Properties

Label 8-63e4-1.1-c5e4-0-2
Degree $8$
Conductor $15752961$
Sign $1$
Analytic cond. $10423.2$
Root an. cond. $3.17870$
Motivic weight $5$
Arithmetic yes
Rational yes
Primitive no
Self-dual yes
Analytic rank $0$

Origins

Origins of factors

Downloads

Learn more

Normalization:  

Dirichlet series

L(s)  = 1  + 2·2-s + 28·4-s − 38·5-s − 168·7-s + 32·8-s − 76·10-s + 424·11-s − 1.84e3·13-s − 336·14-s + 960·16-s − 2.34e3·17-s + 360·19-s − 1.06e3·20-s + 848·22-s − 12·23-s + 2.91e3·25-s − 3.69e3·26-s − 4.70e3·28-s + 1.41e4·29-s − 3.54e3·31-s − 896·32-s − 4.69e3·34-s + 6.38e3·35-s − 1.10e4·37-s + 720·38-s − 1.21e3·40-s − 7.00e3·41-s + ⋯
L(s)  = 1  + 0.353·2-s + 7/8·4-s − 0.679·5-s − 1.29·7-s + 0.176·8-s − 0.240·10-s + 1.05·11-s − 3.03·13-s − 0.458·14-s + 0.937·16-s − 1.96·17-s + 0.228·19-s − 0.594·20-s + 0.373·22-s − 0.00473·23-s + 0.931·25-s − 1.07·26-s − 1.13·28-s + 3.11·29-s − 0.663·31-s − 0.154·32-s − 0.696·34-s + 0.880·35-s − 1.33·37-s + 0.0808·38-s − 0.120·40-s − 0.650·41-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut & 15752961 ^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{4} \, L(s)\cr =\mathstrut & \, \Lambda(6-s) \end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut & 15752961 ^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{4} \, L(s)\cr =\mathstrut & \, \Lambda(1-s) \end{aligned}\]

Invariants

Degree: \(8\)
Conductor: \(15752961\)    =    \(3^{8} \cdot 7^{4}\)
Sign: $1$
Analytic conductor: \(10423.2\)
Root analytic conductor: \(3.17870\)
Motivic weight: \(5\)
Rational: yes
Arithmetic: yes
Character: Trivial
Primitive: no
Self-dual: yes
Analytic rank: \(0\)
Selberg data: \((8,\ 15752961,\ (\ :5/2, 5/2, 5/2, 5/2),\ 1)\)

Particular Values

\(L(3)\) \(\approx\) \(0.5627607853\)
\(L(\frac12)\) \(\approx\) \(0.5627607853\)
\(L(\frac{7}{2})\) not available
\(L(1)\) not available

Euler product

   \(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
$p$$\Gal(F_p)$$F_p(T)$
bad3 \( 1 \)
7$C_2^2$ \( 1 + 24 p T + 34 p^{3} T^{2} + 24 p^{6} T^{3} + p^{10} T^{4} \)
good2$D_4\times C_2$ \( 1 - p T - 3 p^{3} T^{2} + 9 p^{3} T^{3} - 23 p^{4} T^{4} + 9 p^{8} T^{5} - 3 p^{13} T^{6} - p^{16} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
5$D_4\times C_2$ \( 1 + 38 T - 1467 T^{2} - 126882 T^{3} - 5804204 T^{4} - 126882 p^{5} T^{5} - 1467 p^{10} T^{6} + 38 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
11$D_4\times C_2$ \( 1 - 424 T - 167697 T^{2} - 10757304 T^{3} + 65846956552 T^{4} - 10757304 p^{5} T^{5} - 167697 p^{10} T^{6} - 424 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
13$D_{4}$ \( ( 1 + 924 T + 927022 T^{2} + 924 p^{5} T^{3} + p^{10} T^{4} )^{2} \)
17$D_4\times C_2$ \( 1 + 138 p T + 1932761 T^{2} + 100911258 p T^{3} + 2921236022964 T^{4} + 100911258 p^{6} T^{5} + 1932761 p^{10} T^{6} + 138 p^{16} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
19$D_4\times C_2$ \( 1 - 360 T - 2016025 T^{2} + 1010366280 T^{3} - 1848262047576 T^{4} + 1010366280 p^{5} T^{5} - 2016025 p^{10} T^{6} - 360 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
23$D_4\times C_2$ \( 1 + 12 T - 12696421 T^{2} - 2113452 T^{3} + 119775324752184 T^{4} - 2113452 p^{5} T^{5} - 12696421 p^{10} T^{6} + 12 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
29$D_{4}$ \( ( 1 - 7052 T + 35324974 T^{2} - 7052 p^{5} T^{3} + p^{10} T^{4} )^{2} \)
31$D_4\times C_2$ \( 1 + 3548 T - 28901749 T^{2} - 55945747452 T^{3} + 541403754912104 T^{4} - 55945747452 p^{5} T^{5} - 28901749 p^{10} T^{6} + 3548 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
37$D_4\times C_2$ \( 1 + 11090 T - 23355139 T^{2} + 84897554250 T^{3} + 8079277710681572 T^{4} + 84897554250 p^{5} T^{5} - 23355139 p^{10} T^{6} + 11090 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
41$D_{4}$ \( ( 1 + 3500 T + 206898214 T^{2} + 3500 p^{5} T^{3} + p^{10} T^{4} )^{2} \)
43$D_{4}$ \( ( 1 + 12680 T + 267378054 T^{2} + 12680 p^{5} T^{3} + p^{10} T^{4} )^{2} \)
47$D_4\times C_2$ \( 1 + 22956 T + 35452763 T^{2} + 753763910004 T^{3} + 68138105036084328 T^{4} + 753763910004 p^{5} T^{5} + 35452763 p^{10} T^{6} + 22956 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
53$D_4\times C_2$ \( 1 - 3042 T - 707161075 T^{2} + 364967439174 T^{3} + 334492868775797220 T^{4} + 364967439174 p^{5} T^{5} - 707161075 p^{10} T^{6} - 3042 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
59$D_4\times C_2$ \( 1 + 65808 T + 1828603607 T^{2} + 70562013287472 T^{3} + 2653216336714668312 T^{4} + 70562013287472 p^{5} T^{5} + 1828603607 p^{10} T^{6} + 65808 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
61$D_4\times C_2$ \( 1 - 42486 T + 303064037 T^{2} + 7953228077298 T^{3} + 18102385363935684 T^{4} + 7953228077298 p^{5} T^{5} + 303064037 p^{10} T^{6} - 42486 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
67$D_4\times C_2$ \( 1 + 42312 T - 1326272449 T^{2} + 17615652522648 T^{3} + 5473083141138317592 T^{4} + 17615652522648 p^{5} T^{5} - 1326272449 p^{10} T^{6} + 42312 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
71$D_{4}$ \( ( 1 - 2208 T + 3433192846 T^{2} - 2208 p^{5} T^{3} + p^{10} T^{4} )^{2} \)
73$D_4\times C_2$ \( 1 - 50506 T - 222184951 T^{2} + 69349899662694 T^{3} - 1895976700185808828 T^{4} + 69349899662694 p^{5} T^{5} - 222184951 p^{10} T^{6} - 50506 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
79$D_4\times C_2$ \( 1 + 9004 T - 5095520573 T^{2} - 8801591961836 T^{3} + 17079371584250245336 T^{4} - 8801591961836 p^{5} T^{5} - 5095520573 p^{10} T^{6} + 9004 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
83$D_{4}$ \( ( 1 - 104328 T + 9837878230 T^{2} - 104328 p^{5} T^{3} + p^{10} T^{4} )^{2} \)
89$D_4\times C_2$ \( 1 + 26666 T - 7396026999 T^{2} - 81625061802438 T^{3} + 30572703729886615780 T^{4} - 81625061802438 p^{5} T^{5} - 7396026999 p^{10} T^{6} + 26666 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
97$D_{4}$ \( ( 1 - 2156 p T + 28107307478 T^{2} - 2156 p^{6} T^{3} + p^{10} T^{4} )^{2} \)
show more
show less
   \(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{8} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−10.00006840313375839032572918113, −9.893283831515083083584705392544, −9.612213936171578514783608211178, −9.098347115431822718935336626382, −8.818165706125496889832270657627, −8.711884023178081049163715470371, −8.040780793052691957782564082760, −7.78351928278602256665776457931, −7.47352532906445551643652992223, −6.86895219639836137764741346849, −6.71346355715129733091805075076, −6.59963245529876785773131606849, −6.53172781641714239469902512070, −5.80111432001345467078370952337, −5.00947575547540185369129840272, −4.94295543733906248290774680853, −4.73458097908058953024985863570, −4.14113630618112886663513500779, −3.34937414094138546247709352559, −3.31265362931352781397155158593, −2.85446907406613355330191360649, −2.11763828385506265396121672891, −1.98629366673045850786259681431, −0.867141472878998590617865335301, −0.17387037174013408892591958288, 0.17387037174013408892591958288, 0.867141472878998590617865335301, 1.98629366673045850786259681431, 2.11763828385506265396121672891, 2.85446907406613355330191360649, 3.31265362931352781397155158593, 3.34937414094138546247709352559, 4.14113630618112886663513500779, 4.73458097908058953024985863570, 4.94295543733906248290774680853, 5.00947575547540185369129840272, 5.80111432001345467078370952337, 6.53172781641714239469902512070, 6.59963245529876785773131606849, 6.71346355715129733091805075076, 6.86895219639836137764741346849, 7.47352532906445551643652992223, 7.78351928278602256665776457931, 8.040780793052691957782564082760, 8.711884023178081049163715470371, 8.818165706125496889832270657627, 9.098347115431822718935336626382, 9.612213936171578514783608211178, 9.893283831515083083584705392544, 10.00006840313375839032572918113

Graph of the $Z$-function along the critical line