| L(s) = 1 | + 30·3-s − 100·5-s + 229·9-s − 776·11-s + 590·13-s − 3.00e3·15-s − 440·17-s − 1.50e3·19-s + 1.45e3·23-s + 6.25e3·25-s − 2.43e3·27-s + 4.84e3·29-s − 7.58e3·31-s − 2.32e4·33-s − 1.95e4·37-s + 1.77e4·39-s − 1.37e4·41-s − 1.74e4·43-s − 2.29e4·45-s − 5.56e3·47-s − 1.32e4·51-s − 2.76e4·53-s + 7.76e4·55-s − 4.52e4·57-s + 8.53e4·59-s + 374·61-s − 5.90e4·65-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | + 1.92·3-s − 1.78·5-s + 0.942·9-s − 1.93·11-s + 0.968·13-s − 3.44·15-s − 0.369·17-s − 0.958·19-s + 0.571·23-s + 2·25-s − 0.641·27-s + 1.06·29-s − 1.41·31-s − 3.72·33-s − 2.34·37-s + 1.86·39-s − 1.27·41-s − 1.43·43-s − 1.68·45-s − 0.367·47-s − 0.710·51-s − 1.35·53-s + 3.45·55-s − 1.84·57-s + 3.19·59-s + 0.0128·61-s − 1.73·65-s + ⋯ |
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{8} \cdot 5^{4} \cdot 7^{8}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{4} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(6-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{8} \cdot 5^{4} \cdot 7^{8}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{4} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Particular Values
| \(L(3)\) |
\(=\) |
\(0\) |
| \(L(\frac12)\) |
\(=\) |
\(0\) |
| \(L(\frac{7}{2})\) |
|
not available |
| \(L(1)\) |
|
not available |
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $\Gal(F_p)$ | $F_p(T)$ |
|---|
| bad | 2 | | \( 1 \) |
| 5 | $C_1$ | \( ( 1 + p^{2} T )^{4} \) |
| 7 | | \( 1 \) |
| good | 3 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 10 p T + 671 T^{2} - 3610 p T^{3} + 18428 p^{2} T^{4} - 3610 p^{6} T^{5} + 671 p^{10} T^{6} - 10 p^{16} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 11 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 776 T + 714299 T^{2} + 33180756 p T^{3} + 177732848340 T^{4} + 33180756 p^{6} T^{5} + 714299 p^{10} T^{6} + 776 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 13 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 590 T + 1354993 T^{2} - 635207470 T^{3} + 731099489156 T^{4} - 635207470 p^{5} T^{5} + 1354993 p^{10} T^{6} - 590 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 17 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 440 T + 3888500 T^{2} + 1663213800 T^{3} + 7118338842006 T^{4} + 1663213800 p^{5} T^{5} + 3888500 p^{10} T^{6} + 440 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 19 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 1508 T + 7430239 T^{2} + 11254972484 T^{3} + 24950969345296 T^{4} + 11254972484 p^{5} T^{5} + 7430239 p^{10} T^{6} + 1508 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 23 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 1450 T + 6602030 T^{2} - 14801521920 T^{3} + 127032886311 T^{4} - 14801521920 p^{5} T^{5} + 6602030 p^{10} T^{6} - 1450 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 29 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 4842 T + 58022129 T^{2} - 253661049306 T^{3} + 1549490901531756 T^{4} - 253661049306 p^{5} T^{5} + 58022129 p^{10} T^{6} - 4842 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 31 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 7588 T + 105101152 T^{2} + 506192844692 T^{3} + 4153251240207038 T^{4} + 506192844692 p^{5} T^{5} + 105101152 p^{10} T^{6} + 7588 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 37 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 19550 T + 247469077 T^{2} + 1818625445890 T^{3} + 14814876135393536 T^{4} + 1818625445890 p^{5} T^{5} + 247469077 p^{10} T^{6} + 19550 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 41 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 13700 T + 508843658 T^{2} + 4771178634000 T^{3} + 91001207690010243 T^{4} + 4771178634000 p^{5} T^{5} + 508843658 p^{10} T^{6} + 13700 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 43 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 17430 T + 607036855 T^{2} + 6922452615190 T^{3} + 133036612391498748 T^{4} + 6922452615190 p^{5} T^{5} + 607036855 p^{10} T^{6} + 17430 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 47 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 5560 T + 377776451 T^{2} + 3294223466100 T^{3} + 86326879012400292 T^{4} + 3294223466100 p^{5} T^{5} + 377776451 p^{10} T^{6} + 5560 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 53 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 27630 T + 1382194805 T^{2} + 26483645799450 T^{3} + 805044825162958056 T^{4} + 26483645799450 p^{5} T^{5} + 1382194805 p^{10} T^{6} + 27630 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 59 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 85328 T + 4490461364 T^{2} - 162039626043024 T^{3} + 4812368972553836166 T^{4} - 162039626043024 p^{5} T^{5} + 4490461364 p^{10} T^{6} - 85328 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 61 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 374 T + 3106975381 T^{2} - 1977357688618 T^{3} + 3825476582989029776 T^{4} - 1977357688618 p^{5} T^{5} + 3106975381 p^{10} T^{6} - 374 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 67 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 100830 T + 8144558827 T^{2} - 415972597554830 T^{3} + 18204385979632307856 T^{4} - 415972597554830 p^{5} T^{5} + 8144558827 p^{10} T^{6} - 100830 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 71 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 47128 T + 4557238244 T^{2} + 116967397831800 T^{3} + 8973618980186219670 T^{4} + 116967397831800 p^{5} T^{5} + 4557238244 p^{10} T^{6} + 47128 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 73 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 107060 T + 7712400880 T^{2} - 413719581005980 T^{3} + 20131056015780303998 T^{4} - 413719581005980 p^{5} T^{5} + 7712400880 p^{10} T^{6} - 107060 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 79 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 63984 T + 9354236656 T^{2} - 439518424324880 T^{3} + 37697984984976108990 T^{4} - 439518424324880 p^{5} T^{5} + 9354236656 p^{10} T^{6} - 63984 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 83 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 139290 T + 16390212275 T^{2} + 1086885221186250 T^{3} + 79700907845251880736 T^{4} + 1086885221186250 p^{5} T^{5} + 16390212275 p^{10} T^{6} + 139290 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 89 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 107578 T + 15391804265 T^{2} - 1337372752346538 T^{3} + \)\(12\!\cdots\!44\)\( T^{4} - 1337372752346538 p^{5} T^{5} + 15391804265 p^{10} T^{6} - 107578 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 97 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 139240 T + 28066386652 T^{2} + 2673902024184920 T^{3} + \)\(32\!\cdots\!74\)\( T^{4} + 2673902024184920 p^{5} T^{5} + 28066386652 p^{10} T^{6} + 139240 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| show more | | |
| show less | | |
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{8} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−7.05931639608152509736470090057, −6.61275466509901207050117193069, −6.43702995034528977017574769213, −6.31335345475460998362480745464, −6.23021488884626287894360881583, −5.34230498379194507594790573587, −5.32615476152913125049299144676, −5.18836683825775206474276767256, −5.17441907339161246356191537873, −4.88455868378689987194197335707, −4.45329654358873794794453003274, −4.10262980063823040354570554664, −3.92934233637524017160220232561, −3.57289854633925578048351965697, −3.48541785553194100041599067159, −3.47456823103420827313792693687, −3.23006259330304258877577795030, −2.63700829005646987190468798715, −2.48105779515563220990741322628, −2.36123405953898211154814402107, −2.35164000056006063659427660921, −1.68919731874275639552895483242, −1.39013311045590779685828402783, −1.14689731583889698118465163830, −0.826826227933820321101539989983, 0, 0, 0, 0,
0.826826227933820321101539989983, 1.14689731583889698118465163830, 1.39013311045590779685828402783, 1.68919731874275639552895483242, 2.35164000056006063659427660921, 2.36123405953898211154814402107, 2.48105779515563220990741322628, 2.63700829005646987190468798715, 3.23006259330304258877577795030, 3.47456823103420827313792693687, 3.48541785553194100041599067159, 3.57289854633925578048351965697, 3.92934233637524017160220232561, 4.10262980063823040354570554664, 4.45329654358873794794453003274, 4.88455868378689987194197335707, 5.17441907339161246356191537873, 5.18836683825775206474276767256, 5.32615476152913125049299144676, 5.34230498379194507594790573587, 6.23021488884626287894360881583, 6.31335345475460998362480745464, 6.43702995034528977017574769213, 6.61275466509901207050117193069, 7.05931639608152509736470090057
