| L(s) = 1 | − 9·2-s − 4·3-s + 23·4-s − 100·5-s + 36·6-s − 136·7-s − 17·8-s − 156·9-s + 900·10-s − 516·11-s − 92·12-s − 676·13-s + 1.22e3·14-s + 400·15-s − 729·16-s + 344·17-s + 1.40e3·18-s − 5.01e3·19-s − 2.30e3·20-s + 544·21-s + 4.64e3·22-s + 708·23-s + 68·24-s + 6.25e3·25-s + 6.08e3·26-s − 452·27-s − 3.12e3·28-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | − 1.59·2-s − 0.256·3-s + 0.718·4-s − 1.78·5-s + 0.408·6-s − 1.04·7-s − 0.0939·8-s − 0.641·9-s + 2.84·10-s − 1.28·11-s − 0.184·12-s − 1.10·13-s + 1.66·14-s + 0.459·15-s − 0.711·16-s + 0.288·17-s + 1.02·18-s − 3.18·19-s − 1.28·20-s + 0.269·21-s + 2.04·22-s + 0.279·23-s + 0.0240·24-s + 2·25-s + 1.76·26-s − 0.119·27-s − 0.754·28-s + ⋯ |
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut & 17850625 ^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{4} \, L(s)\cr =\mathstrut & \, \Lambda(6-s) \end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut & 17850625 ^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{4} \, L(s)\cr =\mathstrut & \, \Lambda(1-s) \end{aligned}\]
Particular Values
| \(L(3)\) |
\(=\) |
\(0\) |
| \(L(\frac12)\) |
\(=\) |
\(0\) |
| \(L(\frac{7}{2})\) |
|
not available |
| \(L(1)\) |
|
not available |
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $\Gal(F_p)$ | $F_p(T)$ |
|---|
| bad | 5 | $C_1$ | \( ( 1 + p^{2} T )^{4} \) |
| 13 | $C_1$ | \( ( 1 + p^{2} T )^{4} \) |
| good | 2 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 9 T + 29 p T^{2} + 83 p^{2} T^{3} + 317 p^{3} T^{4} + 83 p^{7} T^{5} + 29 p^{11} T^{6} + 9 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 3 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 4 T + 172 T^{2} + 196 p^{2} T^{3} + 9430 p^{2} T^{4} + 196 p^{7} T^{5} + 172 p^{10} T^{6} + 4 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 7 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 136 T + 63068 T^{2} + 6840744 T^{3} + 1555345702 T^{4} + 6840744 p^{5} T^{5} + 63068 p^{10} T^{6} + 136 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 11 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 516 T + 2716 p^{2} T^{2} + 65876516 T^{3} + 43289539462 T^{4} + 65876516 p^{5} T^{5} + 2716 p^{12} T^{6} + 516 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 17 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 344 T + 4677948 T^{2} - 1171648104 T^{3} + 9352927229766 T^{4} - 1171648104 p^{5} T^{5} + 4677948 p^{10} T^{6} - 344 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 19 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 5012 T + 16711164 T^{2} + 2101849884 p T^{3} + 70656587909350 T^{4} + 2101849884 p^{6} T^{5} + 16711164 p^{10} T^{6} + 5012 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 23 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 708 T + 6863004 T^{2} + 29997357996 T^{3} - 16906080611402 T^{4} + 29997357996 p^{5} T^{5} + 6863004 p^{10} T^{6} - 708 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 29 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 5416 T + 36209740 T^{2} - 81459698104 T^{3} + 473736373765878 T^{4} - 81459698104 p^{5} T^{5} + 36209740 p^{10} T^{6} - 5416 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 31 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 10124 T + 143855948 T^{2} + 886053624060 T^{3} + 6590468147896694 T^{4} + 886053624060 p^{5} T^{5} + 143855948 p^{10} T^{6} + 10124 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 37 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 1448 T - 17460340 T^{2} - 281495640696 T^{3} + 6546986737317398 T^{4} - 281495640696 p^{5} T^{5} - 17460340 p^{10} T^{6} - 1448 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 41 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 21576 T + 553714620 T^{2} - 7401970076856 T^{3} + 101464068072612262 T^{4} - 7401970076856 p^{5} T^{5} + 553714620 p^{10} T^{6} - 21576 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 43 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 25740 T + 263767212 T^{2} + 322108481356 T^{3} - 10374388115856666 T^{4} + 322108481356 p^{5} T^{5} + 263767212 p^{10} T^{6} + 25740 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 47 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 51096 T + 1795282684 T^{2} + 40904687545144 T^{3} + 730863772103630662 T^{4} + 40904687545144 p^{5} T^{5} + 1795282684 p^{10} T^{6} + 51096 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 53 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 39448 T + 1677835020 T^{2} - 43205384536392 T^{3} + 1078761982794854230 T^{4} - 43205384536392 p^{5} T^{5} + 1677835020 p^{10} T^{6} - 39448 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 59 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 37764 T + 1097703932 T^{2} - 15000368483556 T^{3} + 581954650788907974 T^{4} - 15000368483556 p^{5} T^{5} + 1097703932 p^{10} T^{6} - 37764 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 61 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 95016 T + 5717854412 T^{2} - 227156443990200 T^{3} + 7463461050487551606 T^{4} - 227156443990200 p^{5} T^{5} + 5717854412 p^{10} T^{6} - 95016 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 67 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 50592 T + 4841774828 T^{2} + 191257258675488 T^{3} + 9379947954423783606 T^{4} + 191257258675488 p^{5} T^{5} + 4841774828 p^{10} T^{6} + 50592 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 71 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 89308 T + 9497016364 T^{2} + 504200448956268 T^{3} + 27814041750645235478 T^{4} + 504200448956268 p^{5} T^{5} + 9497016364 p^{10} T^{6} + 89308 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 73 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 108312 T + 10867245052 T^{2} + 637574418988776 T^{3} + 35495235278637992358 T^{4} + 637574418988776 p^{5} T^{5} + 10867245052 p^{10} T^{6} + 108312 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 79 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 25464 T + 6484220476 T^{2} + 60569570355480 T^{3} + 22088060826507846726 T^{4} + 60569570355480 p^{5} T^{5} + 6484220476 p^{10} T^{6} + 25464 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 83 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 248 p T + 2756547532 T^{2} - 81256074605992 T^{3} - 2438243013891958602 T^{4} - 81256074605992 p^{5} T^{5} + 2756547532 p^{10} T^{6} - 248 p^{16} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 89 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 148328 T + 13317127644 T^{2} + 580237390605720 T^{3} + 37063551864388781350 T^{4} + 580237390605720 p^{5} T^{5} + 13317127644 p^{10} T^{6} + 148328 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 97 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 77816 T + 14157207740 T^{2} + 508845242127432 T^{3} + \)\(13\!\cdots\!18\)\( T^{4} + 508845242127432 p^{5} T^{5} + 14157207740 p^{10} T^{6} + 77816 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| show more | | |
| show less | | |
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{8} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−10.39951757261458730745522503026, −10.34752773479683536891397256672, −9.936484100597043710969483126429, −9.656153620078458836673472114739, −9.639404415915479867481342536934, −8.813986483414634697054716148618, −8.623044587035008823183256054518, −8.538576358127322535028201349519, −8.411457813021867530338424439387, −7.87204748041114060036469484046, −7.71619901392977512113865539708, −7.20774768041504195224627698948, −6.76022145823881645697207577628, −6.69447361833669219475180857483, −6.37804584896468374695450671649, −5.60261011570131121052417502093, −5.45522781322296742923572175655, −4.67907847649155734666146555278, −4.55370951170144079085296900706, −4.14161518656424100274299044650, −3.57289277780358095740420480712, −2.92820738356258166464644559873, −2.75222748049118101177949489971, −2.16091084328670669943415246214, −1.28356035677328788362455508397, 0, 0, 0, 0,
1.28356035677328788362455508397, 2.16091084328670669943415246214, 2.75222748049118101177949489971, 2.92820738356258166464644559873, 3.57289277780358095740420480712, 4.14161518656424100274299044650, 4.55370951170144079085296900706, 4.67907847649155734666146555278, 5.45522781322296742923572175655, 5.60261011570131121052417502093, 6.37804584896468374695450671649, 6.69447361833669219475180857483, 6.76022145823881645697207577628, 7.20774768041504195224627698948, 7.71619901392977512113865539708, 7.87204748041114060036469484046, 8.411457813021867530338424439387, 8.538576358127322535028201349519, 8.623044587035008823183256054518, 8.813986483414634697054716148618, 9.639404415915479867481342536934, 9.656153620078458836673472114739, 9.936484100597043710969483126429, 10.34752773479683536891397256672, 10.39951757261458730745522503026
