# Properties

 Label 8-96e8-1.1-c1e4-0-11 Degree $8$ Conductor $7.214\times 10^{15}$ Sign $1$ Analytic cond. $2.93277\times 10^{7}$ Root an. cond. $8.57846$ Motivic weight $1$ Arithmetic yes Rational yes Primitive no Self-dual yes Analytic rank $4$

# Origins of factors

## Dirichlet series

 L(s)  = 1 − 8·7-s − 8·13-s + 16·23-s − 8·25-s − 8·31-s − 8·37-s + 16·47-s + 20·49-s + 16·59-s − 24·61-s + 16·67-s + 16·71-s − 8·73-s − 24·79-s + 8·89-s + 64·91-s − 16·97-s − 16·101-s − 24·103-s + 16·107-s − 24·109-s + 8·113-s − 28·121-s − 16·125-s + 127-s + 131-s + 137-s + ⋯
 L(s)  = 1 − 3.02·7-s − 2.21·13-s + 3.33·23-s − 8/5·25-s − 1.43·31-s − 1.31·37-s + 2.33·47-s + 20/7·49-s + 2.08·59-s − 3.07·61-s + 1.95·67-s + 1.89·71-s − 0.936·73-s − 2.70·79-s + 0.847·89-s + 6.70·91-s − 1.62·97-s − 1.59·101-s − 2.36·103-s + 1.54·107-s − 2.29·109-s + 0.752·113-s − 2.54·121-s − 1.43·125-s + 0.0887·127-s + 0.0873·131-s + 0.0854·137-s + ⋯

## Functional equation

\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{40} \cdot 3^{8}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{4} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}
\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{40} \cdot 3^{8}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{4} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}

## Invariants

 Degree: $$8$$ Conductor: $$2^{40} \cdot 3^{8}$$ Sign: $1$ Analytic conductor: $$2.93277\times 10^{7}$$ Root analytic conductor: $$8.57846$$ Motivic weight: $$1$$ Rational: yes Arithmetic: yes Character: Trivial Primitive: no Self-dual: yes Analytic rank: $$4$$ Selberg data: $$(8,\ 2^{40} \cdot 3^{8} ,\ ( \ : 1/2, 1/2, 1/2, 1/2 ),\ 1 )$$

## Particular Values

 $$L(1)$$ $$=$$ $$0$$ $$L(\frac12)$$ $$=$$ $$0$$ $$L(\frac{3}{2})$$ not available $$L(1)$$ not available

## Euler product

$$L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1}$$
$p$$\Gal(F_p)$$F_p(T)$
bad2 $$1$$
3 $$1$$
good5$((C_8 : C_2):C_2):C_2$ $$1 + 8 T^{2} + 16 T^{3} + 26 T^{4} + 16 p T^{5} + 8 p^{2} T^{6} + p^{4} T^{8}$$
7$((C_8 : C_2):C_2):C_2$ $$1 + 8 T + 44 T^{2} + 24 p T^{3} + 510 T^{4} + 24 p^{2} T^{5} + 44 p^{2} T^{6} + 8 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
11$C_2^2:C_4$ $$1 + 28 T^{2} + 406 T^{4} + 28 p^{2} T^{6} + p^{4} T^{8}$$
13$((C_8 : C_2):C_2):C_2$ $$1 + 8 T + 40 T^{2} + 136 T^{3} + 514 T^{4} + 136 p T^{5} + 40 p^{2} T^{6} + 8 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
17$((C_8 : C_2):C_2):C_2$ $$1 + 36 T^{2} + 64 T^{3} + 614 T^{4} + 64 p T^{5} + 36 p^{2} T^{6} + p^{4} T^{8}$$
19$((C_8 : C_2):C_2):C_2$ $$1 + 44 T^{2} - 64 T^{3} + 918 T^{4} - 64 p T^{5} + 44 p^{2} T^{6} + p^{4} T^{8}$$
23$C_2$ $$( 1 - 4 T + p T^{2} )^{4}$$
29$((C_8 : C_2):C_2):C_2$ $$1 + 72 T^{2} + 112 T^{3} + 2426 T^{4} + 112 p T^{5} + 72 p^{2} T^{6} + p^{4} T^{8}$$
31$((C_8 : C_2):C_2):C_2$ $$1 + 8 T + 108 T^{2} + 616 T^{3} + 162 p T^{4} + 616 p T^{5} + 108 p^{2} T^{6} + 8 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
37$((C_8 : C_2):C_2):C_2$ $$1 + 8 T + 104 T^{2} + 776 T^{3} + 5346 T^{4} + 776 p T^{5} + 104 p^{2} T^{6} + 8 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
41$((C_8 : C_2):C_2):C_2$ $$1 + 68 T^{2} - 64 T^{3} + 3206 T^{4} - 64 p T^{5} + 68 p^{2} T^{6} + p^{4} T^{8}$$
43$((C_8 : C_2):C_2):C_2$ $$1 + 76 T^{2} + 64 T^{3} + 3830 T^{4} + 64 p T^{5} + 76 p^{2} T^{6} + p^{4} T^{8}$$
47$D_{4}$ $$( 1 - 8 T + 78 T^{2} - 8 p T^{3} + p^{2} T^{4} )^{2}$$
53$((C_8 : C_2):C_2):C_2$ $$1 + 104 T^{2} + 272 T^{3} + 5594 T^{4} + 272 p T^{5} + 104 p^{2} T^{6} + p^{4} T^{8}$$
59$((C_8 : C_2):C_2):C_2$ $$1 - 16 T + 204 T^{2} - 1552 T^{3} + 12758 T^{4} - 1552 p T^{5} + 204 p^{2} T^{6} - 16 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
61$((C_8 : C_2):C_2):C_2$ $$1 + 24 T + 392 T^{2} + 4568 T^{3} + 40386 T^{4} + 4568 p T^{5} + 392 p^{2} T^{6} + 24 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
67$((C_8 : C_2):C_2):C_2$ $$1 - 16 T + 172 T^{2} - 912 T^{3} + 6134 T^{4} - 912 p T^{5} + 172 p^{2} T^{6} - 16 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
71$((C_8 : C_2):C_2):C_2$ $$1 - 16 T + 4 p T^{2} - 2640 T^{3} + 28070 T^{4} - 2640 p T^{5} + 4 p^{3} T^{6} - 16 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
73$((C_8 : C_2):C_2):C_2$ $$1 + 8 T + 172 T^{2} + 1720 T^{3} + 16006 T^{4} + 1720 p T^{5} + 172 p^{2} T^{6} + 8 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
79$((C_8 : C_2):C_2):C_2$ $$1 + 24 T + 396 T^{2} + 4344 T^{3} + 42398 T^{4} + 4344 p T^{5} + 396 p^{2} T^{6} + 24 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
83$((C_8 : C_2):C_2):C_2$ $$1 + 252 T^{2} + 128 T^{3} + 28598 T^{4} + 128 p T^{5} + 252 p^{2} T^{6} + p^{4} T^{8}$$
89$((C_8 : C_2):C_2):C_2$ $$1 - 8 T + 188 T^{2} - 2424 T^{3} + 17894 T^{4} - 2424 p T^{5} + 188 p^{2} T^{6} - 8 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
97$((C_8 : C_2):C_2):C_2$ $$1 + 16 T + 356 T^{2} + 4400 T^{3} + 49990 T^{4} + 4400 p T^{5} + 356 p^{2} T^{6} + 16 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
$$L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{8} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}$$