$ p^{6} T^{2} - $$16\!\cdots\!32$$ p^{12} T^{3} + $$59\!\cdots\!41$$ p^{21} T^{4} - $$28\!\cdots\!04$$ p^{31} T^{5} + $$41\!\cdots\!72$$ p^{39} T^{6} - $$70\!\cdots\!64$$ p^{51} T^{7} + $$28\!\cdots\!98$$ p^{64} T^{8} - $$28\!\cdots\!76$$ p^{82} T^{9} + $$65\!\cdots\!16$$ p^{101} T^{10} - $$28\!\cdots\!76$$ p^{201} T^{11} + $$28\!\cdots\!98$$ p^{302} T^{12} - $$70\!\cdots\!64$$ p^{408} T^{13} + $$41\!\cdots\!72$$ p^{515} T^{14} - $$28\!\cdots\!04$$ p^{626} T^{15} + $$59\!\cdots\!41$$ p^{735} T^{16} - $$16\!\cdots\!32$$ p^{845} T^{17} + $$45\!\cdots\!46$$ p^{958} T^{18} - $$12\!\cdots\!68$$ p^{1072} T^{19} + p^{1190} T^{20} $
	7	$ 1 + $$31\!\cdots\!00$$ p T + $$60\!\cdots\!50$$ p^{3} T^{2} + $$26\!\cdots\!00$$ p^{6} T^{3} + $$12\!\cdots\!45$$ p^{12} T^{4} + $$99\!\cdots\!00$$ p^{19} T^{5} + $$98\!\cdots\!00$$ p^{27} T^{6} - $$43\!\cdots\!00$$ p^{38} T^{7} + $$35\!\cdots\!90$$ p^{50} T^{8} - $$39\!\cdots\!00$$ p^{63} T^{9} - $$18\!\cdots\!00$$ p^{77} T^{10} - $$39\!\cdots\!00$$ p^{182} T^{11} + $$35\!\cdots\!90$$ p^{288} T^{12} - $$43\!\cdots\!00$$ p^{395} T^{13} + $$98\!\cdots\!00$$ p^{503} T^{14} + $$99\!\cdots\!00$$ p^{614} T^{15} + $$12\!\cdots\!45$$ p^{726} T^{16} + $$26\!\cdots\!00$$ p^{839} T^{17} + $$60\!\cdots\!50$$ p^{955} T^{18} + $$31\!\cdots\!00$$ p^{1072} T^{19} + p^{1190} T^{20} $
	11	$ 1 - $$84\!\cdots\!20$$ p^{2} T + $$19\!\cdots\!90$$ p^{5} T^{2} - $$82\!\cdots\!40$$ p^{10} T^{3} + $$13\!\cdots\!95$$ p^{13} T^{4} - $$49\!\cdots\!24$$ p^{17} T^{5} + $$73\!\cdots\!60$$ p^{21} T^{6} - $$24\!\cdots\!20$$ p^{26} T^{7} + $$27\!\cdots\!70$$ p^{32} T^{8} - $$61\!\cdots\!60$$ p^{41} T^{9} + $$46\!\cdots\!56$$ p^{50} T^{10} - $$61\!\cdots\!60$$ p^{160} T^{11} + $$27\!\cdots\!70$$ p^{270} T^{12} - $$24\!\cdots\!20$$ p^{383} T^{13} + $$73\!\cdots\!60$$ p^{497} T^{14} - $$49\!\cdots\!24$$ p^{612} T^{15} + $$13\!\cdots\!95$$ p^{727} T^{16} - $$82\!\cdots\!40$$ p^{843} T^{17} + $$19\!\cdots\!90$$ p^{957} T^{18} - $$84\!\cdots\!20$$ p^{1073} T^{19} + p^{1190} T^{20} $
	13	$ 1 + $$11\!\cdots\!00$$ T + $$20\!\cdots\!50$$ p T^{2} + $$12\!\cdots\!00$$ p^{3} T^{3} + $$72\!\cdots\!05$$ p^{6} T^{4} + $$23\!\cdots\!00$$ p^{10} T^{5} + $$55\!\cdots\!00$$ p^{15} T^{6} + $$12\!\cdots\!00$$ p^{20} T^{7} + $$22\!\cdots\!70$$ p^{25} T^{8} + $$33\!\cdots\!00$$ p^{31} T^{9} + $$31\!\cdots\!00$$ p^{38} T^{10} + $$33\!\cdots\!00$$ p^{150} T^{11} + $$22\!\cdots\!70$$ p^{263} T^{12} + $$12\!\cdots\!00$$ p^{377} T^{13} + $$55\!\cdots\!00$$ p^{491} T^{14} + $$23\!\cdots\!00$$ p^{605} T^{15} + $$72\!\cdots\!05$$ p^{720} T^{16} + $$12\!\cdots\!00$$ p^{836} T^{17} + $$20\!\cdots\!50$$ p^{953} T^{18} + $$11\!\cdots\!00$$ p^{1071} T^{19} + p^{1190} T^{20} $
	17	$ 1 + $$46\!\cdots\!00$$ p T + $$57\!\cdots\!50$$ p^{2} T^{2} + $$12\!\cdots\!00$$ p^{4} T^{3} + $$33\!\cdots\!65$$ p^{7} T^{4} + $$33\!\cdots\!00$$ p^{10} T^{5} + $$44\!\cdots\!00$$ p^{14} T^{6} + $$62\!\cdots\!00$$ p^{16} T^{7} + $$73\!\cdots\!10$$ p^{20} T^{8} + $$17\!\cdots\!00$$ p^{25} T^{9} + $$11\!\cdots\!00$$ p^{30} T^{10} + $$17\!\cdots\!00$$ p^{144} T^{11} + $$73\!\cdots\!10$$ p^{258} T^{12} + $$62\!\cdots\!00$$ p^{373} T^{13} + $$44\!\cdots\!00$$ p^{490} T^{14} + $$33\!\cdots\!00$$ p^{605} T^{15} + $$33\!\cdots\!65$$ p^{721} T^{16} + $$12\!\cdots\!00$$ p^{837} T^{17} + $$57\!\cdots\!50$$ p^{954} T^{18} + $$46\!\cdots\!00$$ p^{1072} T^{19} + p^{1190} T^{20} $
	19	$ 1 - $$69\!\cdots\!00$$ T + $$28\!\cdots\!10$$ p T^{2} - $$89\!\cdots\!00$$ p^{3} T^{3} + $$70\!\cdots\!55$$ p^{5} T^{4} - $$13\!\cdots\!00$$ p^{8} T^{5} + $$19\!\cdots\!80$$ p^{12} T^{6} - $$20\!\cdots\!00$$ p^{16} T^{7} + $$12\!\cdots\!90$$ p^{21} T^{8} - $$64\!\cdots\!00$$ p^{26} T^{9} + $$32\!\cdots\!92$$ p^{31} T^{10} - $$64\!\cdots\!00$$ p^{145} T^{11} + $$12\!\cdots\!90$$ p^{259} T^{12} - $$20\!\cdots\!00$$ p^{373} T^{13} + $$19\!\cdots\!80$$ p^{488} T^{14} - $$13\!\cdots\!00$$ p^{603} T^{15} + $$70\!\cdots\!55$$ p^{719} T^{16} - $$89\!\cdots\!00$$ p^{836} T^{17} + $$28\!\cdots\!10$$ p^{953} T^{18} - $$69\!\cdots\!00$$ p^{1071} T^{19} + p^{1190} T^{20} $
	23	$ 1 - $$12\!\cdots\!00$$ p T + $$17\!\cdots\!50$$ p^{2} T^{2} - $$60\!\cdots\!00$$ p^{4} T^{3} + $$23\!\cdots\!05$$ p^{6} T^{4} - $$27\!\cdots\!00$$ p^{9} T^{5} + $$36\!\cdots\!00$$ p^{12} T^{6} - $$16\!\cdots\!00$$ p^{16} T^{7} + $$78\!\cdots\!10$$ p^{20} T^{8} - $$30\!\cdots\!00$$ p^{24} T^{9} + $$12\!\cdots\!00$$ p^{28} T^{10} - $$30\!\cdots\!00$$ p^{143} T^{11} + $$78\!\cdots\!10$$ p^{258} T^{12} - $$16\!\cdots\!00$$ p^{373} T^{13} + $$36\!\cdots\!00$$ p^{488} T^{14} - $$27\!\cdots\!00$$ p^{604} T^{15} + $$23\!\cdots\!05$$ p^{720} T^{16} - $$60\!\cdots\!00$$ p^{837} T^{17} + $$17\!\cdots\!50$$ p^{954} T^{18} - $$12\!\cdots\!00$$ p^{1072} T^{19} + p^{1190} T^{20} $
	29	$ 1 + $$82\!\cdots\!00$$ p T + $$91\!\cdots\!90$$ p^{2} T^{2} + $$39\!\cdots\!00$$ p^{3} T^{3} + $$13\!\cdots\!05$$ p^{5} T^{4} + $$99\!\cdots\!00$$ p^{7} T^{5} + $$15\!\cdots\!80$$ p^{10} T^{6} + $$16\!\cdots\!00$$ p^{13} T^{7} + $$44\!\cdots\!10$$ p^{16} T^{8} + $$20\!\cdots\!00$$ p^{19} T^{9} + $$92\!\cdots\!28$$ p^{22} T^{10} + $$20\!\cdots\!00$$ p^{138} T^{11} + $$44\!\cdots\!10$$ p^{254} T^{12} + $$16\!\cdots\!00$$ p^{370} T^{13} + $$15\!\cdots\!80$$ p^{486} T^{14} + $$99\!\cdots\!00$$ p^{602} T^{15} + $$13\!\cdots\!05$$ p^{719} T^{16} + $$39\!\cdots\!00$$ p^{836} T^{17} + $$91\!\cdots\!90$$ p^{954} T^{18} + $$82\!\cdots\!00$$ p^{1072} T^{19} + p^{1190} T^{20} $
	31	$ 1 - $$16\!\cdots\!20$$ T + $$23\!\cdots\!90$$ T^{2} - $$72\!\cdots\!40$$ p T^{3} + $$21\!\cdots\!45$$ p^{2} T^{4} - $$51\!\cdots\!44$$ p^{3} T^{5} + $$40\!\cdots\!60$$ p^{5} T^{6} - $$27\!\cdots\!20$$ p^{7} T^{7} + $$59\!\cdots\!70$$ p^{10} T^{8} - $$11\!\cdots\!60$$ p^{13} T^{9} + $$22\!\cdots\!76$$ p^{16} T^{10} - $$11\!\cdots\!60$$ p^{132} T^{11} + $$59\!\cdots\!70$$ p^{248} T^{12} - $$27\!\cdots\!20$$ p^{364} T^{13} + $$40\!\cdots\!60$$ p^{481} T^{14} - $$51\!\cdots\!44$$ p^{598} T^{15} + $$21\!\cdots\!45$$ p^{716} T^{16} - $$72\!\cdots\!40$$ p^{834} T^{17} + $$23\!\cdots\!90$$ p^{952} T^{18} - $$16\!\cdots\!20$$ p^{1071} T^{19} + p^{1190} T^{20} $
	37	$ 1 + $$29\!\cdots\!00$$ T + $$74\!\cdots\!50$$ p T^{2} + $$58\!\cdots\!00$$ p^{2} T^{3} + $$75\!\cdots\!65$$ p^{3} T^{4} + $$14\!\cdots\!00$$ p^{5} T^{5} + $$36\!\cdots\!00$$ p^{7} T^{6} + $$65\!\cdots\!00$$ p^{9} T^{7} + $$33\!\cdots\!10$$ p^{12} T^{8} + $$14\!\cdots\!00$$ p^{15} T^{9} + $$62\!\cdots\!00$$ p^{18} T^{10} + $$14\!\cdots\!00$$ p^{134} T^{11} + $$33\!\cdots\!10$$ p^{250} T^{12} + $$65\!\cdots\!00$$ p^{366} T^{13} + $$36\!\cdots\!00$$ p^{483} T^{14} + $$14\!\cdots\!00$$ p^{600} T^{15} + $$75\!\cdots\!65$$ p^{717} T^{16} + $$58\!\cdots\!00$$ p^{835} T^{17} + $$74\!\cdots\!50$$ p^{953} T^{18} + $$29\!\cdots\!00$$ p^{1071} T^{19} + p^{1190} T^{20} $
	41	$ 1 - $$25\!\cdots\!20$$ T + $$84\!\cdots\!90$$ T^{2} - $$14\!\cdots\!40$$ T^{3} + $$69\!\cdots\!45$$ p T^{4} - $$21\!\cdots\!84$$ p^{2} T^{5} + $$77\!\cdots\!60$$ p^{3} T^{6} - $$49\!\cdots\!20$$ p^{5} T^{7} + $$35\!\cdots\!70$$ p^{7} T^{8} - $$19\!\cdots\!60$$ p^{9} T^{9} + $$11\!\cdots\!16$$ p^{11} T^{10} - $$19\!\cdots\!60$$ p^{128} T^{11} + $$35\!\cdots\!70$$ p^{245} T^{12} - $$49\!\cdots\!20$$ p^{362} T^{13} + $$77\!\cdots\!60$$ p^{479} T^{14} - $$21\!\cdots\!84$$ p^{597} T^{15} + $$69\!\cdots\!45$$ p^{715} T^{16} - $$14\!\cdots\!40$$ p^{833} T^{17} + $$84\!\cdots\!90$$ p^{952} T^{18} - $$25\!\cdots\!20$$ p^{1071} T^{19} + p^{1190} T^{20} $
	43	$ 1 - $$30\!\cdots\!00$$ T + $$79\!\cdots\!50$$ T^{2} + $$36\!\cdots\!00$$ T^{3} + $$73\!\cdots\!15$$ p T^{4} + $$12\!\cdots\!00$$ p^{2} T^{5} + $$14\!\cdots\!00$$ p^{3} T^{6} + $$39\!\cdots\!00$$ p^{5} T^{7} + $$13\!\cdots\!30$$ p^{7} T^{8} + $$34\!\cdots\!00$$ p^{9} T^{9} + $$92\!\cdots\!00$$ p^{11} T^{10} + $$34\!\cdots\!00$$ p^{128} T^{11} + $$13\!\cdots\!30$$ p^{245} T^{12} + $$39\!\cdots\!00$$ p^{362} T^{13} + $$14\!\cdots\!00$$ p^{479} T^{14} + $$12\!\cdots\!00$$ p^{597} T^{15} + $$73\!\cdots\!15$$ p^{715} T^{16} + $$36\!\cdots\!00$$ p^{833} T^{17} + $$79\!\cdots\!50$$ p^{952} T^{18} - $$30\!\cdots\!00$$ p^{1071} T^{19} + p^{1190} T^{20} $
	47	$ 1 + $$19\!\cdots\!00$$ T + $$41\!\cdots\!50$$ T^{2} + $$12\!\cdots\!00$$ p T^{3} + $$41\!\cdots\!05$$ p^{2} T^{4} + $$95\!\cdots\!00$$ p^{3} T^{5} + $$63\!\cdots\!00$$ p^{5} T^{6} + $$24\!\cdots\!00$$ p^{7} T^{7} + $$16\!\cdots\!30$$ p^{9} T^{8} + $$51\!\cdots\!00$$ p^{11} T^{9} + $$34\!\cdots\!00$$ p^{13} T^{10} + $$51\!\cdots\!00$$ p^{130} T^{11} + $$16\!\cdots\!30$$ p^{247} T^{12} + $$24\!\cdots\!00$$ p^{364} T^{13} + $$63\!\cdots\!00$$ p^{481} T^{14} + $$95\!\cdots\!00$$ p^{598} T^{15} + $$41\!\cdots\!05$$ p^{716} T^{16} + $$12\!\cdots\!00$$ p^{834} T^{17} + $$41\!\cdots\!50$$ p^{952} T^{18} + $$19\!\cdots\!00$$ p^{1071} T^{19} + p^{1190} T^{20} $
	53	$ 1 + $$20\!\cdots\!00$$ T + $$18\!\cdots\!50$$ p T^{2} + $$64\!\cdots\!00$$ p^{2} T^{3} + $$31\!\cdots\!85$$ p^{3} T^{4} + $$99\!\cdots\!00$$ p^{4} T^{5} + $$65\!\cdots\!00$$ p^{6} T^{6} + $$35\!\cdots\!00$$ p^{8} T^{7} + $$18\!\cdots\!90$$ p^{10} T^{8} + $$90\!\cdots\!00$$ p^{12} T^{9} + $$41\!\cdots\!00$$ p^{14} T^{10} + $$90\!\cdots\!00$$ p^{131} T^{11} + $$18\!\cdots\!90$$ p^{248} T^{12} + $$35\!\cdots\!00$$ p^{365} T^{13} + $$65\!\cdots\!00$$ p^{482} T^{14} + $$99\!\cdots\!00$$ p^{599} T^{15} + $$31\!\cdots\!85$$ p^{717} T^{16} + $$64\!\cdots\!00$$ p^{835} T^{17} + $$18\!\cdots\!50$$ p^{953} T^{18} + $$20\!\cdots\!00$$ p^{1071} T^{19} + p^{1190} T^{20} $
	59	$ 1 - $$55\!\cdots\!00$$ p T + $$12\!\cdots\!90$$ p^{2} T^{2} - $$57\!\cdots\!00$$ p^{3} T^{3} + $$69\!\cdots\!45$$ p^{4} T^{4} - $$27\!\cdots\!00$$ p^{5} T^{5} + $$24\!\cdots\!80$$ p^{6} T^{6} - $$85\!\cdots\!00$$ p^{7} T^{7} + $$59\!\cdots\!10$$ p^{8} T^{8} - $$18\!\cdots\!00$$ p^{9} T^{9} + $$10\!\cdots\!48$$ p^{10} T^{10} - $$18\!\cdots\!00$$ p^{128} T^{11} + $$59\!\cdots\!10$$ p^{246} T^{12} - $$85\!\cdots\!00$$ p^{364} T^{13} + $$24\!\cdots\!80$$ p^{482} T^{14} - $$27\!\cdots\!00$$ p^{600} T^{15} + $$69\!\cdots\!45$$ p^{718} T^{16} - $$57\!\cdots\!00$$ p^{836} T^{17} + $$12\!\cdots\!90$$ p^{954} T^{18} - $$55\!\cdots\!00$$ p^{1072} T^{19} + p^{1190} T^{20} $
	61	$ 1 - $$48\!\cdots\!20$$ T + $$16\!\cdots\!90$$ T^{2} - $$37\!\cdots\!40$$ T^{3} + $$13\!\cdots\!45$$ T^{4} + $$88\!\cdots\!96$$ T^{5} + $$11\!\cdots\!60$$ p T^{6} + $$36\!\cdots\!80$$ p^{2} T^{7} + $$11\!\cdots\!70$$ p^{3} T^{8} + $$56\!\cdots\!40$$ p^{4} T^{9} + $$10\!\cdots\!56$$ p^{5} T^{10} + $$56\!\cdots\!40$$ p^{123} T^{11} + $$11\!\cdots\!70$$ p^{241} T^{12} + $$36\!\cdots\!80$$ p^{359} T^{13} + $$11\!\cdots\!60$$ p^{477} T^{14} + $$88\!\cdots\!96$$ p^{595} T^{15} + $$13\!\cdots\!45$$ p^{714} T^{16} - $$37\!\cdots\!40$$ p^{833} T^{17} + $$16\!\cdots\!90$$ p^{952} T^{18} - $$48\!\cdots\!20$$ p^{1071} T^{19} + p^{1190} T^{20} $
	67	$ 1 + $$14\!\cdots\!00$$ T + $$20\!\cdots\!50$$ T^{2} + $$19\!\cdots\!00$$ T^{3} + $$16\!\cdots\!45$$ T^{4} + $$18\!\cdots\!00$$ p T^{5} + $$18\!\cdots\!00$$ p^{2} T^{6} + $$16\!\cdots\!00$$ p^{3} T^{7} + $$13\!\cdots\!10$$ p^{4} T^{8} + $$99\!\cdots\!00$$ p^{5} T^{9} + $$70\!\cdots\!00$$ p^{6} T^{10} + $$99\!\cdots\!00$$ p^{124} T^{11} + $$13\!\cdots\!10$$ p^{242} T^{12} + $$16\!\cdots\!00$$ p^{360} T^{13} + $$18\!\cdots\!00$$ p^{478} T^{14} + $$18\!\cdots\!00$$ p^{596} T^{15} + $$16\!\cdots\!45$$ p^{714} T^{16} + $$19\!\cdots\!00$$ p^{833} T^{17} + $$20\!\cdots\!50$$ p^{952} T^{18} + $$14\!\cdots\!00$$ p^{1071} T^{19} + p^{1190} T^{20} $
	71	$ 1 - $$16\!\cdots\!20$$ T + $$11\!\cdots\!90$$ T^{2} - $$17\!\cdots\!40$$ T^{3} + $$92\!\cdots\!95$$ p T^{4} - $$17\!\cdots\!44$$ p^{2} T^{5} + $$68\!\cdots\!60$$ p^{3} T^{6} - $$11\!\cdots\!20$$ p^{4} T^{7} + $$37\!\cdots\!70$$ p^{5} T^{8} - $$75\!\cdots\!60$$ p^{7} T^{9} + $$16\!\cdots\!16$$ p^{7} T^{10} - $$75\!\cdots\!60$$ p^{126} T^{11} + $$37\!\cdots\!70$$ p^{243} T^{12} - $$11\!\cdots\!20$$ p^{361} T^{13} + $$68\!\cdots\!60$$ p^{479} T^{14} - $$17\!\cdots\!44$$ p^{597} T^{15} + $$92\!\cdots\!95$$ p^{715} T^{16} - $$17\!\cdots\!40$$ p^{833} T^{17} + $$11\!\cdots\!90$$ p^{952} T^{18} - $$16\!\cdots\!20$$ p^{1071} T^{19} + p^{1190} T^{20} $
	73	$ 1 - $$12\!\cdots\!00$$ T + $$32\!\cdots\!50$$ T^{2} - $$30\!\cdots\!00$$ T^{3} + $$41\!\cdots\!45$$ T^{4} - $$43\!\cdots\!00$$ p T^{5} + $$51\!\cdots\!00$$ p^{2} T^{6} - $$45\!\cdots\!00$$ p^{3} T^{7} + $$32\!\cdots\!10$$ p^{4} T^{8} - $$32\!\cdots\!00$$ p^{5} T^{9} + $$17\!\cdots\!00$$ p^{6} T^{10} - $$32\!\cdots\!00$$ p^{124} T^{11} + $$32\!\cdots\!10$$ p^{242} T^{12} - $$45\!\cdots\!00$$ p^{360} T^{13} + $$51\!\cdots\!00$$ p^{478} T^{14} - $$43\!\cdots\!00$$ p^{596} T^{15} + $$41\!\cdots\!45$$ p^{714} T^{16} - $$30\!\cdots\!00$$ p^{833} T^{17} + $$32\!\cdots\!50$$ p^{952} T^{18} - $$12\!\cdots\!00$$ p^{1071} T^{19} + p^{1190} T^{20} $
	79	$ 1 - $$15\!\cdots\!00$$ T + $$51\!\cdots\!90$$ T^{2} - $$61\!\cdots\!00$$ T^{3} + $$15\!\cdots\!55$$ p T^{4} - $$18\!\cdots\!00$$ p^{2} T^{5} + $$34\!\cdots\!20$$ p^{3} T^{6} - $$36\!\cdots\!00$$ p^{4} T^{7} + $$56\!\cdots\!90$$ p^{5} T^{8} - $$51\!\cdots\!00$$ p^{6} T^{9} + $$68\!\cdots\!72$$ p^{7} T^{10} - $$51\!\cdots\!00$$ p^{125} T^{11} + $$56\!\cdots\!90$$ p^{243} T^{12} - $$36\!\cdots\!00$$ p^{361} T^{13} + $$34\!\cdots\!20$$ p^{479} T^{14} - $$18\!\cdots\!00$$ p^{597} T^{15} + $$15\!\cdots\!55$$ p^{715} T^{16} - $$61\!\cdots\!00$$ p^{833} T^{17} + $$51\!\cdots\!90$$ p^{952} T^{18} - $$15\!\cdots\!00$$ p^{1071} T^{19} + p^{1190} T^{20} $
	83	$ 1 + $$12\!\cdots\!00$$ T + $$95\!\cdots\!50$$ T^{2} + $$21\!\cdots\!00$$ p T^{3} + $$85\!\cdots\!05$$ p^{2} T^{4} + $$18\!\cdots\!00$$ p^{3} T^{5} + $$57\!\cdots\!00$$ p^{4} T^{6} + $$11\!\cdots\!00$$ p^{5} T^{7} + $$28\!\cdots\!90$$ p^{6} T^{8} + $$50\!\cdots\!00$$ p^{7} T^{9} + $$11\!\cdots\!00$$ p^{8} T^{10} + $$50\!\cdots\!00$$ p^{126} T^{11} + $$28\!\cdots\!90$$ p^{244} T^{12} + $$11\!\cdots\!00$$ p^{362} T^{13} + $$57\!\cdots\!00$$ p^{480} T^{14} + $$18\!\cdots\!00$$ p^{598} T^{15} + $$85\!\cdots\!05$$ p^{716} T^{16} + $$21\!\cdots\!00$$ p^{834} T^{17} + $$95\!\cdots\!50$$ p^{952} T^{18} + $$12\!\cdots\!00$$ p^{1071} T^{19} + p^{1190} T^{20} $
	89	$ 1 - $$41\!\cdots\!00$$ T + $$13\!\cdots\!90$$ T^{2} - $$33\!\cdots\!00$$ p T^{3} + $$66\!\cdots\!45$$ p^{2} T^{4} - $$98\!\cdots\!00$$ p^{3} T^{5} + $$11\!\cdots\!80$$ p^{4} T^{6} - $$96\!\cdots\!00$$ p^{5} T^{7} + $$48\!\cdots\!10$$ p^{6} T^{8} + $$25\!\cdots\!00$$ p^{7} T^{9} - $$50\!\cdots\!92$$ p^{8} T^{10} + $$25\!\cdots\!00$$ p^{126} T^{11} + $$48\!\cdots\!10$$ p^{244} T^{12} - $$96\!\cdots\!00$$ p^{362} T^{13} + $$11\!\cdots\!80$$ p^{480} T^{14} - $$98\!\cdots\!00$$ p^{598} T^{15} + $$66\!\cdots\!45$$ p^{716} T^{16} - $$33\!\cdots\!00$$ p^{834} T^{17} + $$13\!\cdots\!90$$ p^{952} T^{18} - $$41\!\cdots\!00$$ p^{1071} T^{19} + p^{1190} T^{20} $
	97	$ 1 - $$10\!\cdots\!00$$ T + $$70\!\cdots\!50$$ T^{2} - $$33\!\cdots\!00$$ p T^{3} + $$13\!\cdots\!05$$ p^{2} T^{4} - $$42\!\cdots\!00$$ p^{3} T^{5} + $$12\!\cdots\!00$$ p^{4} T^{6} - $$29\!\cdots\!00$$ p^{5} T^{7} + $$64\!\cdots\!90$$ p^{6} T^{8} - $$12\!\cdots\!00$$ p^{7} T^{9} + $$22\!\cdots\!00$$ p^{8} T^{10} - $$12\!\cdots\!00$$ p^{126} T^{11} + $$64\!\cdots\!90$$ p^{244} T^{12} - $$29\!\cdots\!00$$ p^{362} T^{13} + $$12\!\cdots\!00$$ p^{480} T^{14} - $$42\!\cdots\!00$$ p^{598} T^{15} + $$13\!\cdots\!05$$ p^{716} T^{16} - $$33\!\cdots\!00$$ p^{834} T^{17} + $$70\!\cdots\!50$$ p^{952} T^{18} - $$10\!\cdots\!00$$ p^{1071} T^{19} + p^{1190} T^{20} $
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$L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{20} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}$

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−3.38572922448917849404268298822, −3.34895732356849513357337867446, −3.06863066010358053735098631304, −3.05567600893094380525609195812, −2.96210493329842226584665086333, −2.92425327545714489339894377393, −2.46997845919852923617020704405, −2.44547480187913927181163726675, −2.43259362262540323949526678027, −2.30072654806638291515999167999, −2.03382139355381883389135344256, −2.00134576064234203094420233975, −1.86262580588554411701300335351, −1.60087951802738100997925846912, −1.57707085079325700884343370531, −1.29468016248445498616990665543, −1.05128684642358547612669205954, −0.884824480064061485300634012867, −0.868840083626963404525161336414, −0.868711638829783313400975511870, −0.45451799362246062581743690918, −0.42399222610035565811023874292, −0.27782477505548868347914023758, −0.24585296323749857235798513371, −0.14217934626788677509244965417, 0.14217934626788677509244965417, 0.24585296323749857235798513371, 0.27782477505548868347914023758, 0.42399222610035565811023874292, 0.45451799362246062581743690918, 0.868711638829783313400975511870, 0.868840083626963404525161336414, 0.884824480064061485300634012867, 1.05128684642358547612669205954, 1.29468016248445498616990665543, 1.57707085079325700884343370531, 1.60087951802738100997925846912, 1.86262580588554411701300335351, 2.00134576064234203094420233975, 2.03382139355381883389135344256, 2.30072654806638291515999167999, 2.43259362262540323949526678027, 2.44547480187913927181163726675, 2.46997845919852923617020704405, 2.92425327545714489339894377393, 2.96210493329842226584665086333, 3.05567600893094380525609195812, 3.06863066010358053735098631304, 3.34895732356849513357337867446, 3.38572922448917849404268298822

Graph of the $Z$-function along the critical line

Plot not available for L-functions of degree greater than 10.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

\(L(60)\)	\(\approx\)	\(3.354923560\)
\(L(\frac12)\)	\(\approx\)	\(3.354923560\)
\(L(\frac{121}{2})\)		not available
\(L(1)\)		not available

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Origins

Origins of factors

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