Properties

Degree 16
Conductor $ 1 $
Sign $1$
Motivic weight 103
Primitive no
Self-dual yes
Analytic rank 0

Origins

Origins of factors

Downloads

Learn more about

Normalization:  

Dirichlet series

L(s)  = 1  + 4.38e15·2-s + 5.08e24·3-s − 6.77e30·4-s + 5.51e35·5-s + 2.23e40·6-s + 4.17e43·7-s − 3.61e46·8-s − 2.47e49·9-s + 2.42e51·10-s − 5.35e52·11-s − 3.44e55·12-s − 1.55e57·13-s + 1.83e59·14-s + 2.80e60·15-s + 5.55e61·16-s + 2.01e63·17-s − 1.08e65·18-s + 1.48e66·19-s − 3.73e66·20-s + 2.12e68·21-s − 2.35e68·22-s + 4.05e70·23-s − 1.83e71·24-s − 3.97e72·25-s − 6.80e72·26-s − 1.91e74·27-s − 2.82e74·28-s + ⋯
L(s)  = 1  + 1.37·2-s + 1.36·3-s − 0.667·4-s + 0.555·5-s + 1.87·6-s + 1.25·7-s − 1.11·8-s − 1.77·9-s + 0.765·10-s − 0.125·11-s − 0.910·12-s − 0.664·13-s + 1.72·14-s + 0.757·15-s + 0.540·16-s + 0.863·17-s − 2.45·18-s + 2.06·19-s − 0.370·20-s + 1.70·21-s − 0.172·22-s + 3.01·23-s − 1.52·24-s − 4.02·25-s − 0.916·26-s − 3.68·27-s − 0.836·28-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned} \Lambda(s)=\mathstrut &\Gamma_{\C}(s)^{8} \, L(s)\cr =\mathstrut & \,\Lambda(104-s) \end{aligned} \]
\[\begin{aligned} \Lambda(s)=\mathstrut &\Gamma_{\C}(s+51.5)^{8} \, L(s)\cr =\mathstrut & \,\Lambda(1-s) \end{aligned} \]

Invariants

\( d \)  =  \(16\)
\( N \)  =  \(1\)
\( \varepsilon \)  =  $1$
motivic weight  =  \(103\)
character  :  $\chi_{1} (1, \cdot )$
primitive  :  no
self-dual  :  yes
analytic rank  =  0
Selberg data  =  $(16,\ 1,\ (\ :[103/2]^{8}),\ 1)$
$L(52)$  $\approx$  $69.70511210$
$L(\frac12)$  $\approx$  $69.70511210$
$L(\frac{105}{2})$   not available
$L(1)$   not available

Euler product

\[L(s) = \prod_{p \text{ prime}} F_p(p^{-s})^{-1} \] where, \(F_p\) is a polynomial of degree 16.
$p$$F_p$
good2 \( 1 - 548616194585055 p^{3} T + \)\(25\!\cdots\!75\)\( p^{10} T^{2} - \)\(51\!\cdots\!35\)\( p^{21} T^{3} + \)\(79\!\cdots\!87\)\( p^{39} T^{4} - \)\(52\!\cdots\!45\)\( p^{58} T^{5} + \)\(17\!\cdots\!75\)\( p^{78} T^{6} - \)\(20\!\cdots\!85\)\( p^{106} T^{7} + \)\(17\!\cdots\!79\)\( p^{138} T^{8} - \)\(20\!\cdots\!85\)\( p^{209} T^{9} + \)\(17\!\cdots\!75\)\( p^{284} T^{10} - \)\(52\!\cdots\!45\)\( p^{367} T^{11} + \)\(79\!\cdots\!87\)\( p^{451} T^{12} - \)\(51\!\cdots\!35\)\( p^{536} T^{13} + \)\(25\!\cdots\!75\)\( p^{628} T^{14} - 548616194585055 p^{724} T^{15} + p^{824} T^{16} \)
3 \( 1 - \)\(62\!\cdots\!40\)\( p^{4} T + \)\(85\!\cdots\!00\)\( p^{10} T^{2} - \)\(49\!\cdots\!20\)\( p^{18} T^{3} + \)\(71\!\cdots\!76\)\( p^{32} T^{4} - \)\(55\!\cdots\!80\)\( p^{48} T^{5} + \)\(82\!\cdots\!00\)\( p^{66} T^{6} - \)\(82\!\cdots\!60\)\( p^{88} T^{7} + \)\(14\!\cdots\!06\)\( p^{112} T^{8} - \)\(82\!\cdots\!60\)\( p^{191} T^{9} + \)\(82\!\cdots\!00\)\( p^{272} T^{10} - \)\(55\!\cdots\!80\)\( p^{357} T^{11} + \)\(71\!\cdots\!76\)\( p^{444} T^{12} - \)\(49\!\cdots\!20\)\( p^{533} T^{13} + \)\(85\!\cdots\!00\)\( p^{628} T^{14} - \)\(62\!\cdots\!40\)\( p^{725} T^{15} + p^{824} T^{16} \)
5 \( 1 - \)\(11\!\cdots\!24\)\( p T + \)\(68\!\cdots\!24\)\( p^{4} T^{2} - \)\(12\!\cdots\!84\)\( p^{9} T^{3} + \)\(12\!\cdots\!28\)\( p^{17} T^{4} - \)\(66\!\cdots\!88\)\( p^{27} T^{5} + \)\(38\!\cdots\!36\)\( p^{38} T^{6} - \)\(72\!\cdots\!24\)\( p^{50} T^{7} + \)\(29\!\cdots\!54\)\( p^{64} T^{8} - \)\(72\!\cdots\!24\)\( p^{153} T^{9} + \)\(38\!\cdots\!36\)\( p^{244} T^{10} - \)\(66\!\cdots\!88\)\( p^{336} T^{11} + \)\(12\!\cdots\!28\)\( p^{429} T^{12} - \)\(12\!\cdots\!84\)\( p^{524} T^{13} + \)\(68\!\cdots\!24\)\( p^{622} T^{14} - \)\(11\!\cdots\!24\)\( p^{722} T^{15} + p^{824} T^{16} \)
7 \( 1 - \)\(85\!\cdots\!00\)\( p^{2} T + \)\(33\!\cdots\!00\)\( p^{6} T^{2} - \)\(69\!\cdots\!00\)\( p^{11} T^{3} + \)\(47\!\cdots\!04\)\( p^{18} T^{4} - \)\(39\!\cdots\!00\)\( p^{27} T^{5} + \)\(39\!\cdots\!00\)\( p^{36} T^{6} - \)\(33\!\cdots\!00\)\( p^{45} T^{7} + \)\(55\!\cdots\!06\)\( p^{56} T^{8} - \)\(33\!\cdots\!00\)\( p^{148} T^{9} + \)\(39\!\cdots\!00\)\( p^{242} T^{10} - \)\(39\!\cdots\!00\)\( p^{336} T^{11} + \)\(47\!\cdots\!04\)\( p^{430} T^{12} - \)\(69\!\cdots\!00\)\( p^{526} T^{13} + \)\(33\!\cdots\!00\)\( p^{624} T^{14} - \)\(85\!\cdots\!00\)\( p^{723} T^{15} + p^{824} T^{16} \)
11 \( 1 + \)\(48\!\cdots\!04\)\( p T + \)\(79\!\cdots\!20\)\( p^{2} T^{2} + \)\(57\!\cdots\!40\)\( p^{5} T^{3} + \)\(19\!\cdots\!20\)\( p^{9} T^{4} + \)\(14\!\cdots\!52\)\( p^{14} T^{5} + \)\(20\!\cdots\!28\)\( p^{20} T^{6} + \)\(14\!\cdots\!60\)\( p^{26} T^{7} + \)\(12\!\cdots\!70\)\( p^{33} T^{8} + \)\(14\!\cdots\!60\)\( p^{129} T^{9} + \)\(20\!\cdots\!28\)\( p^{226} T^{10} + \)\(14\!\cdots\!52\)\( p^{323} T^{11} + \)\(19\!\cdots\!20\)\( p^{421} T^{12} + \)\(57\!\cdots\!40\)\( p^{520} T^{13} + \)\(79\!\cdots\!20\)\( p^{620} T^{14} + \)\(48\!\cdots\!04\)\( p^{722} T^{15} + p^{824} T^{16} \)
13 \( 1 + \)\(11\!\cdots\!40\)\( p T + \)\(14\!\cdots\!00\)\( p^{3} T^{2} + \)\(59\!\cdots\!60\)\( p^{6} T^{3} + \)\(43\!\cdots\!32\)\( p^{9} T^{4} + \)\(97\!\cdots\!40\)\( p^{12} T^{5} + \)\(61\!\cdots\!00\)\( p^{16} T^{6} + \)\(49\!\cdots\!60\)\( p^{21} T^{7} + \)\(16\!\cdots\!66\)\( p^{28} T^{8} + \)\(49\!\cdots\!60\)\( p^{124} T^{9} + \)\(61\!\cdots\!00\)\( p^{222} T^{10} + \)\(97\!\cdots\!40\)\( p^{321} T^{11} + \)\(43\!\cdots\!32\)\( p^{421} T^{12} + \)\(59\!\cdots\!60\)\( p^{521} T^{13} + \)\(14\!\cdots\!00\)\( p^{621} T^{14} + \)\(11\!\cdots\!40\)\( p^{722} T^{15} + p^{824} T^{16} \)
17 \( 1 - \)\(11\!\cdots\!60\)\( p T + \)\(55\!\cdots\!00\)\( p^{2} T^{2} - \)\(20\!\cdots\!60\)\( p^{4} T^{3} + \)\(30\!\cdots\!12\)\( p^{7} T^{4} - \)\(31\!\cdots\!60\)\( p^{10} T^{5} + \)\(78\!\cdots\!00\)\( p^{13} T^{6} - \)\(24\!\cdots\!20\)\( p^{16} T^{7} + \)\(10\!\cdots\!66\)\( p^{20} T^{8} - \)\(24\!\cdots\!20\)\( p^{119} T^{9} + \)\(78\!\cdots\!00\)\( p^{219} T^{10} - \)\(31\!\cdots\!60\)\( p^{319} T^{11} + \)\(30\!\cdots\!12\)\( p^{419} T^{12} - \)\(20\!\cdots\!60\)\( p^{519} T^{13} + \)\(55\!\cdots\!00\)\( p^{620} T^{14} - \)\(11\!\cdots\!60\)\( p^{722} T^{15} + p^{824} T^{16} \)
19 \( 1 - \)\(78\!\cdots\!00\)\( p T + \)\(71\!\cdots\!52\)\( p^{2} T^{2} - \)\(16\!\cdots\!00\)\( p^{4} T^{3} + \)\(21\!\cdots\!12\)\( p^{7} T^{4} - \)\(98\!\cdots\!00\)\( p^{10} T^{5} + \)\(15\!\cdots\!44\)\( p^{14} T^{6} + \)\(26\!\cdots\!00\)\( p^{19} T^{7} - \)\(66\!\cdots\!30\)\( p^{24} T^{8} + \)\(26\!\cdots\!00\)\( p^{122} T^{9} + \)\(15\!\cdots\!44\)\( p^{220} T^{10} - \)\(98\!\cdots\!00\)\( p^{319} T^{11} + \)\(21\!\cdots\!12\)\( p^{419} T^{12} - \)\(16\!\cdots\!00\)\( p^{519} T^{13} + \)\(71\!\cdots\!52\)\( p^{620} T^{14} - \)\(78\!\cdots\!00\)\( p^{722} T^{15} + p^{824} T^{16} \)
23 \( 1 - \)\(40\!\cdots\!20\)\( T + \)\(65\!\cdots\!00\)\( p T^{2} - \)\(26\!\cdots\!20\)\( p^{3} T^{3} + \)\(98\!\cdots\!92\)\( p^{5} T^{4} - \)\(24\!\cdots\!20\)\( p^{7} T^{5} + \)\(28\!\cdots\!00\)\( p^{10} T^{6} - \)\(94\!\cdots\!20\)\( p^{14} T^{7} + \)\(50\!\cdots\!54\)\( p^{18} T^{8} - \)\(94\!\cdots\!20\)\( p^{117} T^{9} + \)\(28\!\cdots\!00\)\( p^{216} T^{10} - \)\(24\!\cdots\!20\)\( p^{316} T^{11} + \)\(98\!\cdots\!92\)\( p^{417} T^{12} - \)\(26\!\cdots\!20\)\( p^{518} T^{13} + \)\(65\!\cdots\!00\)\( p^{619} T^{14} - \)\(40\!\cdots\!20\)\( p^{721} T^{15} + p^{824} T^{16} \)
29 \( 1 + \)\(11\!\cdots\!00\)\( T + \)\(82\!\cdots\!28\)\( p T^{2} + \)\(37\!\cdots\!00\)\( p^{2} T^{3} + \)\(11\!\cdots\!92\)\( p^{3} T^{4} + \)\(18\!\cdots\!00\)\( p^{5} T^{5} + \)\(11\!\cdots\!96\)\( p^{7} T^{6} + \)\(60\!\cdots\!00\)\( p^{10} T^{7} + \)\(95\!\cdots\!30\)\( p^{13} T^{8} + \)\(60\!\cdots\!00\)\( p^{113} T^{9} + \)\(11\!\cdots\!96\)\( p^{213} T^{10} + \)\(18\!\cdots\!00\)\( p^{314} T^{11} + \)\(11\!\cdots\!92\)\( p^{415} T^{12} + \)\(37\!\cdots\!00\)\( p^{517} T^{13} + \)\(82\!\cdots\!28\)\( p^{619} T^{14} + \)\(11\!\cdots\!00\)\( p^{721} T^{15} + p^{824} T^{16} \)
31 \( 1 - \)\(33\!\cdots\!56\)\( p T + \)\(26\!\cdots\!20\)\( p^{2} T^{2} - \)\(70\!\cdots\!60\)\( p^{3} T^{3} + \)\(10\!\cdots\!20\)\( p^{5} T^{4} - \)\(74\!\cdots\!88\)\( p^{7} T^{5} + \)\(27\!\cdots\!68\)\( p^{10} T^{6} - \)\(51\!\cdots\!40\)\( p^{13} T^{7} + \)\(14\!\cdots\!70\)\( p^{16} T^{8} - \)\(51\!\cdots\!40\)\( p^{116} T^{9} + \)\(27\!\cdots\!68\)\( p^{216} T^{10} - \)\(74\!\cdots\!88\)\( p^{316} T^{11} + \)\(10\!\cdots\!20\)\( p^{417} T^{12} - \)\(70\!\cdots\!60\)\( p^{518} T^{13} + \)\(26\!\cdots\!20\)\( p^{620} T^{14} - \)\(33\!\cdots\!56\)\( p^{722} T^{15} + p^{824} T^{16} \)
37 \( 1 + \)\(92\!\cdots\!40\)\( T + \)\(12\!\cdots\!00\)\( T^{2} + \)\(57\!\cdots\!60\)\( p T^{3} + \)\(40\!\cdots\!44\)\( p^{2} T^{4} + \)\(39\!\cdots\!60\)\( p^{3} T^{5} + \)\(13\!\cdots\!00\)\( p^{5} T^{6} + \)\(11\!\cdots\!80\)\( p^{7} T^{7} + \)\(29\!\cdots\!18\)\( p^{9} T^{8} + \)\(11\!\cdots\!80\)\( p^{110} T^{9} + \)\(13\!\cdots\!00\)\( p^{211} T^{10} + \)\(39\!\cdots\!60\)\( p^{312} T^{11} + \)\(40\!\cdots\!44\)\( p^{414} T^{12} + \)\(57\!\cdots\!60\)\( p^{516} T^{13} + \)\(12\!\cdots\!00\)\( p^{618} T^{14} + \)\(92\!\cdots\!40\)\( p^{721} T^{15} + p^{824} T^{16} \)
41 \( 1 - \)\(22\!\cdots\!76\)\( T + \)\(64\!\cdots\!20\)\( T^{2} - \)\(22\!\cdots\!60\)\( p T^{3} + \)\(10\!\cdots\!20\)\( p^{2} T^{4} - \)\(33\!\cdots\!08\)\( p^{3} T^{5} + \)\(32\!\cdots\!88\)\( p^{5} T^{6} - \)\(21\!\cdots\!40\)\( p^{7} T^{7} + \)\(17\!\cdots\!70\)\( p^{9} T^{8} - \)\(21\!\cdots\!40\)\( p^{110} T^{9} + \)\(32\!\cdots\!88\)\( p^{211} T^{10} - \)\(33\!\cdots\!08\)\( p^{312} T^{11} + \)\(10\!\cdots\!20\)\( p^{414} T^{12} - \)\(22\!\cdots\!60\)\( p^{516} T^{13} + \)\(64\!\cdots\!20\)\( p^{618} T^{14} - \)\(22\!\cdots\!76\)\( p^{721} T^{15} + p^{824} T^{16} \)
43 \( 1 - \)\(96\!\cdots\!00\)\( T + \)\(79\!\cdots\!00\)\( p T^{2} - \)\(16\!\cdots\!00\)\( p^{2} T^{3} + \)\(67\!\cdots\!28\)\( p^{3} T^{4} - \)\(30\!\cdots\!00\)\( p^{5} T^{5} + \)\(53\!\cdots\!00\)\( p^{7} T^{6} - \)\(28\!\cdots\!00\)\( p^{9} T^{7} + \)\(39\!\cdots\!58\)\( p^{11} T^{8} - \)\(28\!\cdots\!00\)\( p^{112} T^{9} + \)\(53\!\cdots\!00\)\( p^{213} T^{10} - \)\(30\!\cdots\!00\)\( p^{314} T^{11} + \)\(67\!\cdots\!28\)\( p^{415} T^{12} - \)\(16\!\cdots\!00\)\( p^{517} T^{13} + \)\(79\!\cdots\!00\)\( p^{619} T^{14} - \)\(96\!\cdots\!00\)\( p^{721} T^{15} + p^{824} T^{16} \)
47 \( 1 + \)\(29\!\cdots\!20\)\( T + \)\(22\!\cdots\!00\)\( p T^{2} + \)\(10\!\cdots\!40\)\( p^{2} T^{3} + \)\(49\!\cdots\!92\)\( p^{3} T^{4} + \)\(37\!\cdots\!20\)\( p^{5} T^{5} + \)\(29\!\cdots\!00\)\( p^{7} T^{6} + \)\(18\!\cdots\!60\)\( p^{9} T^{7} + \)\(11\!\cdots\!82\)\( p^{11} T^{8} + \)\(18\!\cdots\!60\)\( p^{112} T^{9} + \)\(29\!\cdots\!00\)\( p^{213} T^{10} + \)\(37\!\cdots\!20\)\( p^{314} T^{11} + \)\(49\!\cdots\!92\)\( p^{415} T^{12} + \)\(10\!\cdots\!40\)\( p^{517} T^{13} + \)\(22\!\cdots\!00\)\( p^{619} T^{14} + \)\(29\!\cdots\!20\)\( p^{721} T^{15} + p^{824} T^{16} \)
53 \( 1 - \)\(16\!\cdots\!40\)\( T + \)\(29\!\cdots\!00\)\( T^{2} - \)\(32\!\cdots\!80\)\( T^{3} + \)\(37\!\cdots\!16\)\( T^{4} - \)\(60\!\cdots\!60\)\( p T^{5} + \)\(99\!\cdots\!00\)\( p^{2} T^{6} - \)\(12\!\cdots\!80\)\( p^{3} T^{7} + \)\(17\!\cdots\!66\)\( p^{4} T^{8} - \)\(12\!\cdots\!80\)\( p^{106} T^{9} + \)\(99\!\cdots\!00\)\( p^{208} T^{10} - \)\(60\!\cdots\!60\)\( p^{310} T^{11} + \)\(37\!\cdots\!16\)\( p^{412} T^{12} - \)\(32\!\cdots\!80\)\( p^{515} T^{13} + \)\(29\!\cdots\!00\)\( p^{618} T^{14} - \)\(16\!\cdots\!40\)\( p^{721} T^{15} + p^{824} T^{16} \)
59 \( 1 + \)\(37\!\cdots\!00\)\( T + \)\(13\!\cdots\!32\)\( T^{2} + \)\(51\!\cdots\!00\)\( p T^{3} + \)\(14\!\cdots\!72\)\( p T^{4} + \)\(36\!\cdots\!00\)\( p^{2} T^{5} + \)\(16\!\cdots\!96\)\( p^{3} T^{6} + \)\(33\!\cdots\!00\)\( p^{4} T^{7} + \)\(14\!\cdots\!30\)\( p^{5} T^{8} + \)\(33\!\cdots\!00\)\( p^{107} T^{9} + \)\(16\!\cdots\!96\)\( p^{209} T^{10} + \)\(36\!\cdots\!00\)\( p^{311} T^{11} + \)\(14\!\cdots\!72\)\( p^{413} T^{12} + \)\(51\!\cdots\!00\)\( p^{516} T^{13} + \)\(13\!\cdots\!32\)\( p^{618} T^{14} + \)\(37\!\cdots\!00\)\( p^{721} T^{15} + p^{824} T^{16} \)
61 \( 1 - \)\(56\!\cdots\!56\)\( T + \)\(45\!\cdots\!20\)\( T^{2} - \)\(22\!\cdots\!60\)\( T^{3} + \)\(16\!\cdots\!20\)\( p T^{4} - \)\(11\!\cdots\!08\)\( p^{2} T^{5} + \)\(59\!\cdots\!88\)\( p^{3} T^{6} - \)\(36\!\cdots\!40\)\( p^{4} T^{7} + \)\(14\!\cdots\!70\)\( p^{5} T^{8} - \)\(36\!\cdots\!40\)\( p^{107} T^{9} + \)\(59\!\cdots\!88\)\( p^{209} T^{10} - \)\(11\!\cdots\!08\)\( p^{311} T^{11} + \)\(16\!\cdots\!20\)\( p^{413} T^{12} - \)\(22\!\cdots\!60\)\( p^{515} T^{13} + \)\(45\!\cdots\!20\)\( p^{618} T^{14} - \)\(56\!\cdots\!56\)\( p^{721} T^{15} + p^{824} T^{16} \)
67 \( 1 - \)\(36\!\cdots\!20\)\( T + \)\(11\!\cdots\!00\)\( T^{2} - \)\(34\!\cdots\!80\)\( p T^{3} + \)\(97\!\cdots\!84\)\( p^{2} T^{4} - \)\(21\!\cdots\!80\)\( p^{3} T^{5} + \)\(45\!\cdots\!00\)\( p^{4} T^{6} - \)\(79\!\cdots\!60\)\( p^{5} T^{7} + \)\(14\!\cdots\!14\)\( p^{6} T^{8} - \)\(79\!\cdots\!60\)\( p^{108} T^{9} + \)\(45\!\cdots\!00\)\( p^{210} T^{10} - \)\(21\!\cdots\!80\)\( p^{312} T^{11} + \)\(97\!\cdots\!84\)\( p^{414} T^{12} - \)\(34\!\cdots\!80\)\( p^{516} T^{13} + \)\(11\!\cdots\!00\)\( p^{618} T^{14} - \)\(36\!\cdots\!20\)\( p^{721} T^{15} + p^{824} T^{16} \)
71 \( 1 - \)\(13\!\cdots\!96\)\( T + \)\(10\!\cdots\!20\)\( T^{2} - \)\(85\!\cdots\!60\)\( p T^{3} + \)\(54\!\cdots\!20\)\( p^{2} T^{4} - \)\(28\!\cdots\!88\)\( p^{3} T^{5} + \)\(12\!\cdots\!08\)\( p^{4} T^{6} - \)\(48\!\cdots\!40\)\( p^{5} T^{7} + \)\(16\!\cdots\!70\)\( p^{6} T^{8} - \)\(48\!\cdots\!40\)\( p^{108} T^{9} + \)\(12\!\cdots\!08\)\( p^{210} T^{10} - \)\(28\!\cdots\!88\)\( p^{312} T^{11} + \)\(54\!\cdots\!20\)\( p^{414} T^{12} - \)\(85\!\cdots\!60\)\( p^{516} T^{13} + \)\(10\!\cdots\!20\)\( p^{618} T^{14} - \)\(13\!\cdots\!96\)\( p^{721} T^{15} + p^{824} T^{16} \)
73 \( 1 - \)\(44\!\cdots\!20\)\( T + \)\(10\!\cdots\!00\)\( T^{2} - \)\(27\!\cdots\!80\)\( p T^{3} + \)\(54\!\cdots\!64\)\( p^{2} T^{4} - \)\(95\!\cdots\!20\)\( p^{3} T^{5} + \)\(15\!\cdots\!00\)\( p^{4} T^{6} - \)\(22\!\cdots\!60\)\( p^{5} T^{7} + \)\(29\!\cdots\!34\)\( p^{6} T^{8} - \)\(22\!\cdots\!60\)\( p^{108} T^{9} + \)\(15\!\cdots\!00\)\( p^{210} T^{10} - \)\(95\!\cdots\!20\)\( p^{312} T^{11} + \)\(54\!\cdots\!64\)\( p^{414} T^{12} - \)\(27\!\cdots\!80\)\( p^{516} T^{13} + \)\(10\!\cdots\!00\)\( p^{618} T^{14} - \)\(44\!\cdots\!20\)\( p^{721} T^{15} + p^{824} T^{16} \)
79 \( 1 - \)\(24\!\cdots\!00\)\( T + \)\(15\!\cdots\!28\)\( p T^{2} - \)\(54\!\cdots\!00\)\( p^{2} T^{3} + \)\(15\!\cdots\!92\)\( p^{3} T^{4} - \)\(54\!\cdots\!00\)\( p^{4} T^{5} + \)\(10\!\cdots\!36\)\( p^{5} T^{6} - \)\(34\!\cdots\!00\)\( p^{6} T^{7} + \)\(52\!\cdots\!30\)\( p^{7} T^{8} - \)\(34\!\cdots\!00\)\( p^{109} T^{9} + \)\(10\!\cdots\!36\)\( p^{211} T^{10} - \)\(54\!\cdots\!00\)\( p^{313} T^{11} + \)\(15\!\cdots\!92\)\( p^{415} T^{12} - \)\(54\!\cdots\!00\)\( p^{517} T^{13} + \)\(15\!\cdots\!28\)\( p^{619} T^{14} - \)\(24\!\cdots\!00\)\( p^{721} T^{15} + p^{824} T^{16} \)
83 \( 1 + \)\(25\!\cdots\!40\)\( T + \)\(63\!\cdots\!00\)\( p T^{2} + \)\(10\!\cdots\!20\)\( p^{2} T^{3} + \)\(16\!\cdots\!48\)\( p^{3} T^{4} + \)\(19\!\cdots\!80\)\( p^{4} T^{5} + \)\(22\!\cdots\!00\)\( p^{5} T^{6} + \)\(21\!\cdots\!40\)\( p^{6} T^{7} + \)\(18\!\cdots\!58\)\( p^{7} T^{8} + \)\(21\!\cdots\!40\)\( p^{109} T^{9} + \)\(22\!\cdots\!00\)\( p^{211} T^{10} + \)\(19\!\cdots\!80\)\( p^{313} T^{11} + \)\(16\!\cdots\!48\)\( p^{415} T^{12} + \)\(10\!\cdots\!20\)\( p^{517} T^{13} + \)\(63\!\cdots\!00\)\( p^{619} T^{14} + \)\(25\!\cdots\!40\)\( p^{721} T^{15} + p^{824} T^{16} \)
89 \( 1 + \)\(24\!\cdots\!00\)\( T + \)\(28\!\cdots\!68\)\( p T^{2} - \)\(25\!\cdots\!00\)\( p^{2} T^{3} + \)\(52\!\cdots\!32\)\( p^{3} T^{4} - \)\(61\!\cdots\!00\)\( p^{4} T^{5} + \)\(65\!\cdots\!96\)\( p^{5} T^{6} - \)\(91\!\cdots\!00\)\( p^{6} T^{7} + \)\(58\!\cdots\!30\)\( p^{7} T^{8} - \)\(91\!\cdots\!00\)\( p^{109} T^{9} + \)\(65\!\cdots\!96\)\( p^{211} T^{10} - \)\(61\!\cdots\!00\)\( p^{313} T^{11} + \)\(52\!\cdots\!32\)\( p^{415} T^{12} - \)\(25\!\cdots\!00\)\( p^{517} T^{13} + \)\(28\!\cdots\!68\)\( p^{619} T^{14} + \)\(24\!\cdots\!00\)\( p^{721} T^{15} + p^{824} T^{16} \)
97 \( 1 - \)\(51\!\cdots\!40\)\( p T + \)\(39\!\cdots\!00\)\( p^{2} T^{2} - \)\(14\!\cdots\!80\)\( p^{3} T^{3} + \)\(61\!\cdots\!36\)\( p^{4} T^{4} - \)\(17\!\cdots\!80\)\( p^{5} T^{5} + \)\(54\!\cdots\!00\)\( p^{6} T^{6} - \)\(12\!\cdots\!60\)\( p^{7} T^{7} + \)\(30\!\cdots\!86\)\( p^{8} T^{8} - \)\(12\!\cdots\!60\)\( p^{110} T^{9} + \)\(54\!\cdots\!00\)\( p^{212} T^{10} - \)\(17\!\cdots\!80\)\( p^{314} T^{11} + \)\(61\!\cdots\!36\)\( p^{416} T^{12} - \)\(14\!\cdots\!80\)\( p^{518} T^{13} + \)\(39\!\cdots\!00\)\( p^{620} T^{14} - \)\(51\!\cdots\!40\)\( p^{722} T^{15} + p^{824} T^{16} \)
show more
show less
\[\begin{aligned} L(s) = \prod_p \ \prod_{j=1}^{16} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1} \end{aligned}\]

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−4.63298857090053863915474771330, −4.51768705190897098073789439257, −4.10382264182646781003876121231, −3.84454976406587141845199562543, −3.77480185669757385586491601655, −3.71757155189670630661587033188, −3.53520829839401559070020806391, −3.39208685451152238495680886104, −3.04358452573765442530295664594, −2.92680892065378442959232696076, −2.87955648715369835865194743466, −2.37590588962699693311472937317, −2.35386395799161340447185020963, −2.28341398809701646391944965828, −2.27547987401573463435651504036, −1.78970678691218207625078008999, −1.72487038180223718843796543554, −1.51236689024897907823367013330, −1.16631250631130487402359409914, −1.07600817673398778255563222649, −0.71731748811295139800188646784, −0.63635881128021820230484115981, −0.63196233004117782406842765128, −0.40526073681439154684249278264, −0.23945463581396790477328781855, 0.23945463581396790477328781855, 0.40526073681439154684249278264, 0.63196233004117782406842765128, 0.63635881128021820230484115981, 0.71731748811295139800188646784, 1.07600817673398778255563222649, 1.16631250631130487402359409914, 1.51236689024897907823367013330, 1.72487038180223718843796543554, 1.78970678691218207625078008999, 2.27547987401573463435651504036, 2.28341398809701646391944965828, 2.35386395799161340447185020963, 2.37590588962699693311472937317, 2.87955648715369835865194743466, 2.92680892065378442959232696076, 3.04358452573765442530295664594, 3.39208685451152238495680886104, 3.53520829839401559070020806391, 3.71757155189670630661587033188, 3.77480185669757385586491601655, 3.84454976406587141845199562543, 4.10382264182646781003876121231, 4.51768705190897098073789439257, 4.63298857090053863915474771330

Graph of the $Z$-function along the critical line

Plot not available for L-functions of degree greater than 10.