Dirichlet series
| L(s) = 1 | − 1.16e17·2-s + 3.44e26·3-s − 1.27e35·4-s − 9.41e39·5-s − 4.00e43·6-s + 1.82e48·7-s + 1.69e52·8-s − 2.01e55·9-s + 1.09e57·10-s − 4.45e59·11-s − 4.40e61·12-s + 1.91e64·13-s − 2.11e65·14-s − 3.24e66·15-s + 6.41e69·16-s + 3.34e70·17-s + 2.34e72·18-s + 5.63e73·19-s + 1.20e75·20-s + 6.28e74·21-s + 5.17e76·22-s + 5.04e78·23-s + 5.83e78·24-s − 9.78e80·25-s − 2.22e81·26-s − 9.63e81·27-s − 2.33e83·28-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | − 0.570·2-s + 0.126·3-s − 3.07·4-s − 0.606·5-s − 0.0722·6-s + 0.465·7-s + 1.99·8-s − 2.72·9-s + 0.345·10-s − 0.587·11-s − 0.390·12-s + 1.69·13-s − 0.265·14-s − 0.0769·15-s + 3.71·16-s + 0.593·17-s + 1.55·18-s + 1.66·19-s + 1.86·20-s + 0.0589·21-s + 0.334·22-s + 2.53·23-s + 0.253·24-s − 4.06·25-s − 0.967·26-s − 0.479·27-s − 1.43·28-s + ⋯ |
Functional equation
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\Gamma_{\C}(s)^{9} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(116-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\Gamma_{\C}(s+57.5)^{9} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Invariants
| Degree: | \(18\) |
| Conductor: | \(1\) |
| Sign: | $1$ |
| Analytic conductor: | \(2.02713\times 10^{17}\) |
| Root analytic conductor: | \(9.15152\) |
| Motivic weight: | \(115\) |
| Rational: | yes |
| Arithmetic: | yes |
| Character: | Trivial |
| Primitive: | no |
| Self-dual: | yes |
| Analytic rank: | \(0\) |
| Selberg data: | \((18,\ 1,\ (\ :[115/2]^{9}),\ 1)\) |
Particular Values
| \(L(58)\) | \(\approx\) | \(0.02125914545\) |
| \(L(\frac12)\) | \(\approx\) | \(0.02125914545\) |
| \(L(\frac{117}{2})\) | not available | |
| \(L(1)\) | not available |
Euler product
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $F_p(T)$ | |
|---|---|---|
| good | 2 | \( 1 + 14522596261181943 p^{3} T + \)\(17\!\cdots\!29\)\( p^{13} T^{2} + \)\(68\!\cdots\!25\)\( p^{21} T^{3} + \)\(82\!\cdots\!93\)\( p^{37} T^{4} + \)\(70\!\cdots\!67\)\( p^{57} T^{5} + \)\(33\!\cdots\!33\)\( p^{84} T^{6} + \)\(35\!\cdots\!25\)\( p^{107} T^{7} + \)\(18\!\cdots\!23\)\( p^{137} T^{8} + \)\(45\!\cdots\!09\)\( p^{172} T^{9} + \)\(18\!\cdots\!23\)\( p^{252} T^{10} + \)\(35\!\cdots\!25\)\( p^{337} T^{11} + \)\(33\!\cdots\!33\)\( p^{429} T^{12} + \)\(70\!\cdots\!67\)\( p^{517} T^{13} + \)\(82\!\cdots\!93\)\( p^{612} T^{14} + \)\(68\!\cdots\!25\)\( p^{711} T^{15} + \)\(17\!\cdots\!29\)\( p^{818} T^{16} + 14522596261181943 p^{923} T^{17} + p^{1035} T^{18} \) |
| 3 | \( 1 - \)\(12\!\cdots\!96\)\( p^{3} T + \)\(34\!\cdots\!43\)\( p^{10} T^{2} - \)\(37\!\cdots\!00\)\( p^{19} T^{3} + \)\(31\!\cdots\!68\)\( p^{31} T^{4} - \)\(10\!\cdots\!36\)\( p^{47} T^{5} + \)\(15\!\cdots\!04\)\( p^{65} T^{6} + \)\(23\!\cdots\!00\)\( p^{87} T^{7} + \)\(50\!\cdots\!66\)\( p^{112} T^{8} + \)\(59\!\cdots\!44\)\( p^{139} T^{9} + \)\(50\!\cdots\!66\)\( p^{227} T^{10} + \)\(23\!\cdots\!00\)\( p^{317} T^{11} + \)\(15\!\cdots\!04\)\( p^{410} T^{12} - \)\(10\!\cdots\!36\)\( p^{507} T^{13} + \)\(31\!\cdots\!68\)\( p^{606} T^{14} - \)\(37\!\cdots\!00\)\( p^{709} T^{15} + \)\(34\!\cdots\!43\)\( p^{815} T^{16} - \)\(12\!\cdots\!96\)\( p^{923} T^{17} + p^{1035} T^{18} \) | |
| 5 | \( 1 + \)\(18\!\cdots\!78\)\( p T + \)\(68\!\cdots\!13\)\( p^{6} T^{2} + \)\(58\!\cdots\!36\)\( p^{12} T^{3} + \)\(34\!\cdots\!76\)\( p^{19} T^{4} + \)\(11\!\cdots\!12\)\( p^{27} T^{5} + \)\(19\!\cdots\!68\)\( p^{36} T^{6} + \)\(37\!\cdots\!36\)\( p^{50} T^{7} + \)\(32\!\cdots\!54\)\( p^{65} T^{8} + \)\(45\!\cdots\!96\)\( p^{82} T^{9} + \)\(32\!\cdots\!54\)\( p^{180} T^{10} + \)\(37\!\cdots\!36\)\( p^{280} T^{11} + \)\(19\!\cdots\!68\)\( p^{381} T^{12} + \)\(11\!\cdots\!12\)\( p^{487} T^{13} + \)\(34\!\cdots\!76\)\( p^{594} T^{14} + \)\(58\!\cdots\!36\)\( p^{702} T^{15} + \)\(68\!\cdots\!13\)\( p^{811} T^{16} + \)\(18\!\cdots\!78\)\( p^{921} T^{17} + p^{1035} T^{18} \) | |
| 7 | \( 1 - \)\(37\!\cdots\!44\)\( p^{2} T + \)\(43\!\cdots\!49\)\( p^{5} T^{2} - \)\(67\!\cdots\!00\)\( p^{10} T^{3} + \)\(12\!\cdots\!28\)\( p^{17} T^{4} - \)\(60\!\cdots\!68\)\( p^{25} T^{5} + \)\(21\!\cdots\!96\)\( p^{35} T^{6} - \)\(28\!\cdots\!00\)\( p^{46} T^{7} + \)\(22\!\cdots\!42\)\( p^{59} T^{8} - \)\(78\!\cdots\!48\)\( p^{73} T^{9} + \)\(22\!\cdots\!42\)\( p^{174} T^{10} - \)\(28\!\cdots\!00\)\( p^{276} T^{11} + \)\(21\!\cdots\!96\)\( p^{380} T^{12} - \)\(60\!\cdots\!68\)\( p^{485} T^{13} + \)\(12\!\cdots\!28\)\( p^{592} T^{14} - \)\(67\!\cdots\!00\)\( p^{700} T^{15} + \)\(43\!\cdots\!49\)\( p^{810} T^{16} - \)\(37\!\cdots\!44\)\( p^{922} T^{17} + p^{1035} T^{18} \) | |
| 11 | \( 1 + \)\(36\!\cdots\!92\)\( p^{2} T + \)\(21\!\cdots\!83\)\( p^{4} T^{2} + \)\(69\!\cdots\!44\)\( p^{6} T^{3} + \)\(22\!\cdots\!60\)\( p^{8} T^{4} + \)\(47\!\cdots\!72\)\( p^{13} T^{5} + \)\(80\!\cdots\!04\)\( p^{19} T^{6} + \)\(11\!\cdots\!16\)\( p^{26} T^{7} + \)\(15\!\cdots\!18\)\( p^{33} T^{8} + \)\(18\!\cdots\!80\)\( p^{41} T^{9} + \)\(15\!\cdots\!18\)\( p^{148} T^{10} + \)\(11\!\cdots\!16\)\( p^{256} T^{11} + \)\(80\!\cdots\!04\)\( p^{364} T^{12} + \)\(47\!\cdots\!72\)\( p^{473} T^{13} + \)\(22\!\cdots\!60\)\( p^{583} T^{14} + \)\(69\!\cdots\!44\)\( p^{696} T^{15} + \)\(21\!\cdots\!83\)\( p^{809} T^{16} + \)\(36\!\cdots\!92\)\( p^{922} T^{17} + p^{1035} T^{18} \) | |
| 13 | \( 1 - \)\(14\!\cdots\!34\)\( p T + \)\(33\!\cdots\!81\)\( p^{3} T^{2} - \)\(16\!\cdots\!00\)\( p^{6} T^{3} + \)\(16\!\cdots\!52\)\( p^{9} T^{4} - \)\(28\!\cdots\!72\)\( p^{12} T^{5} + \)\(23\!\cdots\!92\)\( p^{16} T^{6} + \)\(73\!\cdots\!00\)\( p^{21} T^{7} - \)\(27\!\cdots\!14\)\( p^{28} T^{8} + \)\(35\!\cdots\!28\)\( p^{36} T^{9} - \)\(27\!\cdots\!14\)\( p^{143} T^{10} + \)\(73\!\cdots\!00\)\( p^{251} T^{11} + \)\(23\!\cdots\!92\)\( p^{361} T^{12} - \)\(28\!\cdots\!72\)\( p^{472} T^{13} + \)\(16\!\cdots\!52\)\( p^{584} T^{14} - \)\(16\!\cdots\!00\)\( p^{696} T^{15} + \)\(33\!\cdots\!81\)\( p^{808} T^{16} - \)\(14\!\cdots\!34\)\( p^{921} T^{17} + p^{1035} T^{18} \) | |
| 17 | \( 1 - \)\(19\!\cdots\!18\)\( p T + \)\(43\!\cdots\!37\)\( p^{2} T^{2} - \)\(44\!\cdots\!00\)\( p^{3} T^{3} + \)\(88\!\cdots\!76\)\( p^{4} T^{4} - \)\(70\!\cdots\!12\)\( p^{7} T^{5} + \)\(89\!\cdots\!16\)\( p^{11} T^{6} + \)\(86\!\cdots\!00\)\( p^{15} T^{7} + \)\(25\!\cdots\!06\)\( p^{20} T^{8} + \)\(14\!\cdots\!56\)\( p^{26} T^{9} + \)\(25\!\cdots\!06\)\( p^{135} T^{10} + \)\(86\!\cdots\!00\)\( p^{245} T^{11} + \)\(89\!\cdots\!16\)\( p^{356} T^{12} - \)\(70\!\cdots\!12\)\( p^{467} T^{13} + \)\(88\!\cdots\!76\)\( p^{579} T^{14} - \)\(44\!\cdots\!00\)\( p^{693} T^{15} + \)\(43\!\cdots\!37\)\( p^{807} T^{16} - \)\(19\!\cdots\!18\)\( p^{921} T^{17} + p^{1035} T^{18} \) | |
| 19 | \( 1 - \)\(29\!\cdots\!00\)\( p T + \)\(81\!\cdots\!49\)\( p^{3} T^{2} - \)\(10\!\cdots\!00\)\( p^{5} T^{3} + \)\(92\!\cdots\!96\)\( p^{8} T^{4} - \)\(51\!\cdots\!00\)\( p^{11} T^{5} + \)\(37\!\cdots\!96\)\( p^{14} T^{6} - \)\(18\!\cdots\!00\)\( p^{17} T^{7} + \)\(61\!\cdots\!54\)\( p^{21} T^{8} - \)\(14\!\cdots\!00\)\( p^{25} T^{9} + \)\(61\!\cdots\!54\)\( p^{136} T^{10} - \)\(18\!\cdots\!00\)\( p^{247} T^{11} + \)\(37\!\cdots\!96\)\( p^{359} T^{12} - \)\(51\!\cdots\!00\)\( p^{471} T^{13} + \)\(92\!\cdots\!96\)\( p^{583} T^{14} - \)\(10\!\cdots\!00\)\( p^{695} T^{15} + \)\(81\!\cdots\!49\)\( p^{808} T^{16} - \)\(29\!\cdots\!00\)\( p^{921} T^{17} + p^{1035} T^{18} \) | |
| 23 | \( 1 - \)\(21\!\cdots\!04\)\( p T + \)\(43\!\cdots\!83\)\( p^{2} T^{2} - \)\(27\!\cdots\!00\)\( p^{4} T^{3} + \)\(16\!\cdots\!64\)\( p^{6} T^{4} - \)\(35\!\cdots\!64\)\( p^{9} T^{5} + \)\(39\!\cdots\!28\)\( p^{10} T^{6} - \)\(17\!\cdots\!00\)\( p^{12} T^{7} + \)\(30\!\cdots\!58\)\( p^{15} T^{8} - \)\(51\!\cdots\!08\)\( p^{18} T^{9} + \)\(30\!\cdots\!58\)\( p^{130} T^{10} - \)\(17\!\cdots\!00\)\( p^{242} T^{11} + \)\(39\!\cdots\!28\)\( p^{355} T^{12} - \)\(35\!\cdots\!64\)\( p^{469} T^{13} + \)\(16\!\cdots\!64\)\( p^{581} T^{14} - \)\(27\!\cdots\!00\)\( p^{694} T^{15} + \)\(43\!\cdots\!83\)\( p^{807} T^{16} - \)\(21\!\cdots\!04\)\( p^{921} T^{17} + p^{1035} T^{18} \) | |
| 29 | \( 1 - \)\(84\!\cdots\!50\)\( p T + \)\(94\!\cdots\!01\)\( p^{2} T^{2} - \)\(48\!\cdots\!00\)\( p^{3} T^{3} + \)\(31\!\cdots\!56\)\( p^{4} T^{4} - \)\(11\!\cdots\!00\)\( p^{5} T^{5} + \)\(63\!\cdots\!96\)\( p^{6} T^{6} - \)\(17\!\cdots\!00\)\( p^{7} T^{7} + \)\(12\!\cdots\!26\)\( p^{10} T^{8} - \)\(40\!\cdots\!00\)\( p^{13} T^{9} + \)\(12\!\cdots\!26\)\( p^{125} T^{10} - \)\(17\!\cdots\!00\)\( p^{237} T^{11} + \)\(63\!\cdots\!96\)\( p^{351} T^{12} - \)\(11\!\cdots\!00\)\( p^{465} T^{13} + \)\(31\!\cdots\!56\)\( p^{579} T^{14} - \)\(48\!\cdots\!00\)\( p^{693} T^{15} + \)\(94\!\cdots\!01\)\( p^{807} T^{16} - \)\(84\!\cdots\!50\)\( p^{921} T^{17} + p^{1035} T^{18} \) | |
| 31 | \( 1 + \)\(11\!\cdots\!32\)\( T + \)\(51\!\cdots\!13\)\( p T^{2} + \)\(88\!\cdots\!44\)\( p^{2} T^{3} + \)\(19\!\cdots\!60\)\( p^{3} T^{4} + \)\(72\!\cdots\!32\)\( p^{5} T^{5} + \)\(11\!\cdots\!24\)\( p^{7} T^{6} - \)\(84\!\cdots\!24\)\( p^{10} T^{7} + \)\(47\!\cdots\!38\)\( p^{13} T^{8} - \)\(22\!\cdots\!20\)\( p^{16} T^{9} + \)\(47\!\cdots\!38\)\( p^{128} T^{10} - \)\(84\!\cdots\!24\)\( p^{240} T^{11} + \)\(11\!\cdots\!24\)\( p^{352} T^{12} + \)\(72\!\cdots\!32\)\( p^{465} T^{13} + \)\(19\!\cdots\!60\)\( p^{578} T^{14} + \)\(88\!\cdots\!44\)\( p^{692} T^{15} + \)\(51\!\cdots\!13\)\( p^{806} T^{16} + \)\(11\!\cdots\!32\)\( p^{920} T^{17} + p^{1035} T^{18} \) | |
| 37 | \( 1 - \)\(77\!\cdots\!38\)\( p T + \)\(12\!\cdots\!97\)\( p^{2} T^{2} - \)\(11\!\cdots\!00\)\( p^{3} T^{3} + \)\(18\!\cdots\!28\)\( p^{5} T^{4} - \)\(51\!\cdots\!72\)\( p^{7} T^{5} + \)\(44\!\cdots\!64\)\( p^{9} T^{6} - \)\(34\!\cdots\!00\)\( p^{12} T^{7} + \)\(54\!\cdots\!42\)\( p^{15} T^{8} - \)\(37\!\cdots\!84\)\( p^{18} T^{9} + \)\(54\!\cdots\!42\)\( p^{130} T^{10} - \)\(34\!\cdots\!00\)\( p^{242} T^{11} + \)\(44\!\cdots\!64\)\( p^{354} T^{12} - \)\(51\!\cdots\!72\)\( p^{467} T^{13} + \)\(18\!\cdots\!28\)\( p^{580} T^{14} - \)\(11\!\cdots\!00\)\( p^{693} T^{15} + \)\(12\!\cdots\!97\)\( p^{807} T^{16} - \)\(77\!\cdots\!38\)\( p^{921} T^{17} + p^{1035} T^{18} \) | |
| 41 | \( 1 - \)\(10\!\cdots\!98\)\( p T + \)\(83\!\cdots\!53\)\( T^{2} - \)\(41\!\cdots\!16\)\( T^{3} + \)\(94\!\cdots\!60\)\( p T^{4} - \)\(11\!\cdots\!28\)\( p^{2} T^{5} + \)\(18\!\cdots\!84\)\( p^{3} T^{6} - \)\(51\!\cdots\!24\)\( p^{5} T^{7} + \)\(17\!\cdots\!18\)\( p^{7} T^{8} - \)\(50\!\cdots\!20\)\( p^{9} T^{9} + \)\(17\!\cdots\!18\)\( p^{122} T^{10} - \)\(51\!\cdots\!24\)\( p^{235} T^{11} + \)\(18\!\cdots\!84\)\( p^{348} T^{12} - \)\(11\!\cdots\!28\)\( p^{462} T^{13} + \)\(94\!\cdots\!60\)\( p^{576} T^{14} - \)\(41\!\cdots\!16\)\( p^{690} T^{15} + \)\(83\!\cdots\!53\)\( p^{805} T^{16} - \)\(10\!\cdots\!98\)\( p^{921} T^{17} + p^{1035} T^{18} \) | |
| 43 | \( 1 - \)\(11\!\cdots\!92\)\( T + \)\(39\!\cdots\!07\)\( T^{2} - \)\(10\!\cdots\!00\)\( p T^{3} + \)\(42\!\cdots\!04\)\( p^{2} T^{4} - \)\(11\!\cdots\!76\)\( p^{3} T^{5} + \)\(71\!\cdots\!04\)\( p^{5} T^{6} - \)\(38\!\cdots\!00\)\( p^{7} T^{7} + \)\(20\!\cdots\!42\)\( p^{9} T^{8} - \)\(94\!\cdots\!36\)\( p^{11} T^{9} + \)\(20\!\cdots\!42\)\( p^{124} T^{10} - \)\(38\!\cdots\!00\)\( p^{237} T^{11} + \)\(71\!\cdots\!04\)\( p^{350} T^{12} - \)\(11\!\cdots\!76\)\( p^{463} T^{13} + \)\(42\!\cdots\!04\)\( p^{577} T^{14} - \)\(10\!\cdots\!00\)\( p^{691} T^{15} + \)\(39\!\cdots\!07\)\( p^{805} T^{16} - \)\(11\!\cdots\!92\)\( p^{920} T^{17} + p^{1035} T^{18} \) | |
| 47 | \( 1 + \)\(31\!\cdots\!44\)\( T + \)\(58\!\cdots\!43\)\( T^{2} + \)\(28\!\cdots\!00\)\( p T^{3} + \)\(97\!\cdots\!44\)\( p^{2} T^{4} - \)\(80\!\cdots\!12\)\( p^{3} T^{5} + \)\(26\!\cdots\!04\)\( p^{5} T^{6} - \)\(17\!\cdots\!00\)\( p^{7} T^{7} + \)\(12\!\cdots\!18\)\( p^{9} T^{8} - \)\(10\!\cdots\!12\)\( p^{11} T^{9} + \)\(12\!\cdots\!18\)\( p^{124} T^{10} - \)\(17\!\cdots\!00\)\( p^{237} T^{11} + \)\(26\!\cdots\!04\)\( p^{350} T^{12} - \)\(80\!\cdots\!12\)\( p^{463} T^{13} + \)\(97\!\cdots\!44\)\( p^{577} T^{14} + \)\(28\!\cdots\!00\)\( p^{691} T^{15} + \)\(58\!\cdots\!43\)\( p^{805} T^{16} + \)\(31\!\cdots\!44\)\( p^{920} T^{17} + p^{1035} T^{18} \) | |
| 53 | \( 1 - \)\(33\!\cdots\!42\)\( T + \)\(12\!\cdots\!69\)\( p T^{2} - \)\(26\!\cdots\!00\)\( p^{2} T^{3} + \)\(19\!\cdots\!48\)\( p^{3} T^{4} - \)\(40\!\cdots\!72\)\( p^{4} T^{5} + \)\(90\!\cdots\!56\)\( p^{7} T^{6} - \)\(15\!\cdots\!00\)\( p^{8} T^{7} + \)\(14\!\cdots\!94\)\( p^{10} T^{8} - \)\(49\!\cdots\!72\)\( p^{12} T^{9} + \)\(14\!\cdots\!94\)\( p^{125} T^{10} - \)\(15\!\cdots\!00\)\( p^{238} T^{11} + \)\(90\!\cdots\!56\)\( p^{352} T^{12} - \)\(40\!\cdots\!72\)\( p^{464} T^{13} + \)\(19\!\cdots\!48\)\( p^{578} T^{14} - \)\(26\!\cdots\!00\)\( p^{692} T^{15} + \)\(12\!\cdots\!69\)\( p^{806} T^{16} - \)\(33\!\cdots\!42\)\( p^{920} T^{17} + p^{1035} T^{18} \) | |
| 59 | \( 1 - \)\(26\!\cdots\!00\)\( T + \)\(16\!\cdots\!91\)\( T^{2} + \)\(11\!\cdots\!00\)\( T^{3} + \)\(13\!\cdots\!36\)\( T^{4} + \)\(31\!\cdots\!00\)\( p T^{5} + \)\(21\!\cdots\!36\)\( p^{2} T^{6} + \)\(74\!\cdots\!00\)\( p^{3} T^{7} + \)\(26\!\cdots\!66\)\( p^{4} T^{8} + \)\(11\!\cdots\!00\)\( p^{5} T^{9} + \)\(26\!\cdots\!66\)\( p^{119} T^{10} + \)\(74\!\cdots\!00\)\( p^{233} T^{11} + \)\(21\!\cdots\!36\)\( p^{347} T^{12} + \)\(31\!\cdots\!00\)\( p^{461} T^{13} + \)\(13\!\cdots\!36\)\( p^{575} T^{14} + \)\(11\!\cdots\!00\)\( p^{690} T^{15} + \)\(16\!\cdots\!91\)\( p^{805} T^{16} - \)\(26\!\cdots\!00\)\( p^{920} T^{17} + p^{1035} T^{18} \) | |
| 61 | \( 1 - \)\(46\!\cdots\!18\)\( T + \)\(11\!\cdots\!53\)\( T^{2} - \)\(56\!\cdots\!16\)\( T^{3} + \)\(67\!\cdots\!60\)\( T^{4} - \)\(67\!\cdots\!08\)\( p^{2} T^{5} + \)\(69\!\cdots\!84\)\( p^{2} T^{6} - \)\(30\!\cdots\!04\)\( p^{3} T^{7} + \)\(51\!\cdots\!38\)\( p^{4} T^{8} - \)\(17\!\cdots\!20\)\( p^{5} T^{9} + \)\(51\!\cdots\!38\)\( p^{119} T^{10} - \)\(30\!\cdots\!04\)\( p^{233} T^{11} + \)\(69\!\cdots\!84\)\( p^{347} T^{12} - \)\(67\!\cdots\!08\)\( p^{462} T^{13} + \)\(67\!\cdots\!60\)\( p^{575} T^{14} - \)\(56\!\cdots\!16\)\( p^{690} T^{15} + \)\(11\!\cdots\!53\)\( p^{805} T^{16} - \)\(46\!\cdots\!18\)\( p^{920} T^{17} + p^{1035} T^{18} \) | |
| 67 | \( 1 - \)\(52\!\cdots\!56\)\( T + \)\(67\!\cdots\!43\)\( T^{2} - \)\(43\!\cdots\!00\)\( T^{3} + \)\(31\!\cdots\!88\)\( p T^{4} - \)\(33\!\cdots\!84\)\( p^{2} T^{5} + \)\(14\!\cdots\!56\)\( p^{3} T^{6} - \)\(14\!\cdots\!00\)\( p^{4} T^{7} + \)\(44\!\cdots\!58\)\( p^{5} T^{8} - \)\(40\!\cdots\!44\)\( p^{6} T^{9} + \)\(44\!\cdots\!58\)\( p^{120} T^{10} - \)\(14\!\cdots\!00\)\( p^{234} T^{11} + \)\(14\!\cdots\!56\)\( p^{348} T^{12} - \)\(33\!\cdots\!84\)\( p^{462} T^{13} + \)\(31\!\cdots\!88\)\( p^{576} T^{14} - \)\(43\!\cdots\!00\)\( p^{690} T^{15} + \)\(67\!\cdots\!43\)\( p^{805} T^{16} - \)\(52\!\cdots\!56\)\( p^{920} T^{17} + p^{1035} T^{18} \) | |
| 71 | \( 1 - \)\(32\!\cdots\!68\)\( T + \)\(52\!\cdots\!03\)\( T^{2} - \)\(14\!\cdots\!16\)\( T^{3} + \)\(18\!\cdots\!60\)\( p T^{4} - \)\(64\!\cdots\!48\)\( p^{2} T^{5} + \)\(58\!\cdots\!24\)\( p^{3} T^{6} - \)\(17\!\cdots\!04\)\( p^{4} T^{7} + \)\(12\!\cdots\!58\)\( p^{5} T^{8} - \)\(33\!\cdots\!20\)\( p^{6} T^{9} + \)\(12\!\cdots\!58\)\( p^{120} T^{10} - \)\(17\!\cdots\!04\)\( p^{234} T^{11} + \)\(58\!\cdots\!24\)\( p^{348} T^{12} - \)\(64\!\cdots\!48\)\( p^{462} T^{13} + \)\(18\!\cdots\!60\)\( p^{576} T^{14} - \)\(14\!\cdots\!16\)\( p^{690} T^{15} + \)\(52\!\cdots\!03\)\( p^{805} T^{16} - \)\(32\!\cdots\!68\)\( p^{920} T^{17} + p^{1035} T^{18} \) | |
| 73 | \( 1 + \)\(11\!\cdots\!58\)\( T + \)\(10\!\cdots\!57\)\( T^{2} + \)\(10\!\cdots\!00\)\( T^{3} + \)\(77\!\cdots\!52\)\( p T^{4} + \)\(91\!\cdots\!92\)\( p^{2} T^{5} + \)\(51\!\cdots\!16\)\( p^{3} T^{6} + \)\(53\!\cdots\!00\)\( p^{4} T^{7} + \)\(24\!\cdots\!42\)\( p^{5} T^{8} + \)\(22\!\cdots\!32\)\( p^{6} T^{9} + \)\(24\!\cdots\!42\)\( p^{120} T^{10} + \)\(53\!\cdots\!00\)\( p^{234} T^{11} + \)\(51\!\cdots\!16\)\( p^{348} T^{12} + \)\(91\!\cdots\!92\)\( p^{462} T^{13} + \)\(77\!\cdots\!52\)\( p^{576} T^{14} + \)\(10\!\cdots\!00\)\( p^{690} T^{15} + \)\(10\!\cdots\!57\)\( p^{805} T^{16} + \)\(11\!\cdots\!58\)\( p^{920} T^{17} + p^{1035} T^{18} \) | |
| 79 | \( 1 + \)\(26\!\cdots\!00\)\( T + \)\(12\!\cdots\!29\)\( p T^{2} + \)\(24\!\cdots\!00\)\( p T^{3} + \)\(76\!\cdots\!96\)\( p^{2} T^{4} + \)\(13\!\cdots\!00\)\( p^{3} T^{5} + \)\(38\!\cdots\!36\)\( p^{4} T^{6} + \)\(51\!\cdots\!00\)\( p^{5} T^{7} + \)\(14\!\cdots\!06\)\( p^{6} T^{8} + \)\(15\!\cdots\!00\)\( p^{7} T^{9} + \)\(14\!\cdots\!06\)\( p^{121} T^{10} + \)\(51\!\cdots\!00\)\( p^{235} T^{11} + \)\(38\!\cdots\!36\)\( p^{349} T^{12} + \)\(13\!\cdots\!00\)\( p^{463} T^{13} + \)\(76\!\cdots\!96\)\( p^{577} T^{14} + \)\(24\!\cdots\!00\)\( p^{691} T^{15} + \)\(12\!\cdots\!29\)\( p^{806} T^{16} + \)\(26\!\cdots\!00\)\( p^{920} T^{17} + p^{1035} T^{18} \) | |
| 83 | \( 1 - \)\(97\!\cdots\!92\)\( T + \)\(80\!\cdots\!07\)\( T^{2} - \)\(52\!\cdots\!00\)\( p T^{3} + \)\(30\!\cdots\!64\)\( p^{2} T^{4} - \)\(14\!\cdots\!36\)\( p^{3} T^{5} + \)\(59\!\cdots\!32\)\( p^{4} T^{6} - \)\(21\!\cdots\!00\)\( p^{5} T^{7} + \)\(68\!\cdots\!74\)\( p^{6} T^{8} - \)\(19\!\cdots\!76\)\( p^{7} T^{9} + \)\(68\!\cdots\!74\)\( p^{121} T^{10} - \)\(21\!\cdots\!00\)\( p^{235} T^{11} + \)\(59\!\cdots\!32\)\( p^{349} T^{12} - \)\(14\!\cdots\!36\)\( p^{463} T^{13} + \)\(30\!\cdots\!64\)\( p^{577} T^{14} - \)\(52\!\cdots\!00\)\( p^{691} T^{15} + \)\(80\!\cdots\!07\)\( p^{805} T^{16} - \)\(97\!\cdots\!92\)\( p^{920} T^{17} + p^{1035} T^{18} \) | |
| 89 | \( 1 - \)\(59\!\cdots\!50\)\( T + \)\(23\!\cdots\!41\)\( T^{2} - \)\(75\!\cdots\!00\)\( p T^{3} + \)\(20\!\cdots\!16\)\( p^{2} T^{4} - \)\(47\!\cdots\!00\)\( p^{3} T^{5} + \)\(95\!\cdots\!76\)\( p^{4} T^{6} - \)\(17\!\cdots\!00\)\( p^{5} T^{7} + \)\(27\!\cdots\!66\)\( p^{6} T^{8} - \)\(40\!\cdots\!00\)\( p^{7} T^{9} + \)\(27\!\cdots\!66\)\( p^{121} T^{10} - \)\(17\!\cdots\!00\)\( p^{235} T^{11} + \)\(95\!\cdots\!76\)\( p^{349} T^{12} - \)\(47\!\cdots\!00\)\( p^{463} T^{13} + \)\(20\!\cdots\!16\)\( p^{577} T^{14} - \)\(75\!\cdots\!00\)\( p^{691} T^{15} + \)\(23\!\cdots\!41\)\( p^{805} T^{16} - \)\(59\!\cdots\!50\)\( p^{920} T^{17} + p^{1035} T^{18} \) | |
| 97 | \( 1 - \)\(25\!\cdots\!06\)\( T + \)\(19\!\cdots\!69\)\( p T^{2} - \)\(50\!\cdots\!00\)\( p^{2} T^{3} + \)\(19\!\cdots\!52\)\( p^{3} T^{4} - \)\(46\!\cdots\!96\)\( p^{4} T^{5} + \)\(13\!\cdots\!04\)\( p^{5} T^{6} - \)\(26\!\cdots\!00\)\( p^{6} T^{7} + \)\(60\!\cdots\!62\)\( p^{7} T^{8} - \)\(10\!\cdots\!76\)\( p^{8} T^{9} + \)\(60\!\cdots\!62\)\( p^{122} T^{10} - \)\(26\!\cdots\!00\)\( p^{236} T^{11} + \)\(13\!\cdots\!04\)\( p^{350} T^{12} - \)\(46\!\cdots\!96\)\( p^{464} T^{13} + \)\(19\!\cdots\!52\)\( p^{578} T^{14} - \)\(50\!\cdots\!00\)\( p^{692} T^{15} + \)\(19\!\cdots\!69\)\( p^{806} T^{16} - \)\(25\!\cdots\!06\)\( p^{920} T^{17} + p^{1035} T^{18} \) | |
| show more | ||
| show less | ||
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{18} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−3.85550493345373751944887055716, −3.83094583167164199151134465240, −3.65531772663177755828582839486, −3.46603929778179855779797174640, −3.38863784942102540666270583932, −3.15410569298235779071180274854, −2.86264795741953416769279116740, −2.73756399525181738047914681683, −2.63559626348029599304043051512, −2.54240494649296207219733630908, −2.51102197579375283496414286901, −2.01599754294066437223977071382, −1.79397585629356614004371647850, −1.78718175654514626265241952217, −1.68199423727782403193886958966, −1.31419440380015639161310318623, −1.20380489219517905284118935022, −1.09688694408566665696505383861, −0.957818787664903702988713135089, −0.804345963259416979162538242077, −0.50510221753417860837524768044, −0.44763320302028020221629368632, −0.38263494118340874215799949347, −0.23013599905862396893197469137, −0.02226870796881760494509571599, 0.02226870796881760494509571599, 0.23013599905862396893197469137, 0.38263494118340874215799949347, 0.44763320302028020221629368632, 0.50510221753417860837524768044, 0.804345963259416979162538242077, 0.957818787664903702988713135089, 1.09688694408566665696505383861, 1.20380489219517905284118935022, 1.31419440380015639161310318623, 1.68199423727782403193886958966, 1.78718175654514626265241952217, 1.79397585629356614004371647850, 2.01599754294066437223977071382, 2.51102197579375283496414286901, 2.54240494649296207219733630908, 2.63559626348029599304043051512, 2.73756399525181738047914681683, 2.86264795741953416769279116740, 3.15410569298235779071180274854, 3.38863784942102540666270583932, 3.46603929778179855779797174640, 3.65531772663177755828582839486, 3.83094583167164199151134465240, 3.85550493345373751944887055716
Graph of the $Z$-function along the critical line
Plot not available for L-functions of degree greater than 10.