Properties

Degree 16
Conductor $ 1 $
Sign $1$
Motivic weight 105
Primitive no
Self-dual yes
Analytic rank 8

Origins

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Normalization:  

Dirichlet series

L(s)  = 1  − 9.17e15·2-s − 3.55e24·3-s − 5.99e31·4-s + 7.48e35·5-s + 3.25e40·6-s + 7.05e43·7-s + 6.96e47·8-s − 3.35e50·9-s − 6.86e51·10-s − 9.13e54·11-s + 2.13e56·12-s + 4.02e57·13-s − 6.47e59·14-s − 2.65e60·15-s + 1.23e63·16-s − 4.75e64·17-s + 3.08e66·18-s − 1.84e67·19-s − 4.48e67·20-s − 2.50e68·21-s + 8.37e70·22-s + 3.56e71·23-s − 2.47e72·24-s − 7.99e73·25-s − 3.69e73·26-s + 2.72e75·27-s − 4.23e75·28-s + ⋯
L(s)  = 1  − 1.44·2-s − 0.317·3-s − 1.47·4-s + 0.150·5-s + 0.457·6-s + 0.302·7-s + 2.69·8-s − 2.68·9-s − 0.217·10-s − 1.93·11-s + 0.469·12-s + 0.132·13-s − 0.435·14-s − 0.0478·15-s + 0.748·16-s − 1.19·17-s + 3.86·18-s − 1.35·19-s − 0.222·20-s − 0.0960·21-s + 2.79·22-s + 1.15·23-s − 0.855·24-s − 3.24·25-s − 0.191·26-s + 1.94·27-s − 0.447·28-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\Gamma_{\C}(s)^{8} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(106-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\Gamma_{\C}(s+52.5)^{8} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]

Invariants

\( d \)  =  \(16\)
\( N \)  =  \(1\)
\( \varepsilon \)  =  $1$
motivic weight  =  \(105\)
character  :  $\chi_{1} (1, \cdot )$
primitive  :  no
self-dual  :  yes
analytic rank  =  \(8\)
Selberg data  =  \((16,\ 1,\ (\ :[105/2]^{8}),\ 1)\)
\(L(53)\)  \(=\)  \(0\)
\(L(\frac12)\)  \(=\)  \(0\)
\(L(\frac{107}{2})\)   not available
\(L(1)\)   not available

Euler product

\[L(s) = \prod_{p \text{ prime}} F_p(p^{-s})^{-1} \]where,\(F_p(T)\) is a polynomial of degree 16.
$p$$F_p(T)$
good2 \( 1 + 573439530573495 p^{4} T + \)\(17\!\cdots\!95\)\( p^{13} T^{2} + \)\(35\!\cdots\!95\)\( p^{25} T^{3} + \)\(26\!\cdots\!49\)\( p^{42} T^{4} + \)\(17\!\cdots\!35\)\( p^{62} T^{5} + \)\(16\!\cdots\!65\)\( p^{85} T^{6} + \)\(18\!\cdots\!95\)\( p^{114} T^{7} + \)\(31\!\cdots\!29\)\( p^{146} T^{8} + \)\(18\!\cdots\!95\)\( p^{219} T^{9} + \)\(16\!\cdots\!65\)\( p^{295} T^{10} + \)\(17\!\cdots\!35\)\( p^{377} T^{11} + \)\(26\!\cdots\!49\)\( p^{462} T^{12} + \)\(35\!\cdots\!95\)\( p^{550} T^{13} + \)\(17\!\cdots\!95\)\( p^{643} T^{14} + 573439530573495 p^{739} T^{15} + p^{840} T^{16} \)
3 \( 1 + \)\(13\!\cdots\!40\)\( p^{3} T + \)\(17\!\cdots\!60\)\( p^{9} T^{2} - \)\(22\!\cdots\!20\)\( p^{17} T^{3} + \)\(10\!\cdots\!12\)\( p^{29} T^{4} - \)\(85\!\cdots\!80\)\( p^{45} T^{5} + \)\(10\!\cdots\!80\)\( p^{63} T^{6} - \)\(38\!\cdots\!20\)\( p^{84} T^{7} + \)\(48\!\cdots\!46\)\( p^{108} T^{8} - \)\(38\!\cdots\!20\)\( p^{189} T^{9} + \)\(10\!\cdots\!80\)\( p^{273} T^{10} - \)\(85\!\cdots\!80\)\( p^{360} T^{11} + \)\(10\!\cdots\!12\)\( p^{449} T^{12} - \)\(22\!\cdots\!20\)\( p^{542} T^{13} + \)\(17\!\cdots\!60\)\( p^{639} T^{14} + \)\(13\!\cdots\!40\)\( p^{738} T^{15} + p^{840} T^{16} \)
5 \( 1 - \)\(29\!\cdots\!76\)\( p^{2} T + \)\(10\!\cdots\!56\)\( p^{7} T^{2} - \)\(21\!\cdots\!72\)\( p^{13} T^{3} + \)\(11\!\cdots\!72\)\( p^{22} T^{4} - \)\(71\!\cdots\!04\)\( p^{32} T^{5} + \)\(14\!\cdots\!92\)\( p^{44} T^{6} - \)\(15\!\cdots\!32\)\( p^{58} T^{7} + \)\(20\!\cdots\!34\)\( p^{73} T^{8} - \)\(15\!\cdots\!32\)\( p^{163} T^{9} + \)\(14\!\cdots\!92\)\( p^{254} T^{10} - \)\(71\!\cdots\!04\)\( p^{347} T^{11} + \)\(11\!\cdots\!72\)\( p^{442} T^{12} - \)\(21\!\cdots\!72\)\( p^{538} T^{13} + \)\(10\!\cdots\!56\)\( p^{637} T^{14} - \)\(29\!\cdots\!76\)\( p^{737} T^{15} + p^{840} T^{16} \)
7 \( 1 - \)\(10\!\cdots\!00\)\( p T + \)\(12\!\cdots\!00\)\( p^{5} T^{2} - \)\(12\!\cdots\!00\)\( p^{10} T^{3} + \)\(70\!\cdots\!96\)\( p^{16} T^{4} - \)\(19\!\cdots\!00\)\( p^{23} T^{5} + \)\(23\!\cdots\!00\)\( p^{33} T^{6} - \)\(20\!\cdots\!00\)\( p^{43} T^{7} + \)\(18\!\cdots\!58\)\( p^{53} T^{8} - \)\(20\!\cdots\!00\)\( p^{148} T^{9} + \)\(23\!\cdots\!00\)\( p^{243} T^{10} - \)\(19\!\cdots\!00\)\( p^{338} T^{11} + \)\(70\!\cdots\!96\)\( p^{436} T^{12} - \)\(12\!\cdots\!00\)\( p^{535} T^{13} + \)\(12\!\cdots\!00\)\( p^{635} T^{14} - \)\(10\!\cdots\!00\)\( p^{736} T^{15} + p^{840} T^{16} \)
11 \( 1 + \)\(83\!\cdots\!44\)\( p T + \)\(92\!\cdots\!20\)\( p^{3} T^{2} + \)\(49\!\cdots\!40\)\( p^{5} T^{3} + \)\(32\!\cdots\!20\)\( p^{8} T^{4} + \)\(10\!\cdots\!72\)\( p^{13} T^{5} + \)\(41\!\cdots\!88\)\( p^{19} T^{6} + \)\(97\!\cdots\!60\)\( p^{26} T^{7} + \)\(28\!\cdots\!70\)\( p^{33} T^{8} + \)\(97\!\cdots\!60\)\( p^{131} T^{9} + \)\(41\!\cdots\!88\)\( p^{229} T^{10} + \)\(10\!\cdots\!72\)\( p^{328} T^{11} + \)\(32\!\cdots\!20\)\( p^{428} T^{12} + \)\(49\!\cdots\!40\)\( p^{530} T^{13} + \)\(92\!\cdots\!20\)\( p^{633} T^{14} + \)\(83\!\cdots\!44\)\( p^{736} T^{15} + p^{840} T^{16} \)
13 \( 1 - \)\(30\!\cdots\!80\)\( p T + \)\(14\!\cdots\!80\)\( p^{3} T^{2} + \)\(71\!\cdots\!20\)\( p^{6} T^{3} + \)\(35\!\cdots\!04\)\( p^{10} T^{4} + \)\(23\!\cdots\!80\)\( p^{14} T^{5} + \)\(56\!\cdots\!80\)\( p^{18} T^{6} + \)\(28\!\cdots\!80\)\( p^{23} T^{7} + \)\(32\!\cdots\!22\)\( p^{29} T^{8} + \)\(28\!\cdots\!80\)\( p^{128} T^{9} + \)\(56\!\cdots\!80\)\( p^{228} T^{10} + \)\(23\!\cdots\!80\)\( p^{329} T^{11} + \)\(35\!\cdots\!04\)\( p^{430} T^{12} + \)\(71\!\cdots\!20\)\( p^{531} T^{13} + \)\(14\!\cdots\!80\)\( p^{633} T^{14} - \)\(30\!\cdots\!80\)\( p^{736} T^{15} + p^{840} T^{16} \)
17 \( 1 + \)\(27\!\cdots\!80\)\( p T + \)\(19\!\cdots\!40\)\( p^{3} T^{2} + \)\(25\!\cdots\!60\)\( p^{5} T^{3} + \)\(58\!\cdots\!56\)\( p^{8} T^{4} + \)\(22\!\cdots\!20\)\( p^{12} T^{5} + \)\(21\!\cdots\!40\)\( p^{16} T^{6} + \)\(71\!\cdots\!40\)\( p^{20} T^{7} + \)\(58\!\cdots\!86\)\( p^{24} T^{8} + \)\(71\!\cdots\!40\)\( p^{125} T^{9} + \)\(21\!\cdots\!40\)\( p^{226} T^{10} + \)\(22\!\cdots\!20\)\( p^{327} T^{11} + \)\(58\!\cdots\!56\)\( p^{428} T^{12} + \)\(25\!\cdots\!60\)\( p^{530} T^{13} + \)\(19\!\cdots\!40\)\( p^{633} T^{14} + \)\(27\!\cdots\!80\)\( p^{736} T^{15} + p^{840} T^{16} \)
19 \( 1 + \)\(18\!\cdots\!20\)\( T + \)\(34\!\cdots\!68\)\( p T^{2} + \)\(18\!\cdots\!40\)\( p^{3} T^{3} + \)\(11\!\cdots\!72\)\( p^{5} T^{4} + \)\(28\!\cdots\!20\)\( p^{8} T^{5} + \)\(36\!\cdots\!04\)\( p^{12} T^{6} + \)\(43\!\cdots\!00\)\( p^{16} T^{7} + \)\(24\!\cdots\!30\)\( p^{21} T^{8} + \)\(43\!\cdots\!00\)\( p^{121} T^{9} + \)\(36\!\cdots\!04\)\( p^{222} T^{10} + \)\(28\!\cdots\!20\)\( p^{323} T^{11} + \)\(11\!\cdots\!72\)\( p^{425} T^{12} + \)\(18\!\cdots\!40\)\( p^{528} T^{13} + \)\(34\!\cdots\!68\)\( p^{631} T^{14} + \)\(18\!\cdots\!20\)\( p^{735} T^{15} + p^{840} T^{16} \)
23 \( 1 - \)\(35\!\cdots\!60\)\( T + \)\(20\!\cdots\!80\)\( p T^{2} - \)\(39\!\cdots\!20\)\( p^{2} T^{3} + \)\(43\!\cdots\!56\)\( p^{4} T^{4} - \)\(14\!\cdots\!60\)\( p^{7} T^{5} + \)\(50\!\cdots\!20\)\( p^{10} T^{6} - \)\(13\!\cdots\!20\)\( p^{13} T^{7} + \)\(17\!\cdots\!02\)\( p^{17} T^{8} - \)\(13\!\cdots\!20\)\( p^{118} T^{9} + \)\(50\!\cdots\!20\)\( p^{220} T^{10} - \)\(14\!\cdots\!60\)\( p^{322} T^{11} + \)\(43\!\cdots\!56\)\( p^{424} T^{12} - \)\(39\!\cdots\!20\)\( p^{527} T^{13} + \)\(20\!\cdots\!80\)\( p^{631} T^{14} - \)\(35\!\cdots\!60\)\( p^{735} T^{15} + p^{840} T^{16} \)
29 \( 1 + \)\(13\!\cdots\!80\)\( T + \)\(82\!\cdots\!48\)\( p T^{2} + \)\(22\!\cdots\!40\)\( p^{2} T^{3} + \)\(28\!\cdots\!88\)\( p^{4} T^{4} + \)\(19\!\cdots\!80\)\( p^{6} T^{5} + \)\(20\!\cdots\!04\)\( p^{8} T^{6} + \)\(39\!\cdots\!00\)\( p^{11} T^{7} + \)\(13\!\cdots\!70\)\( p^{14} T^{8} + \)\(39\!\cdots\!00\)\( p^{116} T^{9} + \)\(20\!\cdots\!04\)\( p^{218} T^{10} + \)\(19\!\cdots\!80\)\( p^{321} T^{11} + \)\(28\!\cdots\!88\)\( p^{424} T^{12} + \)\(22\!\cdots\!40\)\( p^{527} T^{13} + \)\(82\!\cdots\!48\)\( p^{631} T^{14} + \)\(13\!\cdots\!80\)\( p^{735} T^{15} + p^{840} T^{16} \)
31 \( 1 - \)\(21\!\cdots\!16\)\( T + \)\(73\!\cdots\!20\)\( p T^{2} - \)\(32\!\cdots\!60\)\( p^{2} T^{3} + \)\(23\!\cdots\!20\)\( p^{4} T^{4} - \)\(23\!\cdots\!28\)\( p^{6} T^{5} + \)\(15\!\cdots\!88\)\( p^{8} T^{6} - \)\(35\!\cdots\!40\)\( p^{11} T^{7} + \)\(78\!\cdots\!70\)\( p^{14} T^{8} - \)\(35\!\cdots\!40\)\( p^{116} T^{9} + \)\(15\!\cdots\!88\)\( p^{218} T^{10} - \)\(23\!\cdots\!28\)\( p^{321} T^{11} + \)\(23\!\cdots\!20\)\( p^{424} T^{12} - \)\(32\!\cdots\!60\)\( p^{527} T^{13} + \)\(73\!\cdots\!20\)\( p^{631} T^{14} - \)\(21\!\cdots\!16\)\( p^{735} T^{15} + p^{840} T^{16} \)
37 \( 1 + \)\(23\!\cdots\!80\)\( T + \)\(20\!\cdots\!60\)\( T^{2} + \)\(14\!\cdots\!80\)\( p T^{3} + \)\(17\!\cdots\!84\)\( p^{2} T^{4} + \)\(10\!\cdots\!20\)\( p^{3} T^{5} + \)\(26\!\cdots\!60\)\( p^{5} T^{6} + \)\(39\!\cdots\!40\)\( p^{7} T^{7} + \)\(77\!\cdots\!78\)\( p^{9} T^{8} + \)\(39\!\cdots\!40\)\( p^{112} T^{9} + \)\(26\!\cdots\!60\)\( p^{215} T^{10} + \)\(10\!\cdots\!20\)\( p^{318} T^{11} + \)\(17\!\cdots\!84\)\( p^{422} T^{12} + \)\(14\!\cdots\!80\)\( p^{526} T^{13} + \)\(20\!\cdots\!60\)\( p^{630} T^{14} + \)\(23\!\cdots\!80\)\( p^{735} T^{15} + p^{840} T^{16} \)
41 \( 1 + \)\(91\!\cdots\!84\)\( T + \)\(38\!\cdots\!20\)\( p T^{2} + \)\(61\!\cdots\!40\)\( p^{2} T^{3} + \)\(14\!\cdots\!20\)\( p^{3} T^{4} + \)\(19\!\cdots\!12\)\( p^{4} T^{5} + \)\(85\!\cdots\!88\)\( p^{6} T^{6} + \)\(21\!\cdots\!60\)\( p^{8} T^{7} + \)\(79\!\cdots\!70\)\( p^{10} T^{8} + \)\(21\!\cdots\!60\)\( p^{113} T^{9} + \)\(85\!\cdots\!88\)\( p^{216} T^{10} + \)\(19\!\cdots\!12\)\( p^{319} T^{11} + \)\(14\!\cdots\!20\)\( p^{423} T^{12} + \)\(61\!\cdots\!40\)\( p^{527} T^{13} + \)\(38\!\cdots\!20\)\( p^{631} T^{14} + \)\(91\!\cdots\!84\)\( p^{735} T^{15} + p^{840} T^{16} \)
43 \( 1 - \)\(30\!\cdots\!00\)\( T + \)\(41\!\cdots\!00\)\( p T^{2} - \)\(13\!\cdots\!00\)\( p^{2} T^{3} + \)\(18\!\cdots\!28\)\( p^{3} T^{4} - \)\(10\!\cdots\!00\)\( p^{4} T^{5} + \)\(11\!\cdots\!00\)\( p^{6} T^{6} - \)\(18\!\cdots\!00\)\( p^{8} T^{7} + \)\(12\!\cdots\!94\)\( p^{10} T^{8} - \)\(18\!\cdots\!00\)\( p^{113} T^{9} + \)\(11\!\cdots\!00\)\( p^{216} T^{10} - \)\(10\!\cdots\!00\)\( p^{319} T^{11} + \)\(18\!\cdots\!28\)\( p^{423} T^{12} - \)\(13\!\cdots\!00\)\( p^{527} T^{13} + \)\(41\!\cdots\!00\)\( p^{631} T^{14} - \)\(30\!\cdots\!00\)\( p^{735} T^{15} + p^{840} T^{16} \)
47 \( 1 + \)\(41\!\cdots\!20\)\( p T + \)\(50\!\cdots\!20\)\( p^{2} T^{2} + \)\(46\!\cdots\!60\)\( p^{3} T^{3} + \)\(91\!\cdots\!16\)\( p^{4} T^{4} + \)\(45\!\cdots\!40\)\( p^{5} T^{5} + \)\(11\!\cdots\!20\)\( p^{7} T^{6} + \)\(10\!\cdots\!80\)\( p^{9} T^{7} - \)\(19\!\cdots\!98\)\( p^{11} T^{8} + \)\(10\!\cdots\!80\)\( p^{114} T^{9} + \)\(11\!\cdots\!20\)\( p^{217} T^{10} + \)\(45\!\cdots\!40\)\( p^{320} T^{11} + \)\(91\!\cdots\!16\)\( p^{424} T^{12} + \)\(46\!\cdots\!60\)\( p^{528} T^{13} + \)\(50\!\cdots\!20\)\( p^{632} T^{14} + \)\(41\!\cdots\!20\)\( p^{736} T^{15} + p^{840} T^{16} \)
53 \( 1 + \)\(50\!\cdots\!80\)\( T + \)\(10\!\cdots\!60\)\( p T^{2} - \)\(29\!\cdots\!60\)\( T^{3} + \)\(15\!\cdots\!96\)\( T^{4} - \)\(41\!\cdots\!80\)\( p T^{5} + \)\(86\!\cdots\!40\)\( p^{2} T^{6} - \)\(33\!\cdots\!60\)\( p^{3} T^{7} + \)\(37\!\cdots\!26\)\( p^{4} T^{8} - \)\(33\!\cdots\!60\)\( p^{108} T^{9} + \)\(86\!\cdots\!40\)\( p^{212} T^{10} - \)\(41\!\cdots\!80\)\( p^{316} T^{11} + \)\(15\!\cdots\!96\)\( p^{420} T^{12} - \)\(29\!\cdots\!60\)\( p^{525} T^{13} + \)\(10\!\cdots\!60\)\( p^{631} T^{14} + \)\(50\!\cdots\!80\)\( p^{735} T^{15} + p^{840} T^{16} \)
59 \( 1 + \)\(80\!\cdots\!60\)\( T + \)\(19\!\cdots\!92\)\( T^{2} + \)\(52\!\cdots\!80\)\( T^{3} + \)\(22\!\cdots\!28\)\( T^{4} + \)\(65\!\cdots\!40\)\( p T^{5} + \)\(71\!\cdots\!24\)\( p^{2} T^{6} - \)\(62\!\cdots\!00\)\( p^{3} T^{7} + \)\(25\!\cdots\!30\)\( p^{5} T^{8} - \)\(62\!\cdots\!00\)\( p^{108} T^{9} + \)\(71\!\cdots\!24\)\( p^{212} T^{10} + \)\(65\!\cdots\!40\)\( p^{316} T^{11} + \)\(22\!\cdots\!28\)\( p^{420} T^{12} + \)\(52\!\cdots\!80\)\( p^{525} T^{13} + \)\(19\!\cdots\!92\)\( p^{630} T^{14} + \)\(80\!\cdots\!60\)\( p^{735} T^{15} + p^{840} T^{16} \)
61 \( 1 - \)\(93\!\cdots\!16\)\( T + \)\(18\!\cdots\!20\)\( T^{2} - \)\(10\!\cdots\!60\)\( T^{3} + \)\(19\!\cdots\!20\)\( p T^{4} - \)\(11\!\cdots\!08\)\( p^{2} T^{5} + \)\(17\!\cdots\!68\)\( p^{3} T^{6} - \)\(51\!\cdots\!40\)\( p^{4} T^{7} + \)\(11\!\cdots\!70\)\( p^{5} T^{8} - \)\(51\!\cdots\!40\)\( p^{109} T^{9} + \)\(17\!\cdots\!68\)\( p^{213} T^{10} - \)\(11\!\cdots\!08\)\( p^{317} T^{11} + \)\(19\!\cdots\!20\)\( p^{421} T^{12} - \)\(10\!\cdots\!60\)\( p^{525} T^{13} + \)\(18\!\cdots\!20\)\( p^{630} T^{14} - \)\(93\!\cdots\!16\)\( p^{735} T^{15} + p^{840} T^{16} \)
67 \( 1 + \)\(11\!\cdots\!60\)\( T + \)\(35\!\cdots\!20\)\( T^{2} + \)\(24\!\cdots\!20\)\( T^{3} + \)\(69\!\cdots\!88\)\( p T^{4} + \)\(41\!\cdots\!80\)\( p^{2} T^{5} + \)\(10\!\cdots\!80\)\( p^{3} T^{6} + \)\(31\!\cdots\!40\)\( p^{4} T^{7} + \)\(13\!\cdots\!58\)\( p^{5} T^{8} + \)\(31\!\cdots\!40\)\( p^{109} T^{9} + \)\(10\!\cdots\!80\)\( p^{213} T^{10} + \)\(41\!\cdots\!80\)\( p^{317} T^{11} + \)\(69\!\cdots\!88\)\( p^{421} T^{12} + \)\(24\!\cdots\!20\)\( p^{525} T^{13} + \)\(35\!\cdots\!20\)\( p^{630} T^{14} + \)\(11\!\cdots\!60\)\( p^{735} T^{15} + p^{840} T^{16} \)
71 \( 1 + \)\(50\!\cdots\!84\)\( T + \)\(22\!\cdots\!20\)\( T^{2} + \)\(67\!\cdots\!40\)\( T^{3} + \)\(25\!\cdots\!20\)\( p T^{4} + \)\(82\!\cdots\!52\)\( p^{2} T^{5} + \)\(23\!\cdots\!28\)\( p^{3} T^{6} + \)\(60\!\cdots\!60\)\( p^{4} T^{7} + \)\(14\!\cdots\!70\)\( p^{5} T^{8} + \)\(60\!\cdots\!60\)\( p^{109} T^{9} + \)\(23\!\cdots\!28\)\( p^{213} T^{10} + \)\(82\!\cdots\!52\)\( p^{317} T^{11} + \)\(25\!\cdots\!20\)\( p^{421} T^{12} + \)\(67\!\cdots\!40\)\( p^{525} T^{13} + \)\(22\!\cdots\!20\)\( p^{630} T^{14} + \)\(50\!\cdots\!84\)\( p^{735} T^{15} + p^{840} T^{16} \)
73 \( 1 + \)\(30\!\cdots\!40\)\( T + \)\(61\!\cdots\!40\)\( T^{2} + \)\(11\!\cdots\!40\)\( p T^{3} + \)\(18\!\cdots\!24\)\( p^{2} T^{4} + \)\(24\!\cdots\!40\)\( p^{3} T^{5} + \)\(28\!\cdots\!80\)\( p^{4} T^{6} + \)\(29\!\cdots\!80\)\( p^{5} T^{7} + \)\(28\!\cdots\!54\)\( p^{6} T^{8} + \)\(29\!\cdots\!80\)\( p^{110} T^{9} + \)\(28\!\cdots\!80\)\( p^{214} T^{10} + \)\(24\!\cdots\!40\)\( p^{318} T^{11} + \)\(18\!\cdots\!24\)\( p^{422} T^{12} + \)\(11\!\cdots\!40\)\( p^{526} T^{13} + \)\(61\!\cdots\!40\)\( p^{630} T^{14} + \)\(30\!\cdots\!40\)\( p^{735} T^{15} + p^{840} T^{16} \)
79 \( 1 + \)\(15\!\cdots\!80\)\( T + \)\(17\!\cdots\!92\)\( T^{2} + \)\(17\!\cdots\!60\)\( p T^{3} + \)\(14\!\cdots\!08\)\( p^{2} T^{4} + \)\(10\!\cdots\!20\)\( p^{3} T^{5} + \)\(72\!\cdots\!24\)\( p^{4} T^{6} + \)\(42\!\cdots\!00\)\( p^{5} T^{7} + \)\(23\!\cdots\!70\)\( p^{6} T^{8} + \)\(42\!\cdots\!00\)\( p^{110} T^{9} + \)\(72\!\cdots\!24\)\( p^{214} T^{10} + \)\(10\!\cdots\!20\)\( p^{318} T^{11} + \)\(14\!\cdots\!08\)\( p^{422} T^{12} + \)\(17\!\cdots\!60\)\( p^{526} T^{13} + \)\(17\!\cdots\!92\)\( p^{630} T^{14} + \)\(15\!\cdots\!80\)\( p^{735} T^{15} + p^{840} T^{16} \)
83 \( 1 + \)\(27\!\cdots\!20\)\( T + \)\(20\!\cdots\!20\)\( T^{2} + \)\(56\!\cdots\!20\)\( p T^{3} + \)\(27\!\cdots\!64\)\( p^{2} T^{4} + \)\(64\!\cdots\!20\)\( p^{3} T^{5} + \)\(23\!\cdots\!40\)\( p^{4} T^{6} + \)\(44\!\cdots\!40\)\( p^{5} T^{7} + \)\(12\!\cdots\!74\)\( p^{6} T^{8} + \)\(44\!\cdots\!40\)\( p^{110} T^{9} + \)\(23\!\cdots\!40\)\( p^{214} T^{10} + \)\(64\!\cdots\!20\)\( p^{318} T^{11} + \)\(27\!\cdots\!64\)\( p^{422} T^{12} + \)\(56\!\cdots\!20\)\( p^{526} T^{13} + \)\(20\!\cdots\!20\)\( p^{630} T^{14} + \)\(27\!\cdots\!20\)\( p^{735} T^{15} + p^{840} T^{16} \)
89 \( 1 - \)\(45\!\cdots\!60\)\( T + \)\(37\!\cdots\!28\)\( p T^{2} - \)\(13\!\cdots\!80\)\( p^{2} T^{3} + \)\(61\!\cdots\!12\)\( p^{3} T^{4} - \)\(16\!\cdots\!60\)\( p^{4} T^{5} + \)\(56\!\cdots\!56\)\( p^{5} T^{6} - \)\(12\!\cdots\!00\)\( p^{6} T^{7} + \)\(38\!\cdots\!30\)\( p^{7} T^{8} - \)\(12\!\cdots\!00\)\( p^{111} T^{9} + \)\(56\!\cdots\!56\)\( p^{215} T^{10} - \)\(16\!\cdots\!60\)\( p^{319} T^{11} + \)\(61\!\cdots\!12\)\( p^{423} T^{12} - \)\(13\!\cdots\!80\)\( p^{527} T^{13} + \)\(37\!\cdots\!28\)\( p^{631} T^{14} - \)\(45\!\cdots\!60\)\( p^{735} T^{15} + p^{840} T^{16} \)
97 \( 1 + \)\(78\!\cdots\!20\)\( p T + \)\(43\!\cdots\!20\)\( p^{2} T^{2} + \)\(18\!\cdots\!60\)\( p^{3} T^{3} + \)\(67\!\cdots\!16\)\( p^{4} T^{4} + \)\(21\!\cdots\!40\)\( p^{5} T^{5} + \)\(58\!\cdots\!40\)\( p^{6} T^{6} + \)\(14\!\cdots\!20\)\( p^{7} T^{7} + \)\(31\!\cdots\!46\)\( p^{8} T^{8} + \)\(14\!\cdots\!20\)\( p^{112} T^{9} + \)\(58\!\cdots\!40\)\( p^{216} T^{10} + \)\(21\!\cdots\!40\)\( p^{320} T^{11} + \)\(67\!\cdots\!16\)\( p^{424} T^{12} + \)\(18\!\cdots\!60\)\( p^{528} T^{13} + \)\(43\!\cdots\!20\)\( p^{632} T^{14} + \)\(78\!\cdots\!20\)\( p^{736} T^{15} + p^{840} T^{16} \)
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\[\begin{aligned}L(s) = \prod_p \ \prod_{j=1}^{16} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\end{aligned}\]

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−5.36599937372235074227998721522, −5.05648585599238806439859479947, −4.75110070302069520763097418506, −4.75050877146327859734412723270, −4.62962452377337361497565598717, −4.35698957308761850995176144597, −4.34256204433287742239635233014, −4.13367633193593308154224536720, −3.74372658021979788922219480439, −3.42395226448728700774421044460, −3.41325874474541884210822030980, −3.13596988314855035476847925613, −3.10325350480788541337629664389, −2.92821552560790134755792987695, −2.55300900994618047188007980970, −2.52156215037672634036692424523, −2.22584091773723128503876906417, −2.17973936048721177847900977072, −1.96962397760348390164621000186, −1.53414086645799293493227973877, −1.48051452513117376829966190964, −1.30023151814795063559916376814, −1.28103608680477674336644983983, −0.912040452058771340430934866568, −0.65376610677889205136415830235, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.65376610677889205136415830235, 0.912040452058771340430934866568, 1.28103608680477674336644983983, 1.30023151814795063559916376814, 1.48051452513117376829966190964, 1.53414086645799293493227973877, 1.96962397760348390164621000186, 2.17973936048721177847900977072, 2.22584091773723128503876906417, 2.52156215037672634036692424523, 2.55300900994618047188007980970, 2.92821552560790134755792987695, 3.10325350480788541337629664389, 3.13596988314855035476847925613, 3.41325874474541884210822030980, 3.42395226448728700774421044460, 3.74372658021979788922219480439, 4.13367633193593308154224536720, 4.34256204433287742239635233014, 4.35698957308761850995176144597, 4.62962452377337361497565598717, 4.75050877146327859734412723270, 4.75110070302069520763097418506, 5.05648585599238806439859479947, 5.36599937372235074227998721522

Graph of the $Z$-function along the critical line

Plot not available for L-functions of degree greater than 10.