Properties

Degree 16
Conductor $ 1 $
Sign $1$
Motivic weight 101
Primitive no
Self-dual yes
Analytic rank 8

Origins

Origins of factors

Downloads

Learn more about

Normalization:  

Dirichlet series

L(s)  = 1  − 4.34e14·2-s − 1.20e24·3-s − 5.54e30·4-s + 3.82e34·5-s + 5.26e38·6-s − 5.78e42·7-s + 7.71e44·8-s − 2.81e48·9-s − 1.66e49·10-s + 4.62e51·11-s + 6.70e54·12-s + 2.50e56·13-s + 2.51e57·14-s − 4.62e58·15-s + 7.70e60·16-s − 3.97e62·17-s + 1.22e63·18-s − 2.13e64·19-s − 2.11e65·20-s + 6.99e66·21-s − 2.01e66·22-s − 1.36e69·23-s − 9.33e68·24-s − 1.18e71·25-s − 1.08e71·26-s + 2.63e72·27-s + 3.20e73·28-s + ⋯
L(s)  = 1  − 0.273·2-s − 0.972·3-s − 2.18·4-s + 0.192·5-s + 0.265·6-s − 1.21·7-s + 0.191·8-s − 1.82·9-s − 0.0525·10-s + 0.118·11-s + 2.12·12-s + 1.39·13-s + 0.332·14-s − 0.187·15-s + 1.19·16-s − 2.89·17-s + 0.497·18-s − 0.566·19-s − 0.420·20-s + 1.18·21-s − 0.0324·22-s − 2.33·23-s − 0.185·24-s − 2.99·25-s − 0.380·26-s + 1.37·27-s + 2.65·28-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\Gamma_{\C}(s)^{8} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(102-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\Gamma_{\C}(s+50.5)^{8} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]

Invariants

\( d \)  =  \(16\)
\( N \)  =  \(1\)
\( \varepsilon \)  =  $1$
motivic weight  =  \(101\)
character  :  $\chi_{1} (1, \cdot )$
primitive  :  no
self-dual  :  yes
analytic rank  =  \(8\)
Selberg data  =  \((16,\ 1,\ (\ :[101/2]^{8}),\ 1)\)
\(L(51)\)  \(=\)  \(0\)
\(L(\frac12)\)  \(=\)  \(0\)
\(L(\frac{103}{2})\)   not available
\(L(1)\)   not available

Euler product

\[L(s) = \prod_{p \text{ prime}} F_p(p^{-s})^{-1} \]where,\(F_p(T)\) is a polynomial of degree 16.
$p$$F_p(T)$
good2 \( 1 + 13593409118595 p^{5} T + \)\(69\!\cdots\!55\)\( p^{13} T^{2} + \)\(30\!\cdots\!35\)\( p^{27} T^{3} + \)\(72\!\cdots\!13\)\( p^{45} T^{4} + \)\(15\!\cdots\!85\)\( p^{63} T^{5} + \)\(23\!\cdots\!85\)\( p^{85} T^{6} + \)\(25\!\cdots\!15\)\( p^{114} T^{7} + \)\(27\!\cdots\!39\)\( p^{146} T^{8} + \)\(25\!\cdots\!15\)\( p^{215} T^{9} + \)\(23\!\cdots\!85\)\( p^{287} T^{10} + \)\(15\!\cdots\!85\)\( p^{366} T^{11} + \)\(72\!\cdots\!13\)\( p^{449} T^{12} + \)\(30\!\cdots\!35\)\( p^{532} T^{13} + \)\(69\!\cdots\!55\)\( p^{619} T^{14} + 13593409118595 p^{712} T^{15} + p^{808} T^{16} \)
3 \( 1 + \)\(13\!\cdots\!40\)\( p^{2} T + \)\(19\!\cdots\!60\)\( p^{7} T^{2} + \)\(13\!\cdots\!80\)\( p^{16} T^{3} + \)\(11\!\cdots\!28\)\( p^{27} T^{4} + \)\(12\!\cdots\!80\)\( p^{42} T^{5} + \)\(42\!\cdots\!40\)\( p^{60} T^{6} + \)\(12\!\cdots\!60\)\( p^{80} T^{7} + \)\(23\!\cdots\!18\)\( p^{103} T^{8} + \)\(12\!\cdots\!60\)\( p^{181} T^{9} + \)\(42\!\cdots\!40\)\( p^{262} T^{10} + \)\(12\!\cdots\!80\)\( p^{345} T^{11} + \)\(11\!\cdots\!28\)\( p^{431} T^{12} + \)\(13\!\cdots\!80\)\( p^{521} T^{13} + \)\(19\!\cdots\!60\)\( p^{613} T^{14} + \)\(13\!\cdots\!40\)\( p^{709} T^{15} + p^{808} T^{16} \)
5 \( 1 - \)\(15\!\cdots\!88\)\( p^{2} T + \)\(15\!\cdots\!64\)\( p^{7} T^{2} + \)\(66\!\cdots\!28\)\( p^{13} T^{3} + \)\(33\!\cdots\!04\)\( p^{22} T^{4} + \)\(97\!\cdots\!48\)\( p^{32} T^{5} + \)\(38\!\cdots\!84\)\( p^{43} T^{6} + \)\(25\!\cdots\!12\)\( p^{57} T^{7} + \)\(89\!\cdots\!06\)\( p^{72} T^{8} + \)\(25\!\cdots\!12\)\( p^{158} T^{9} + \)\(38\!\cdots\!84\)\( p^{245} T^{10} + \)\(97\!\cdots\!48\)\( p^{335} T^{11} + \)\(33\!\cdots\!04\)\( p^{426} T^{12} + \)\(66\!\cdots\!28\)\( p^{518} T^{13} + \)\(15\!\cdots\!64\)\( p^{613} T^{14} - \)\(15\!\cdots\!88\)\( p^{709} T^{15} + p^{808} T^{16} \)
7 \( 1 + \)\(82\!\cdots\!00\)\( p T + \)\(42\!\cdots\!00\)\( p^{4} T^{2} + \)\(72\!\cdots\!00\)\( p^{8} T^{3} + \)\(69\!\cdots\!04\)\( p^{14} T^{4} + \)\(24\!\cdots\!00\)\( p^{21} T^{5} + \)\(42\!\cdots\!00\)\( p^{29} T^{6} + \)\(22\!\cdots\!00\)\( p^{38} T^{7} + \)\(88\!\cdots\!06\)\( p^{48} T^{8} + \)\(22\!\cdots\!00\)\( p^{139} T^{9} + \)\(42\!\cdots\!00\)\( p^{231} T^{10} + \)\(24\!\cdots\!00\)\( p^{324} T^{11} + \)\(69\!\cdots\!04\)\( p^{418} T^{12} + \)\(72\!\cdots\!00\)\( p^{513} T^{13} + \)\(42\!\cdots\!00\)\( p^{610} T^{14} + \)\(82\!\cdots\!00\)\( p^{708} T^{15} + p^{808} T^{16} \)
11 \( 1 - \)\(46\!\cdots\!96\)\( T + \)\(44\!\cdots\!20\)\( p^{2} T^{2} - \)\(10\!\cdots\!60\)\( p^{5} T^{3} + \)\(57\!\cdots\!20\)\( p^{9} T^{4} - \)\(17\!\cdots\!48\)\( p^{14} T^{5} + \)\(53\!\cdots\!28\)\( p^{19} T^{6} - \)\(11\!\cdots\!40\)\( p^{25} T^{7} + \)\(30\!\cdots\!70\)\( p^{32} T^{8} - \)\(11\!\cdots\!40\)\( p^{126} T^{9} + \)\(53\!\cdots\!28\)\( p^{221} T^{10} - \)\(17\!\cdots\!48\)\( p^{317} T^{11} + \)\(57\!\cdots\!20\)\( p^{413} T^{12} - \)\(10\!\cdots\!60\)\( p^{510} T^{13} + \)\(44\!\cdots\!20\)\( p^{608} T^{14} - \)\(46\!\cdots\!96\)\( p^{707} T^{15} + p^{808} T^{16} \)
13 \( 1 - \)\(19\!\cdots\!60\)\( p T + \)\(80\!\cdots\!20\)\( p^{3} T^{2} - \)\(10\!\cdots\!80\)\( p^{5} T^{3} + \)\(24\!\cdots\!28\)\( p^{7} T^{4} - \)\(22\!\cdots\!40\)\( p^{10} T^{5} + \)\(16\!\cdots\!40\)\( p^{15} T^{6} - \)\(59\!\cdots\!60\)\( p^{21} T^{7} + \)\(20\!\cdots\!46\)\( p^{28} T^{8} - \)\(59\!\cdots\!60\)\( p^{122} T^{9} + \)\(16\!\cdots\!40\)\( p^{217} T^{10} - \)\(22\!\cdots\!40\)\( p^{313} T^{11} + \)\(24\!\cdots\!28\)\( p^{411} T^{12} - \)\(10\!\cdots\!80\)\( p^{510} T^{13} + \)\(80\!\cdots\!20\)\( p^{609} T^{14} - \)\(19\!\cdots\!60\)\( p^{708} T^{15} + p^{808} T^{16} \)
17 \( 1 + \)\(23\!\cdots\!60\)\( p T + \)\(33\!\cdots\!60\)\( p^{3} T^{2} + \)\(28\!\cdots\!20\)\( p^{5} T^{3} + \)\(24\!\cdots\!72\)\( p^{7} T^{4} + \)\(16\!\cdots\!20\)\( p^{9} T^{5} + \)\(61\!\cdots\!60\)\( p^{12} T^{6} + \)\(64\!\cdots\!40\)\( p^{17} T^{7} + \)\(69\!\cdots\!34\)\( p^{22} T^{8} + \)\(64\!\cdots\!40\)\( p^{118} T^{9} + \)\(61\!\cdots\!60\)\( p^{214} T^{10} + \)\(16\!\cdots\!20\)\( p^{312} T^{11} + \)\(24\!\cdots\!72\)\( p^{411} T^{12} + \)\(28\!\cdots\!20\)\( p^{510} T^{13} + \)\(33\!\cdots\!60\)\( p^{609} T^{14} + \)\(23\!\cdots\!60\)\( p^{708} T^{15} + p^{808} T^{16} \)
19 \( 1 + \)\(21\!\cdots\!80\)\( T + \)\(46\!\cdots\!08\)\( p T^{2} + \)\(21\!\cdots\!60\)\( p^{3} T^{3} + \)\(14\!\cdots\!92\)\( p^{5} T^{4} + \)\(28\!\cdots\!80\)\( p^{8} T^{5} + \)\(41\!\cdots\!64\)\( p^{12} T^{6} + \)\(35\!\cdots\!00\)\( p^{16} T^{7} + \)\(22\!\cdots\!30\)\( p^{21} T^{8} + \)\(35\!\cdots\!00\)\( p^{117} T^{9} + \)\(41\!\cdots\!64\)\( p^{214} T^{10} + \)\(28\!\cdots\!80\)\( p^{311} T^{11} + \)\(14\!\cdots\!92\)\( p^{409} T^{12} + \)\(21\!\cdots\!60\)\( p^{508} T^{13} + \)\(46\!\cdots\!08\)\( p^{607} T^{14} + \)\(21\!\cdots\!80\)\( p^{707} T^{15} + p^{808} T^{16} \)
23 \( 1 + \)\(59\!\cdots\!60\)\( p T + \)\(32\!\cdots\!40\)\( p^{2} T^{2} + \)\(12\!\cdots\!20\)\( p^{3} T^{3} + \)\(20\!\cdots\!12\)\( p^{5} T^{4} + \)\(12\!\cdots\!60\)\( p^{8} T^{5} + \)\(74\!\cdots\!60\)\( p^{11} T^{6} + \)\(17\!\cdots\!40\)\( p^{15} T^{7} + \)\(38\!\cdots\!58\)\( p^{19} T^{8} + \)\(17\!\cdots\!40\)\( p^{116} T^{9} + \)\(74\!\cdots\!60\)\( p^{213} T^{10} + \)\(12\!\cdots\!60\)\( p^{311} T^{11} + \)\(20\!\cdots\!12\)\( p^{409} T^{12} + \)\(12\!\cdots\!20\)\( p^{508} T^{13} + \)\(32\!\cdots\!40\)\( p^{608} T^{14} + \)\(59\!\cdots\!60\)\( p^{708} T^{15} + p^{808} T^{16} \)
29 \( 1 - \)\(15\!\cdots\!80\)\( T + \)\(58\!\cdots\!08\)\( p T^{2} - \)\(86\!\cdots\!40\)\( p^{2} T^{3} + \)\(19\!\cdots\!08\)\( p^{4} T^{4} - \)\(16\!\cdots\!80\)\( p^{6} T^{5} + \)\(51\!\cdots\!36\)\( p^{9} T^{6} - \)\(21\!\cdots\!00\)\( p^{12} T^{7} + \)\(40\!\cdots\!30\)\( p^{15} T^{8} - \)\(21\!\cdots\!00\)\( p^{113} T^{9} + \)\(51\!\cdots\!36\)\( p^{211} T^{10} - \)\(16\!\cdots\!80\)\( p^{309} T^{11} + \)\(19\!\cdots\!08\)\( p^{408} T^{12} - \)\(86\!\cdots\!40\)\( p^{507} T^{13} + \)\(58\!\cdots\!08\)\( p^{607} T^{14} - \)\(15\!\cdots\!80\)\( p^{707} T^{15} + p^{808} T^{16} \)
31 \( 1 + \)\(65\!\cdots\!44\)\( T + \)\(10\!\cdots\!20\)\( p T^{2} + \)\(12\!\cdots\!40\)\( p^{2} T^{3} + \)\(42\!\cdots\!20\)\( p^{4} T^{4} + \)\(11\!\cdots\!72\)\( p^{6} T^{5} + \)\(32\!\cdots\!08\)\( p^{8} T^{6} + \)\(24\!\cdots\!60\)\( p^{11} T^{7} + \)\(18\!\cdots\!70\)\( p^{14} T^{8} + \)\(24\!\cdots\!60\)\( p^{112} T^{9} + \)\(32\!\cdots\!08\)\( p^{210} T^{10} + \)\(11\!\cdots\!72\)\( p^{309} T^{11} + \)\(42\!\cdots\!20\)\( p^{408} T^{12} + \)\(12\!\cdots\!40\)\( p^{507} T^{13} + \)\(10\!\cdots\!20\)\( p^{607} T^{14} + \)\(65\!\cdots\!44\)\( p^{707} T^{15} + p^{808} T^{16} \)
37 \( 1 - \)\(39\!\cdots\!40\)\( T + \)\(16\!\cdots\!40\)\( T^{2} - \)\(96\!\cdots\!40\)\( p T^{3} + \)\(63\!\cdots\!04\)\( p^{2} T^{4} - \)\(26\!\cdots\!60\)\( p^{3} T^{5} + \)\(36\!\cdots\!40\)\( p^{5} T^{6} - \)\(33\!\cdots\!20\)\( p^{7} T^{7} + \)\(45\!\cdots\!58\)\( p^{9} T^{8} - \)\(33\!\cdots\!20\)\( p^{108} T^{9} + \)\(36\!\cdots\!40\)\( p^{207} T^{10} - \)\(26\!\cdots\!60\)\( p^{306} T^{11} + \)\(63\!\cdots\!04\)\( p^{406} T^{12} - \)\(96\!\cdots\!40\)\( p^{506} T^{13} + \)\(16\!\cdots\!40\)\( p^{606} T^{14} - \)\(39\!\cdots\!40\)\( p^{707} T^{15} + p^{808} T^{16} \)
41 \( 1 - \)\(56\!\cdots\!36\)\( T + \)\(10\!\cdots\!20\)\( p T^{2} - \)\(10\!\cdots\!60\)\( p^{2} T^{3} + \)\(12\!\cdots\!20\)\( p^{3} T^{4} - \)\(24\!\cdots\!68\)\( p^{5} T^{5} + \)\(54\!\cdots\!28\)\( p^{7} T^{6} - \)\(92\!\cdots\!40\)\( p^{9} T^{7} + \)\(17\!\cdots\!70\)\( p^{11} T^{8} - \)\(92\!\cdots\!40\)\( p^{110} T^{9} + \)\(54\!\cdots\!28\)\( p^{209} T^{10} - \)\(24\!\cdots\!68\)\( p^{308} T^{11} + \)\(12\!\cdots\!20\)\( p^{407} T^{12} - \)\(10\!\cdots\!60\)\( p^{507} T^{13} + \)\(10\!\cdots\!20\)\( p^{607} T^{14} - \)\(56\!\cdots\!36\)\( p^{707} T^{15} + p^{808} T^{16} \)
43 \( 1 + \)\(28\!\cdots\!00\)\( T + \)\(13\!\cdots\!00\)\( p T^{2} + \)\(70\!\cdots\!00\)\( p^{2} T^{3} + \)\(19\!\cdots\!28\)\( p^{3} T^{4} + \)\(78\!\cdots\!00\)\( p^{4} T^{5} + \)\(38\!\cdots\!00\)\( p^{6} T^{6} + \)\(29\!\cdots\!00\)\( p^{8} T^{7} + \)\(12\!\cdots\!94\)\( p^{10} T^{8} + \)\(29\!\cdots\!00\)\( p^{109} T^{9} + \)\(38\!\cdots\!00\)\( p^{208} T^{10} + \)\(78\!\cdots\!00\)\( p^{307} T^{11} + \)\(19\!\cdots\!28\)\( p^{407} T^{12} + \)\(70\!\cdots\!00\)\( p^{507} T^{13} + \)\(13\!\cdots\!00\)\( p^{607} T^{14} + \)\(28\!\cdots\!00\)\( p^{707} T^{15} + p^{808} T^{16} \)
47 \( 1 + \)\(97\!\cdots\!40\)\( p T + \)\(19\!\cdots\!80\)\( p^{2} T^{2} + \)\(13\!\cdots\!20\)\( p^{3} T^{3} + \)\(16\!\cdots\!56\)\( p^{4} T^{4} + \)\(21\!\cdots\!40\)\( p^{6} T^{5} + \)\(41\!\cdots\!40\)\( p^{8} T^{6} + \)\(46\!\cdots\!80\)\( p^{10} T^{7} + \)\(77\!\cdots\!46\)\( p^{12} T^{8} + \)\(46\!\cdots\!80\)\( p^{111} T^{9} + \)\(41\!\cdots\!40\)\( p^{210} T^{10} + \)\(21\!\cdots\!40\)\( p^{309} T^{11} + \)\(16\!\cdots\!56\)\( p^{408} T^{12} + \)\(13\!\cdots\!20\)\( p^{508} T^{13} + \)\(19\!\cdots\!80\)\( p^{608} T^{14} + \)\(97\!\cdots\!40\)\( p^{708} T^{15} + p^{808} T^{16} \)
53 \( 1 - \)\(13\!\cdots\!40\)\( T + \)\(52\!\cdots\!20\)\( T^{2} - \)\(30\!\cdots\!20\)\( T^{3} + \)\(29\!\cdots\!12\)\( p T^{4} - \)\(38\!\cdots\!20\)\( p^{2} T^{5} + \)\(23\!\cdots\!20\)\( p^{3} T^{6} - \)\(28\!\cdots\!40\)\( p^{4} T^{7} + \)\(13\!\cdots\!02\)\( p^{5} T^{8} - \)\(28\!\cdots\!40\)\( p^{105} T^{9} + \)\(23\!\cdots\!20\)\( p^{205} T^{10} - \)\(38\!\cdots\!20\)\( p^{305} T^{11} + \)\(29\!\cdots\!12\)\( p^{405} T^{12} - \)\(30\!\cdots\!20\)\( p^{505} T^{13} + \)\(52\!\cdots\!20\)\( p^{606} T^{14} - \)\(13\!\cdots\!40\)\( p^{707} T^{15} + p^{808} T^{16} \)
59 \( 1 - \)\(21\!\cdots\!60\)\( T + \)\(28\!\cdots\!72\)\( T^{2} - \)\(86\!\cdots\!80\)\( T^{3} + \)\(77\!\cdots\!52\)\( p T^{4} - \)\(44\!\cdots\!60\)\( p^{2} T^{5} + \)\(24\!\cdots\!56\)\( p^{3} T^{6} - \)\(13\!\cdots\!00\)\( p^{4} T^{7} + \)\(57\!\cdots\!30\)\( p^{5} T^{8} - \)\(13\!\cdots\!00\)\( p^{105} T^{9} + \)\(24\!\cdots\!56\)\( p^{205} T^{10} - \)\(44\!\cdots\!60\)\( p^{305} T^{11} + \)\(77\!\cdots\!52\)\( p^{405} T^{12} - \)\(86\!\cdots\!80\)\( p^{505} T^{13} + \)\(28\!\cdots\!72\)\( p^{606} T^{14} - \)\(21\!\cdots\!60\)\( p^{707} T^{15} + p^{808} T^{16} \)
61 \( 1 + \)\(33\!\cdots\!04\)\( T + \)\(13\!\cdots\!20\)\( T^{2} + \)\(35\!\cdots\!40\)\( T^{3} + \)\(14\!\cdots\!20\)\( p T^{4} + \)\(48\!\cdots\!92\)\( p^{2} T^{5} + \)\(14\!\cdots\!08\)\( p^{3} T^{6} + \)\(40\!\cdots\!60\)\( p^{4} T^{7} + \)\(10\!\cdots\!70\)\( p^{5} T^{8} + \)\(40\!\cdots\!60\)\( p^{105} T^{9} + \)\(14\!\cdots\!08\)\( p^{205} T^{10} + \)\(48\!\cdots\!92\)\( p^{305} T^{11} + \)\(14\!\cdots\!20\)\( p^{405} T^{12} + \)\(35\!\cdots\!40\)\( p^{505} T^{13} + \)\(13\!\cdots\!20\)\( p^{606} T^{14} + \)\(33\!\cdots\!04\)\( p^{707} T^{15} + p^{808} T^{16} \)
67 \( 1 + \)\(61\!\cdots\!20\)\( T + \)\(25\!\cdots\!80\)\( T^{2} + \)\(85\!\cdots\!40\)\( T^{3} + \)\(35\!\cdots\!68\)\( p T^{4} + \)\(12\!\cdots\!60\)\( p^{2} T^{5} + \)\(41\!\cdots\!20\)\( p^{3} T^{6} + \)\(11\!\cdots\!80\)\( p^{4} T^{7} + \)\(30\!\cdots\!18\)\( p^{5} T^{8} + \)\(11\!\cdots\!80\)\( p^{105} T^{9} + \)\(41\!\cdots\!20\)\( p^{205} T^{10} + \)\(12\!\cdots\!60\)\( p^{305} T^{11} + \)\(35\!\cdots\!68\)\( p^{405} T^{12} + \)\(85\!\cdots\!40\)\( p^{505} T^{13} + \)\(25\!\cdots\!80\)\( p^{606} T^{14} + \)\(61\!\cdots\!20\)\( p^{707} T^{15} + p^{808} T^{16} \)
71 \( 1 + \)\(15\!\cdots\!24\)\( T + \)\(16\!\cdots\!20\)\( T^{2} + \)\(17\!\cdots\!40\)\( p T^{3} + \)\(14\!\cdots\!20\)\( p^{2} T^{4} + \)\(10\!\cdots\!12\)\( p^{3} T^{5} + \)\(64\!\cdots\!48\)\( p^{4} T^{6} + \)\(34\!\cdots\!60\)\( p^{5} T^{7} + \)\(15\!\cdots\!70\)\( p^{6} T^{8} + \)\(34\!\cdots\!60\)\( p^{106} T^{9} + \)\(64\!\cdots\!48\)\( p^{206} T^{10} + \)\(10\!\cdots\!12\)\( p^{306} T^{11} + \)\(14\!\cdots\!20\)\( p^{406} T^{12} + \)\(17\!\cdots\!40\)\( p^{506} T^{13} + \)\(16\!\cdots\!20\)\( p^{606} T^{14} + \)\(15\!\cdots\!24\)\( p^{707} T^{15} + p^{808} T^{16} \)
73 \( 1 + \)\(20\!\cdots\!80\)\( T + \)\(67\!\cdots\!60\)\( T^{2} + \)\(10\!\cdots\!80\)\( p T^{3} + \)\(28\!\cdots\!04\)\( p^{2} T^{4} + \)\(25\!\cdots\!80\)\( p^{3} T^{5} + \)\(75\!\cdots\!20\)\( p^{4} T^{6} + \)\(51\!\cdots\!60\)\( p^{5} T^{7} + \)\(21\!\cdots\!14\)\( p^{6} T^{8} + \)\(51\!\cdots\!60\)\( p^{106} T^{9} + \)\(75\!\cdots\!20\)\( p^{206} T^{10} + \)\(25\!\cdots\!80\)\( p^{306} T^{11} + \)\(28\!\cdots\!04\)\( p^{406} T^{12} + \)\(10\!\cdots\!80\)\( p^{506} T^{13} + \)\(67\!\cdots\!60\)\( p^{606} T^{14} + \)\(20\!\cdots\!80\)\( p^{707} T^{15} + p^{808} T^{16} \)
79 \( 1 - \)\(14\!\cdots\!80\)\( T + \)\(34\!\cdots\!32\)\( T^{2} - \)\(47\!\cdots\!60\)\( p T^{3} + \)\(82\!\cdots\!28\)\( p^{2} T^{4} - \)\(89\!\cdots\!20\)\( p^{3} T^{5} + \)\(11\!\cdots\!64\)\( p^{4} T^{6} - \)\(10\!\cdots\!00\)\( p^{5} T^{7} + \)\(10\!\cdots\!70\)\( p^{6} T^{8} - \)\(10\!\cdots\!00\)\( p^{106} T^{9} + \)\(11\!\cdots\!64\)\( p^{206} T^{10} - \)\(89\!\cdots\!20\)\( p^{306} T^{11} + \)\(82\!\cdots\!28\)\( p^{406} T^{12} - \)\(47\!\cdots\!60\)\( p^{506} T^{13} + \)\(34\!\cdots\!32\)\( p^{606} T^{14} - \)\(14\!\cdots\!80\)\( p^{707} T^{15} + p^{808} T^{16} \)
83 \( 1 - \)\(33\!\cdots\!60\)\( T + \)\(13\!\cdots\!20\)\( p^{2} T^{2} - \)\(25\!\cdots\!20\)\( p^{2} T^{3} + \)\(51\!\cdots\!88\)\( p^{3} T^{4} - \)\(81\!\cdots\!20\)\( p^{4} T^{5} + \)\(11\!\cdots\!20\)\( p^{5} T^{6} - \)\(13\!\cdots\!40\)\( p^{6} T^{7} + \)\(14\!\cdots\!38\)\( p^{7} T^{8} - \)\(13\!\cdots\!40\)\( p^{107} T^{9} + \)\(11\!\cdots\!20\)\( p^{207} T^{10} - \)\(81\!\cdots\!20\)\( p^{307} T^{11} + \)\(51\!\cdots\!88\)\( p^{407} T^{12} - \)\(25\!\cdots\!20\)\( p^{507} T^{13} + \)\(13\!\cdots\!20\)\( p^{608} T^{14} - \)\(33\!\cdots\!60\)\( p^{707} T^{15} + p^{808} T^{16} \)
89 \( 1 + \)\(69\!\cdots\!40\)\( p T + \)\(55\!\cdots\!72\)\( p^{2} T^{2} + \)\(29\!\cdots\!20\)\( p^{3} T^{3} + \)\(15\!\cdots\!68\)\( p^{4} T^{4} + \)\(66\!\cdots\!40\)\( p^{5} T^{5} + \)\(27\!\cdots\!24\)\( p^{6} T^{6} + \)\(95\!\cdots\!00\)\( p^{7} T^{7} + \)\(32\!\cdots\!70\)\( p^{8} T^{8} + \)\(95\!\cdots\!00\)\( p^{108} T^{9} + \)\(27\!\cdots\!24\)\( p^{208} T^{10} + \)\(66\!\cdots\!40\)\( p^{308} T^{11} + \)\(15\!\cdots\!68\)\( p^{408} T^{12} + \)\(29\!\cdots\!20\)\( p^{508} T^{13} + \)\(55\!\cdots\!72\)\( p^{608} T^{14} + \)\(69\!\cdots\!40\)\( p^{708} T^{15} + p^{808} T^{16} \)
97 \( 1 - \)\(66\!\cdots\!60\)\( p T + \)\(53\!\cdots\!80\)\( p^{2} T^{2} - \)\(23\!\cdots\!80\)\( p^{3} T^{3} + \)\(10\!\cdots\!56\)\( p^{4} T^{4} - \)\(34\!\cdots\!20\)\( p^{5} T^{5} + \)\(11\!\cdots\!60\)\( p^{6} T^{6} - \)\(28\!\cdots\!60\)\( p^{7} T^{7} + \)\(70\!\cdots\!26\)\( p^{8} T^{8} - \)\(28\!\cdots\!60\)\( p^{108} T^{9} + \)\(11\!\cdots\!60\)\( p^{208} T^{10} - \)\(34\!\cdots\!20\)\( p^{308} T^{11} + \)\(10\!\cdots\!56\)\( p^{408} T^{12} - \)\(23\!\cdots\!80\)\( p^{508} T^{13} + \)\(53\!\cdots\!80\)\( p^{608} T^{14} - \)\(66\!\cdots\!60\)\( p^{708} T^{15} + p^{808} T^{16} \)
show more
show less
\[\begin{aligned}L(s) = \prod_p \ \prod_{j=1}^{16} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\end{aligned}\]

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−5.49914897161061994479075920339, −5.25247243719148982095164323036, −4.82698619144678625789844239724, −4.74586743505974520478766465134, −4.49509318553229487084691255763, −4.38574778047642919774093686592, −4.33189322316525769573113554062, −4.26343841374525617210445123056, −3.80628493334499079304770050752, −3.78987939913398560764337013948, −3.46578536123029202680226215033, −3.43603241584958744486174212455, −3.03400786597146406168646967019, −3.00220144996402089317871187059, −2.97352217396137672816372177901, −2.31181063522268616109911424924, −2.29952234914622231048095962944, −2.10150571005205108207446336184, −2.03644198360498200132593859739, −1.88185247019151326302359454216, −1.64705357458572343387092548283, −1.28682287481686156955760249788, −1.06379456386511640564012204306, −1.04157930115495124271021096389, −0.73200119107837448297302939233, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.73200119107837448297302939233, 1.04157930115495124271021096389, 1.06379456386511640564012204306, 1.28682287481686156955760249788, 1.64705357458572343387092548283, 1.88185247019151326302359454216, 2.03644198360498200132593859739, 2.10150571005205108207446336184, 2.29952234914622231048095962944, 2.31181063522268616109911424924, 2.97352217396137672816372177901, 3.00220144996402089317871187059, 3.03400786597146406168646967019, 3.43603241584958744486174212455, 3.46578536123029202680226215033, 3.78987939913398560764337013948, 3.80628493334499079304770050752, 4.26343841374525617210445123056, 4.33189322316525769573113554062, 4.38574778047642919774093686592, 4.49509318553229487084691255763, 4.74586743505974520478766465134, 4.82698619144678625789844239724, 5.25247243719148982095164323036, 5.49914897161061994479075920339

Graph of the $Z$-function along the critical line

Plot not available for L-functions of degree greater than 10.