LMFDB - L-function 16-1-1.1-c105e8-0-0

Dirichlet series

L(s) = 1

− 9.17e15·2^-s − 3.55e24·3^-s − 5.99e31·4^-s + 7.48e35·5^-s + 3.25e40·6^-s + 7.05e43·7^-s + 6.96e47·8^-s − 3.35e50·9^-s − 6.86e51·10^-s − 9.13e54·11^-s + 2.13e56·12^-s + 4.02e57·13^-s − 6.47e59·14^-s − 2.65e60·15^-s + 1.23e63·16^-s − 4.75e64·17^-s + 3.08e66·18^-s − 1.84e67·19^-s − 4.48e67·20^-s − 2.50e68·21^-s + 8.37e70·22^-s + 3.56e71·23^-s − 2.47e72·24^-s − 7.99e73·25^-s − 3.69e73·26^-s + 2.72e75·27^-s − 4.23e75·28^-s + ⋯

L(s) = 1

− 1.44·2^-s − 0.317·3^-s − 1.47·4^-s + 0.150·5^-s + 0.457·6^-s + 0.302·7^-s + 2.69·8^-s − 2.68·9^-s − 0.217·10^-s − 1.93·11^-s + 0.469·12^-s + 0.132·13^-s − 0.435·14^-s − 0.0478·15^-s + 0.748·16^-s − 1.19·17^-s + 3.86·18^-s − 1.35·19^-s − 0.222·20^-s − 0.0960·21^-s + 2.79·22^-s + 1.15·23^-s − 0.855·24^-s − 3.24·25^-s − 0.191·26^-s + 1.94·27^-s − 0.447·28^-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\Gamma_{\C}(s)^{8} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(106-s)\end{aligned}\]

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\Gamma_{\C}(s+52.5)^{8} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]

Invariants

Degree:	$16$
Conductor:	$1$
Sign:	$1$
Analytic conductor:	$5.64645\times 10^{14}$
Root analytic conductor:	$8.35576$
Motivic weight:	$105$
Rational:	yes
Arithmetic:	yes
Character:	Trivial
Primitive:	no
Self-dual:	yes
Analytic rank:	$8$
Selberg data:	$(16,\ 1,\ (\ :[105/2]^{8}),\ 1)$

Particular Values

$L(53)$	$=$	$0$
$L(\frac12)$	$=$	$0$
$L(\frac{107}{2})$		not available
$L(1)$		not available

Euler product

$L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} $

	$p$	$F_p(T)$
good	2	$ 1 + 573439530573495 p^{4} T + $$17\!\cdots\!95$$ p^{13} T^{2} + $$35\!\cdots\!95$$ p^{25} T^{3} + $$26\!\cdots\!49$$ p^{42} T^{4} + $$17\!\cdots\!35$$ p^{62} T^{5} + $$16\!\cdots\!65$$ p^{85} T^{6} + $$18\!\cdots\!95$$ p^{114} T^{7} + $$31\!\cdots\!29$$ p^{146} T^{8} + $$18\!\cdots\!95$$ p^{219} T^{9} + $$16\!\cdots\!65$$ p^{295} T^{10} + $$17\!\cdots\!35$$ p^{377} T^{11} + $$26\!\cdots\!49$$ p^{462} T^{12} + $$35\!\cdots\!95$$ p^{550} T^{13} + $$17\!\cdots\!95$$ p^{643} T^{14} + 573439530573495 p^{739} T^{15} + p^{840} T^{16} $
	3	$ 1 + $$13\!\cdots\!40$$ p^{3} T + $$17\!\cdots\!60$$ p^{9} T^{2} - $$22\!\cdots\!20$$ p^{17} T^{3} + $$10\!\cdots\!12$$ p^{29} T^{4} - $$85\!\cdots\!80$$ p^{45} T^{5} + $$10\!\cdots\!80$$ p^{63} T^{6} - $$38\!\cdots\!20$$ p^{84} T^{7} + $$48\!\cdots\!46$$ p^{108} T^{8} - $$38\!\cdots\!20$$ p^{189} T^{9} + $$10\!\cdots\!80$$ p^{273} T^{10} - $$85\!\cdots\!80$$ p^{360} T^{11} + $$10\!\cdots\!12$$ p^{449} T^{12} - $$22\!\cdots\!20$$ p^{542} T^{13} + $$17\!\cdots\!60$$ p^{639} T^{14} + $$13\!\cdots\!40$$ p^{738} T^{15} + p^{840} T^{16} $
	5	$ 1 - $$29\!\cdots\!76$$ p^{2} T + $$10\!\cdots\!56$$ p^{7} T^{2} - $$21\!\cdots\!72$$ p^{13} T^{3} + $$11\!\cdots\!72$$ p^{22} T^{4} - $$71\!\cdots\!04$$ p^{32} T^{5} + $$14\!\cdots\!92$$ p^{44} T^{6} - $$15\!\cdots\!32$$ p^{58} T^{7} + $$20\!\cdots\!34$$ p^{73} T^{8} - $$15\!\cdots\!32$$ p^{163} T^{9} + $$14\!\cdots\!92$$ p^{254} T^{10} - $$71\!\cdots\!04$$ p^{347} T^{11} + $$11\!\cdots\!72$$ p^{442} T^{12} - $$21\!\cdots\!72$$ p^{538} T^{13} + $$10\!\cdots\!56$$ p^{637} T^{14} - $$29\!\cdots\!76$$ p^{737} T^{15} + p^{840} T^{16} $
	7	$ 1 - $$10\!\cdots\!00$$ p T + $$12\!\cdots\!00$$ p^{5} T^{2} - $$12\!\cdots\!00$$ p^{10} T^{3} + $$70\!\cdots\!96$$ p^{16} T^{4} - $$19\!\cdots\!00$$ p^{23} T^{5} + $$23\!\cdots\!00$$ p^{33} T^{6} - $$20\!\cdots\!00$$ p^{43} T^{7} + $$18\!\cdots\!58$$ p^{53} T^{8} - $$20\!\cdots\!00$$ p^{148} T^{9} + $$23\!\cdots\!00$$ p^{243} T^{10} - $$19\!\cdots\!00$$ p^{338} T^{11} + $$70\!\cdots\!96$$ p^{436} T^{12} - $$12\!\cdots\!00$$ p^{535} T^{13} + $$12\!\cdots\!00$$ p^{635} T^{14} - $$10\!\cdots\!00$$ p^{736} T^{15} + p^{840} T^{16} $
	11	$ 1 + $$83\!\cdots\!44$$ p T + $$92\!\cdots\!20$$ p^{3} T^{2} + $$49\!\cdots\!40$$ p^{5} T^{3} + $$32\!\cdots\!20$$ p^{8} T^{4} + $$10\!\cdots\!72$$ p^{13} T^{5} + $$41\!\cdots\!88$$ p^{19} T^{6} + $$97\!\cdots\!60$$ p^{26} T^{7} + $$28\!\cdots\!70$$ p^{33} T^{8} + $$97\!\cdots\!60$$ p^{131} T^{9} + $$41\!\cdots\!88$$ p^{229} T^{10} + $$10\!\cdots\!72$$ p^{328} T^{11} + $$32\!\cdots\!20$$ p^{428} T^{12} + $$49\!\cdots\!40$$ p^{530} T^{13} + $$92\!\cdots\!20$$ p^{633} T^{14} + $$83\!\cdots\!44$$ p^{736} T^{15} + p^{840} T^{16} $
	13	$ 1 - $$30\!\cdots\!80$$ p T + $$14\!\cdots\!80$$ p^{3} T^{2} + $$71\!\cdots\!20$$ p^{6} T^{3} + $$35\!\cdots\!04$$ p^{10} T^{4} + $$23\!\cdots\!80$$ p^{14} T^{5} + $$56\!\cdots\!80$$ p^{18} T^{6} + $$28\!\cdots\!80$$ p^{23} T^{7} + $$32\!\cdots\!22$$ p^{29} T^{8} + $$28\!\cdots\!80$$ p^{128} T^{9} + $$56\!\cdots\!80$$ p^{228} T^{10} + $$23\!\cdots\!80$$ p^{329} T^{11} + $$35\!\cdots\!04$$ p^{430} T^{12} + $$71\!\cdots\!20$$ p^{531} T^{13} + $$14\!\cdots\!80$$ p^{633} T^{14} - $$30\!\cdots\!80$$ p^{736} T^{15} + p^{840} T^{16} $
	17	$ 1 + $$27\!\cdots\!80$$ p T + $$19\!\cdots\!40$$ p^{3} T^{2} + $$25\!\cdots\!60$$ p^{5} T^{3} + $$58\!\cdots\!56$$ p^{8} T^{4} + $$22\!\cdots\!20$$ p^{12} T^{5} + $$21\!\cdots\!40$$ p^{16} T^{6} + $$71\!\cdots\!40$$ p^{20} T^{7} + $$58\!\cdots\!86$$ p^{24} T^{8} + $$71\!\cdots\!40$$ p^{125} T^{9} + $$21\!\cdots\!40$$ p^{226} T^{10} + $$22\!\cdots\!20$$ p^{327} T^{11} + $$58\!\cdots\!56$$ p^{428} T^{12} + $$25\!\cdots\!60$$ p^{530} T^{13} + $$19\!\cdots\!40$$ p^{633} T^{14} + $$27\!\cdots\!80$$ p^{736} T^{15} + p^{840} T^{16} $
	19	$ 1 + $$18\!\cdots\!20$$ T + $$34\!\cdots\!68$$ p T^{2} + $$18\!\cdots\!40$$ p^{3} T^{3} + $$11\!\cdots\!72$$ p^{5} T^{4} + $$28\!\cdots\!20$$ p^{8} T^{5} + $$36\!\cdots\!04$$ p^{12} T^{6} + $$43\!\cdots\!00$$ p^{16} T^{7} + $$24\!\cdots\!30$$ p^{21} T^{8} + $$43\!\cdots\!00$$ p^{121} T^{9} + $$36\!\cdots\!04$$ p^{222} T^{10} + $$28\!\cdots\!20$$ p^{323} T^{11} + $$11\!\cdots\!72$$ p^{425} T^{12} + $$18\!\cdots\!40$$ p^{528} T^{13} + $$34\!\cdots\!68$$ p^{631} T^{14} + $$18\!\cdots\!20$$ p^{735} T^{15} + p^{840} T^{16} $
	23	$ 1 - $$35\!\cdots\!60$$ T + $$20\!\cdots\!80$$ p T^{2} - $$39\!\cdots\!20$$ p^{2} T^{3} + $$43\!\cdots\!56$$ p^{4} T^{4} - $$14\!\cdots\!60$$ p^{7} T^{5} + $$50\!\cdots\!20$$ p^{10} T^{6} - $$13\!\cdots\!20$$ p^{13} T^{7} + $$17\!\cdots\!02$$ p^{17} T^{8} - $$13\!\cdots\!20$$ p^{118} T^{9} + $$50\!\cdots\!20$$ p^{220} T^{10} - $$14\!\cdots\!60$$ p^{322} T^{11} + $$43\!\cdots\!56$$ p^{424} T^{12} - $$39\!\cdots\!20$$ p^{527} T^{13} + $$20\!\cdots\!80$$ p^{631} T^{14} - $$35\!\cdots\!60$$ p^{735} T^{15} + p^{840} T^{16} $
	29	$ 1 + $$13\!\cdots\!80$$ T + $$82\!\cdots\!48$$ p T^{2} + $$22\!\cdots\!40$$ p^{2} T^{3} + $$28\!\cdots\!88$$ p^{4} T^{4} + $$19\!\cdots\!80$$ p^{6} T^{5} + $$20\!\cdots\!04$$ p^{8} T^{6} + $$39\!\cdots\!00$$ p^{11} T^{7} + $$13\!\cdots\!70$$ p^{14} T^{8} + $$39\!\cdots\!00$$ p^{116} T^{9} + $$20\!\cdots\!04$$ p^{218} T^{10} + $$19\!\cdots\!80$$ p^{321} T^{11} + $$28\!\cdots\!88$$ p^{424} T^{12} + $$22\!\cdots\!40$$ p^{527} T^{13} + $$82\!\cdots\!48$$ p^{631} T^{14} + $$13\!\cdots\!80$$ p^{735} T^{15} + p^{840} T^{16} $
	31	$ 1 - $$21\!\cdots\!16$$ T + $$73\!\cdots\!20$$ p T^{2} - $$32\!\cdots\!60$$ p^{2} T^{3} + $$23\!\cdots\!20$$ p^{4} T^{4} - $$23\!\cdots\!28$$ p^{6} T^{5} + $$15\!\cdots\!88$$ p^{8} T^{6} - $$35\!\cdots\!40$$ p^{11} T^{7} + $$78\!\cdots\!70$$ p^{14} T^{8} - $$35\!\cdots\!40$$ p^{116} T^{9} + $$15\!\cdots\!88$$ p^{218} T^{10} - $$23\!\cdots\!28$$ p^{321} T^{11} + $$23\!\cdots\!20$$ p^{424} T^{12} - $$32\!\cdots\!60$$ p^{527} T^{13} + $$73\!\cdots\!20$$ p^{631} T^{14} - $$21\!\cdots\!16$$ p^{735} T^{15} + p^{840} T^{16} $
	37	$ 1 + $$23\!\cdots\!80$$ T + $$20\!\cdots\!60$$ T^{2} + $$14\!\cdots\!80$$ p T^{3} + $$17\!\cdots\!84$$ p^{2} T^{4} + $$10\!\cdots\!20$$ p^{3} T^{5} + $$26\!\cdots\!60$$ p^{5} T^{6} + $$39\!\cdots\!40$$ p^{7} T^{7} + $$77\!\cdots\!78$$ p^{9} T^{8} + $$39\!\cdots\!40$$ p^{112} T^{9} + $$26\!\cdots\!60$$ p^{215} T^{10} + $$10\!\cdots\!20$$ p^{318} T^{11} + $$17\!\cdots\!84$$ p^{422} T^{12} + $$14\!\cdots\!80$$ p^{526} T^{13} + $$20\!\cdots\!60$$ p^{630} T^{14} + $$23\!\cdots\!80$$ p^{735} T^{15} + p^{840} T^{16} $
	41	$ 1 + $$91\!\cdots\!84$$ T + $$38\!\cdots\!20$$ p T^{2} + $$61\!\cdots\!40$$ p^{2} T^{3} + $$14\!\cdots\!20$$ p^{3} T^{4} + $$19\!\cdots\!12$$ p^{4} T^{5} + $$85\!\cdots\!88$$ p^{6} T^{6} + $$21\!\cdots\!60$$ p^{8} T^{7} + $$79\!\cdots\!70$$ p^{10} T^{8} + $$21\!\cdots\!60$$ p^{113} T^{9} + $$85\!\cdots\!88$$ p^{216} T^{10} + $$19\!\cdots\!12$$ p^{319} T^{11} + $$14\!\cdots\!20$$ p^{423} T^{12} + $$61\!\cdots\!40$$ p^{527} T^{13} + $$38\!\cdots\!20$$ p^{631} T^{14} + $$91\!\cdots\!84$$ p^{735} T^{15} + p^{840} T^{16} $
	43	$ 1 - $$30\!\cdots\!00$$ T + $$41\!\cdots\!00$$ p T^{2} - $$13\!\cdots\!00$$ p^{2} T^{3} + $$18\!\cdots\!28$$ p^{3} T^{4} - $$10\!\cdots\!00$$ p^{4} T^{5} + $$11\!\cdots\!00$$ p^{6} T^{6} - $$18\!\cdots\!00$$ p^{8} T^{7} + $$12\!\cdots\!94$$ p^{10} T^{8} - $$18\!\cdots\!00$$ p^{113} T^{9} + $$11\!\cdots\!00$$ p^{216} T^{10} - $$10\!\cdots\!00$$ p^{319} T^{11} + $$18\!\cdots\!28$$ p^{423} T^{12} - $$13\!\cdots\!00$$ p^{527} T^{13} + $$41\!\cdots\!00$$ p^{631} T^{14} - $$30\!\cdots\!00$$ p^{735} T^{15} + p^{840} T^{16} $
	47	$ 1 + $$41\!\cdots\!20$$ p T + $$50\!\cdots\!20$$ p^{2} T^{2} + $$46\!\cdots\!60$$ p^{3} T^{3} + $$91\!\cdots\!16$$ p^{4} T^{4} + $$45\!\cdots\!40$$ p^{5} T^{5} + $$11\!\cdots\!20$$ p^{7} T^{6} + $$10\!\cdots\!80$$ p^{9} T^{7} - $$19\!\cdots\!98$$ p^{11} T^{8} + $$10\!\cdots\!80$$ p^{114} T^{9} + $$11\!\cdots\!20$$ p^{217} T^{10} + $$45\!\cdots\!40$$ p^{320} T^{11} + $$91\!\cdots\!16$$ p^{424} T^{12} + $$46\!\cdots\!60$$ p^{528} T^{13} + $$50\!\cdots\!20$$ p^{632} T^{14} + $$41\!\cdots\!20$$ p^{736} T^{15} + p^{840} T^{16} $
	53	$ 1 + $$50\!\cdots\!80$$ T + $$10\!\cdots\!60$$ p T^{2} - $$29\!\cdots\!60$$ T^{3} + $$15\!\cdots\!96$$ T^{4} - $$41\!\cdots\!80$$ p T^{5} + $$86\!\cdots\!40$$ p^{2} T^{6} - $$33\!\cdots\!60$$ p^{3} T^{7} + $$37\!\cdots\!26$$ p^{4} T^{8} - $$33\!\cdots\!60$$ p^{108} T^{9} + $$86\!\cdots\!40$$ p^{212} T^{10} - $$41\!\cdots\!80$$ p^{316} T^{11} + $$15\!\cdots\!96$$ p^{420} T^{12} - $$29\!\cdots\!60$$ p^{525} T^{13} + $$10\!\cdots\!60$$ p^{631} T^{14} + $$50\!\cdots\!80$$ p^{735} T^{15} + p^{840} T^{16} $
	59	$ 1 + $$80\!\cdots\!60$$ T + $$19\!\cdots\!92$$ T^{2} + $$52\!\cdots\!80$$ T^{3} + $$22\!\cdots\!28$$ T^{4} + $$65\!\cdots\!40$$ p T^{5} + $$71\!\cdots\!24$$ p^{2} T^{6} - $$62\!\cdots\!00$$ p^{3} T^{7} + $$25\!\cdots\!30$$ p^{5} T^{8} - $$62\!\cdots\!00$$ p^{108} T^{9} + $$71\!\cdots\!24$$ p^{212} T^{10} + $$65\!\cdots\!40$$ p^{316} T^{11} + $$22\!\cdots\!28$$ p^{420} T^{12} + $$52\!\cdots\!80$$ p^{525} T^{13} + $$19\!\cdots\!92$$ p^{630} T^{14} + $$80\!\cdots\!60$$ p^{735} T^{15} + p^{840} T^{16} $
	61	$ 1 - $$93\!\cdots\!16$$ T + $$18\!\cdots\!20$$ T^{2} - $$10\!\cdots\!60$$ T^{3} + $$19\!\cdots\!20$$ p T^{4} - $$11\!\cdots\!08$$ p^{2} T^{5} + $$17\!\cdots\!68$$ p^{3} T^{6} - $$51\!\cdots\!40$$ p^{4} T^{7} + $$11\!\cdots\!70$$ p^{5} T^{8} - $$51\!\cdots\!40$$ p^{109} T^{9} + $$17\!\cdots\!68$$ p^{213} T^{10} - $$11\!\cdots\!08$$ p^{317} T^{11} + $$19\!\cdots\!20$$ p^{421} T^{12} - $$10\!\cdots\!60$$ p^{525} T^{13} + $$18\!\cdots\!20$$ p^{630} T^{14} - $$93\!\cdots\!16$$ p^{735} T^{15} + p^{840} T^{16} $
	67	$ 1 + $$11\!\cdots\!60$$ T + $$35\!\cdots\!20$$ T^{2} + $$24\!\cdots\!20$$ T^{3} + $$69\!\cdots\!88$$ p T^{4} + $$41\!\cdots\!80$$ p^{2} T^{5} + $$10\!\cdots\!80$$ p^{3} T^{6} + $$31\!\cdots\!40$$ p^{4} T^{7} + $$13\!\cdots\!58$$ p^{5} T^{8} + $$31\!\cdots\!40$$ p^{109} T^{9} + $$10\!\cdots\!80$$ p^{213} T^{10} + $$41\!\cdots\!80$$ p^{317} T^{11} + $$69\!\cdots\!88$$ p^{421} T^{12} + $$24\!\cdots\!20$$ p^{525} T^{13} + $$35\!\cdots\!20$$ p^{630} T^{14} + $$11\!\cdots\!60$$ p^{735} T^{15} + p^{840} T^{16} $
	71	$ 1 + $$50\!\cdots\!84$$ T + $$22\!\cdots\!20$$ T^{2} + $$67\!\cdots\!40$$ T^{3} + $$25\!\cdots\!20$$ p T^{4} + $$82\!\cdots\!52$$ p^{2} T^{5} + $$23\!\cdots\!28$$ p^{3} T^{6} + $$60\!\cdots\!60$$ p^{4} T^{7} + $$14\!\cdots\!70$$ p^{5} T^{8} + $$60\!\cdots\!60$$ p^{109} T^{9} + $$23\!\cdots\!28$$ p^{213} T^{10} + $$82\!\cdots\!52$$ p^{317} T^{11} + $$25\!\cdots\!20$$ p^{421} T^{12} + $$67\!\cdots\!40$$ p^{525} T^{13} + $$22\!\cdots\!20$$ p^{630} T^{14} + $$50\!\cdots\!84$$ p^{735} T^{15} + p^{840} T^{16} $
	73	$ 1 + $$30\!\cdots\!40$$ T + $$61\!\cdots\!40$$ T^{2} + $$11\!\cdots\!40$$ p T^{3} + $$18\!\cdots\!24$$ p^{2} T^{4} + $$24\!\cdots\!40$$ p^{3} T^{5} + $$28\!\cdots\!80$$ p^{4} T^{6} + $$29\!\cdots\!80$$ p^{5} T^{7} + $$28\!\cdots\!54$$ p^{6} T^{8} + $$29\!\cdots\!80$$ p^{110} T^{9} + $$28\!\cdots\!80$$ p^{214} T^{10} + $$24\!\cdots\!40$$ p^{318} T^{11} + $$18\!\cdots\!24$$ p^{422} T^{12} + $$11\!\cdots\!40$$ p^{526} T^{13} + $$61\!\cdots\!40$$ p^{630} T^{14} + $$30\!\cdots\!40$$ p^{735} T^{15} + p^{840} T^{16} $
	79	$ 1 + $$15\!\cdots\!80$$ T + $$17\!\cdots\!92$$ T^{2} + $$17\!\cdots\!60$$ p T^{3} + $$14\!\cdots\!08$$ p^{2} T^{4} + $$10\!\cdots\!20$$ p^{3} T^{5} + $$72\!\cdots\!24$$ p^{4} T^{6} + $$42\!\cdots\!00$$ p^{5} T^{7} + $$23\!\cdots\!70$$ p^{6} T^{8} + $$42\!\cdots\!00$$ p^{110} T^{9} + $$72\!\cdots\!24$$ p^{214} T^{10} + $$10\!\cdots\!20$$ p^{318} T^{11} + $$14\!\cdots\!08$$ p^{422} T^{12} + $$17\!\cdots\!60$$ p^{526} T^{13} + $$17\!\cdots\!92$$ p^{630} T^{14} + $$15\!\cdots\!80$$ p^{735} T^{15} + p^{840} T^{16} $
	83	$ 1 + $$27\!\cdots\!20$$ T + $$20\!\cdots\!20$$ T^{2} + $$56\!\cdots\!20$$ p T^{3} + $$27\!\cdots\!64$$ p^{2} T^{4} + $$64\!\cdots\!20$$ p^{3} T^{5} + $$23\!\cdots\!40$$ p^{4} T^{6} + $$44\!\cdots\!40$$ p^{5} T^{7} + $$12\!\cdots\!74$$ p^{6} T^{8} + $$44\!\cdots\!40$$ p^{110} T^{9} + $$23\!\cdots\!40$$ p^{214} T^{10} + $$64\!\cdots\!20$$ p^{318} T^{11} + $$27\!\cdots\!64$$ p^{422} T^{12} + $$56\!\cdots\!20$$ p^{526} T^{13} + $$20\!\cdots\!20$$ p^{630} T^{14} + $$27\!\cdots\!20$$ p^{735} T^{15} + p^{840} T^{16} $
	89	$ 1 - $$45\!\cdots\!60$$ T + $$37\!\cdots\!28$$ p T^{2} - $$13\!\cdots\!80$$ p^{2} T^{3} + $$61\!\cdots\!12$$ p^{3} T^{4} - $$16\!\cdots\!60$$ p^{4} T^{5} + $$56\!\cdots\!56$$ p^{5} T^{6} - $$12\!\cdots\!00$$ p^{6} T^{7} + $$38\!\cdots\!30$$ p^{7} T^{8} - $$12\!\cdots\!00$$ p^{111} T^{9} + $$56\!\cdots\!56$$ p^{215} T^{10} - $$16\!\cdots\!60$$ p^{319} T^{11} + $$61\!\cdots\!12$$ p^{423} T^{12} - $$13\!\cdots\!80$$ p^{527} T^{13} + $$37\!\cdots\!28$$ p^{631} T^{14} - $$45\!\cdots\!60$$ p^{735} T^{15} + p^{840} T^{16} $
	97	$ 1 + $$78\!\cdots\!20$$ p T + $$43\!\cdots\!20$$ p^{2} T^{2} + $$18\!\cdots\!60$$ p^{3} T^{3} + $$67\!\cdots\!16$$ p^{4} T^{4} + $$21\!\cdots\!40$$ p^{5} T^{5} + $$58\!\cdots\!40$$ p^{6} T^{6} + $$14\!\cdots\!20$$ p^{7} T^{7} + $$31\!\cdots\!46$$ p^{8} T^{8} + $$14\!\cdots\!20$$ p^{112} T^{9} + $$58\!\cdots\!40$$ p^{216} T^{10} + $$21\!\cdots\!40$$ p^{320} T^{11} + $$67\!\cdots\!16$$ p^{424} T^{12} + $$18\!\cdots\!60$$ p^{528} T^{13} + $$43\!\cdots\!20$$ p^{632} T^{14} + $$78\!\cdots\!20$$ p^{736} T^{15} + p^{840} T^{16} $
show more
show less

$L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{16} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}$

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−5.36599937372235074227998721522, −5.05648585599238806439859479947, −4.75110070302069520763097418506, −4.75050877146327859734412723270, −4.62962452377337361497565598717, −4.35698957308761850995176144597, −4.34256204433287742239635233014, −4.13367633193593308154224536720, −3.74372658021979788922219480439, −3.42395226448728700774421044460, −3.41325874474541884210822030980, −3.13596988314855035476847925613, −3.10325350480788541337629664389, −2.92821552560790134755792987695, −2.55300900994618047188007980970, −2.52156215037672634036692424523, −2.22584091773723128503876906417, −2.17973936048721177847900977072, −1.96962397760348390164621000186, −1.53414086645799293493227973877, −1.48051452513117376829966190964, −1.30023151814795063559916376814, −1.28103608680477674336644983983, −0.912040452058771340430934866568, −0.65376610677889205136415830235, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.65376610677889205136415830235, 0.912040452058771340430934866568, 1.28103608680477674336644983983, 1.30023151814795063559916376814, 1.48051452513117376829966190964, 1.53414086645799293493227973877, 1.96962397760348390164621000186, 2.17973936048721177847900977072, 2.22584091773723128503876906417, 2.52156215037672634036692424523, 2.55300900994618047188007980970, 2.92821552560790134755792987695, 3.10325350480788541337629664389, 3.13596988314855035476847925613, 3.41325874474541884210822030980, 3.42395226448728700774421044460, 3.74372658021979788922219480439, 4.13367633193593308154224536720, 4.34256204433287742239635233014, 4.35698957308761850995176144597, 4.62962452377337361497565598717, 4.75050877146327859734412723270, 4.75110070302069520763097418506, 5.05648585599238806439859479947, 5.36599937372235074227998721522

Graph of the $Z$-function along the critical line

Plot not available for L-functions of degree greater than 10.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

\(L(53)\)	\(=\)	\(0\)
\(L(\frac12)\)	\(=\)	\(0\)
\(L(\frac{107}{2})\)		not available
\(L(1)\)		not available

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Origins

Origins of factors

Downloads

Learn more