Dirichlet series
| L(s) = 1 | + 7.30e15·2-s + 2.33e26·3-s − 6.14e33·4-s + 8.14e38·5-s + 1.70e42·6-s + 7.83e46·7-s + 5.93e49·8-s − 1.59e53·9-s + 5.94e54·10-s + 9.46e56·11-s − 1.43e60·12-s − 1.05e62·13-s + 5.72e62·14-s + 1.90e65·15-s + 1.94e67·16-s − 2.22e68·17-s − 1.16e69·18-s − 8.47e70·19-s − 5.00e72·20-s + 1.83e73·21-s + 6.91e72·22-s − 4.28e75·23-s + 1.38e76·24-s − 1.63e78·25-s − 7.73e77·26-s − 3.65e79·27-s − 4.81e80·28-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | + 0.143·2-s + 0.773·3-s − 2.36·4-s + 1.31·5-s + 0.110·6-s + 0.980·7-s + 0.448·8-s − 1.74·9-s + 0.187·10-s + 0.151·11-s − 1.83·12-s − 1.58·13-s + 0.140·14-s + 1.01·15-s + 2.89·16-s − 1.13·17-s − 0.249·18-s − 0.906·19-s − 3.10·20-s + 0.758·21-s + 0.0216·22-s − 1.13·23-s + 0.346·24-s − 4.23·25-s − 0.227·26-s − 1.32·27-s − 2.32·28-s + ⋯ |
Functional equation
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\Gamma_{\C}(s)^{9} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(112-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\Gamma_{\C}(s+55.5)^{9} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Invariants
| Degree: | \(18\) |
| Conductor: | \(1\) |
| Sign: | $1$ |
| Analytic conductor: | \(1.07186\times 10^{17}\) |
| Root analytic conductor: | \(8.83321\) |
| Motivic weight: | \(111\) |
| Rational: | yes |
| Arithmetic: | yes |
| Character: | Trivial |
| Primitive: | no |
| Self-dual: | yes |
| Analytic rank: | \(0\) |
| Selberg data: | \((18,\ 1,\ (\ :[111/2]^{9}),\ 1)\) |
Particular Values
| \(L(56)\) | \(\approx\) | \(0.0001821384488\) |
| \(L(\frac12)\) | \(\approx\) | \(0.0001821384488\) |
| \(L(\frac{113}{2})\) | not available | |
| \(L(1)\) | not available |
Euler product
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $F_p(T)$ | |
|---|---|---|
| good | 2 | \( 1 - 912562593059547 p^{3} T + \)\(60\!\cdots\!97\)\( p^{10} T^{2} - \)\(35\!\cdots\!45\)\( p^{22} T^{3} + \)\(14\!\cdots\!73\)\( p^{37} T^{4} - \)\(53\!\cdots\!03\)\( p^{57} T^{5} + \)\(49\!\cdots\!53\)\( p^{80} T^{6} - \)\(33\!\cdots\!15\)\( p^{106} T^{7} + \)\(47\!\cdots\!29\)\( p^{138} T^{8} - \)\(70\!\cdots\!63\)\( p^{173} T^{9} + \)\(47\!\cdots\!29\)\( p^{249} T^{10} - \)\(33\!\cdots\!15\)\( p^{328} T^{11} + \)\(49\!\cdots\!53\)\( p^{413} T^{12} - \)\(53\!\cdots\!03\)\( p^{501} T^{13} + \)\(14\!\cdots\!73\)\( p^{592} T^{14} - \)\(35\!\cdots\!45\)\( p^{688} T^{15} + \)\(60\!\cdots\!97\)\( p^{787} T^{16} - 912562593059547 p^{891} T^{17} + p^{999} T^{18} \) |
| 3 | \( 1 - \)\(86\!\cdots\!76\)\( p^{3} T + \)\(10\!\cdots\!29\)\( p^{9} T^{2} - \)\(13\!\cdots\!80\)\( p^{18} T^{3} + \)\(31\!\cdots\!32\)\( p^{29} T^{4} - \)\(25\!\cdots\!12\)\( p^{44} T^{5} + \)\(92\!\cdots\!56\)\( p^{63} T^{6} + \)\(25\!\cdots\!60\)\( p^{84} T^{7} - \)\(11\!\cdots\!34\)\( p^{108} T^{8} + \)\(21\!\cdots\!04\)\( p^{135} T^{9} - \)\(11\!\cdots\!34\)\( p^{219} T^{10} + \)\(25\!\cdots\!60\)\( p^{306} T^{11} + \)\(92\!\cdots\!56\)\( p^{396} T^{12} - \)\(25\!\cdots\!12\)\( p^{488} T^{13} + \)\(31\!\cdots\!32\)\( p^{584} T^{14} - \)\(13\!\cdots\!80\)\( p^{684} T^{15} + \)\(10\!\cdots\!29\)\( p^{786} T^{16} - \)\(86\!\cdots\!76\)\( p^{891} T^{17} + p^{999} T^{18} \) | |
| 5 | \( 1 - \)\(16\!\cdots\!66\)\( p T + \)\(14\!\cdots\!01\)\( p^{6} T^{2} - \)\(33\!\cdots\!12\)\( p^{11} T^{3} + \)\(16\!\cdots\!56\)\( p^{16} T^{4} - \)\(10\!\cdots\!76\)\( p^{26} T^{5} + \)\(25\!\cdots\!76\)\( p^{37} T^{6} - \)\(23\!\cdots\!08\)\( p^{51} T^{7} + \)\(72\!\cdots\!58\)\( p^{66} T^{8} - \)\(23\!\cdots\!88\)\( p^{82} T^{9} + \)\(72\!\cdots\!58\)\( p^{177} T^{10} - \)\(23\!\cdots\!08\)\( p^{273} T^{11} + \)\(25\!\cdots\!76\)\( p^{370} T^{12} - \)\(10\!\cdots\!76\)\( p^{470} T^{13} + \)\(16\!\cdots\!56\)\( p^{571} T^{14} - \)\(33\!\cdots\!12\)\( p^{677} T^{15} + \)\(14\!\cdots\!01\)\( p^{783} T^{16} - \)\(16\!\cdots\!66\)\( p^{889} T^{17} + p^{999} T^{18} \) | |
| 7 | \( 1 - \)\(11\!\cdots\!08\)\( p T + \)\(96\!\cdots\!43\)\( p^{4} T^{2} - \)\(38\!\cdots\!00\)\( p^{9} T^{3} + \)\(65\!\cdots\!72\)\( p^{15} T^{4} - \)\(45\!\cdots\!24\)\( p^{22} T^{5} + \)\(28\!\cdots\!28\)\( p^{32} T^{6} - \)\(74\!\cdots\!00\)\( p^{43} T^{7} + \)\(83\!\cdots\!42\)\( p^{55} T^{8} - \)\(40\!\cdots\!36\)\( p^{68} T^{9} + \)\(83\!\cdots\!42\)\( p^{166} T^{10} - \)\(74\!\cdots\!00\)\( p^{265} T^{11} + \)\(28\!\cdots\!28\)\( p^{365} T^{12} - \)\(45\!\cdots\!24\)\( p^{466} T^{13} + \)\(65\!\cdots\!72\)\( p^{570} T^{14} - \)\(38\!\cdots\!00\)\( p^{675} T^{15} + \)\(96\!\cdots\!43\)\( p^{781} T^{16} - \)\(11\!\cdots\!08\)\( p^{889} T^{17} + p^{999} T^{18} \) | |
| 11 | \( 1 - \)\(94\!\cdots\!08\)\( T + \)\(14\!\cdots\!23\)\( p^{2} T^{2} - \)\(44\!\cdots\!56\)\( p^{5} T^{3} + \)\(66\!\cdots\!60\)\( p^{9} T^{4} - \)\(25\!\cdots\!48\)\( p^{14} T^{5} + \)\(17\!\cdots\!24\)\( p^{19} T^{6} - \)\(57\!\cdots\!64\)\( p^{25} T^{7} + \)\(28\!\cdots\!18\)\( p^{32} T^{8} - \)\(60\!\cdots\!20\)\( p^{40} T^{9} + \)\(28\!\cdots\!18\)\( p^{143} T^{10} - \)\(57\!\cdots\!64\)\( p^{247} T^{11} + \)\(17\!\cdots\!24\)\( p^{352} T^{12} - \)\(25\!\cdots\!48\)\( p^{458} T^{13} + \)\(66\!\cdots\!60\)\( p^{564} T^{14} - \)\(44\!\cdots\!56\)\( p^{671} T^{15} + \)\(14\!\cdots\!23\)\( p^{779} T^{16} - \)\(94\!\cdots\!08\)\( p^{888} T^{17} + p^{999} T^{18} \) | |
| 13 | \( 1 + \)\(81\!\cdots\!26\)\( p T + \)\(15\!\cdots\!53\)\( p^{2} T^{2} + \)\(11\!\cdots\!80\)\( p^{3} T^{3} + \)\(74\!\cdots\!24\)\( p^{6} T^{4} + \)\(23\!\cdots\!12\)\( p^{10} T^{5} + \)\(61\!\cdots\!36\)\( p^{15} T^{6} + \)\(98\!\cdots\!40\)\( p^{21} T^{7} + \)\(12\!\cdots\!26\)\( p^{28} T^{8} + \)\(13\!\cdots\!44\)\( p^{35} T^{9} + \)\(12\!\cdots\!26\)\( p^{139} T^{10} + \)\(98\!\cdots\!40\)\( p^{243} T^{11} + \)\(61\!\cdots\!36\)\( p^{348} T^{12} + \)\(23\!\cdots\!12\)\( p^{454} T^{13} + \)\(74\!\cdots\!24\)\( p^{561} T^{14} + \)\(11\!\cdots\!80\)\( p^{669} T^{15} + \)\(15\!\cdots\!53\)\( p^{779} T^{16} + \)\(81\!\cdots\!26\)\( p^{889} T^{17} + p^{999} T^{18} \) | |
| 17 | \( 1 + \)\(22\!\cdots\!34\)\( T + \)\(99\!\cdots\!69\)\( p T^{2} + \)\(73\!\cdots\!20\)\( p^{3} T^{3} + \)\(10\!\cdots\!68\)\( p^{5} T^{4} + \)\(44\!\cdots\!44\)\( p^{8} T^{5} + \)\(16\!\cdots\!48\)\( p^{12} T^{6} + \)\(21\!\cdots\!60\)\( p^{17} T^{7} + \)\(38\!\cdots\!94\)\( p^{22} T^{8} + \)\(27\!\cdots\!24\)\( p^{28} T^{9} + \)\(38\!\cdots\!94\)\( p^{133} T^{10} + \)\(21\!\cdots\!60\)\( p^{239} T^{11} + \)\(16\!\cdots\!48\)\( p^{345} T^{12} + \)\(44\!\cdots\!44\)\( p^{452} T^{13} + \)\(10\!\cdots\!68\)\( p^{560} T^{14} + \)\(73\!\cdots\!20\)\( p^{669} T^{15} + \)\(99\!\cdots\!69\)\( p^{778} T^{16} + \)\(22\!\cdots\!34\)\( p^{888} T^{17} + p^{999} T^{18} \) | |
| 19 | \( 1 + \)\(44\!\cdots\!80\)\( p T + \)\(12\!\cdots\!11\)\( p^{2} T^{2} + \)\(53\!\cdots\!60\)\( p^{3} T^{3} + \)\(78\!\cdots\!76\)\( p^{4} T^{4} + \)\(89\!\cdots\!40\)\( p^{7} T^{5} + \)\(26\!\cdots\!56\)\( p^{10} T^{6} + \)\(14\!\cdots\!80\)\( p^{14} T^{7} + \)\(93\!\cdots\!74\)\( p^{19} T^{8} + \)\(24\!\cdots\!00\)\( p^{24} T^{9} + \)\(93\!\cdots\!74\)\( p^{130} T^{10} + \)\(14\!\cdots\!80\)\( p^{236} T^{11} + \)\(26\!\cdots\!56\)\( p^{343} T^{12} + \)\(89\!\cdots\!40\)\( p^{451} T^{13} + \)\(78\!\cdots\!76\)\( p^{559} T^{14} + \)\(53\!\cdots\!60\)\( p^{669} T^{15} + \)\(12\!\cdots\!11\)\( p^{779} T^{16} + \)\(44\!\cdots\!80\)\( p^{889} T^{17} + p^{999} T^{18} \) | |
| 23 | \( 1 + \)\(42\!\cdots\!28\)\( T + \)\(98\!\cdots\!07\)\( T^{2} + \)\(14\!\cdots\!80\)\( p T^{3} + \)\(36\!\cdots\!28\)\( p^{3} T^{4} + \)\(20\!\cdots\!36\)\( p^{5} T^{5} + \)\(15\!\cdots\!32\)\( p^{8} T^{6} + \)\(31\!\cdots\!40\)\( p^{11} T^{7} + \)\(89\!\cdots\!38\)\( p^{15} T^{8} + \)\(67\!\cdots\!24\)\( p^{19} T^{9} + \)\(89\!\cdots\!38\)\( p^{126} T^{10} + \)\(31\!\cdots\!40\)\( p^{233} T^{11} + \)\(15\!\cdots\!32\)\( p^{341} T^{12} + \)\(20\!\cdots\!36\)\( p^{449} T^{13} + \)\(36\!\cdots\!28\)\( p^{558} T^{14} + \)\(14\!\cdots\!80\)\( p^{667} T^{15} + \)\(98\!\cdots\!07\)\( p^{777} T^{16} + \)\(42\!\cdots\!28\)\( p^{888} T^{17} + p^{999} T^{18} \) | |
| 29 | \( 1 + \)\(16\!\cdots\!30\)\( T + \)\(10\!\cdots\!61\)\( T^{2} + \)\(34\!\cdots\!40\)\( p T^{3} + \)\(55\!\cdots\!36\)\( p^{2} T^{4} + \)\(25\!\cdots\!40\)\( p^{4} T^{5} + \)\(21\!\cdots\!56\)\( p^{6} T^{6} + \)\(19\!\cdots\!20\)\( p^{8} T^{7} + \)\(25\!\cdots\!14\)\( p^{11} T^{8} + \)\(14\!\cdots\!00\)\( p^{14} T^{9} + \)\(25\!\cdots\!14\)\( p^{122} T^{10} + \)\(19\!\cdots\!20\)\( p^{230} T^{11} + \)\(21\!\cdots\!56\)\( p^{339} T^{12} + \)\(25\!\cdots\!40\)\( p^{448} T^{13} + \)\(55\!\cdots\!36\)\( p^{557} T^{14} + \)\(34\!\cdots\!40\)\( p^{667} T^{15} + \)\(10\!\cdots\!61\)\( p^{777} T^{16} + \)\(16\!\cdots\!30\)\( p^{888} T^{17} + p^{999} T^{18} \) | |
| 31 | \( 1 - \)\(67\!\cdots\!88\)\( T + \)\(73\!\cdots\!53\)\( p T^{2} - \)\(14\!\cdots\!76\)\( p^{2} T^{3} + \)\(83\!\cdots\!60\)\( p^{3} T^{4} - \)\(45\!\cdots\!68\)\( p^{5} T^{5} + \)\(62\!\cdots\!84\)\( p^{7} T^{6} - \)\(97\!\cdots\!44\)\( p^{10} T^{7} + \)\(34\!\cdots\!98\)\( p^{13} T^{8} - \)\(45\!\cdots\!20\)\( p^{16} T^{9} + \)\(34\!\cdots\!98\)\( p^{124} T^{10} - \)\(97\!\cdots\!44\)\( p^{232} T^{11} + \)\(62\!\cdots\!84\)\( p^{340} T^{12} - \)\(45\!\cdots\!68\)\( p^{449} T^{13} + \)\(83\!\cdots\!60\)\( p^{558} T^{14} - \)\(14\!\cdots\!76\)\( p^{668} T^{15} + \)\(73\!\cdots\!53\)\( p^{778} T^{16} - \)\(67\!\cdots\!88\)\( p^{888} T^{17} + p^{999} T^{18} \) | |
| 37 | \( 1 - \)\(82\!\cdots\!78\)\( p T + \)\(80\!\cdots\!57\)\( p^{2} T^{2} - \)\(45\!\cdots\!40\)\( p^{3} T^{3} + \)\(26\!\cdots\!76\)\( p^{4} T^{4} - \)\(11\!\cdots\!48\)\( p^{5} T^{5} + \)\(51\!\cdots\!92\)\( p^{6} T^{6} - \)\(18\!\cdots\!80\)\( p^{7} T^{7} + \)\(64\!\cdots\!66\)\( p^{8} T^{8} - \)\(18\!\cdots\!88\)\( p^{9} T^{9} + \)\(64\!\cdots\!66\)\( p^{119} T^{10} - \)\(18\!\cdots\!80\)\( p^{229} T^{11} + \)\(51\!\cdots\!92\)\( p^{339} T^{12} - \)\(11\!\cdots\!48\)\( p^{449} T^{13} + \)\(26\!\cdots\!76\)\( p^{559} T^{14} - \)\(45\!\cdots\!40\)\( p^{669} T^{15} + \)\(80\!\cdots\!57\)\( p^{779} T^{16} - \)\(82\!\cdots\!78\)\( p^{889} T^{17} + p^{999} T^{18} \) | |
| 41 | \( 1 - \)\(10\!\cdots\!78\)\( T + \)\(46\!\cdots\!73\)\( T^{2} - \)\(14\!\cdots\!36\)\( p T^{3} + \)\(69\!\cdots\!60\)\( p^{2} T^{4} - \)\(23\!\cdots\!08\)\( p^{3} T^{5} + \)\(71\!\cdots\!04\)\( p^{4} T^{6} - \)\(57\!\cdots\!24\)\( p^{6} T^{7} + \)\(80\!\cdots\!58\)\( p^{9} T^{8} - \)\(24\!\cdots\!20\)\( p^{10} T^{9} + \)\(80\!\cdots\!58\)\( p^{120} T^{10} - \)\(57\!\cdots\!24\)\( p^{228} T^{11} + \)\(71\!\cdots\!04\)\( p^{337} T^{12} - \)\(23\!\cdots\!08\)\( p^{447} T^{13} + \)\(69\!\cdots\!60\)\( p^{557} T^{14} - \)\(14\!\cdots\!36\)\( p^{667} T^{15} + \)\(46\!\cdots\!73\)\( p^{777} T^{16} - \)\(10\!\cdots\!78\)\( p^{888} T^{17} + p^{999} T^{18} \) | |
| 43 | \( 1 + \)\(19\!\cdots\!08\)\( T + \)\(22\!\cdots\!07\)\( T^{2} + \)\(42\!\cdots\!00\)\( p T^{3} + \)\(66\!\cdots\!04\)\( p^{2} T^{4} + \)\(92\!\cdots\!24\)\( p^{3} T^{5} + \)\(28\!\cdots\!04\)\( p^{5} T^{6} + \)\(83\!\cdots\!00\)\( p^{7} T^{7} + \)\(23\!\cdots\!42\)\( p^{9} T^{8} + \)\(59\!\cdots\!64\)\( p^{11} T^{9} + \)\(23\!\cdots\!42\)\( p^{120} T^{10} + \)\(83\!\cdots\!00\)\( p^{229} T^{11} + \)\(28\!\cdots\!04\)\( p^{338} T^{12} + \)\(92\!\cdots\!24\)\( p^{447} T^{13} + \)\(66\!\cdots\!04\)\( p^{557} T^{14} + \)\(42\!\cdots\!00\)\( p^{667} T^{15} + \)\(22\!\cdots\!07\)\( p^{777} T^{16} + \)\(19\!\cdots\!08\)\( p^{888} T^{17} + p^{999} T^{18} \) | |
| 47 | \( 1 - \)\(14\!\cdots\!96\)\( T + \)\(55\!\cdots\!29\)\( p T^{2} - \)\(94\!\cdots\!40\)\( p^{2} T^{3} + \)\(47\!\cdots\!36\)\( p^{4} T^{4} - \)\(27\!\cdots\!76\)\( p^{4} T^{5} + \)\(12\!\cdots\!32\)\( p^{6} T^{6} - \)\(30\!\cdots\!20\)\( p^{8} T^{7} + \)\(13\!\cdots\!54\)\( p^{10} T^{8} - \)\(29\!\cdots\!16\)\( p^{12} T^{9} + \)\(13\!\cdots\!54\)\( p^{121} T^{10} - \)\(30\!\cdots\!20\)\( p^{230} T^{11} + \)\(12\!\cdots\!32\)\( p^{339} T^{12} - \)\(27\!\cdots\!76\)\( p^{448} T^{13} + \)\(47\!\cdots\!36\)\( p^{559} T^{14} - \)\(94\!\cdots\!40\)\( p^{668} T^{15} + \)\(55\!\cdots\!29\)\( p^{778} T^{16} - \)\(14\!\cdots\!96\)\( p^{888} T^{17} + p^{999} T^{18} \) | |
| 53 | \( 1 + \)\(62\!\cdots\!66\)\( p T + \)\(51\!\cdots\!73\)\( p^{2} T^{2} + \)\(26\!\cdots\!40\)\( p^{3} T^{3} + \)\(12\!\cdots\!76\)\( p^{4} T^{4} + \)\(53\!\cdots\!96\)\( p^{5} T^{5} + \)\(39\!\cdots\!76\)\( p^{7} T^{6} + \)\(26\!\cdots\!20\)\( p^{9} T^{7} + \)\(16\!\cdots\!58\)\( p^{11} T^{8} + \)\(97\!\cdots\!36\)\( p^{13} T^{9} + \)\(16\!\cdots\!58\)\( p^{122} T^{10} + \)\(26\!\cdots\!20\)\( p^{231} T^{11} + \)\(39\!\cdots\!76\)\( p^{340} T^{12} + \)\(53\!\cdots\!96\)\( p^{449} T^{13} + \)\(12\!\cdots\!76\)\( p^{559} T^{14} + \)\(26\!\cdots\!40\)\( p^{669} T^{15} + \)\(51\!\cdots\!73\)\( p^{779} T^{16} + \)\(62\!\cdots\!66\)\( p^{889} T^{17} + p^{999} T^{18} \) | |
| 59 | \( 1 - \)\(54\!\cdots\!60\)\( p T + \)\(22\!\cdots\!31\)\( T^{2} - \)\(48\!\cdots\!80\)\( T^{3} + \)\(20\!\cdots\!16\)\( T^{4} - \)\(50\!\cdots\!80\)\( p T^{5} + \)\(31\!\cdots\!56\)\( p^{2} T^{6} - \)\(55\!\cdots\!40\)\( p^{3} T^{7} + \)\(37\!\cdots\!26\)\( p^{4} T^{8} - \)\(55\!\cdots\!00\)\( p^{5} T^{9} + \)\(37\!\cdots\!26\)\( p^{115} T^{10} - \)\(55\!\cdots\!40\)\( p^{225} T^{11} + \)\(31\!\cdots\!56\)\( p^{335} T^{12} - \)\(50\!\cdots\!80\)\( p^{445} T^{13} + \)\(20\!\cdots\!16\)\( p^{555} T^{14} - \)\(48\!\cdots\!80\)\( p^{666} T^{15} + \)\(22\!\cdots\!31\)\( p^{777} T^{16} - \)\(54\!\cdots\!60\)\( p^{889} T^{17} + p^{999} T^{18} \) | |
| 61 | \( 1 + \)\(17\!\cdots\!42\)\( T + \)\(11\!\cdots\!33\)\( T^{2} + \)\(17\!\cdots\!44\)\( T^{3} + \)\(59\!\cdots\!60\)\( T^{4} + \)\(13\!\cdots\!12\)\( p T^{5} + \)\(51\!\cdots\!04\)\( p^{2} T^{6} + \)\(96\!\cdots\!56\)\( p^{3} T^{7} + \)\(29\!\cdots\!58\)\( p^{4} T^{8} + \)\(47\!\cdots\!80\)\( p^{5} T^{9} + \)\(29\!\cdots\!58\)\( p^{115} T^{10} + \)\(96\!\cdots\!56\)\( p^{225} T^{11} + \)\(51\!\cdots\!04\)\( p^{335} T^{12} + \)\(13\!\cdots\!12\)\( p^{445} T^{13} + \)\(59\!\cdots\!60\)\( p^{555} T^{14} + \)\(17\!\cdots\!44\)\( p^{666} T^{15} + \)\(11\!\cdots\!33\)\( p^{777} T^{16} + \)\(17\!\cdots\!42\)\( p^{888} T^{17} + p^{999} T^{18} \) | |
| 67 | \( 1 - \)\(13\!\cdots\!16\)\( T + \)\(25\!\cdots\!23\)\( T^{2} - \)\(32\!\cdots\!40\)\( T^{3} + \)\(48\!\cdots\!28\)\( p T^{4} - \)\(89\!\cdots\!64\)\( p^{2} T^{5} + \)\(94\!\cdots\!56\)\( p^{3} T^{6} - \)\(16\!\cdots\!80\)\( p^{4} T^{7} + \)\(13\!\cdots\!38\)\( p^{5} T^{8} - \)\(21\!\cdots\!64\)\( p^{6} T^{9} + \)\(13\!\cdots\!38\)\( p^{116} T^{10} - \)\(16\!\cdots\!80\)\( p^{226} T^{11} + \)\(94\!\cdots\!56\)\( p^{336} T^{12} - \)\(89\!\cdots\!64\)\( p^{446} T^{13} + \)\(48\!\cdots\!28\)\( p^{556} T^{14} - \)\(32\!\cdots\!40\)\( p^{666} T^{15} + \)\(25\!\cdots\!23\)\( p^{777} T^{16} - \)\(13\!\cdots\!16\)\( p^{888} T^{17} + p^{999} T^{18} \) | |
| 71 | \( 1 - \)\(98\!\cdots\!48\)\( T + \)\(22\!\cdots\!63\)\( T^{2} - \)\(16\!\cdots\!96\)\( T^{3} + \)\(29\!\cdots\!60\)\( p T^{4} - \)\(23\!\cdots\!48\)\( p^{2} T^{5} + \)\(31\!\cdots\!64\)\( p^{3} T^{6} - \)\(20\!\cdots\!84\)\( p^{4} T^{7} + \)\(24\!\cdots\!98\)\( p^{5} T^{8} - \)\(13\!\cdots\!20\)\( p^{6} T^{9} + \)\(24\!\cdots\!98\)\( p^{116} T^{10} - \)\(20\!\cdots\!84\)\( p^{226} T^{11} + \)\(31\!\cdots\!64\)\( p^{336} T^{12} - \)\(23\!\cdots\!48\)\( p^{446} T^{13} + \)\(29\!\cdots\!60\)\( p^{556} T^{14} - \)\(16\!\cdots\!96\)\( p^{666} T^{15} + \)\(22\!\cdots\!63\)\( p^{777} T^{16} - \)\(98\!\cdots\!48\)\( p^{888} T^{17} + p^{999} T^{18} \) | |
| 73 | \( 1 - \)\(68\!\cdots\!22\)\( T + \)\(61\!\cdots\!57\)\( T^{2} - \)\(29\!\cdots\!60\)\( T^{3} + \)\(21\!\cdots\!12\)\( p T^{4} - \)\(10\!\cdots\!88\)\( p^{2} T^{5} + \)\(59\!\cdots\!76\)\( p^{3} T^{6} - \)\(24\!\cdots\!20\)\( p^{4} T^{7} + \)\(10\!\cdots\!62\)\( p^{5} T^{8} - \)\(37\!\cdots\!08\)\( p^{6} T^{9} + \)\(10\!\cdots\!62\)\( p^{116} T^{10} - \)\(24\!\cdots\!20\)\( p^{226} T^{11} + \)\(59\!\cdots\!76\)\( p^{336} T^{12} - \)\(10\!\cdots\!88\)\( p^{446} T^{13} + \)\(21\!\cdots\!12\)\( p^{556} T^{14} - \)\(29\!\cdots\!60\)\( p^{666} T^{15} + \)\(61\!\cdots\!57\)\( p^{777} T^{16} - \)\(68\!\cdots\!22\)\( p^{888} T^{17} + p^{999} T^{18} \) | |
| 79 | \( 1 - \)\(75\!\cdots\!20\)\( T + \)\(53\!\cdots\!11\)\( T^{2} - \)\(31\!\cdots\!60\)\( p T^{3} + \)\(17\!\cdots\!36\)\( p^{2} T^{4} - \)\(72\!\cdots\!40\)\( p^{3} T^{5} + \)\(29\!\cdots\!96\)\( p^{4} T^{6} - \)\(97\!\cdots\!20\)\( p^{5} T^{7} + \)\(30\!\cdots\!86\)\( p^{6} T^{8} - \)\(83\!\cdots\!00\)\( p^{7} T^{9} + \)\(30\!\cdots\!86\)\( p^{117} T^{10} - \)\(97\!\cdots\!20\)\( p^{227} T^{11} + \)\(29\!\cdots\!96\)\( p^{337} T^{12} - \)\(72\!\cdots\!40\)\( p^{447} T^{13} + \)\(17\!\cdots\!36\)\( p^{557} T^{14} - \)\(31\!\cdots\!60\)\( p^{667} T^{15} + \)\(53\!\cdots\!11\)\( p^{777} T^{16} - \)\(75\!\cdots\!20\)\( p^{888} T^{17} + p^{999} T^{18} \) | |
| 83 | \( 1 - \)\(19\!\cdots\!32\)\( T + \)\(25\!\cdots\!07\)\( T^{2} - \)\(27\!\cdots\!60\)\( p T^{3} + \)\(23\!\cdots\!24\)\( p^{2} T^{4} - \)\(16\!\cdots\!16\)\( p^{3} T^{5} + \)\(10\!\cdots\!92\)\( p^{4} T^{6} - \)\(54\!\cdots\!20\)\( p^{5} T^{7} + \)\(25\!\cdots\!94\)\( p^{6} T^{8} - \)\(10\!\cdots\!16\)\( p^{7} T^{9} + \)\(25\!\cdots\!94\)\( p^{117} T^{10} - \)\(54\!\cdots\!20\)\( p^{227} T^{11} + \)\(10\!\cdots\!92\)\( p^{337} T^{12} - \)\(16\!\cdots\!16\)\( p^{447} T^{13} + \)\(23\!\cdots\!24\)\( p^{557} T^{14} - \)\(27\!\cdots\!60\)\( p^{667} T^{15} + \)\(25\!\cdots\!07\)\( p^{777} T^{16} - \)\(19\!\cdots\!32\)\( p^{888} T^{17} + p^{999} T^{18} \) | |
| 89 | \( 1 - \)\(37\!\cdots\!10\)\( T + \)\(18\!\cdots\!01\)\( T^{2} - \)\(49\!\cdots\!80\)\( p T^{3} + \)\(17\!\cdots\!36\)\( p^{2} T^{4} - \)\(37\!\cdots\!20\)\( p^{3} T^{5} + \)\(99\!\cdots\!56\)\( p^{4} T^{6} - \)\(18\!\cdots\!60\)\( p^{5} T^{7} + \)\(41\!\cdots\!06\)\( p^{6} T^{8} - \)\(64\!\cdots\!00\)\( p^{7} T^{9} + \)\(41\!\cdots\!06\)\( p^{117} T^{10} - \)\(18\!\cdots\!60\)\( p^{227} T^{11} + \)\(99\!\cdots\!56\)\( p^{337} T^{12} - \)\(37\!\cdots\!20\)\( p^{447} T^{13} + \)\(17\!\cdots\!36\)\( p^{557} T^{14} - \)\(49\!\cdots\!80\)\( p^{667} T^{15} + \)\(18\!\cdots\!01\)\( p^{777} T^{16} - \)\(37\!\cdots\!10\)\( p^{888} T^{17} + p^{999} T^{18} \) | |
| 97 | \( 1 + \)\(63\!\cdots\!54\)\( T + \)\(32\!\cdots\!29\)\( p T^{2} + \)\(10\!\cdots\!60\)\( p^{2} T^{3} + \)\(28\!\cdots\!92\)\( p^{3} T^{4} + \)\(58\!\cdots\!24\)\( p^{4} T^{5} + \)\(12\!\cdots\!04\)\( p^{5} T^{6} + \)\(23\!\cdots\!20\)\( p^{6} T^{7} + \)\(52\!\cdots\!42\)\( p^{7} T^{8} + \)\(93\!\cdots\!04\)\( p^{8} T^{9} + \)\(52\!\cdots\!42\)\( p^{118} T^{10} + \)\(23\!\cdots\!20\)\( p^{228} T^{11} + \)\(12\!\cdots\!04\)\( p^{338} T^{12} + \)\(58\!\cdots\!24\)\( p^{448} T^{13} + \)\(28\!\cdots\!92\)\( p^{558} T^{14} + \)\(10\!\cdots\!60\)\( p^{668} T^{15} + \)\(32\!\cdots\!29\)\( p^{778} T^{16} + \)\(63\!\cdots\!54\)\( p^{888} T^{17} + p^{999} T^{18} \) | |
| show more | ||
| show less | ||
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{18} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−3.85109410706327322111076263004, −3.84776362764604722844209540291, −3.67508580922306555004274191974, −3.51935332509802545433236626624, −3.44621805801248965380140341469, −3.33526707298352699243189119083, −2.74689953674372713850057809518, −2.70746318908888734408736396725, −2.48566064097531866223677897395, −2.47958667889711044172364999774, −2.32474425458589040657473981174, −2.16102565158719969274707219844, −2.02947550183189286078871443342, −1.79384236457169448404621674905, −1.78662405374143689261168904758, −1.65864918964157179360429984407, −1.61931792184050202602992645175, −1.18634445197179777175971699624, −0.881121742659434751694604378623, −0.838046072131657340828531778781, −0.59762733578764210637079546540, −0.52625991528165615693287754556, −0.42500388218805168540605710606, −0.12786647941918826008462107036, −0.00171773980610988885669385530, 0.00171773980610988885669385530, 0.12786647941918826008462107036, 0.42500388218805168540605710606, 0.52625991528165615693287754556, 0.59762733578764210637079546540, 0.838046072131657340828531778781, 0.881121742659434751694604378623, 1.18634445197179777175971699624, 1.61931792184050202602992645175, 1.65864918964157179360429984407, 1.78662405374143689261168904758, 1.79384236457169448404621674905, 2.02947550183189286078871443342, 2.16102565158719969274707219844, 2.32474425458589040657473981174, 2.47958667889711044172364999774, 2.48566064097531866223677897395, 2.70746318908888734408736396725, 2.74689953674372713850057809518, 3.33526707298352699243189119083, 3.44621805801248965380140341469, 3.51935332509802545433236626624, 3.67508580922306555004274191974, 3.84776362764604722844209540291, 3.85109410706327322111076263004
Graph of the $Z$-function along the critical line
Plot not available for L-functions of degree greater than 10.